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Función "a trozos"- inverso - Contenido educativo
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Ejemplo de obtención de expresión de función "a trozos" a partir de la gráfica
hola chicos vamos ahora a ver un ejercicio también de funciones a trozos
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pero inverso es decir vamos a intentar encontrar la expresión dada la gráfica
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vemos aquí que tenemos una función que está digamos hecha
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por partes y entonces tendrá diferentes expresiones según el tramo en el que se
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encuentren por lo que vemos aquí la función es una
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recta e inclinada por tanto una función
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polinómica de grado 1 desde menos infinito hasta menos 1 a partir del menos
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1 y hasta el 3 es una parábola y desde el 3 hasta el infinito es una recta
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horizontal bueno para
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Para poder dar la expresión de cada parte de la gráfica tenemos que encontrar, en el caso de la recta, puntos de ella para poder sacar la pendiente y la ordenada en el origen.
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o directamente la m y la n de la expresión general.
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La expresión general de una recta es de este tipo, mx más n.
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Para poder hallar la pendiente vamos a encontrar dos puntos.
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Tenemos el punto límite este que tenemos aquí, que sería el menos 1, 3.
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es y luego tenemos también este por ejemplo que es el punto menos 4 que es un punto de corte
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con estos dos puntos ya podemos hallar tanto la m como la n porque la ordenada en origen bueno
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podemos suponer que probablemente sea el 04 pero de esta recta pero no lo vemos bien entonces vamos
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a dos puntos que tenemos seguros que son estos dos que hemos marcado vale la pendiente en una
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recta a partir de dos puntos de las coordenadas de los puntos viene dada con las coordenadas
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diferencia de coordenadas en y como tenéis por ahí en los apuntes y diferencia de coordenadas en x
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este cociente de diferencias o incrementos es la pendiente de la recta vale donde cada punto
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aquí pues es x1 y 1 en el caso del primero y en el caso del segundo sería x2 y 2. Entonces vamos a
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hacer la recta, la pendiente de la recta a partir de la resta de las ordenadas arriba y de las
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accisas abajo. La y2 sería un 3, menos la y1, que es un 0, partido por x2, que es menos 1, menos x1, que es menos 4.
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Es decir, lo que sube o baja la función respecto de lo que avanza en x. Aquí arriba nos sale un 3,
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Y abajo nos sale un 1 menos 1 más 4, otro 3. Por tanto, esto es 1. La pendiente de nuestra recta es 1.
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La ordenada en origen se puede obtener simplemente sustituyendo uno de los dos puntos en la x y en la y
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Si por ejemplo sustituimos el punto menos 4, 0 en la x y en la y de su ecuación
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Ponemos un 0 en la y, la m ya la tenemos, hemos dicho que vale 1
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por la x, que es menos 4, y luego más la n, que no la sabemos, que es la que vamos a sacar.
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Esto es lo que vamos a obtener a partir de sustituir el punto, uno de los dos puntos, da igual cuál, en la ecuación general de la recta,
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sabiendo ya también que la m vale menos 1.
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Bueno, pues de aquí daros cuenta que hemos sustituido la y, luego la x, la m también la hemos sustituido y ahora vamos a obtener la n.
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Pues bien, tenemos que 0 es igual a menos 4, porque 1 por menos 4 es menos 4, más n.
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Nos quedaría que n es igual a 4.
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Por tanto, la primera parte de nuestra función sería y igual a x más 4. Esta es la primera parte de nuestra función.
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Bueno, pues vamos ahora con la segunda parte
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La segunda parte la vamos a hacer por aquí abajo
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A ver, la segunda parte sería la correspondiente a la parábola
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Tenemos una parábola a partir del menos 1 hasta el 3
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Entonces, la ecuación general de una parábola viene dada por esta expresión
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Y igual a x cuadrado más bx más c
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Donde a, b y c son coeficientes que tenemos que encontrar para que nuestra parábola sea esa exactamente.
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En este caso lo que tenemos que hacer es ver los puntos que tenemos también y el vértice que también lo vemos y nos puede servir de mucho.
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El vértice de la parábola es, como podéis observar, el 1, menos 1.
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Y también nos puede servir todos los puntos que tenemos, pero uno de los más útiles sería el 0,0 que tenemos ahí.
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La parábola pasa por el 0,0 y la parábola pasa por el 1, menos 1, siendo este además el vértice.
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Estos dos puntos nos van a servir mucho para poder hallar los coeficientes
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Pero tenemos otros más, tenemos el 2, 0, tenemos el 3, 3, tenemos el menos 1, 3
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Bien, vamos a ver qué podemos obtener del 0, 0
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Del 0, 0 obtenemos algo muy rápido y es que si os fijáis cuando la x vale 0
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cuando la x vale cero, la y vale cero.
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Así que en esta misma ecuación sustituimos la y por cero
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dejando a, sustituimos la x por cero
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dejando b, sustituimos la x también por cero
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y dejando c.
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Es decir, a, b y c no los conocemos
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pero sí sabemos que la ecuación nuestra debe cumplir
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que para x igual a 0 la y debe valer 0 es decir metiendo el 0 en la x debemos
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saber debemos sacar también la y 0 en este caso si os fijáis como están
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multiplicados por 0 tanto a como b nos queda directamente que 0 es igual a c
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por tanto ya sabemos que el coeficiente que el término independiente es es 0 en
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nuestra parábola así que nuestra parábola ya va a tener la forma
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x cuadrado más bx bien
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vale pues esto es lo que vamos ahora a utilizar con el vértice también pero
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también podemos utilizar bueno primero vamos a utilizar la fórmula que acabamos
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Vamos a utilizar de la ecuación de segundo grado igual para el vértice.
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El vértice nos dice que cuando x es igual a 1, pues la y debe valer menos 1.
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Y también sustituyendo la expresión general, tenemos que cuando la y vale menos 1, la x debe valer 1.
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Así que a por 1 al cuadrado más b por 1. El c no hace falta que lo pongamos porque el c ya sabemos que es 0.
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Si queréis lo pongo, pero ya lo sabemos de antes. Así que ahora sacamos una ecuación para a y b. Sacamos que menos 1 es igual a a por 1 más b.
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Esta sería una ecuación que junto con otra ecuación que conocemos, la fórmula de la x del vértice, podemos sacar a y b.
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Deberíamos saber ya que la x del vértice es esta fórmula.
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Entonces la x del vértice vale 1 y eso debe ser menos b partido 2a.
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Esta es otra ecuación que junto con esta nos forma un sistema en A y en B
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Así que lo vamos a utilizar
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De esta por ejemplo sabemos que B es igual a menos 1 menos A
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Pasando para el lado izquierdo y luego le damos la vuelta a todo
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Así que abajo en la fórmula del vértice sustituimos la b por menos 1 pero vamos a colocar esta un poco mejor. Aquí tenemos que 2a es igual a menos b sabiendo que el 2a lo podemos subir multiplicando al 1.
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verdad 1 por 2 a verdad al subir aquí pues nos quedaría esto es decir que b es
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igual a menos 2 a b es igual a menos 2 bueno pues igualamos estas dos cosas me
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ha salido por por igualación directamente tenemos qué
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Menos 2A es igual que menos 1 menos A.
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A ver, menos 2A es menos 1 menos 2A.
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Y resolviendo esto, pues tenemos aquí que A, bueno, menos A, pasando el otro A para acá sumando, es igual a menos 1.
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Por tanto, A es igual a 1.
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y ya sustituimos el a en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema
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y nos queda que b es igual a menos 2
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así que ya nuestra parábola tiene la forma
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y igual a a por x al cuadrado que sería 1 por x al cuadrado
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más b que es menos 2
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es decir, perdón, hay que borrar aquí porque sale negativo, menos 2x y más c, que es 0.
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Por tanto, nuestra parábola tiene esta forma, esta expresión analítica.
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Y ya finalmente tenemos que la recta horizontal tiene exactamente la ecuación muy sencilla
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y igual a 3, porque todos sus puntos tienen altura 3.
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Acordaros que una recta horizontal es una función constante y tiene solo un valor,
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que no depende de x. ¿Qué valor? Pues exactamente el que tiene la ordenada de todos los puntos.
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Todos los puntos son x3 en este caso.
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Por tanto, ya tenemos las tres expresiones.
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Entonces ponemos, vamos a borrar por aquí un poquillo para poner nuestra expresión y decimos que finalmente la solución viene dada por y o f de x igual corchete cuando la x está entre menos infinito y menos 1 la función es x más 4 como hemos dicho al principio.
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Esta, la función de la izquierda a la recta.
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¿Sí? Hay que poner dónde.
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La x es, cuando estamos entre menos infinito y menos 1, es x menores que menos 1.
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Cuando estamos entre menos 1 y 3, la función es la parábola x cuadrado menos 2x.
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Y cuando estamos en x mayores que 3, la función es simplemente y igual a 3.
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Son las tres expresiones que hemos obtenido.
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Y ahora simplemente os dais cuenta de una cosa y es que los iguales, es decir, para x igual a menos 1 y x igual a 3, no lo hemos definido porque no hemos puesto el igual en ningún sitio.
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Nos tenemos que dar cuenta que la función que nos han dado es una función continua porque se unen perfectamente las gráficas en los puntos de cambio.
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Como se unen las gráficas en los puntos de cambio, el punto le podemos poner en el lado que nos dé la gana, es decir, en el que queramos.
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Podemos ponerlo en el lado de la recta, el menos uno o en el lado de la parábola, y el tres lo podemos poner en el lado de la parábola o en el lado de la recta horizontal.
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Puesto que vale lo mismo tanto por un lado como por el otro.
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Así que podemos decidir, por ejemplo, poner los iguales en la parte de la parábola.
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Y entonces así barremos todos los puntos.
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Si no, la función no estaría definida justo en los cambios y no sería la que tenemos ahí, sino que tendrían huecos.
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Así que esta sería la expresión buscada.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- PATRICIA DE LA MORENA GONZALEZ
- Subido por:
- Patricia De La M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 163
- Fecha:
- 16 de enero de 2021 - 9:24
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES MIGUEL DE CERVANTES
- Duración:
- 16′ 51″
- Relación de aspecto:
- 1.75:1
- Resolución:
- 1024x584 píxeles
- Tamaño:
- 27.03 MBytes
