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Dominios de funciones con radicales - Contenido educativo

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Subido el 10 de diciembre de 2020 por Patricia De La M.

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Hola chicos, vamos a ver cómo se puede aplicar las inequaciones de segundo grado al cálculo de dominios. 00:00:02
Aquí tenemos una función dada por una raíz cuadrada de un polinomio de grado 2. 00:00:10
Vamos a ver cuál sería el dominio de esta función. 00:00:16
No pretendemos calcular, no pretendemos dibujarla ni saber cómo es la gráfica, 00:00:19
pero sí que vamos a ver en qué partes de x, en qué intervalos de la x existe función. 00:00:25
Puesto que como es una raíz cuadrada, no existirá donde la parábola del interior, la parábola del radicando, pues salga negativa. 00:00:32
El valor de las x que hagan negativos el x cuadrado menos 3x menos 10, pues no podrán calcularse, por tanto no pertenecerán al dominio. 00:00:43
Esos valores de x, como hacen negativa la frábola, pues no se podrán calcular la raíz cuadrada, por tanto, no pertenecerá al dominio. 00:00:54
Y por ahí la función no existirá. 00:01:03
Pues vamos a ello. 00:01:06
Lo que pretendemos es ver dónde el x cuadrado menos 3x menos 10 es mayor o igual que 0. 00:01:07
Cogemos el igual a 0, puesto que la raíz de 0 también existe, con lo cual nos valen los valores de x que anulen al polinomio. 00:01:14
Y queremos que sea positivo, positivo o cero. 00:01:21
Vale, para ver el signo, primero lo que hacemos es buscar los ceros o raíces del polinomio, 00:01:26
que van a ser los puntos que cumplan esta ecuación, las x que cumplan esta ecuación. 00:01:32
Entonces, aplicamos la fórmula de segundo grado, menos b, más 3, menos, más menos raíz cuadrada, 00:01:39
de 3 al cuadrado, menos 4a por c, 4a, 1 por c, menos 10, partido 2 por a. 00:01:47
Esto vale 3 más menos raíz cuadrada de 49, porque tengo 9 más 40, menos 4 por menos 10, 40. 00:02:01
Y entonces tenemos aquí 3 más menos 7, partido por 2. 00:02:11
Tenemos un primer valor que sería 3 más 7, 10 medios, que es 5, y otro segundo valor que sería 3 menos 7 menos 4 partido por 2, menos 4 partido por 2, que es menos 2. 00:02:14
Por tanto, nuestros valores que anulan la parábola son el x igual a 5 y el x igual a menos 2. 00:02:31
Vale, pues ahora nos disponemos a dibujar la recta real del eje x y dibujamos la posición del menos 2, 00:02:43
este sería el 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y el 5. 00:02:56
Estos valores dividen a la recta del eje x en tres zonas, la zona desde menos infinito hasta menos 2, 00:03:01
desde menos 2 hasta 5 y desde 5 hasta infinito. 00:03:09
Bueno, pues vamos a ver el signo que tiene nuestro polinomio para x igual a valores que estén entre menos infinito y menos 2, por ejemplo, el menos 3. 00:03:13
Y entonces sustituimos el menos 3 donde esté la x de nuestra parábola. 00:03:26
¿Veis dónde está la x? Aquí y aquí hemos sustituido el menos 3 con paréntesis puesto que es negativo. 00:03:34
Y aquí nos sale un 9, aquí nos salen menos por menos más, 3 por 3, 9, y menos 10. 00:03:41
Y esto nos sale 18 menos 10, sale mayor que 0 positivo. 00:03:48
Positivo, por tanto, en esta zona, desde menos infinito hasta menos 2, la parábola o el polinomio de grado 2 es positivo. 00:03:52
Ahora vamos a estudiar desde menos 2 hasta 5. 00:04:01
Probamos un valor que esté entre menos 2 y 5. 00:04:05
Por ejemplo, el 0. El 0 sería el más fácil, aunque podemos sustituir cualquier valor en la parábola. 00:04:08
Así que 0 al cuadrado menos 3 por 0 menos 10, ¿veis? Donde está la x hemos puesto un 0. 00:04:15
Y calculamos y sale 0, menos 0 y menos 10. Y claramente es menor que 0, negativo. 00:04:21
Así que aquí, en este intervalo, la parábola vale valores negativos. 00:04:29
después pasa por 0 00:04:34
en el 5 pasa por el valor 0 00:04:37
cuando la x es 5 00:04:40
y volverá a valer positivo 00:04:41
pero vamos a comprobarlo 00:04:43
la x la sustituimos por un valor 00:04:44
que esté entre 5 e infinito 00:04:47
y entre 5 e infinito sería 00:04:49
por ejemplo el 6 00:04:51
6 al cuadrado menos 3 por 6 00:04:53
menos 10 00:04:55
y nos vale 36 menos 18 00:04:56
menos 10 00:04:59
aquí nos queda un 18 menos 10 00:05:01
positivo, mayor que cero. Por tanto, en esta zona de las x la parábola es positiva. Entonces 00:05:03
ahora, ¿dónde está nuestra solución? Pues nuestra solución está en los valores de 00:05:13
x que hacen positivo el radicando, que es la parábola. Todo esto, toda esta zona y 00:05:19
toda esta zona, y ahora miramos a ver si nos vale el 5 y el menos 2, que si nos vale, puesto 00:05:29
que son justo los puntos que anulan al polinomio de grado 2, y como me vale el igual a 0, puesto 00:05:34
que las raíces de 0 existen, pues cogemos el 5 y cogemos el menos 2, así que la solución 00:05:40
sería, solución, las x que pertenecen a, desde menos infinito hasta menos 2, incluido, 00:05:47
unión incluido el 5 hasta infinito y habríamos terminado porque esto es justo el dominio 00:05:58
lo podemos poner como dominio de f es igual a menos infinito hasta menos 2 cerrado 00:06:04
unión desde 5 hasta infinito abierto 00:06:11
vamos a estudiar el dominio de esta función que es una raíz cuadrada de un polinomio de grado 2 00:06:15
Y como siempre, el dominio de las raíces, pues tienen que ser las x que hacen que este polinomio sea mayor o igual que cero. 00:06:23
Porque ya sabéis que las raíces se pueden calcular cuando lo de dentro es positivo. 00:06:37
Las raíces cuadradas, las raíces cuartas, las raíces de índice par, solo existen cuando el radicando es positivo o cero. 00:06:43
Por eso las soluciones de esta inequación son las soluciones de nuestro dominio. 00:06:50
Vale, pues entonces lo que vamos a hacer ahora es estudiar, como siempre, 00:06:59
dónde se anula exactamente el polinomio. 00:07:02
Y el polinomio es un polinomio de grado 2 incompleto. 00:07:06
Por tanto, lo que hacemos en este caso es sacar la x factor común, si os acordáis. 00:07:13
3 menos x, x factor común. 00:07:18
Por tanto, nos sale que una x es 0 y la otra x es, igualando esto a 0, pues 3 menos x igual a 0, 3 igual a x. 00:07:21
Pasando la x para el otro lado, por tanto, la otra raíz sería 3. 00:07:35
Tenemos raíz 0 y 3. 00:07:40
Vale, pues ahora hacemos la recta real del eje x y dibujamos el 0 y el 3 y nos divide a la recta real del eje x en tres zonas, desde menos infinito hasta 0, desde 0 hasta 3 y desde 3 hasta infinito. 00:07:42
y ahora vamos a probar el signo que tiene el polinomio de grado 2 00:08:06
vamos a ver el signo que tiene dentro de los tres intervalos que tenemos 00:08:12
bueno, la semirrecta desde menos infinito a cero, desde cero hasta tres y desde tres hasta infinito 00:08:19
vale, para eso cogemos un punto que esté en este intervalo 00:08:23
desde menos infinito hasta cero, podemos por ejemplo coger el menos uno 00:08:28
Y lo sustituimos en la x del polinomio de segundo grado, por menos 1 menos menos 1 al cuadrado. 00:08:32
Recordad que hay que sustituir la x cuando es menos 1 con paréntesis. 00:08:41
Donde está la x hemos puesto un menos 1 y todo lo demás igual. 00:08:45
Fijaros que hay que tener mucho cuidado con los signos. 00:08:50
3 por menos 1 sería menos 3 y luego aquí hay que hacer primero el cuadrado, sería menos menos 1 al cuadrado es 1. 00:08:53
Por tanto, esto queda menos 4, es decir, negativo. 00:09:01
Como sale negativo, esta parte es negativa. 00:09:04
Ahora vamos a coger un punto que esté entre el 0 y el 3. 00:09:09
No nos vale ni el 3 ni el 0 porque justo ahí el polinomio vale 0 y ya lo sabemos. 00:09:12
Entonces, por ejemplo, podemos coger el 1 o cualquiera. 00:09:18
Pero siempre nos interesa más coger valores enteros, claro. 00:09:21
Y el 1 sería el más fácil. 00:09:25
Sustituimos el 1 en la x del polinomio. 00:09:27
3 por 1 menos 1 al cuadrado 00:09:29
calculamos, nos sale 3 menos 1 00:09:34
y esto sale un 2 que es mayor que 0 00:09:37
es decir, positivo 00:09:39
nuestra parábola, nuestro polinomio de grado 2 00:09:41
es positivo en este intervalo, desde 0 hasta 3 00:09:45
ahora en 3 cambiaría de signo otra vez 00:09:47
y pasaría a ser negativo, pero vamos a comprobarlo 00:09:50
cogiendo un valor que esté más allá del 3 00:09:52
desde 3 hasta infinito, por ejemplo, el 4 00:09:55
3 por 4 menos 4 al cuadrado 00:09:58
Hemos sustituido la x por un 4 00:10:03
Y estamos ahora calculando y sale 12 menos 16 menos 4 00:10:05
Es decir, negativo 00:10:12
Por tanto, en esta zona es negativo nuestro polinomio 00:10:14
Bueno, pues ya sabemos qué zona nos interesa 00:10:17
Nos interesa la zona, ¿verdad? 00:10:21
Donde el polinomio, es decir, el radicando de nuestra función 00:10:23
el radicando es positivo y también nos valen los ceros, así que la zona que nos interesa es toda esta, incluido el 3, incluido el 0. 00:10:28
Ese sería el resultado de la inequación y por tanto también el dominio de nuestra función. 00:10:39
El dominio de la función original es desde 0 incluido hasta 3 incluido y ya estaría. 00:10:45
Este sería el dominio, esta función solo existe desde 0 hasta 3 00:10:55
Veamos ahora el dominio de esta función 00:11:01
Resulta que como es la raíz cuadrada de un polinomio de grado 2 00:11:09
Pues al ser raíz cuadrada par tenemos que ver cuando esto, el polinomio, lo de dentro es mayor o igual que 0 00:11:15
Como siempre 00:11:25
Para ver el signo de esta parábola tenemos que ver dónde cambia de signo, que es donde se anula 00:11:26
Entonces intentamos resolver esta ecuación de segundo grado que es incompleta 00:11:36
Y se hace despejando el x al cuadrado 00:11:42
Al despejar x al cuadrado nos damos cuenta de que no podemos calcular la raíz cuadrada de menos 1 00:11:47
Porque no existe 00:11:53
Por tanto, esta ecuación de aquí no tiene solución. 00:11:56
¿Qué significa esto? 00:12:01
Pues significa que la parábola no toca nunca al eje x. 00:12:02
Está siempre o por encima o por debajo. 00:12:07
Es decir, que su signo es siempre el mismo. 00:12:10
O es siempre positiva o es siempre negativa. 00:12:14
Porque nunca corta al eje x, nunca vale cero de altura, ¿verdad? 00:12:18
Nunca el valor de x al cuadrado más 1 vale 0. 00:12:22
Entonces, ¿cómo sabemos que es toda positiva o toda negativa? 00:12:27
Pues nos fijamos en el coeficiente principal, el coeficiente principal de la parábola, 00:12:31
que es el 1 que hay delante del x al cuadrado, ¿verdad? 00:12:36
Ese coeficiente que es positivo nos indica que la parábola tiene ramas hacia arriba, es de este estilo, 00:12:39
y por tanto, pues mira para arriba, ¿verdad? 00:12:45
Y como sabemos que no corta al eje x, pues está siempre por encima de él. 00:12:51
Esta concretamente, bueno, pues es simétrica, ¿verdad?, respecto del eje y. 00:12:58
Pero sabemos que al no cortar, ¿verdad?, al eje x, pues es siempre positiva. 00:13:02
Porque si tuviera las ramas hacia abajo, pues no podría estar por encima, estaría por debajo. 00:13:08
¿Verdad? 00:13:14
Así que el hecho de que el coeficiente principal de x al cuadrado sea 1 mayor que 0, 00:13:15
El a es mayor que cero, pues nos indica que la parábola es sonriente, ¿verdad? Por decirlo de alguna forma. 00:13:21
Así que x al cuadrado más uno siempre es positivo. 00:13:28
Ni siquiera cero, ¿verdad? 00:13:38
Así que si siempre es positivo, ni siquiera cero, eso significa que todos los valores de x nos valdrán. 00:13:40
Porque nunca se anula y nunca vale cero. 00:13:48
Nunca es negativo tampoco. 00:13:51
Así que dominio de nuestra función original es todo R, sin ningún problema. 00:13:53
Veamos ahora otro ejemplo, quizá también límite. 00:14:01
Pongamos por ejemplo esta parábola, la raíz cuadrada de esta parábola. 00:14:08
Vamos a ver qué ocurre aquí. 00:14:19
Pues como siempre tenemos que estudiar cuando lo de dentro, el radicando, es mayor o igual que cero. 00:14:20
Y esta ya es una parábola, ¿verdad? Completa. Así que vamos a buscar los puntos donde cambia de signo, que es justo donde se anula, ¿verdad? Y utilizamos la fórmula de segundo grado. 00:14:27
Menos b, más menos raíz cuadrada de b al cuadrado, menos 4 por a y por c, partido 2 por a. 00:14:40
Nos queda aquí un 0, porque es 16 menos 16, 0, partido por 2, menos 4 partido por 2. 00:14:52
Solo hay una, ¿verdad? Porque sería más cero y menos cero. Así que tenemos que tenemos el menos cuatro partido por dos, que es menos dos. 00:15:03
Cuando tenemos una raíz única en un polinomio de grado dos, ¿verdad? Sabemos que se dice que es doble, ¿verdad? Porque está dos veces el factor. 00:15:14
Es decir, este polinomio realmente era una igualdad notable. Era x al cuadrado más 4x más 4 viene del binomio x más 2 al cuadrado. 00:15:23
Bueno, pues si os fijáis, lógicamente este polinomio es un cuadrado y por tanto va a ser siempre positivo, aunque tiene el caso del 0 exactamente en menos 2, pero siempre será positivo porque solamente toca al 0 en un punto. 00:15:38
la parábola esta es algo así como esto 00:16:02
toca justo en un punto, es tangente al eje X en el menos 2 00:16:09
así que esta parábola siempre es positiva 00:16:17
lo vemos porque solo tiene un punto de corte con el eje X 00:16:22
y entonces lo de dentro siempre va a ser positivo o cero 00:16:27
y como el cero también nos vale, pues el dominio es todo R 00:16:32
¿Vale? Otra vez, todas, sin problemas. 00:16:36
El estudio de este dominio, de esta función, es bastante fácil porque simplemente tenemos una raíz cuadrada de un polinomio de grado 1 00:16:41
y, bueno, lo único que como está en el denominador, ¿verdad?, está en una fracción y abajo tenemos la raíz, pues no se podrá anular la raíz. 00:16:57
Es decir, porque la raíz de 0 es 0, pero claro, al dividir por 0, pues no nos valdría. 00:17:08
Con lo cual, tenemos que ver cuándo x menos 7 es mayor que 0. 00:17:16
Por la raíz no habría problema a la hora del igual, pero por ser denominador no nos vale. 00:17:23
Por tanto, simplemente las soluciones de esta inequación serían las soluciones del dominio de esta función. 00:17:29
Y simplemente, como es de primer grado, tendríamos que despejar la x, que con un pasito de nada ya se despeja y ya nos sale directamente el dominio. 00:17:35
El dominio de esta función sería todas las x que están entre 7 y el infinito, que son los mayores de 7, ¿veis? 00:17:44
Y no nos vale el 7, por tanto, abierto. Y los infinitos abiertos también. Así que sería así de fácil. 00:17:55
El dominio de esta otra función es muy fácil porque si os dais cuenta, como es raíz cúbica de índice impar, 00:18:01
pues no nos importa que lo de dentro de la raíz sea negativa. 00:18:13
Entonces a la hora de calcular el dominio nos da igual que la parábola, el polinomio de grado 2 que hay aquí, pueda valer negativo. 00:18:17
porque la raíz cúbica de valores negativos sí que existen 00:18:27
así que el dominio de esta función directamente es todo R, no hay ningún problema. 00:18:32
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
PATRICIA DE LA MORENA GONZALEZ
Subido por:
Patricia De La M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
161
Fecha:
10 de diciembre de 2020 - 1:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DE CERVANTES
Duración:
18′ 40″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
533.42 MBytes

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