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Regla de L'Hôpital - Contenido educativo

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Subido el 28 de enero de 2026 por Roberto A.

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A ver, ¿podéis cerrar la puerta, chavales? Sí. Venga, hoy es 27, ¿verdad? 27 de enero 00:00:00
del 2026. Y hoy, ¿qué quiero que veáis? Hoy he repartido la ficha de las derivadas 00:00:10
que deberíais de haber revisado para el día de hoy, ¿vale? 00:00:20
Entonces, ahí tenéis la función simple y la función compuesta. 00:00:24
A mí la que realmente me interesa que aprendáis es la función compuesta, ¿vale? 00:00:32
¿Por qué? Porque ahí utilizamos la regla de la cadena 00:00:38
que es tan importante y que a la mayoría de ustedes se os suele olvidar, ¿vale? 00:00:41
entonces 00:00:48
luego súper importante 00:00:49
las reglas de derivación 00:00:52
abajo del todo 00:00:55
están las reglas de derivación 00:00:56
que la tenéis que recordar 00:00:58
la derivada de una suma es la suma de derivada 00:01:00
la derivada de una resta es la resta de derivada 00:01:02
pero sin embargo en el producto, cuando yo tengo 00:01:04
un producto de funciones 00:01:06
y tengo que hacer la derivada 00:01:07
es la derivada del primero 00:01:10
por el segundo sin derivar 00:01:12
más la primera 00:01:14
sin derivar por la derivada del segundo 00:01:16
¿De acuerdo? Y luego la derivada del cociente, si os fijáis, es muy parecida al producto, pero en vez de un más es un menos. 00:01:18
Y luego tenemos que dividir por el cuadrado de la segunda sin derivar. ¿De acuerdo? 00:01:27
Y luego el producto por un número, es decir, si yo tengo un número que está multiplicando una función, su derivada es ese número por la derivada de la función. 00:01:33
Y luego la composición de funciones, que es la derivada de la primera función con la otra función f de x por la derivada de f de x, que es la famosa regla de la rueda, que es la que soléis olvidar. 00:01:41
Entonces, chavales, las tablas de derivada son estas de aquí, ¿de acuerdo? Y estas reglas de derivación son súper importantes. Entonces, ¿a qué quiero dedicar el día de hoy? Hoy vamos a ver, yo confío en que estáis mirando los ejercicios que estoy subiendo al aula virtual, ¿vale? Son muchos más de los que podemos ver aquí. 00:02:05
Entonces, la idea es que lo tenéis resuelto, que le echéis un vistazo y que me preguntéis las dudas, ¿de acuerdo? Entonces, también he subido al aula virtual, pero en el tema 8, porque así lo tiene el libro, es lo de la regla de lópita, ¿te acuerdas, Rodrigo, que tú me preguntabas? 00:02:25
¿Vale? Entonces, fijaros, chavales, en... ¡Guau! Esto es ciencias sociales, este no es. A ver un momento, impistolín, como me digas. Bueno, me voy a ir mejor aquí. 00:02:47
Aquí, chavales, ejercicios del hópital, ¿vale? 00:03:02
Esto está subido al aula virtual. 00:03:06
Entonces, ¿qué es lo que me dice la regla del hópital, chavales? 00:03:09
Pues que si yo tengo dos funciones continuas en el intervalo A-B cerrado, 00:03:14
y esto es súper importante, fijaros, 00:03:18
F-G son continuas en un intervalo cerrado, 00:03:20
pero sin embargo, para que sean derivables, 00:03:23
tígame el chicle, por fin, 00:03:25
tiene que ser en un intervalo abierto, ¿vale? 00:03:26
Ahí ves, los extremos muchas veces no tienen por qué ser derivables, ¿vale? 00:03:29
Que esto ya lo veremos. 00:03:33
Entonces, existe un punto intermedio de ese intervalo C, 00:03:35
donde si f de C es igual a g de C es igual a cero, ¿vale? 00:03:39
Es la famosa indeterminación cero partido de cero. 00:03:44
Y la derivada del cociente es distinto de cero, 00:03:48
pues si x es igual a c, si existe el límite 00:03:52
tanto de L de F' partido de G' en C, 00:03:56
pues existe el límite de F partido de G en C. 00:04:02
¿Qué significa todo esto que a lo mejor he escrito así es un lío? 00:04:06
Pues que si yo hago el límite cuando X tiende a C de F partido de G, 00:04:10
y me sale al sustituir 0 partido de 0 o infinito partido de infinito, 00:04:16
yo puedo utilizar la regla de L'Hôpital. 00:04:21
¿Y la regla de L'Hôpital qué me dice? 00:04:24
Pues que esto es igual al límite pero cada una de las derivadas 00:04:25
Es decir, la derivada del numerador partido la derivada del denominador 00:04:30
No os confundáis porque hay mucha gente que aquí lo que aplica es 00:04:34
La hoja que os hemos pasado no es la regla de derivación de un cociente 00:04:37
¿Vale? Es decir, nosotros tratamos de forma independiente el numerador del denominador 00:04:43
¿De acuerdo? Entonces, ¿por qué es lo que nos dice arriba? 00:04:48
pues resulta que esta derivada de g' en c 00:04:50
pues tiene que ser distinta de 0 00:04:55
porque si no estamos dividiendo por 0 00:04:57
¿vale chavales? 00:04:58
¿sí? 00:05:00
entonces cuando aplicamos la regla de L'Hôpital 00:05:00
cuando tenemos 0 partido de 0 00:05:04
infinito partido de infinito 00:05:06
¿vale? 00:05:08
entonces yo aquí fijaros 00:05:08
esto son 6 páginas llenas de ejercicio 00:05:10
¿de acuerdo? 00:05:14
llenas de ejercicio 00:05:15
entonces lo que yo quiero que veáis 00:05:15
y están aquí resueltos 00:05:17
es cuando aplicamos la regla de L'Hôpital. 00:05:19
Entonces, nosotros si tenemos este... 00:05:24
Este es que no se ve, se ve aquí mejor que aquí en la de este. 00:05:26
Este utiliza un boolean que se transparenta mucho. 00:05:31
No se veía dejar de hacerlo. 00:05:34
Bueno, yo tengo aquí este límite, ¿vale? 00:05:36
Y entonces es cuando x tiende a 2. 00:05:38
Y al final, si yo sustituyo, fijáis, 3 menos 2 es 1. 00:05:40
Y aquí con la x2, el 2 partido de 0 es infinito. 00:05:44
Entonces es un límite de 1 partido de infinito 00:05:47
que es un número e. Aquí, para hacerlo rápido, he aplicado las fórmulas, ¿de acuerdo? Que 00:05:49
se puede aplicar. Yo, como soy antifórmula, lo he hecho por rapidez, ¿vale? Yo le sumo 00:05:55
un 1, le resto un 1, hago todo el proceso. Pero si no, recordad que la fórmula es la 00:06:00
base menos 1 multiplicado por el exponente, ¿vale? Pero todo ello elevado a e, ¿vale? 00:06:05
Y si no, pues hago todo el proceso. ¿Qué ocurre? Que cuando yo hago esto otra vez, 00:06:11
si yo sustituyo 00:06:15
que lo tengo aquí abajo, si yo 00:06:17
sustituyo, ¿qué es lo que tengo, chavales? 00:06:19
Pues nada, 2 menos 2 es 0, 00:06:21
2 al cuadrado es 4, 00:06:23
4 menos 4 es 0. 00:06:25
Tengo ahí, chavales, un 0 00:06:26
partido de 0. Es una indeterminación. 00:06:28
¿De acuerdo? Entonces, yo lo que 00:06:31
sí tengo que expresar siempre, chavales, 00:06:32
es en la igualdad tengo que poner 00:06:34
lo vital. Y fijaros cómo se escribe. 00:06:36
L apóstrofe 00:06:38
HO es como hospital, pero 00:06:39
sin la S, como lo digo yo. 00:06:42
y lo único que tiene es el circunflejo 00:06:43
al lado, ¿vale? Entonces 00:06:46
aplicamos la regla de L'Hôpital 00:06:48
y ¿qué es lo que hacemos? Derivamos esto de aquí 00:06:50
¿vale? ¿Cómo se ha derivado 00:06:52
esto de aquí? Esto es fijado 00:06:54
es la regla de derivación 00:06:56
de un número 00:06:58
por una función, el 2 00:07:00
se queda igual y ahora tengo que derivar 00:07:02
2 menos x, el 2 es una 00:07:04
constante, la derivada de una constante 00:07:06
es 0, ¿de acuerdo? 00:07:08
y la derivada de menos x es menos 1 00:07:10
¿vale? ¿sí o no? 00:07:12
lo que sí quiero que sepáis es una cosa 00:07:15
el significado de una derivada 00:07:17
¿qué significa la derivada 00:07:18
de una función en un punto? 00:07:20
geométricamente 00:07:23
a ver si el del dibujo lo sabe 00:07:23
wow 00:07:26
en parte 00:07:29
está relacionado pero realmente es 00:07:31
la pendiente 00:07:34
de la recta tangente 00:07:36
esto lo voy a repetir hasta la saciedad ¿vale? 00:07:38
La derivada de una función en un punto es la derivada de la resta tangente a la función en ese punto. 00:07:40
La pendiente de la resta tangente. 00:07:51
Entonces, si yo tengo una constante, una constante K, ¿cuánto vale la pendiente de una resta tangente a K? 00:07:53
Es esa misma, es cero. 00:08:01
Por eso la pendiente de una constante es cero. 00:08:03
Si yo tengo una función que es x, os acordáis, la función x es una recta que está a 45 grados, 00:08:09
es la bisectriz del primer y tercer cuadrante, ¿cuánto es la pendiente de una recta tangente a x? 00:08:18
1, ¿vale? Y de 2x, 2, y así sucesivamente. 00:08:26
Entonces, chavales, yo aquí aplico ya el hospital y veo que al final hago la derivada por un lado del numerador 00:08:31
y hago la derivada del denominador. 00:08:38
Esto de aquí, ¿cómo es la derivada? 00:08:39
De x cuadrado es 2 por x 00:08:41
y de 4 es 0. 00:08:43
Entonces tengo 2x. 00:08:45
¿Vale? 00:08:46
No me hagáis, 00:08:47
que es lo que me encuentro a veces en los exámenes, 00:08:47
que la gente me hace la derivada de un cociente. 00:08:49
Eso no es. 00:08:52
Es la derivada del numerador 00:08:53
partido de la derivada del denominador. 00:08:54
La derivada es la pendiente 00:08:59
de la derivada en un punto. 00:09:02
La derivada en un punto es 00:09:05
la pendiente de la 00:09:07
recta tangente 00:09:09
a esa función 00:09:11
en ese punto. 00:09:15
Es la pendiente de la recta tangente. 00:09:19
¿Vale? Y luego, eso sí, 00:09:22
Martín, eso va a estar relacionado 00:09:23
con el crecimiento 00:09:26
y decrecimiento. ¿Vale? Con el 00:09:27
crecimiento y decrecimiento. 00:09:29
¿Os imagináis un máximo en una función? 00:09:31
¿Os imagináis un máximo 00:09:34
en una función que es 00:09:35
una montañita? ¿Vale? 00:09:37
Entonces, si yo le hago una resta tangente a ese máximo por ese punto, ¿qué es una resta? ¿Cómo es esa resta? 00:09:39
Fijaros un máximo. A ver, derivadas, vamos a ver ejercicios del hospital, ¿vale? 00:09:52
Esto está subido ya en el aula, ¿eh? No sé si lo habéis podido... 00:10:05
Ejercicios del hospital, la regla. 00:10:10
Entonces, lo que quiero ver es que la derivada de una función, Jesús, en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha función en ese punto, ¿vale? 00:10:11
Y entonces, lo que yo quiero que veáis es una cosa. Si yo tengo, por ejemplo, una función tal que así, ¿vale? Estos chavales es un máximo relativo, ¿verdad? ¿Sí o no? 00:10:54
Si yo hago la pendiente por este máximo relativo de la resta tangente, ¿cuánto es la pendiente de esta resta? Cero. Entonces, ¿qué cumplen todos los máximos y todos los mínimos? Que su derivada es cero. Esto ya lo veremos en el siguiente tema, que es la aplicación, ¿vale? 00:11:10
Y luego, chavales, este tramo de aquí todo el mundo ve que es creciente, ¿sí? Si yo, por ejemplo, cojo este punto de aquí y yo le hago una recta tangente, está pendiente que es positiva o negativa. Positiva. ¿Vale? Entonces, ya veremos la aplicación de las derivadas, ¿vale? 00:11:35
Entonces, cuando yo hago la derivada de una función y veo su signo, ¿vale? Estoy viendo realmente la monotonía de esa función, el crecimiento y decrecimiento. Y también veréis los máximos y los mínimos, porque en todos los máximos y en todos los mínimos la pendiente es 0, ¿vale? Entonces, esta definición es súper importante. 00:11:54
Ahora para L'Hôpital no me hace tanta falta, ¿vale? 00:12:15
Pero lo que sí quiero que veáis es por qué la derivada de, por ejemplo, x es 1, ¿vale? 00:12:18
O la derivada de una constante es 0, ¿vale? 00:12:26
Entonces, chavales, yo aquí, fijaros, aplico L'Hôpital porque me sale 0 partido de 0. 00:12:29
Ya obtengo menos 1 medio y luego aquí pues ya sustituyo mi límite. 00:12:37
Entonces tengo e elevado a menos 1 medio. 00:12:42
Importante en el examen, e elevado a menos 1 medio es 1 partido por e elevado a 1 medio, 00:12:44
que es igual que 1 partido de raíz de e, y tengo que racionalizar, ¿vale? 00:12:50
Entonces tengo que multiplicar por raíz de e partido de raíz de e, y tengo raíz de e en 3, ¿vale? 00:12:55
Esto sería el 10. Hasta el menos 1 medio no te puedo poner el 10, ¿vale? 00:13:01
Sí, tenéis que racionalizar y ponerlo todo correcto. 00:13:08
Chavales, otra forma que se puede hacer esto de aquí, yo tengo mi función a, es una exponencial, 00:13:12
bueno, es una función compuesta por una base y un exponente. 00:13:18
Si yo hallo el logaritmo de a, no sé si recordáis las propiedades de los logaritmos, 00:13:22
es si yo hago el logaritmo de los dos, pues resulta que el exponente pasaba multiplicando, ¿os acordáis? 00:13:27
¿Sí? Pasaba multiplicando y tengo esto de aquí. 00:13:34
Entonces, si yo ahora hago el límite del logaritmo de a, es el límite de todo esto de aquí. 00:13:37
Es decir, 2 por logaritmo de 3 menos x partido de x al cuadrado menos 4. 00:13:44
Igual, sustituyo en 2, 3 menos 1. 00:13:49
3 menos 2, 1. 00:13:52
Logaritmo de 1, 0. 00:13:53
0 por 2, 0. 00:13:55
2 al cuadrado es 4, menos 4 es 0, 0. 00:13:56
Y entonces yo hago l'Hôpital, ¿vale? 00:13:59
¿Cuál es la derivada que tenéis ahí de un logaritmo neperiano? 00:14:01
la derivada de un logaritmo neperiano es 00:14:06
1 partido de la función 00:14:09
y ahora multiplico 00:14:10
lo tenéis ahí, por la derivada 00:14:12
de esa función, por lo tanto yo tengo 00:14:14
aquí el 2 que queda aquí 00:14:16
hago 1 partido de 3 menos x 00:14:18
y ¿cuál es la derivada de 3 menos x? 00:14:20
de una constante 0 00:14:23
y de menos x menos 1 00:14:24
¿lo veis? ¿cuál es la derivada de x cuadrado? 00:14:26
¿vale? el 4 es 0 00:14:30
y entonces yo ya tengo esto de aquí, esto lo bajo 00:14:32
aquí debajo y ya me queda 00:14:34
menos 2 partido de 2x 00:14:36
por 3 menos 6 00:14:38
3 menos 3 es 1 00:14:40
y 2 por 2 es 4 00:14:42
menos 2 cuartos es menos 1 00:14:46
¿lo veis chavales? 00:14:48
pues nada, como 00:14:50
yo ahora fijaros me da menos 1 medio 00:14:52
pero yo ahora lo que he hecho es el límite 00:14:54
del logaritmo neperiano de a y a mi lo que me 00:14:56
interesa es el límite de a 00:14:58
pues entonces el límite del logaritmo neperiano de a 00:14:59
es menos 1 medio ¿verdad? 00:15:02
Entonces, ¿qué ocurre? 00:15:04
El límite de un logaritmo hay una propiedad que es lo mismo que el logaritmo del límite. 00:15:05
Entonces, el logaritmo de A es igual a menos un medio. 00:15:10
Si yo ahora todo lo elevo al número E, 00:15:13
he elevado al logaritmo neperiano de A, como es inversa, me sale A, 00:15:16
y aquí tengo que he elevado a menos un medio. 00:15:20
¿Vale, chavales? 00:15:23
¿Sí? 00:15:24
¿Aría? 00:15:25
¿Aría? 00:15:26
¿Por qué? 00:15:27
Porque ahora estaría el E no se podría, ¿no? 00:15:29
Sí, sí, sí, lo he hecho arriba. 00:15:31
Ah, vale. 00:15:33
¿Vale? 00:15:33
Lo he hecho aquí, es otra forma de hacer el mismo ejercicio, ¿vale? 00:15:34
Venga, chavales, este ejercicio de aquí, este ejercicio de aquí siempre es igual, ¿vale? 00:15:38
Yo tengo x cuadrado menos 9 menos 4 partido de x menos 5. 00:15:43
Me piden allá el límite cuando x tiende a 5. 00:15:46
Sustituyo 25 menos 9 es 16, 16 a la raíz de 16 es 4, menos 4 es 0, 5 menos 5 es 0. 00:15:50
Entonces, ¿qué voy a aplicar ahí? Lópita, ¿vale? 00:15:58
¿Cómo se podría hacer este de otra forma? 00:16:00
Multiplicando arriba y abajo 00:16:03
por su conjugado, ¿vale? 00:16:05
Pero es mucho más tedioso, de hecho 00:16:07
creo que lo he hecho, sí, lo he hecho, ¿vale? 00:16:08
Entonces, yo aplico 00:16:11
lo vital y ¿qué ocurre? 00:16:12
La derivada de una raíz, chavales 00:16:14
lo tenéis ahí en la hoja, ¿eh? 00:16:17
La derivada de una raíz es siempre 00:16:18
1 partido de 2 00:16:20
por el contenido de la raíz 00:16:23
tal cual, y luego tengo que 00:16:25
multiplicar por la derivada 00:16:27
del radicando, ¿vale? Fijaros 00:16:28
1 partido de 2 la raíz 00:16:30
1 partido de 2 la raíz 00:16:33
por 00:16:35
la derivada de lo dentro que es 2x 00:16:38
a ver chavales 00:16:41
una cosa 00:16:43
que yo os quiero deciros 00:16:45
la derivada 00:16:47
de una raíz 00:16:50
wow 00:16:50
tenéis a menos yo algo 00:16:52
me falta mucha gente 00:16:56
derivada de una raíz 00:17:00
Entonces yo tengo, por ejemplo, la raíz de f de x. Es decir, yo tengo mi función g de x es igual a la raíz de f de x. 00:17:05
Entonces, ¿qué ocurre? Si yo derivo, g' de x es 1 partido de 2 raíz de f de x y aquí tengo que multiplicar por la derivada de lo de esto. 00:17:17
Eso es lo que aparece en las tablas. 00:17:29
¿Y por qué viene esto? 00:17:31
Porque no sé si recordáis también que si g de x, chavales, es igual a f de x elevado a n, 00:17:33
no sé si recordáis, su derivada es esta n pasa adelante, 00:17:40
multiplico a mi función por n menos 1, ¿lo veis? 00:17:50
¿Sí o no? 00:17:56
Por la derivada de la función. 00:17:57
¿Vale? 00:18:00
esa es la definición que aparece en las tablas 00:18:00
que os tenéis que saber 00:18:03
entonces si os fijáis 00:18:04
raíz de f de n 00:18:06
esto es lo mismo que f de n 00:18:08
elevado a un medio 00:18:11
si yo esto lo derivo 00:18:13
que sería si yo aplico esto de aquí 00:18:16
sería un medio 00:18:18
por f de n 00:18:19
elevado a un medio menos uno 00:18:21
por f' de n 00:18:24
no sé por qué he puesto n 00:18:27
estos son x 00:18:29
¿Vale? Estos son x, x, x y x. 00:18:30
Nada más que hay empate. 00:18:35
¿Y entonces qué ocurre? 00:18:36
Pues que ¿cuánto es un medio menos uno, chavales? 00:18:38
Menos un medio. 00:18:42
Menos un medio por f' de x. 00:18:44
Esto es igual a un medio. 00:18:48
Y ahora, como es exponente negativo, yo puedo hacer uno partido de f de x elevado a un medio, ¿verdad? 00:18:49
¿Sí o no? 00:18:56
Por f' de x. 00:18:57
Y f de x elevado a 1 medio que es la raíz, ¿verdad? La raíz de f de x, ¿vale? Entonces, o me aprendo esto, que por eso está, o si no utilizo lo de arriba. 00:18:58
pues sería un tercio 00:19:14
¿vale? sería un tercio 00:19:19
entonces cuando tengáis 00:19:21
fijáis en vuestra tabla 00:19:22
aparece la derivada 00:19:25
de una raíz cuadrada ¿vale? 00:19:27
yo ayer le dije, llamé a Hugo 00:19:29
digo mañana pregúntalo de la raíz cúbica 00:19:30
¿vale? y entonces ¿qué es lo que 00:19:32
ocurre? chavales cuando aparezcan 00:19:34
raíces que no sean cuadradas 00:19:36
utilizar esto de aquí 00:19:38
¿vale? esta parte 00:19:40
de aquí, es decir, sería un tercio 00:19:42
pues aplico, aquí sería un tercio 00:19:45
aquí sería un tercio menos uno 00:19:47
por esto de aquí, vale chavales 00:19:48
que es raíz sexta, pues esto sería 00:19:50
un sexto, vale 00:19:52
por cuadrada me lo dan 00:19:54
me lo dan, pero la cubita no me la dan 00:19:58
que la quiero hacer así 00:20:01
si lo que quiero que vean es de donde sale 00:20:02
esta, esta, esa regla 00:20:04
de derivación, vale 00:20:06
entonces cuando aparece una raíz 00:20:08
que no es cuadra, pues entonces 00:20:10
utilizar esta forma exponencial 00:20:12
que se llama. ¿Vale, chavales? 00:20:15
Searching, Searching Power Ramp. 00:20:17
Entonces, ¿qué más? 00:20:20
Pues nada, 00:20:22
yo aplico la derivada, 00:20:23
aquí la derivada de x menos 5 00:20:25
es un 1, lo que hago es 00:20:27
esto es el denominador, lo paso aquí, 00:20:29
este 2 se me va con este 2, 00:20:31
me queda x, sustituyo, un 5 00:20:33
y abajo un 4, 5 cuartos. 00:20:35
¿Lo veis? 00:20:37
Lo pito desde un puntazo, porque otra forma 00:20:40
hace, lo que veis que me va a salir lo mismo 00:20:42
pero es mucho más largo, es 00:20:45
si yo tengo aquí, me sale cero partido de cero 00:20:46
al tener un radical 00:20:49
aquí, yo multiplicaba 00:20:51
por su conjugado, ¿os acordáis? 00:20:53
Entonces yo multiplico arriba y abajo 00:20:55
por su conjugado, si esto es menos 00:20:57
aquí pongo un más, aquí 00:20:58
lo que tengo es suma por diferencia 00:21:01
por lo tanto es el cuadrado del primero menos 00:21:02
el cuadrado del segundo 00:21:04
y esto lo dejo tal cual, ¿vale? 00:21:06
Aquí me falta un paréntesis, ¿vale? 00:21:08
Entonces, ¿qué ocurre? 00:21:11
Pues que esto es x cuadrado menos 25, x cuadrado menos 25 es una identidad notable, es x menos 5 por x más 5, ¿vale? 00:21:12
De hecho, fijaros, aquí cuando me da 0 partido de 0 es que todo esto es dividible entre x menos 5, ¿vale? 00:21:21
Por eso se me van, y si yo aquí se me va esto de aquí, entonces ya se me va a los puntos de discordia, 00:21:28
me queda x más 5, me queda aquí 00:21:35
todo esto de aquí, y ahora sustituyo y me queda 00:21:38
10 octavos, que 10 octavos 00:21:40
se simplifica 00:21:42
en 5 cuartos, me da lo de arriba 00:21:44
¿qué método vais a preferir ustedes? 00:21:46
lópita 00:21:49
¿vale? 00:21:49
el examen se va a enterar con 00:21:50
que es obligatorio, ¿no? 00:21:52
no, tú lo puedes enfocar de distintas 00:21:53
formas, ¿qué pasa? ¿por qué existe 00:21:56
lópita? pues porque es un puntazo 00:21:58
¿vale? que me lo queréis 00:22:00
hacer de la otra forma, está bien hecho 00:22:02
o llevo para adelante, ¿de acuerdo? 00:22:04
Pasa que existe el ópita precisamente por esa 00:22:06
rápida. Estos son 00:22:08
ejercicios del libro, ¿vale? 00:22:10
Lo tenemos aquí señalado. Entonces, 00:22:12
el igual, ahora tengo 00:22:14
este límite, como siempre, sustituyo, 00:22:16
me da 0 partido de 0. ¿Cuál es la 00:22:18
derivada de x al cubo? 00:22:20
El 3 pasa adelante, 00:22:22
el x elevado a 3 menos 00:22:24
1, que es 2, y luego, ¿cuánto es la derivada 00:22:26
de x? 00:22:28
1, pues entonces 3x 00:22:30
al cuadrado, ¿vale? Entonces, esto 00:22:32
es 2x, este es menos 3, 00:22:34
me sale así. Sustituyo, 00:22:36
ya lo tengo, menos 3 quintos. 00:22:38
¿Vale? Estos chavales, lo tenéis 00:22:40
que poner ustedes a cero como loco, ¿vale? 00:22:42
¿Sí o no? Aquí 00:22:44
el b, 00:22:46
si os dais cuenta, es logaritmo 00:22:48
neperiano. De esto, aquí ya son 00:22:50
palabras mayores, ¿vale? 00:22:52
Partido de x. Si yo me voy a cero, 00:22:54
elevado a cero, ¿cuánto es, chavales? 00:22:56
1, 0 al cubo, 00:22:58
1 más 0, 00:23:01
logaritmo de 1, 00:23:02
Si no os calculáis, el cero es cero partido de cero. 00:23:04
Y ahora fijaros aquí, tengo que derivar el logaritmo de una función, ¿eh? 00:23:09
El logaritmo de una función, y es lo que yo quiero que veáis ahí. 00:23:13
Cuando tenéis el logaritmo de x, es tan sencillo que es el que tenéis la simple, es uno partido de x, ¿vale? 00:23:17
Pero sin embargo, cuando estáis aquí y veis el logaritmo neperiano de una función, os aparece f' partido de f. 00:23:24
¿Qué es lo que ocurre cuando esa función es la x? ¿Cuánto vale f'? Un 1, ¿verdad? Por eso la simple es 1 partido de x y la compuesta, que es la que yo quiero que os aprendáis, la compuesta es f' partido de x. 00:23:34
Entonces, ¿esto qué es la derivada de un logaritmo neperiano? 1 partido de mi función, ¿lo veis? 1 partido de mi función y ahora tengo que multiplicar por la derivada de arriba, ¿vale? 00:23:49
Entonces, ¿cuál es la derivada de e elevado a x? Es ella misma, ¿vale? La derivada de e elevado a una función sería ella misma por la derivada de esa función, lo tenéis aquí. 00:24:03
Lo veis aquí en la tercera, la exponencial, e elevado a f, su derivada es e elevado a f por f'. ¿Lo veis aquí todo? Entonces, ¿cuánto es la derivada de x? 1, por eso se queda igual, ¿vale? 00:24:17
Y la derivada de x al cubo, pues 3x al cuadrado, ¿vale? 00:24:31
¿Sí o no? 00:24:37
Y nada, entonces esto de aquí pasaría aquí y ahora sustituyo por 0 elevado a 0, 00:24:40
1, 3 por 0, 0 elevado a 0, 1 más 0, 0, es 1 partido de 1, me da 1. 00:24:47
¿Lo estáis entendiendo cómo lo estamos haciendo, chavales? 00:24:54
Lo que pasa es que si no me sé la tabla de derivación malagueña, 00:24:57
esto lo tenéis que saber como el comé, ¿vale? 00:25:00
Como el comer. 00:25:03
Y además pasa una cosa, luego vamos a ver integrales. 00:25:04
Y si en las integrales no te sabes esto, malagueña. 00:25:07
¿Vale? 00:25:11
Entonces, yo, esta es la función simple como yo y la función compuesta. 00:25:12
Entonces, yo me estudiaría la función compuesta. 00:25:19
Porque la función simple es cuando mi f vale x. 00:25:23
¿Sí? 00:25:29
Venga. 00:25:33
Aquí, chavales, los senos y los cosenos, la trigonometría. 00:25:35
Seno de 0, 0. 00:25:39
Coseno de 0, 1. 00:25:41
1 menos 1, 0. 00:25:42
Y ahora tengo que hacer el límite de esa función. 00:25:43
La derivada de un seno es el coseno. 00:25:46
Y la derivada del coseno es menos 0, ¿vale? 00:25:49
Y aquí, ¿por qué tenemos x? 00:25:52
Pero si yo tengo aquí el seno de una función, 00:25:54
si yo tengo aquí el seno de una función, 00:25:57
sería el coseno de esa función por la derivada de la función, ¿vale? 00:25:59
O sea, aquí es lo mismo, seno de x es coseno de x, ¿cuánto vale la derivada de x? 00:26:05
Un 1, por eso se me queda coseno de x. 00:26:10
Y la derivada del coseno, como es menos seno y este menos delante se llama por la de Madrid, 00:26:13
pues sería seno de x, ¿vale? 00:26:18
Ahora sustituyo coseno de 0 es un 1, seno de 0 es 0, sería más menos infinito. 00:26:21
¿Lo veis? 00:26:27
¿Sí? Hago los límites laterales 00:26:27
y aquí me sale más infinito 00:26:30
y aquí menos infinito. No existe 00:26:32
el límite. ¿Vale, chavales? 00:26:34
¿Sí? 00:26:37
¿Sí o sí? 00:26:39
Oh, yeah. 00:26:41
Aquí, fijaros, aquí esto es cachón. 00:26:44
¿Vale? Porque ya no tengo aquí 00:26:47
elevado a x. ¿Vale? 00:26:48
Esto aquí no tengo elevado a x. 00:26:50
Entonces, 00:26:53
más adelante, cuando veamos 00:26:54
una cosa de derivada, os voy 00:26:57
a enseñar cómo me quedo yo con esta 00:27:00
fórmula, pero bueno, ustedes lo van a aprender 00:27:01
de memoria para el examen y ya está. 00:27:03
Pero yo siempre tengo dudas 00:27:06
si aquí el logaritmo neperiano va 00:27:08
multiplicando, va dividiendo, porque hay 00:27:09
otra función donde va dividiendo y demás. 00:27:11
Entonces, ahora mismo, 00:27:14
nosotros tenemos, usted hace todos 00:27:15
los ejercicios con esto, ¿vale? 00:27:17
Y esto se va quedando. Me refiero, 00:27:19
no te las aprendas de memoria, sino que 00:27:21
esto a medida que vayas haciendo ejercicio, que es lo que 00:27:23
tenéis que hacer mogollón de ejercicio de esto, 00:27:25
Pues se va quedando, entonces, fijaros, a elevado a cero, cero, b elevado a cero, cero, cero menos cero, cero, y la x va de cero, cero, cero, lopitas, siempre señalo lopitas, ¿vale? 00:27:27
En esta igualdad. 00:27:41
Entonces, ¿qué ocurre? Pues la derivada de arriba, que es a elevado a x por el logaritmo neperiano de a, y de b elevado a x es b elevado a x por el logaritmo neperiano de b. 00:27:42
¿Y cuánto es la derivada de x? 00:27:54
Un 1. 00:27:57
Y ahora empieza a sustituir. 00:27:58
a elevado a 0, un 1. 00:28:00
Por logaritmo neperiano de a, logaritmo neperiano de b. 00:28:02
b elevado a 0, un 1. 00:28:06
Por logaritmo neperiano de b, logaritmo neperiano de b. 00:28:08
Y ya el 1 queda aquí. 00:28:11
Y la resta del logaritmo, no sé si os recordáis, es el logaritmo de una división. 00:28:13
¿Vale? 00:28:19
Arcotangente. 00:28:23
Esta, la más complicada, suele ser también arcoseno, arcotangente y arcocoseno, ¿vale? 00:28:23
De las tres, digamos, la más fácil, la arcotangente. 00:28:33
Y esto se utiliza muchísimo, muchísimo en ingeniería, la del arcotangente, ¿vale? 00:28:36
Entonces, chavales, la de arcotangente de una función es 1 partido 1 más la función al cuadrado por la derivada de la función. 00:28:42
Bueno, como mi función es x, pues entonces es 1 partido 1 más x al cuadrado por 1, ¿vale? 00:28:51
Entonces, fijaros, arcotangente de 0 es 0, menos 0 es 0, x es 0, el seno de 0 es 0, 0 es menos 0, pues lo pido. 00:29:00
Hago la derivada de arcotangente de x, que es 1 partido de 1 más x al cuadrado, y la derivada de x es 1. 00:29:09
y ahora la derivada de x es 1 y la derivada del seno que es el coseno. 00:29:16
¿Lo veis? 00:29:22
Vuelvo a sustituir otra vez y ¿qué ocurre? 00:29:23
Que me sale 1 partido de 1 menos 1 es 0, 00:29:26
1 menos coseno de 0 que es 1, 1 menos 1 es 0. 00:29:30
¿Puedo seguir aplicando L'Hôpital? Pues sí. 00:29:33
¿Vale? De hecho va a haber ejercicios que a lo mejor tenéis que aplicar L'Hôpital 00:29:36
2, 3, 4, inclusive hasta 5 veces. 00:29:40
¿Vale? 00:29:43
Entonces, tengo a mi amigo Lopita 00:29:43
Y ahora esto de aquí, chavales 00:29:46
¿Qué ocurre? 00:29:48
Tengo que hacer la derivada de todo esto de aquí 00:29:50
Y aquí se puede hacer de dos formas 00:29:52
¿Veis que esto es una fracción? 00:29:54
¿Veis que eso es una fracción? 00:29:58
Esto me lo voy a llevar aquí 00:30:00
¡Guau! 00:30:01
¿Ha desaparecido? 00:30:07
Ha desaparecido 00:30:11
A ver si lo pillo ahora, ¿vale? 00:30:12
Estoy a apostar a esto, cacho 00:30:26
¡Ah, joder! 00:30:27
Pero no me va a escribir, creo. 00:30:30
Chavales, voy a derivar 1 partido 1 más x al cuadrado, ¿vale? 00:30:44
Esto es f de x es igual a 1 partido 1 más x al cuadrado. 00:30:52
Me sale tan doblado. 00:31:00
Entonces, lo que yo quiero que veáis, chavales, es que hay varias estrategias. 00:31:02
¿Vale? 00:31:08
Es 1 partido 1 más x al cuadrado, ¿vale? 00:31:08
Entonces, chavales, ¿esto es lo mismo que 1 más x al cuadrado elevado a menos 1? 00:31:13
¿Sí o no? 00:31:21
Sí. 00:31:23
Entonces, hay una propiedad que me dice que si yo tengo g de x es igual a f de x elevado a un número, ¿vale? 00:31:24
Su derivada, ¿cuál es? g' de x es n por f de x elevado a n-1 y la regla de la cadena, f' de x, ¿vale? 00:31:33
Entonces, si yo derivo esto de aquí, ¿cuál sería f'? Bueno, voy a utilizar otras letras para que no nos mareemos, pero aquí las letras son mudas, ¿vale? 00:31:47
h de x, ¿vale? Para no confundir 00:31:58
con esto. Entonces 00:32:01
h' de x, si yo sigo 00:32:02
esto, ¿qué sería? Este menos 1 00:32:05
pasa aquí delante, ¿verdad, chavales? 00:32:07
¿Sí o no? 00:32:10
Ahora copio lo mismo 00:32:11
1 más x al cuadrado 00:32:13
y ahora que tengo menos 1 00:32:16
y le resto un 1, ¿lo veis? 00:32:17
¿Sí o no? 00:32:20
Ahora tengo que hacer 00:32:22
la derivada de 1 más x al cuadrado 00:32:23
¿Cuánto es la derivada de 1? 00:32:25
Y la derivada de x al cuadrado, 2x. 00:32:28
Si yo esto lo recopilo, sería menos 2x, ¿verdad? 00:32:32
Este menos y este menos. 00:32:37
¿Y esto qué sería? Menos 2, ¿verdad? 00:32:39
¿Sí o no? 00:32:41
Menos 2, ¿qué ocurre? 00:32:43
Que pasa abajo como que es al cuadrado. 00:32:44
¿Vale? Esta sería la derivada de esta función. 00:32:48
¿Lo veis, chavales? 00:32:51
¿Sí o no? 00:32:53
Bueno, pues hay otra regla de derivación que cuando yo tengo, por ejemplo, yo que sé, r de x es a n de x partido de dx, ¿vale? 00:32:54
Si yo hago la derivada, la tenéis ahí abajo, ¿vale? Pues r' de x que es la derivada del numerador, la derivada del de arriba, del primero, por la segunda sin derivar, ¿lo veis? 00:33:08
Menos el primero sin derivar por la derivada del segundo y todo ello partido del segundo sin derivar al cuadrado, ¿vale? 00:33:25
Esta nos la tenemos que aprender, ¿vale? Esta de aquí. Entonces, fijaros aquí. Yo tengo que mi h de x, ¿verdad? Era 1 partido 1 más x al cuadrado, ¿vale? 00:33:39
Entonces, su derivada, ¿cuál es? La derivada del primero. ¿Cuánto vale la derivada del primero, chavales? 0. 0 por 1 más x al cuadrado. 00:33:52
Yo normalmente esto no lo pongo, lo estoy poniendo ahora para que veáis, ¿vale? 00:34:04
Menos el primero sin derivar, que es un 1. 00:34:07
¿Y cuánto va en la derivada del denominador? 00:34:10
2x, ¿vale? 00:34:13
Y ahora, ¿qué tengo que poner abajo, chavales? 00:34:15
Es esto de aquí, ¿verdad? 00:34:19
Al cuadrado. 00:34:21
0 por algo. 00:34:25
0 menos 1 por 2x menos 2x partido de 1 más x al cuadrado al cuadrado. 00:34:28
Me sale lo mismo. 00:34:36
me tiene que salir, ¿vale? 00:34:37
Me tiene que salir. 00:34:41
¿Lo veis, chavales? 00:34:43
Entonces, yo elijo la estrategia que me sea más fácil, ¿de acuerdo? 00:34:44
Pero si yo tengo aquí una división, 00:34:49
puedo optar por la regla de la división de la derivada de un cociente, 00:34:52
que es esta, esta es la derivada de un cociente. 00:34:57
O esto de aquí yo siempre lo puedo poner como 1 más x al cuadrado menos 1. 00:35:00
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? Y entonces aplico la derivada de una función que tiene un exponente. ¿Vale? ¿Sí? De una función polinómica, en principio. Una función potencial, vaya. 00:35:07
¿Vale, chavales? 00:35:25
Entonces, ¿qué ocurre? 00:35:27
Yo aquí hallo la derivada 00:35:32
¿Veis que esta es la derivada? 00:35:34
¿Vale? 00:35:36
Porque el menos 1 ya es 0 00:35:37
Y la derivada de 1 menos coseno de x 00:35:38
El del 1 es un 0 00:35:41
La derivada del coseno es menos seno 00:35:42
Menos por menos, seno de x 00:35:44
¿De acuerdo? 00:35:46
¿Y entonces qué ocurre? 00:35:48
Pues que esto va aquí al denominador 00:35:50
Y ahora sustituyo 00:35:52
Menos 2 por 0 00:35:54
¿Esto era un 0? 00:35:55
Hostia, me he equivocado 00:35:57
Ah, bueno, aquí es que me he saltado de poner que esto da 0, 0 y vuelvo a derivar, ¿vale? 00:35:58
Sí, aquí se me ha olvidado una cosilla, chavales. 00:36:05
Aquí sustituyo, ¿vale? 00:36:11
Si yo hago esto de aquí, lo voy a hacer con ustedes. 00:36:13
Esto de aquí, si sustituyo, ¿qué me da? 00:36:18
Menos 2 por 0, 0. 00:36:22
1 al cuadrado es 1, seno de 0, 0. 00:36:26
Pues entonces tengo que aplicar L'Hopital. Pongo así, hago la flechita, pongo LHO L'Hopital con el circunflejo. 00:36:29
¿Cuánto es la derivada de lo de arriba, chavales? El límite siempre lo tengo que poner. 00:36:40
La derivada de menos 2X, menos 2. Y ahora viene aquí lo cachondo. 00:36:45
Porque tengo aquí la derivada de un producto. Entonces, cuando yo tengo p de x es igual a f de x por g de x, ¿vale? Su derivada, p' de x, es igual a la derivada del primero por el segundo sin derivar, ¿vale? 00:36:51
Eso suena del cociente, ¿verdad? En el cociente yo ponía un menos y aquí un más. Es el primero sin derivar por la derivada del segundo, ¿vale? 00:37:17
Tenéis aquí abajo la regla de derivación, el producto. ¿Vale, chavales? La derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo. 00:37:29
¿De acuerdo? Sí. Entonces, aquí no tengo que dividir nada. Entonces, ¿para qué tengo? La derivada, ¿vale? Mi f de x es 1 más x al cuadrado, al cuadrado, lo veis aquí, ¿verdad? Esto es f de x y del seno es g de x. 00:37:40
Entonces, chavales, ¿cuánto es la derivada de esto de aquí? 00:38:01
Yo tengo aquí una función potencial, ¿vale? 00:38:07
Entonces, el 2, ¿qué ocurre? 00:38:11
Que pasa multiplicando. 00:38:13
Y ahora sería 1 más x al cuadrado, y aquí sería un 2 menos el 1. 00:38:16
El resto, que es un 1. 00:38:22
¿Y ahora cuánto vale la derivada de esto? 00:38:24
2x. 00:38:27
Pues esto sería 4x por 1 más x al cuadrado, ¿vale? Elevado a 1, ¿lo veis? 00:38:28
La derivada, bueno, y g de x es igual a seno de x, pues la derivada de g de x es coseno de x, ¿vale chavales? 00:38:36
Entonces, voy a aplicar esto de aquí. ¿Cuánto vale f' de x? f' de x es esto, que es 4x por 1 más x al cuadrado. 00:38:50
Yo multiplico por g de x, que es seno de x. ¿Lo veis? Y hará más el primero sin derivar, es decir, 00:39:03
1 más x al cuadrado 00:39:14
al cuadrado 00:39:17
por la derivada 00:39:18
del segundo que es coseno de x 00:39:20
esto chavales parece 00:39:23
un shosho pero 00:39:25
no es tan complicado 00:39:26
creerme de verdad 00:39:29
esto se coge con la práctica 00:39:30
se coge con la práctica 00:39:32
que no tenemos que saber 00:39:35
esta hojita 00:39:36
la parte compuesta 00:39:38
la parte compuesta y sobre todo lo de abajo 00:39:40
las reglas de derivación, ¿vale? 00:39:43
Esto ya lo aprendiste ya el año pasado, ¿vale? 00:39:45
Entonces, esto es repaso, 00:39:48
pero empezad a hacer mogollón de ejercicio, 00:39:50
pero con esto delante, ¿eh? 00:39:55
Con esto delante y poco a poco 00:39:57
os van a ir saliendo, 00:39:59
pero siempre mirad esto de aquí, ¿vale? 00:40:01
Entonces, chavales, 00:40:04
si yo ahora me lío a sustituir, ¿vale? 00:40:05
Esto por cero. 00:40:08
Esto de aquí es un cero, ¿verdad? 00:40:09
imagina porque está aquí el cero y además seno de cero es cero 00:40:11
coseno de cero es un uno 00:40:15
esto es un cero 00:40:16
uno al cuadrado es un uno 00:40:18
pues arriba tengo un menos dos 00:40:19
abajo tengo un uno, da menos dos 00:40:21
¿lo veis chavales? 00:40:24
aquí tened cuidado 00:40:28
que se me ha ido la olla y no he puesto 00:40:29
a mi amigo Lopita 00:40:30
¿vale? 00:40:32
esta de aquí que es cachonda 00:40:35
también 00:40:37
vamos a ver como canta Manuel 00:40:37
chavales aquí hay mogollón 00:40:41
voy a seguir, bueno 00:40:44
luego, esto es del 00:40:46
hópital, hoy vamos a dedicar toda la clase 00:40:48
al hópital, como no me da tiempo 00:40:50
hacer todos los ejercicios 00:40:52
está subido eso de ahí, lo suyo 00:40:53
es que veáis los enunciados, lo intentéis hacer 00:40:56
y luego comparéis 00:40:58
y entonces mañana, mañana lo que 00:40:59
vamos a hacer es derivadas 00:41:02
a hierro, derivadas a hierro 00:41:04
seguramente hoy suba 00:41:06
un documento que no sé si son por lo menos 00:41:08
12 páginas, vamos a hacer derivadas 00:41:10
a hierro esta 00:41:13
semana 00:41:15
es decir, hoy es martes, miércoles 00:41:16
mañana vamos 00:41:19
a derivadas a hierro, pero necesito 00:41:21
que os aprendáis esto y el viernes 00:41:23
me gustaría ya 00:41:25
empezar a dividir 00:41:27
la mitad de la clase en derivadas 00:41:29
y luego ver 00:41:31
eso que hemos avanzado 00:41:33
hoy un poco de 00:41:35
la aplicación 00:41:37
de la derivada, es decir, hallar una 00:41:39
recta tangente a una función 00:41:41
que también lo visteis el año pasado, que es 00:41:43
una formulita. 00:41:45
Hallar los máximos y los mínimos de una función 00:41:47
que es a partir de la primera 00:41:49
derivada. Y no sé si os acordáis 00:41:51
del año pasado también, la concavidad 00:41:53
o convexidad. 00:41:55
¿Os suena lo de la curvatura? 00:41:57
Y eso te lo da la segunda derivada. 00:41:59
Entonces eso ya es aplicativo 00:42:01
de tal. Y luego ya la semana siguiente 00:42:03
nos va a saquear... 00:42:05
Ah, no, todavía tenemos la semana siguiente entera, 00:42:06
¿no? 2, 3, 4, 5 00:42:09
¿no? Vale 00:42:11
vale, bueno, me quedo más tranquilo 00:42:13
pero tenemos que ir un poco 00:42:15
ligerito, ¿vale? 00:42:17
para hacer mogollón de ejercicio 00:42:19
de esto, entonces lo mismo, a lo mejor lo que hago 00:42:21
es vamos a dedicar más tiempo a derivadas 00:42:23
¿vale? y recordamos derivadas 00:42:25
entonces esta semana vamos a derivar por un tubo 00:42:27
pero necesito que esto lo sepáis 00:42:29
como el comen 00:42:31
¿vale? y si no, escuchadme 00:42:32
con colorina y todo 00:42:34
monísima la de esta 00:42:37
traéosla, ¿vale? Traéosla 00:42:39
todos los días. ¿Se la das tú a 00:42:41
Rufo, Guillo? Los que no 00:42:43
han venido, ¿os encargáis a alguien? 00:42:45
Claudia, ¿a ti te importa de recoger de los que no 00:42:47
han venido y se lo das tú, Guilla? 00:42:49
Bueno, se supone que vendrán ahora, ¿no? 00:42:51
Aquí le falta a 00:42:55
Karol. Yo tengo aquí otra, ¿vale? 00:42:56
Se la pasa... 00:42:59
¿Sí? 00:43:02
Bueno. 00:43:04
Vale, si no, ahora yo te la doy 00:43:05
y si alguien le hace falta, ¿vale? 00:43:06
Estupendo. Bueno, chavales, 00:43:09
Eso de aquí. ¿Cómo procedemos? ¿Cómo procedemos siempre, chavales? 00:43:10
Sustituyendo. Entonces, yo sustituyo y que tengo elevado a cero, que es uno, menos seno de cero. 00:43:16
¿Cuánto es seno de cero? Cero. Es elevado a cero. 00:43:24
Y abajo que tengo uno menos coseno de cero es un uno. 00:43:28
Es decir, yo tengo uno menos uno partido de uno menos uno, es decir, cero. Entre cero. 00:43:32
Aquí lo suyo es que pongáis cero partido de cero, pero lo que quiero es que veáis. Entonces, esto es una indeterminación que me permite a mí utilizar a mi amigo Lópita, que siempre estaba malo. 00:43:40
Y entonces yo derivo esto de aquí, ¿vale? 00:43:53
Entonces, fijaros que tenéis ahí tanto la simple como yo como la compuesta. 00:43:58
Es decir, si yo tengo, chavales, que f de x es igual a e elevado a x, 00:44:02
fijaros que luego yo tengo g de x es igual a e elevado a seno de x, ¿vale? 00:44:10
Es decir, yo esto es una función. 00:44:16
Voy a hacerlo de forma genérica. 00:44:19
Es decir, si yo tengo h de x es igual a e elevado a, yo qué sé, m de x, ¿vale? 00:44:20
Entonces, la simple es esta, y esta es la compuesta, que es la que yo quiero que estudiéis. 00:44:31
Entonces, ¿qué me dice la derivada de una exponencial? 00:44:37
es la derivada de una exponencial, es ella misma, ¿vale? 00:44:41
Ella misma por la derivada de ese exponente, ¿de acuerdo? 00:44:48
Lo que ocurre aquí, chavales, ¿qué es lo que ocurre aquí? 00:44:54
Que si yo esto derivo, escribo ello mismo, ¿y cuál es la derivada del exponente? 00:44:57
¿Cuál es la derivada de x? Un 1. Entonces esto se queda igual, ¿vale? 00:45:05
Y esto de aquí, chavales, entonces, ¿cómo sería g' de x? Sería ella misma y ¿cuál es la derivada del seno de x? El coseno de x, ¿vale? Entonces, aquí que tengo el límite cuando x tiende a 0, de e elevado a x su derivada que es ella misma, la derivada de esta que es e elevado a seno de x por coseno de x, ¿vale? 00:45:09
Y aquí, ¿qué sería? 0 y esto sería seno de x. ¿Lo veis? ¿Sí o no? Si yo aquí sustituyo, vuelvo a tener el 0 partido de 0, porque elevado a 0 es un 1, coseno de 0 es un 1, seno de 0 es un 0, elevado a 0 tendría 0 partido de 0. 00:45:35
¿Qué voy a aplicar aquí? A mi amigo Lopidal también, ¿no? Y ahora fijaros, fijaros lo cachondo. ¿Derivada de e elevado a x? e elevado a x. ¿Pero aquí qué tengo, chavales? ¿Qué tengo aquí? Un producto, ¿vale? 00:45:56
Entonces, yo tengo aquí p de x es e seno de x por coseno de x. 00:46:15
¿Y esto cómo era la derivada? ¿Os acordáis? 00:46:23
La derivada del primero era el mismo por coseno de x, ¿verdad? 00:46:25
Por el segundo sin derivar. 00:46:33
Más el primero sin derivar. 00:46:36
¿Cuánto es la derivada del coseno? 00:46:40
El menos seno. 00:46:42
¿Lo veis, chavales? 00:46:43
Esa sería su derivada. Entonces, esto sería menos elevado de seno de x por coseno cuadrado de x y aquí más seno de x por e elevado a seno de x. 00:46:49
¿Partido de qué? De coseno de x. ¿Lo veis? Y si yo haría aquí, esto sería elevado a 0 es un 1. Esto sería un 1 también, ¿no? 00:47:06
Esto sería un cero y aquí coseno de cero es un uno. 00:47:19
Entonces me queda cero partido de uno, que es un cero. 00:47:23
¿Has multiplicado por coseno? 00:47:27
Sí, coseno por coseno, coseno cuadrado. 00:47:29
¿Me he equivocado? 00:47:31
La resta del producto no afectaría a tú. 00:47:32
¿Este menos? 00:47:36
Sí, este menos no afectaría a tú. 00:47:37
Por eso aquí he puesto un menos y aquí he puesto... 00:47:38
Gracias, Guillo. 00:47:50
¿Vale? 00:47:53
Sí. 00:47:54
Entonces, chavales, una cosita. 00:47:55
de aquí del hospital 00:47:57
fijaros que nos hemos quedado en la página 3 00:47:59
hay 6 páginas 00:48:01
¿vale? esto os lo dejo 00:48:03
a ustedes para que hagáis esos 00:48:05
ejercicios ¿vale? 00:48:07
y mañana seguramente esta tarde 00:48:09
aunque lo suba 00:48:11
por si le queréis echar un vistazo y queréis avanzar 00:48:12
mañana y pasado 00:48:15
como tenemos la semana que viene 00:48:17
mañana y pasado vamos a hacer 00:48:19
ejercicios de derivada 00:48:21
a punta pala 00:48:23
¿vale? os lo voy a ir subiendo 00:48:25
ya y demás 00:48:27
entonces para la semana que viene 00:48:28
os voy a cortar aquí 00:48:30
¿no? 00:48:33
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
28 de enero de 2026 - 13:12
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
48′ 38″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
108.85 MBytes

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