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4 ESO. Ejemplos de Dominio de función con logaritmos - Contenido educativo

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Subido el 22 de abril de 2022 por Gonzalo T.

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La función que vamos a estudiar ahora, el dominio, es la función y de x, que es el logaritmo neperiano del resultado de realizar ese polinomio, x al cubo más x al cuadrado menos x menos 1. 00:00:01
Entonces, esta función, vamos a ver, como siempre, para establecer el dominio, ¿cuál es la condición? 00:00:18
Se trata de un logaritmo. 00:00:26
Estamos calculando un logaritmo. 00:00:27
Entonces, la condición es que la expresión cuyo logaritmo hay que calcular, 00:00:30
es decir, esta expresión que está aquí dentro, 00:00:36
x al cubo más x al cuadrado menos x menos 1, 00:00:39
tiene que ser un número positivo. 00:00:42
Cuando yo sustituya aquí la x por un valor y haga este cálculo de aquí dentro, 00:00:44
me tiene que dar un número positivo, 00:00:48
porque si me da cero o negativo, el logaritmo no estaría definido. 00:00:49
El logaritmo natural, en este caso, no estaría definido. 00:00:54
Por lo tanto, esa es la condición que se transforma en que en ecuación, pues que esa expresión sea mayor que cero. 00:00:58
Y ahora es mayor estricto. 00:01:11
No puede ser cero, porque el logaritmo de cero no está definido. 00:01:14
Entonces, ¿qué tenemos que hacer? 00:01:20
Pues resolver esta inequación para averiguar cuáles son los puntos para los cuales puedo calcular este logaritmo. 00:01:23
Vamos a resolver la inequación. 00:01:33
Se trata de una inequación donde tenemos un polinomio, una desigualdad y luego cero. 00:01:36
Es decir, buscamos los valores de la x para los cuales este polinomio tiene signo positivo. 00:01:44
Entonces, ¿cómo se vuelven estas inequaciones? Pues factorizando y buscando los puntos críticos. 00:01:55
Vamos a hacerlo utilizando Ruffini. 00:02:01
Entonces colocamos los coeficientes que son 1, 1, menos 1 y menos 1. 00:02:04
Y ahora vamos a probar a dividir entre x menos 1, poniendo aquí la raíz asociada que es 1. 00:02:07
Que sabemos que esto sí que me va a dar, porque la suma de todos los coeficientes, 1 más 1 menos 1 menos 1 me da 0. 00:02:15
Y esto me permite asegurarme que 1 es raíz. 00:02:22
Entonces, realizamos Ruffini y efectivamente nos da resto 0, es decir, es un factor. 00:02:26
x menos 1 es un factor. 00:02:34
vale, entonces tenemos esta factorización 00:02:35
x menos 1 por, y lo que me ha quedado aquí 00:02:39
que es x al cuadrado más 2x más 1 00:02:42
vale, y ahora este x al cuadrado más 2x más 1 00:02:46
lo seguimos factorizando 00:02:49
que se puede hacer con la ecuación de segundo grado 00:02:51
pero en este caso vemos que es el desarrollo del cuadrado de x más 1 00:02:53
es una identidad notable 00:02:58
entonces nos queda esa factorización 00:03:00
x menos 1 por x más 1 al cuadrado. 00:03:03
¿Y cuáles son los puntos críticos? 00:03:06
Pues los puntos críticos son las raíces asociadas a cada uno de sus factores, 00:03:09
que son 1 aquí y menos 1 aquí, que es doble. 00:03:13
Es doble porque está elevado al cuadrado. 00:03:18
Entonces, estos son los puntos críticos, 1 y menos 1, 00:03:23
que son los valores para los que esta expresión vale 0, 00:03:26
y esta es la factorización. 00:03:31
siguiente paso, pues ahora vamos a dividir la recta desde menos infinito a infinito 00:03:32
en intervalos, utilizando los puntos críticos que hemos obtenido, el 1 y el menos 1 00:03:37
y vamos a ver que signo tiene cada uno de estos factores, este y este 00:03:42
y cuidado que este está elevado al cuadrado 00:03:46
y cuál es el signo del producto de todos los factores 00:03:48
entonces, vamos a hacer un poquito de hueco aquí 00:03:52
Y entonces realizamos la tabla de menos infinito a más infinito, los puntos críticos menos 1 y 1, y tengo estos tres intervalos. 00:03:57
¿Cuáles son los factores? Pues son dos factores, x menos 1 y x más 1 al cuadrado. 00:04:10
Ahora, x menos 1 se anula entre menos infinito y menos 1, y entre menos 1 y 1. 00:04:16
Y es positivo, se anula, no, perdón, es negativo, entre menos infinito y menos 1, y entre menos 1 y 1, y es positivo de 1 infinito. 00:04:28
Y x más 1 cambia de signo, pero luego al estar elevado al cuadrado va a ser siempre positivo. 00:04:38
Por lo tanto, esto es más, más y más en todos los casos. 00:04:45
Vale, entonces el producto de estas dos cosas que me da este polinomio, ¿qué signo tiene? 00:04:49
Pues multiplicamos los signos, menos por más, menos, menos por más, menos, más por más, más. 00:04:53
Entonces, ¿cuáles de estos intervalos son solución de la inequación? 00:04:59
Pues como la inequación es mayor que cero, es decir, positivo, 00:05:05
este que es negativo, en este intervalo la expresión es negativa, 00:05:09
luego los puntos de este intervalo no son solución, en este intervalo entre menos 1 y 1 la expresión es negativa, 00:05:13
por lo tanto tampoco son solución, y los valores de la x entre 1 e infinito, 00:05:22
la expresión me da un valor positivo que es mayor que 0, por lo tanto sí es solución. 00:05:28
Entonces, ¿cuál es la solución? Pues la solución es ahora el intervalo abierto de 1 a infinito. 00:05:34
¿Y por qué es abierto? Porque aquí el 0 no está incluido. 00:05:40
Y el 1 es un punto crítico, por lo tanto es un valor que hace que esto valga 0. 00:05:44
Y si esto vale 0, no es solución, porque no está incluida. 00:05:50
Y ahora a partir de 1 infinito, ya hemos visto aquí que eso va a ser siempre positivo, por lo tanto sí. 00:05:54
Luego está la solución de la inequación. 00:05:59
Entonces colocamos aquí nuestra solución, es el intervalo de 1 infinito. 00:06:03
Y ya por último lo único que tenemos que hacer es expresar el dominio, que es este conjunto. 00:06:07
El dominio de esta función es el intervalo abierto de 1 a infinito. 00:06:12
Porque cuando tengo un número más pequeño que 1, esto de aquí dentro es negativo y el logaritmo neperiano de algo negativo no lo podemos calcular. 00:06:17
Y por último vamos a ver la gráfica de la función para ver que el dominio que obtendríamos analizando la gráfica 00:06:28
coincide con el dominio que hemos obtenido analíticamente. 00:06:36
Esta es la gráfica de la función. 00:06:41
Y observamos que efectivamente, si analizamos esta gráfica, 00:06:45
en 1 no está definida, luego el 1 no está en el dominio, 00:06:49
lo que tiene es una asíntota, es decir, que cuanto más me acerco a 1, 00:06:55
esta función se dispara hacia menos infinito. 00:06:59
Pero el 1 no se alcanza. 00:07:02
Luego el 1 no está en el dominio y a partir de ahí ya cualquier número de aquí 00:07:04
si estaría en el dominio 00:07:07
entonces el dominio de esta gráfica 00:07:08
efectivamente es 00:07:10
si la analizamos 00:07:10
esta función 00:07:11
analizando su gráfica 00:07:12
es el intervalo 00:07:13
uno infinito 00:07:14
que es lo que habíamos obtenido 00:07:15
analíticamente 00:07:18
Subido por:
Gonzalo T.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
87
Fecha:
22 de abril de 2022 - 10:43
Visibilidad:
URL
Centro:
IES LAS ROZAS I
Duración:
07′ 22″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1552x874 píxeles
Tamaño:
11.63 MBytes

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