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31_distancias 3.2 d(r,s) se cruzan altura paralelepípedo - Contenido educativo
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Hola, en este video vamos a deducir la fórmula para calcular la distancia entre dos rectas
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que se cruzan. En la imagen tenemos dos de estas rectas y podemos comprobar que si cogemos
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un punto de cada una, un punto arbitrario de cada una de ellas, el segmento que los
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une tiene una longitud que varía en función de los puntos. La distancia entre ambas rectas
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es el menor de estos valores, que sin embargo no es fácil de determinar, no es fácil obtener.
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A partir de las ecuaciones de las rectas, ¿cuáles son esos dos puntos que van a ser
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los más próximos? La alternativa la podemos entender si hacemos ver los vectores directores
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de las rectas, que también son fáciles de obtener a partir de sus ecuaciones. Y no sólo
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esos vectores, sino los que aparecen en esos planos paralelos cuando trasladamos cada uno
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de los vectores a la otra recta, es decir, aquí en la recta S hemos copiado el vector
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director de R y viceversa en la recta R hemos copiado el vector director de S. Vemos entonces
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que limitada entre estos planos paralelos se perfila la figura de un prisma, que no
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es otro prisma que el que está definido precisamente por los vectores VR, aquí abajo, VS y este
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vector que une a sub R con a sub S. La distancia que queremos calcular coincide con la altura
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de ese prisma, y esto es independiente de los puntos elegidos, no importa qué puntos
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elijamos, aunque el volumen del prisma y el área de su base se verán modificados, así
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como el segmento a sub R, a sub S, la altura no se ve nunca modificada porque no es otra
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que la distancia que hay entre esos dos planos paralelos. ¿Cómo podemos determinar entonces
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la altura de ese prisma? Pues la idea es la siguiente, dado que la distancia coincide
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con la altura, calcularemos la altura a partir de esta fórmula de la geometría elemental,
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el volumen del prisma se puede obtener siempre como el área de la base por su altura, es
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decir que la altura será igual a este cociente. Ambas cantidades, el volumen del paralelepípedo
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y el área de la base, se pueden obtener a partir de los vectores que determinan el prisma.
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Recordemos que el volumen de este paralelepípedo se puede obtener como el valor absoluto del
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producto mixto formado precisamente por los vectores VR, VS y el que une dos puntos cualesquiera
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de R y S. El área de la base, que sería el paralelogramo que obtenemos como cara inferior
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de este prisma, se puede obtener como el módulo del producto vectorial de los vectores que
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definen la cara inferior, que son precisamente VR y VS. Por lo tanto este cociente efectivamente
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nos dará la distancia deseada. Observemos que todos los datos necesarios para aplicar
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la fórmula se pueden obtener fácilmente de las ecuaciones de las rectas cuya distancia
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queremos calcular, los vectores directores y los puntos de cada una de ellas.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Guerrero López, Jaime
- Subido por:
- Jaime G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 8
- Fecha:
- 28 de agosto de 2023 - 9:39
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
- Duración:
- 03′ 15″
- Relación de aspecto:
- 1.29:1
- Resolución:
- 956x742 píxeles
- Tamaño:
- 4.94 MBytes