Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

AN2. 1.2 Asíntotas. Estudio analítico - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 12 de noviembre de 2024 por Raúl C.

11 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12

arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17

de la unidad AN2 dedicada a las aplicaciones de los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:22

analíticamente las asíndotas. En esta videoclase vamos a estudiar analíticamente las asíndotas 00:00:33

de una función. Si en la videoclase pasada lo que hacíamos era observar la gráfica de una 00:00:50

función y describir sus características, en este caso las asíntotas, gráficamente lo que veíamos 00:00:55

en la gráfica, en este caso lo que queremos hacer es el proceso contrario. De la función lo que 00:01:00

tenemos será la expresión algebraica, la fórmula, y analíticamente, utilizando el álgebra y el 00:01:05

cálculo sobre todo, lo que buscaremos son las ecuaciones de las asíntotas y con éstas haremos 00:01:12

la descripción y con ésta podremos hacer la representación gráfica. Así que en la videoclase 00:01:16

pasada íbamos de la gráfica a la descripción, en este caso de la fórmula con la descripción 00:01:21

pasaremos a hacer, o nuestro objetivo será poder en algún momento hacer la gráfica, 00:01:27

representar la gráfica de la función. Vamos a comenzar, como veis aquí, por las asíntotas 00:01:32

verticales. Os recuerdo que las asíntotas verticales eran rectas, verticales, y que 00:01:37

tenían todas ellas ecuación x igual a x0, la abstisa a la que corresponde esa recta 00:01:41

vertical. Pues bien, para que una función tenga en x igual a x0 una asíntota vertical, lo que debe 00:01:47

cumplirse es que alguno de los dos límites laterales, cuando x tendrá x0 por la izquierda, 00:01:54

por la derecha o bien ambos, sean infinitos, como veis aquí. Pongo infinito porque es lo mismo que 00:01:59

sea más infinito o menos infinito. Esto no supone ninguna diferencia. Existirá asíntota vertical. 00:02:05

E insisto, basta con que uno de los dos límites laterales sea infinito, más infinito o menos infinito. 00:02:11

Típicamente en los casos que nos encontremos serán ambos y no necesariamente serán ambos más infinito o ambos menos infinito, 00:02:18

sino que en muchas ocasiones será uno de ellos más y el otro menos infinito. 00:02:25

En cuanto a la posición relativa de la función con respecto de la asíntota, en este caso, en las asíntotas verticales, 00:02:29

lo que estamos interesados es ver si conforme nos aproximamos a la asíntota, 00:02:35

la función diverge hacia más infinito, es creciente, o diverge hacia menos infinito, es decreciente, siempre y cuando vayamos de izquierda a derecha. 00:02:39

Esto lo podremos hacer algebraica o numéricamente. 00:02:47

Y lo único que necesitamos es determinar, como decía, si la función diverge hacia más infinito o diverge hacia menos infinito, conforme nos aproximamos hacia la función. 00:02:50

Esto también podremos hacerlo no algebraica o numéricamente, sino utilizando la monotonía de la función. 00:03:01

Cuando más adelante estudiemos dentro de una o dos unidades las derivadas y con ellas caractericemos la monotonía de la función, veremos que nos es posible determinar la forma en la que se aproxima la función a las asíntotas, la posición relativa, utilizando la monotonía. 00:03:06

Con esto que he comentado, ya podríamos resolver en clase estos ejemplos. Los resolveremos posiblemente en alguna videoclase posterior. 00:03:24

Pasamos a continuación al estudio de las asíntotas horizontales. 00:03:33

Como recordaréis, lo mencioné en la videoclase anterior, 00:03:37

éstas se determinan en los límites x tendiendo a menos infinito y x tendiendo a más infinito. 00:03:39

Pues bien, para que una función real de variable real f de x tenga asíntota horizontal en cualquiera de estos límites, 00:03:45

la ecuación y igual a y sub cero, ésta será la ordenada que estamos probando, 00:03:51

lo que necesitamos es que al determinar esos límites, cuando x tenda a menos infinito, cuando x tenda a más infinito, 00:03:55

obtengamos un valor finito igual a ese valor y sub cero. Si estos límites, cualquiera de ellos, 00:04:01

es infinito, en ese extremo no habrá asíntota horizontal. Si obtenemos un valor finito, 00:04:07

en ese caso sí habrá asíntota horizontal y la ecuación será igual al valor del límite que 00:04:12

hayamos obtenido. En lo que respecta a la posición relativa de la función con respecto de la asíntota, 00:04:17

en el caso de las asíntotas horizontales diremos que nos aproximamos, que la función se aproxima 00:04:22

a la asíntota bien por abajo, bien por arriba. Bien por abajo cuando tiende a este valor y sub 0 00:04:27

por valores desde valores más pequeños que y sub 0. Bien por arriba cuando la función va tomando 00:04:34

valores cada vez más próximos a este y sub 0 pero valores mayores, valores superiores a este. Esto 00:04:39

podremos hacerlo algebraica unimédicamente determinando los límites cuando x tiende a más 00:04:45

o a menos infinito donde exista la asíntota de la función menos la ecuación de la asíntota. Estos 00:04:50

límites serán 0, puesto que la función tiende a aproximarse infinitamente a la asíntota, pero lo 00:04:56

que tenemos que hacer es determinar el signo, si es 0 positivo, 0 desde arriba, o 0 negativo, 0 desde 00:05:02

abajo. También se puede hacer hallando algebraico-numéricamente los propios límites de la 00:05:08

función y determinando si son estos valores y0 que he mencionado anteriormente, pero si es y0 00:05:13

desde valores superiores o y0 desde valores inferiores. En algunas ocasiones esto es más 00:05:19

fácil o se puede hacer fácilmente en comparación con la anterior. En cualquier caso, igual que 00:05:24

mencioné en el caso de las asíndotas verticales, podremos mediante la monotonía de la función que 00:05:29

estudiaremos con las derivadas determinar qué es lo que ocurre, cómo se aproxima la función a la 00:05:35

asíndota en cualquiera de los dos límites, uno el otro o los dos. Con esto que hemos mencionado ya 00:05:41

se puede resolver estos ejemplos que resolveremos en clase, posiblemente resolveremos en alguna 00:05:47

habido clase posterior. En lo que respecta a las asíntotas oblicuas, para decidir si existen o no 00:05:52

en cualquiera de los límites x tendiendo a menos infinito, x tendiendo a más infinito, necesitamos 00:05:59

calcular dos límites. En primer lugar, un límite que llamaremos m, límite cuando x tende a menos 00:06:05

infinito o a menos infinito, del cociente de la función entre x, que debe ser un número real, 00:06:11

debe no ser infinito. Si obtenemos infinito, podemos descartar que haya asíntota oblicua en 00:06:17

el límite que estamos calculando. Calculado este valor de m que tome un valor finito, calcularemos 00:06:23

n como el límite cuando x tende a menos infinito o a más infinito, insisto, dependiendo de en cuál 00:06:29

de los dos extremos estemos determinando la existencia de la asiento tablicua, de la función 00:06:34

menos m por xm, este valor que hemos determinado anteriormente. Igualmente, para que exista asiento 00:06:39

tablicua, no sólo m sino también n deben tomar valores finitos. Si uno de estos dos límites es 00:06:46

infinito, entonces la función no tiene asíntota oblicua en donde estemos determinando los 00:06:52

límites. En caso afirmativo, la ecuación de la asíntota oblicua será y igual a m, 00:06:58

este primer valor numérico que hemos determinado de esta manera, por x más n, el segundo valor 00:07:03

que hemos determinado de esta manera. En lo que respecta a la posición relativa de la 00:07:09

función con respecto de la asíntota, podremos determinarla hallando algebraicamente o numéricamente 00:07:13

los límites en más o en menos infinito, dependiendo de dónde queramos hacer el estudio, de la función 00:07:18

menos la ecuación de la asíntota, menos m por x más n, obtendremos valores que serán cero y veremos 00:07:24

si son cero desde valores positivos, en cuyo caso se aproximará desde arriba, o cero desde valores 00:07:30

negativos, en cuyo caso se aproximará por abajo. O bien, como he mencionado también en los casos 00:07:36

anteriores, mediante la monotonía de la función, para lo cual tendremos que haber llegado a la 00:07:41

unidad de derivadas y de sus aplicaciones. Con esto que hemos visto ya se podría estudiar 00:07:45

analíticamente las asíntotas oblicuas de estas funciones, que veremos en clase, posiblemente 00:07:50

veremos en alguna videoclase posterior. Vamos a finalizar esta videoclase caracterizando ciertas 00:07:55

funciones elementales, aquellas que son las más probables que nos vayamos a encontrar a lo largo 00:08:02

de este curso. Son las funciones polinómicas y las funciones racionales. En el caso de las 00:08:06

funciones polinómicas son las más sencillas, puesto que no tienen asíntotas de ningún tipo. 00:08:11

Y así que, si se nos pide estudiar analíticamente las asíntotas de esta función f de x, por el hecho de ser polinómica, no tiene asíntotas de ningún tipo. 00:08:16

Es así de sencillo. 00:08:24

En el caso de las funciones racionales, como ves aquí, podrían tener asíntotas verticales en los ceros del denominador, 00:08:25

siempre y cuando no sean simultáneamente ceros del numerador, y en ese caso, al calcular los límites, nos saliera un valor finito, no infinito, 00:08:32

en cuyo caso la función tendría un punto vacío, pero eso no es una asíntota. 00:08:39

Así pues, si tuviéramos que estudiar las asíntotas verticales de estas funciones g y h, 00:08:43

g podría tener asíntotas verticales en x igual a 0, x igual a menos 1, los dos ceros del denominador, 00:08:50

y la función h podría tener una asíntota vertical en x igual a 2, el cero del denominador. 00:08:57

Habría que calcular los límites y comprobar si son infinito, en cuyo caso sí hay asíntota vertical, 00:09:02

o bien un valor finito, en cuyo caso no lo hay, habrá un punto vacío. 00:09:07

En lo que respecta a las asíndotas horizontales y oblicuas, de existir en uno de los límites x tendiendo a más infinito o a menos infinito una asíndota, en el otro extremo también la habrá y será la misma, esto es, con la misma ecuación. 00:09:12

Por eso menciono, tienen la misma asíndota horizontal en ambos límites x tendiendo a más o a menos infinito, tienen la misma asíndota oblicua en ambos límites x tendiendo a más o a menos infinito, porque de existir será la misma en ambos dos extremos. Obvio no habrá ninguna en ninguno de los dos. 00:09:26

Bueno, podemos caracterizar si hay asíntota horizontal u oblicua sin más que comparar los grados del numerador y del denominador. 00:09:41

Como veis aquí, para que haya asíntota horizontal necesitamos que el grado del numerador no sea mayor que el del denominador, 00:09:48

esto es, el grado del numerador tiene que ser menor o igual que el del denominador. 00:09:55

En ese caso, sí habrá asíntota horizontal, la misma en ambos límites. 00:10:00

En cuanto a asíntota oblicua, necesitamos que el grado del numerador sea una unidad, exactamente un denominador. 00:10:04

Así pues, no habrá asíntotas ni horizontales ni oblicuas en los casos en los que el grado del numerador sea más de una unidad mayor que el del denominador. 00:10:11

En cualquier otro caso, habrá asíntota oblicua o bien habrá asíntota horizontal. 00:10:19

En el caso de esta función g de x, vemos como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, 00:10:23

así que en este caso g de x tendrá asíntotas horizontales, la misma cuando x tendrá más y a menos infinito. 00:10:30

Esta función h de x, vemos como el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador, 00:10:36

Así pues, no tendrá asíndotas horizontales y sí tendrá asíndotas oblicuas, la misma, cuando X tendrá más y a menos infinito. 00:10:41

Estos ejemplos los resolveremos con más cuidado, evidentemente únicamente G y H en clase, podrán ser resueltos en el futuro en alguna videoclase posterior. 00:10:48

En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:11:00

Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:11:06

No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:11:11

Un saludo y hasta pronto. 00:11:16

Idioma/s:

Materias: