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Hoja 3. Ejercicio 9 - Contenido educativo

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Subido el 5 de noviembre de 2020 por Jose Luis M.

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Hola chicos, hoy voy a resolver el ejercicio 9 de la hoja de sistemas de ecuaciones. 00:00:00

Como veis es un sistema que viene con un parámetro y nos piden discutir según los valores del parámetro y resolver para que a igual menos 1. 00:00:07

Comenzamos, nos vamos a GeoGebra, que ya tengo configurado en la versión CAS y lo vamos a hacer igual que en clase. 00:00:18

A M igual, introducimos el sistema, que es K, K más 1, bueno, el paréntesis no hace falta, pero por copiarlo exactamente igual, llave menos 1, K menos 1, 0, coma, llave, K menos 1, menos 1, 0, menos K más 1. 00:00:27

Bien, comprobamos que no nos hemos equivocado, yo creo que no, y ahora vamos a meter a k más 1, 1, menos 1, k menos 1, y k menos 1, menos 1, 0. 00:00:55

Bien, como vemos, las dos matrices están bien puestas y comenzamos. 00:01:16

Para resolver el sistema vamos a activar el rango de A. 00:01:25

Para eso vamos a hacer el subdeterminante, porque es el menor más grande que podemos hacer. 00:01:29

El determinante de A. 00:01:36

Nos sale esa ecuación. 00:01:37

Bien, vamos a igualarla a 0 para resolverla y saber cuándo ese determinante es 0. 00:01:39

Usamos el comando resuelve, ya sabéis, ponemos $3 para referirnos a la fila 3 y igualamos a 0. 00:01:47

Con lo cual nos da que ese determinante se hace 0 cuando k igual menos 1 y k igual 1. 00:01:57

Bien, vamos a tratar el caso 1. Voy a decirle que ahora va a ser texto. Caso 1, k igual menos 1. Bien, lo podemos poner un poco en negrita porque se ha quedado un poco pequeño. 00:02:03

vamos aquí arriba y le decimos que esto lo ponga en negrita, negrita, bueno, pues no hace caso, vale, pues seguimos, para eso vamos a poner, por ejemplo, que a, vamos a llamar como es el primer caso, 00:02:21

a su 1 igual, le vamos a decir sustituye, bueno, vamos a decir a m 1 ampliada, caso 1, le decimos sustituye en a m la k por menos 1, k igual menos 1. 00:02:49

Y vamos a decir que la matriz A1 va a ser igual, lo mismo, sustituye en la matriz A la K por 1, por menos 1. 00:03:09

Estas son las matrices que se obtienen al sustituir K por menos 1. 00:03:24

Ahora es cuando tenemos que estudiar el rango de A1 y el rango de AM1. 00:03:29

Vale, para eso vamos a usar un comando que se llama escalonada reducida que ya hace el método de Gauss-Jordan 00:03:33

y podremos estudiar el rango de esa manera. 00:03:39

Por ejemplo, ponemos escalonada reducida a 1 y vemos claramente que el rango de a1 es 2. Hacemos escalonada reducida para la matriz ampliada 1 y vemos que el rango sigue siendo 2. Por lo tanto, cuando k igual menos 1, este sistema será sistema compatible indeterminado. 00:03:42

Vamos con el caso 2, volvemos a decirle que esto sea un texto, caso 2, K igual 1, bien, pues ponemos ampliado 2, igual, y le decimos que sustituye la matriz A, y le decimos que sustituya K igual 1, K igual 1. 00:04:07

Matriz ampliada 2, 2 puntos igual, sustituye la matriz A por K igual 1. 00:04:34

Bien, escalonada reducida de A2, vemos que tiene rango 2 y escalonada reducida de AM2, vemos que tiene... 00:04:45

Tiene, ¿qué ha pasado aquí? Algo está pasando aquí porque la matriz ampliada no es ampliada, perdón, perdón, perdón, aquí hay que poner AM, ahora sí, bien, AM con K igual 1 es esta, A es esta, por lo tanto vemos que el rango de A para K igual 1 es 2, 00:05:02

y el rango de la ampliada para k igual 1 es 3, por lo tanto este sistema será incompatible. 00:05:37

Podemos hacer ya aquí la clasificación y decir que si k es distinto de menos 1 y 1 es sistema compatible determinado. 00:05:48

si k igual menos 1 00:06:10

sistema compatible indeterminado 00:06:13

como no hemos puesto texto 00:06:15

intenta aplicar la fórmula 00:06:18

texto 00:06:20

por último vamos a decir que esto también es texto 00:06:20

si k igual 1 00:06:23

sistema incompatible 00:06:27

y con esto ya estaría 00:06:30

el apartado A del ejercicio 00:06:32

para hacer el apartado B 00:06:35

que es resolver el sistema 00:06:37

para k igual 1 00:06:39

Bueno, pues para que igual 1, si os acordáis, era AM1, la matriz del sistema. 00:06:42

Para resolverla hay diferentes métodos. 00:06:49

Aquí vamos a usar la de Gauss-Jordan, puesto que ya tenemos un comando que nos hace Gauss-Jordan, 00:06:52

que es el comando escalonada reducida, obteniendo esta matriz. 00:06:57

Ahora, si esta matriz la pasamos o la queremos ver como ecuaciones, 00:07:05

ecuaciones, le podemos decir por ejemplo, resuelve la ecuación x menos z igual 0, y más 2z igual 0, la última ecuación como es todo ceros, y le decimos que lo resuelva en las variables x y z, 00:07:09

con lo cual efectivamente nos da que x es igual a z 00:07:29

y que y vale menos 2z y que z es igual a z 00:07:35

que es la forma que tiene GeoGebra de decirte 00:07:38

que este sistema depende de un parámetro 00:07:41

bueno, espero que os haya gustado, hasta luego 00:07:44