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Tema 3.- Polinomios. 1ª Sesión 26-11-2024 - Contenido educativo

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Subido el 28 de noviembre de 2024 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase del día 26 de noviembre de matemáticas. 00:00:00

Hoy comenzamos un nuevo tema, que es el lenguaje georáico y polinomios, 00:00:05

donde veremos cómo pasamos de nuestro lenguaje natural al lenguaje matemático 00:00:10

y luego aprenderemos a operar con polinomios. 00:00:16

Las operaciones básicas, suma, resta, multiplicación, división. 00:00:20

Lo más importante será que nos quedemos con los nombres que se le da a las cosas en este nuevo lenguaje, puesto que las operaciones van a ser lo mismo que en los números enteros, por no decir que más sencillas. 00:00:24

Entonces, vamos a ir haciendo un repaso a esta nomenclatura para estar todos a una en qué nos preguntan y cómo nos preguntan luego en los ejercicios, a ver a qué se refiere. 00:00:38

Bueno, pues lo primero, vamos a ver qué es una expresión algebraica. Pues una expresión algebraica es una relación de números y letras, donde las letras van a representar valores desconocidos y los números, las operaciones que hacemos con dichos valores. 00:00:52

¿Vale? Entonces 00:01:13

tenemos por ejemplo 00:01:16

a ver, se me deja 00:01:19

que cuando yo hablo de un número de desconocido en general 00:01:22

le pongo un nombre cualquiera, vamos a tener siempre 00:01:25

una anotación común que son X, Y, S y Z 00:01:28

es lo más común, pero podría llamarle pues B, Pepito, Juanito 00:01:30

me da igual, el caso es que yo sepa 00:01:33

cómo estoy refiriendo a ese valor desconocido 00:01:36

pues si yo a ese número le he llamado X 00:01:40

si me hablasen del doble de ese número 00:01:42

lo único que tengo que hacer es multiplicarle por 2 00:01:45

o sea que la forma de expresarlo sería 2x 00:01:48

si me hablan de su mitad 00:01:52

pues lo único que tendría que hacer sería dividirlo entre 2 00:01:54

pues x medios 00:01:57

si me habla de hacer sus 3 quintas partes 00:01:58

pues lo único que tengo que hacer es multiplicarle por 3 quintos 00:02:01

me hablan de su cuadrado pues elevarle a 2 00:02:04

o sea que solo es pensar en la operación 00:02:07

que haríamos con números, en este caso estamos hablando 00:02:11

con números enteros, racionales como mucho, la pared de fracciones 00:02:14

y aplicar esa operación arrastrando el nombre 00:02:17

de ese valor desconocido al cual llamaremos incógnita. 00:02:23

¿De acuerdo? ¿Vamos bien? 00:02:27

Bueno, pues ahora, conocemos como monomio 00:02:33

a una expresión algebraica en la cual 00:02:36

los números y letras están relacionados siempre por multiplicaciones 00:02:39

no puede haber ni sumas, ni restas 00:02:44

ni divisiones, ¿vale? solamente multiplicaciones 00:02:48

entre el número y la letra 00:02:52

aunque no me pongan nada, lo que va a haber es una multiplicación 00:02:55

al número que está multiplicando a las letras se le va a llamar 00:02:59

coeficiente y a la parte 00:03:04

de letras con sus exponentes se le va a llamar literal 00:03:07

al conjunto completo y a cada una de las letras sueltas se le llamará 00:03:11

variable. Vamos a llamar grado 00:03:16

del monomio al número de letras que hay 00:03:20

y el número de letras le cuento con el exponente que tienen 00:03:23

dichas letras. Cuando yo tengo aquí menos 3x al cuadrado 00:03:28

en realidad el x al cuadrado me está diciendo que hay 2x multiplicándose 00:03:31

cuando tengo en el siguiente x por y al cubo 00:03:36

estaría diciendo que tengo una x y tres y 00:03:40

cuando voy a la siguiente expresión, que tengo x al cuadrado 00:03:44

y y z a la quinta, pues tengo dos x 00:03:48

una y y cinco z, o sea que 00:03:52

las letras repetidas las pondremos en forma de potencia 00:03:55

pues bueno, a esas letras con sus potencias 00:04:00

es a lo que se le llama parte literal del monomio 00:04:04

y al número que multiplica a esas letras 00:04:07

y que le pondremos delante de ellas siempre 00:04:10

se le llama coeficiente 00:04:13

¿vale? entonces tenemos aquí 00:04:15

estos ejemplos 00:04:18

en este por ejemplo que se ve bien ya que los otros salen montados 00:04:20

como ha dicho Verónica, por 5 cuartos 00:04:25

por x y al cubo tendré que el coeficiente 00:04:27

es el 5 cuartos 00:04:31

y la parte literal x y al cubo, donde las variables de esa parte literal, los valores desconocidos son la x y la y 00:04:33

y el grado del monomio es 4, puesto que tengo una x y tres y. 00:04:43

Entonces, a efectos prácticos, lo que haremos para calcular el grado de un monomio es sumar los exponentes de todas las letras que forman su parte literal. 00:04:51

O sea, perdona, o sea que la x no está elevada a 3 como la y, sería 1 solo. 00:05:03

No, sería 1. Cada una tiene su exponente. 00:05:09

Entonces, en el de abajo, por ejemplo, digo coeficiente, menos 3, porque el signo también va a ser siempre del número, nunca de las letras. 00:05:12

Si apareciese un signo menos sin ningún número entre medias, en realidad es como si te hubiese puesto un menos 1. 00:05:21

los unos como estamos con multiplicaciones 00:05:27

no hace falta ponerlos porque son el elemento neutro de la multiplicación 00:05:30

¿vale? ahora haremos una tablita con varios ejemplos 00:05:34

para que nos quede esto claro porque es importante 00:05:37

la parte literal sería x al cuadrado y z a la quinta 00:05:39

donde diríamos que tengo tres variables distintas 00:05:44

la x, la y y la z 00:05:48

y el grado del monomio va a ser 2 de la x 00:05:50

más 1 de la I más 5 de la Z 00:05:54

pues va a ser grado 8, ¿vale? ¿Se entiende? 00:05:57

Sí. Vamos al siguiente ejemplo, que esto tendría que poner raíz de 2 tercios 00:06:01

ha ido la raíz también fuera. Bueno, vamos a pensar que es el 2 tercios 00:06:06

solo. Solo hay coeficiente, no hay ninguna letra 00:06:10

entonces el coeficiente 2 tercios, variables no tiene 00:06:13

y como no hay ninguna variable, no hay ninguna letra, diremos que el grado es 0 00:06:17

¿Vale? Porque no hay nada 00:06:22

no hay nada en la parte literal 00:06:25

¿Vale? Es como si tuviese un 1 00:06:28

multiplicando al 2 tercios, pero dijimos que el 1 00:06:31

salía de elevar cualquier número 00:06:34

a 0, pues lo mismo que elevar cualquier 00:06:37

número a 0, salía de elevar cualquier letra a 0, que me daría 1 00:06:40

y luego el grado es 0 00:06:43

¿Vale? Y ahora, por último, antes de que hagamos esa tablita 00:06:45

Dos monomios decimos que son semejantes si tienen la misma parte literal, o sea, si tienen las mismas letras con los mismos exponentes. 00:06:50

No me importa que no estén en el mismo orden, lo que quiero es que sean las mismas y los mismos exponentes. 00:06:59

Entonces os digo aquí, monomios semejantes, pues el menos 3x al cuadrado y es semejante a 2 tercios de x al cuadrado y. 00:07:05

misma variable al cuadrado 00:07:14

misma variable elevada a 1 00:07:18

es semejante a x al cuadrado de y solo 00:07:19

y a raíz cuadrada de 5 00:07:22

x al cuadrado de y 00:07:26

ahora si me voy al de abajo digo 00:07:27

5 cuartos, que se ha comido la rayita también 00:07:29

x y al cubo 00:07:32

pues no es semejante a menos 3x y 00:07:34

porque aunque tiene las mismas variables 00:07:38

el exponente de la y 00:07:40

aquí es un 1 00:07:42

y en el anterior era un 3 00:07:43

no es semejante a 2 tercios 00:07:45

de X al cubo Y 00:07:48

porque en el primer monomio 00:07:48

la X tenía exponente 1 00:07:51

y aquí tiene exponente 3 00:07:53

en el primer monomio la Y tenía exponente 3 00:07:55

y aquí tiene exponente 1 00:07:58

tampoco es semejante al del medio 00:07:59

porque el exponente de las X 00:08:01

tampoco coincide 00:08:03

¿vale? entonces los monomios semejantes 00:08:04

¿se entienden? 00:08:08

que no va a hacer falta 00:08:10

luego para hacer las operaciones con polinomios, ¿vale? Bueno, pues vamos a 00:08:11

hacer un ejemplito rápido de esto. Me dice que tengo 00:08:15

estos monomios 00:08:22

y me pide el coeficiente, el literal 00:08:29

el grado y las variables 00:08:41

vamos a hacer como una tablita y vamos viendo distintos 00:08:48

ejemplos. Entonces, si yo digo, por ejemplo, 2x 00:08:55

Y al cubo Z 00:09:03

¿Quién sería el coeficiente? 00:09:06

El cubo 00:09:10

De este monomio, el coeficiente 00:09:11

El coeficiente era el número 00:09:13

Que multiplicaba las letras 00:09:16

Sí, multiplicando las letras 00:09:17

El número que va delante de las letras 00:09:19

Multiplicándolas siempre, ¿vale? 00:09:22

La parte literal o el literal 00:09:24

El literal 00:09:26

Que hemos dicho que era 00:09:28

Todas las letras con sus exponentes 00:09:29

¿Vale? Eso es lo que se llama 00:09:32

Parte literal 00:09:36

la parte que correspondería a letras, ¿vale? 00:09:37

El grado, pues era sumar todos los exponentes. 00:09:42

Y cuando no hay nada, el exponente es 1. 00:09:48

O sea, en este caso, el grado es 5. 00:09:50

Y las variables son cada una de las letras que aparezcan por separado. 00:09:52

Cada uno de esos datos que no conozco su valor, ¿vale? 00:09:58

Sí. 00:10:01

Bueno, pues tenemos este de ejemplo, vamos a por otro. 00:10:02

Me dicen menos 2 tercios de I al cubo Z. 00:10:05

¿Quién es el coeficiente? 00:10:12

Menos 2 tercios. 00:10:15

Menos 2 tercios. 00:10:17

¿Quién sería la parte literal? 00:10:19

I al cubo Z. 00:10:21

I al cubo Z. 00:10:23

¿Quién sería el grado? 00:10:25

Tenemos 3 más 1, 4. 00:10:27

3 más 1, 4. 00:10:30

Bien. 00:10:32

¿Y las variables? 00:10:32

las variables que era 00:10:34

que no me acuerdo, las letras, vale 00:10:37

Y, Y, Z 00:10:38

las letras una a una, vale 00:10:40

Y, Z, de acuerdo 00:10:42

ahora me dicen 00:10:44

menos 7 00:10:46

¿quién es el coeficiente? 00:10:48

menos 7 00:10:51

menos 7 00:10:52

¿quién es el literal? 00:10:54

pues no tiene literal, no hay ningún número 00:10:57

no hay ninguna letra 00:10:59

¿cuál es el grado? 00:11:01

Pues tampoco. Bueno, puede ser. Es un 1. 00:11:04

Acuérdate que el grado es el número de letras. 00:11:07

No hay ninguna letra, grado 0. 00:11:10

¿Y cuáles son las variables? 00:11:11

Pues tampoco hay. 00:11:13

En el parter literal no hay variables. 00:11:14

No tiene. 00:11:16

¿Vale? 00:11:18

Ahora me ponen menos x al cuadrado y al cubo. 00:11:18

¿Quién es el coeficiente? 00:11:25

No sé si hay que poner el signo negativo, pero no creo. 00:11:28

Que he dicho que cuando había un 00:11:31

El signo siempre iba con un número 00:11:33

Si no hay número, ¿qué número va a ser? 00:11:36

¿Qué número es el que hace falta que pongamos en la multiplicación? 00:11:38

El 1 00:11:40

El 1, pues entonces el coeficiente es menos 1 00:11:41

Esto es como el exponente 00:11:44

Cuando no me pongo nada es un 1, ¿vale? 00:11:46

Vale, vale 00:11:48

¿Quién sería la parte literal? 00:11:48

X al cuadrado por Y al cubo 00:11:52

O sea, por no 00:11:54

Y al cubo 00:11:55

¿Cuánto sería el grado? 00:11:56

5 00:11:58

Pues 2 más 3 00:11:59

5. ¿Y cuáles serían las variables? 00:12:01

La x y la y. 00:12:04

La x y la y. 00:12:06

Genial. ¿Entendido entonces? 00:12:08

Sí, sí. 00:12:10

¿Lo que se refiere a monomios? 00:12:11

Sí. 00:12:12

¿Habría algún monomio de estos que fuese semejante a otros? 00:12:13

No están elevados ninguno a lo mismo, no. Por lo tanto, no. 00:12:20

Los que tienen las mismas... 00:12:24

Siempre o tienen una letra distinta o cambian los exponentes. 00:12:25

Entonces, no hay ninguno semejante de todos estos, ¿vale? 00:12:30

¿De acuerdo? Todos tienen distinta parte literal. 00:12:34

Para que sean semejantes, tienen que tener la parte literal idéntica. 00:12:37

Mismas letras, con mismos exponentes, aunque las letras no estén en el mismo. 00:12:41

Eso me da igual. 00:12:45

Ah, vale, eso. 00:12:46

¿Vale? 00:12:47

Ah, vale, vale. 00:12:48

Si yo pusiese aquí, por ejemplo, vamos a poner uno que sí que sea semejante. 00:12:48

Digo, menos 7 y al cubo x al cuadrado. 00:12:54

pues estos dos son semejantes 00:12:59

aunque cambie el orden de las letras 00:13:04

vale, vale 00:13:05

lo que yo quiero es que se mantenga 00:13:08

cada una de las letras 00:13:14

y el exponente correspondiente a ella 00:13:16

me da igual que el orden sea distinto 00:13:20

y me da igual el coeficiente que tenga 00:13:23

porque lo que me está diciendo el coeficiente es cuántas veces 00:13:26

se repite ese literal. Y ese literal 00:13:29

es idéntico. Son las mismas 00:13:31

letras con los mismos exponentes. ¿Vale? 00:13:33

Vale. ¿De acuerdo? 00:13:35

Para rematar, pues, ¿quién sería el coeficiente 00:13:36

en este último? Y así dejamos la tabla 00:13:39

completa. En el último 00:13:41

¿qué me has dado? El 7. El menos 7. 00:13:43

El menos 7. Cuidado que el 7 no se nos quede atrás. ¿Vale? 00:13:45

¿El literal? 00:13:47

El literal sería y al cubo 00:13:49

y x al cuadrado. 00:13:51

Y al cubo y x al cuadrado. Que veo que es el mismo que arriba. 00:13:52

Nada más que los han cambiado de orden. 00:13:56

¿Cuál sería el grado? 00:13:57

el grado es 5 00:13:58

3 más 2 es 5, o sea que veo 00:14:00

que el grado es exactamente el mismo 00:14:02

y por último veo que las variables 00:14:04

son las mismas 00:14:06

cuando son semejantes 00:14:07

toda esta parte final coincide 00:14:11

mismas variables 00:14:14

mismo grado, mismo literal 00:14:16

solo puede variar 00:14:18

como mucho el orden de ese literal 00:14:20

pero tiene que ser todo igual, ¿vale? 00:14:22

vale, ¿de acuerdo? 00:14:24

bueno, pues vamos para adelante 00:14:26

Que vamos muy bien. Pues ahora, ¿qué será un polinomio? ¿Qué quiere decir el prefijo poli? Muchos, ¿no? Muchos. Pues un polinomio son muchos monomios. ¿Cómo va a aparecer este polinomio? Pues cuando yo quiera sumar monomios que no sean semejantes, ¿vale? 00:14:28

Cuando dos monomios son semejantes, los puedo juntar. Si yo tengo 2x al cuadrado y le sumo 3x al cuadrado, ¿qué tendré? 5x al cuadrado, ¿no? Pero si yo intento sumar 2x al cuadrado con 3y al cubo, no puedo, porque son variables distintas, son monomios distintos. Entonces, no los puedo juntar. No puedo juntar, como decía nuestra antigua presidenta de la comunidad, peras con manzanas, ¿vale? 00:14:51

entonces ahí aparecerán polinomios 00:15:16

entonces la diferencia entre un monomio y un polinomio 00:15:19

es la que me están contando 00:15:21

aquí, en una expresión algebraica 00:15:23

que está formada por la suma 00:15:25

suma o resta, me da igual 00:15:27

la suma y la resta en realidad son la misma 00:15:29

operación, aunque cuando restamos 00:15:31

vamos a ver aquí en polinomios que es 00:15:33

como sumar los opuestos de los 00:15:35

coeficientes, suma de monomios 00:15:37

que no son semejantes 00:15:39

aquí tengo 00:15:41

un menos 3x al cuadrado 00:15:42

más un 2x y menos un 5 00:15:44

donde tengo que el primero es un monomio de grado 2 00:15:47

el segundo un monomio de grado 1 00:15:49

y el tercero un monomio de grado 0 00:15:52

pues no lo voy a poder juntar en la vida 00:15:54

lo máximo que puedo hacer es 00:15:55

dejarlos así escritos indicados 00:15:58

las sumas 00:15:59

y al hacer esa indicación de la operación 00:16:01

se forma el polinomio 00:16:04

de hechos monomios 00:16:06

¿vale? 00:16:07

vamos a ver 00:16:09

la terminología en polinomios 00:16:09

Lo voy a llamar término a cada uno de los sumandos 00:16:13

O sea, a cada uno de los monomios que forman al polinomio 00:16:17

Ahora le vamos a llamar término 00:16:20

El grado de un polinomio corresponderá con el mayor 00:16:22

De los grados de los monomios que le forman 00:16:27

Entonces, por ejemplo, en este primero, ¿qué grado tendría? 00:16:29

Este 3x al cuadrado más 2x menos 5 00:16:33

Grado 2, ¿no? 00:16:36

Va a tener grado 2, porque es el grado más alto que ha aparecido en esa suma 00:16:37

O sea, el grado es el mayor que encuentres en los monomios que haya, que le formen, ¿vale? 00:16:41

En este segundo, ¿qué grado voy a tener? Pues grado 5, porque tengo un monomio de grado 5, uno de grado 3, uno de grado 2 y uno de grado 1, 00:16:49

entonces el que domina es el de grado 5, pues el grado de este segundo polinomio es 5. 00:16:57

Las variables, igual que los monomios, las letras que aparecen en él. 00:17:03

Los coeficientes, igual que los monomios, los números que multiplican a cada una de las letras de los monomios. 00:17:07

El coeficiente principal, pues va a ser el coeficiente del monomio de mayor grado. 00:17:15

En el primer ejemplo el coeficiente principal es menos 3, en el segundo ejemplo el coeficiente principal es el 5 cuartos. 00:17:22

¿Vale? Y luego aparece otro término que se llama término independiente, que es aquel que es independiente precisamente porque no tiene ninguna letra con él. O sea, que es el monomio de grado 0. Pues el término independiente en el primer caso es el menos 5 y en el segundo caso, como no hay ningún término de grado 0, ¿quién diremos que es el término independiente? 00:17:31

cuando no haya nada 00:17:55

pues diremos que es cero 00:17:56

¿vale? 00:17:59

¿más o menos? 00:18:02

sí, sí, lo estoy analizando, claro, todo 00:18:04

vamos a hacer la misma historia 00:18:05

vamos a hacer una tablita de un ejemplo 00:18:08

y lo vas a entender enseguida 00:18:10

igual que has hecho de bien el anterior 00:18:11

vas a hacer este, seguro 00:18:13

a ver, pues nos hacemos 00:18:15

una tabla en la que decimos 00:18:34

ahora, polinomio 00:18:36

y vamos a decirlo primero 00:18:38

términos, grado 00:18:47

término principal 00:18:55

término independiente 00:19:04

y por último 00:19:15

variables 00:19:20

¿vale? me dicen por ejemplo 00:19:22

2x al cubo 00:19:26

más 3x 00:19:28

menos 2 00:19:30

¿qué términos 00:19:32

componen ese polinomio? y hay que 00:19:34

recordar que los términos eran 00:19:36

los monomios que yo sumaba 00:19:38

para formar el polinomio 00:19:40

Entonces, ¿qué términos tiene? 00:19:42

El 3. 00:19:44

El 2x a la 3, que es el primer monomio que me aparece aquí. 00:19:46

El siguiente término. 00:19:51

El 3x, que sería el segundo monomio que me aparece aquí. 00:19:55

Y el último término, el menor 2, que es el último monomio que me aparece aquí. 00:19:58

¿Cuál sería el grado de este polinomio? 00:20:05

pues lo que hago yo es mirar dentro de los términos 00:20:07

que le componen, dentro de los monomios que le componen 00:20:12

cuál es el que tiene el exponente más alto 00:20:14

y el exponente más alto le tiene este 2x al cubo 00:20:16

ay, que no me acuerdo nunca que cuando yo pongo el punterito con el lápiz 00:20:20

no lo veis, este es el monomio de grado más alto 00:20:22

¿no? pues entonces el grado será 00:20:26

3 ¿no? 00:20:28

¿cuál sería el término principal? y tengo que acordarme 00:20:31

que el término principal es 00:20:34

el monomio que tiene el grado 00:20:37

más alto 00:20:39

2x al cubo 00:20:40

efectivamente 00:20:43

2x al cubo, todo el monomio entero 00:20:44

todo el término entero 00:20:47

el término independiente 00:20:49

pues tengo que acordarme que el término 00:20:51

independiente es el monomio 00:20:53

que tiene grado 0 00:20:55

¿quién era aquí el monomio o término que tenía 00:20:56

grado 0? menos 2 00:20:59

el menos 2, pues el término independiente 00:21:01

es menos 2 00:21:03

y ahora, ¿qué variables 00:21:05

han aparecido dentro de este polinomio? 00:21:06

3 más 1. 00:21:10

Pues solo la X. Variables son las letras distintas, ¿vale? 00:21:11

Ah, vale. 00:21:14

Variables son las letras ya puestas de una en una, ¿vale? 00:21:15

Literal era el conjunto de letras que estaban dentro del mismo monomio. 00:21:19

Cuando hablo de variables es cada una de las letras por separado, ¿vale? 00:21:24

Ok. 00:21:28

Venga, vamos a ver. 00:21:29

3 quintos de x al cuadrado 00:21:30

más 7x a la quinta 00:21:36

menos 5 00:21:39

¿Cuáles serían los términos de este polinomio? 00:21:41

3x al cuadrado 00:21:45

3 quintos de x al cuadrado 00:21:47

El término es todo el monomio entero 00:21:49

Eso te iba a decir, es todo 00:21:52

7x a la quinta 00:21:53

7x a la quinta 00:21:55

menos 5 00:21:57

y menos 5, serían cada uno de los monomios 00:21:58

que forman el polinomio, ¿vale? 00:22:00

¿Cuál sería el grado? 00:22:02

Los términos son cada uno 00:22:03

de los monomios que están 00:22:06

componiendo el polinomio 00:22:07

Término y monomio en el fondo es lo mismo 00:22:09

es un trocito del polinomio 00:22:11

en el que solo hay multiplicaciones 00:22:14

de números por letras 00:22:16

Cuanto que haya sumas, ya es 00:22:17

juntar varios monomios 00:22:20

juntar varios términos para que se forme 00:22:22

un polinomio 00:22:23

Muchos monomios, ¿vale? 00:22:25

¿Cuál sería el grado aquí? El 5. El 5, que es el más alto. ¿Cuál sería el término principal, por tanto? 7x a la 5. El 7x a la 5. ¿Cuál es el término independiente? Menos 5. El menos 5. ¿Y cuál es la variable que he utilizado? X también. La x. Vale. 00:22:27

Vamos a complicarlo un poco, que esto está muy controlado ya. Digo 2x al cuadrado y menos 3y al cubo x al cuadrado. ¿Cuáles serían los términos? 00:22:45

2x al cuadrado 00:23:03

2x al cuadrado 00:23:06

y 00:23:09

hasta que llegue al signo 00:23:09

este de la resta, al símbolo de la resta 00:23:12

o la suma 00:23:14

perdona, perdona un segundo 00:23:15

el siguiente término sería 00:23:17

3 menos 3 00:23:25

y al cubo 00:23:27

x al cuadrado 00:23:31

con el menos delante 00:23:33

y ¿quién sería 00:23:35

el grado aquí? 00:23:38

El grado sería, espérate que me vuelvo, el 3 00:23:39

No 00:23:44

A ver, que me he perdido, perdona 00:23:45

A ver, mira, cuando te pasa eso, tú dices, voy a ver monomio a monomio 00:23:47

¿Qué grado tiene este término? 00:23:53

Ah, pero el grado era la suma de todos 00:23:57

Efectivamente, cuando hay más de una letra hay que sumar todas las letras que hay 00:23:58

Entonces, con este grado 3 y este grado 5, en este caso el grado es 5, que es el más alto de los dos. ¿Quién sería el término principal, por tanto? 00:24:03

Y al cubo 00:24:16

Pues menos 3Y al cubo 00:24:20

X al cuadrado 00:24:23

Mientras solo haya multiplicaciones 00:24:25

Que es cuando no me ponen nada 00:24:27

Va todo junto 00:24:28

Hasta que no llegue a una suma o una resta 00:24:30

No cambio de término 00:24:32

Porque no estoy cambiando de monomio 00:24:34

¿Cuál sería el término independiente en este caso? 00:24:35

Pues no hay ningún término sin letras 00:24:42

Luego el término independiente va a ser el 0 00:24:44

Ah bueno, pero el menos 3 va con el 00:24:46

El menos 3 va con el yx al cuadrado. 00:24:48

Es verdad, es verdad. 00:24:51

Y vamos a complicarlo. 00:24:52

Mientras no ponga nada, son multiplicaciones entre medias. 00:24:53

Entonces el menos 3 va con el x y con la y. 00:24:57

Esta y al cubo x al cuadrado. 00:25:00

Y las variables distintas que me aparecen son la x y la y. 00:25:02

¿Vale? 00:25:07

Sí. 00:25:10

¿Sí? ¿Se entiende? 00:25:10

Sí, sí, sí. Hasta ahora lo he entendido. 00:25:13

Venga, vale. 00:25:15

voy a hacerte un comentario aquí que puede ser importante 00:25:15

luego más adelante, que no viene en la teoría 00:25:20

y es, pero vamos, es de lógica pura 00:25:23

por eso yo creo que no lo han puesto 00:25:27

y es, ¿cuándo es un polinomio completo? 00:25:28

¿cuándo decimos que un polinomio está completo? 00:25:36

¿y cuándo decimos que un polinomio está ordenado? 00:25:39

pues un polinomio estará completo 00:25:51

cuando tiene términos de todos los grados, desde el grado más alto que aparezca hasta el grado cero, ¿vale? 00:25:54

Entonces, digo, polinomio completo, 3x al cubo, más 2x al cuadrado, más x, menos 3, tengo términos de todos los grados, 00:26:01

Tengo término de grado 3, término de grado 2, término de grado 1 y término de grado 0, ¿vale? 00:26:17

Entonces no me falta ningún término, ¿vale? 00:26:26

Sí. 00:26:30

Ahora me dicen, por contra, polinomio incompleto, pues que me falte algún grado intermedio. 00:26:31

digo, tengo por ejemplo 00:26:43

3x al cubo 00:26:46

más 7x 00:26:47

menos 2 00:26:50

¿qué me está ocurriendo aquí? 00:26:51

que no hay término, ay, perdón 00:26:54

que he dicho x al cubo 00:26:55

y he puesto x al cuadrado 00:26:57

si no, no está bien 00:26:59

3x al cubo menos 7x 00:27:00

más 2, por lo que veo es que 00:27:03

falta el grado 2 00:27:06

¿no? 00:27:08

no hay término de grado 2 00:27:12

ha saltado de grado 3 00:27:14

ha saltado de grado 3 00:27:17

a grado 1 00:27:21

pero de grado 2 no está por ningún sitio 00:27:22

porque el siguiente es de grado 0 00:27:25

entonces este polinomio está incompleto 00:27:26

le falta un término 00:27:29

ahora, ¿qué es un polinomio ordenado? 00:27:31

pues un polinomio ordenado 00:27:36

es cuando los términos 00:27:37

que tenga, sean del grado que sea 00:27:39

están puestos en orden 00:27:41

de mayor a menor o de menor a mayor 00:27:42

Yo tengo x a la quinta más 7x al cuadrado más 2x más 3. 00:27:45

Este polinomio no es completo porque me falta el grado 4 y el grado 3, pero los grados que tengo están colocados en orden. 00:27:57

¿Vale? 00:28:08

Ajá. 00:28:09

Ahora, yo digo, ¿qué pasaría si tengo x al cubo menos 7x a la 6 más 4x al cuadrado menos 1? 00:28:11

¿Qué le ocurre a este? 00:28:24

Que es incompleto y está desordenado, porque me ha aparecido aquí el grado 6 entre medias de un grado 3 y de un grado 2. 00:28:26

Eso no puede ser. 00:28:38

¿Vale? O sea que este polinomio es lo peor que me puede ocurrir 00:28:39

Porque es incompleto y no está ordenado 00:28:45

¿Vale? Se ve, ¿no? Esto de ordenado y completo 00:28:53

¿Y qué pasa si lo vemos así? 00:29:01

Bueno, lo que pasa es que cuando vayamos a las operaciones con polinomios lo vamos a ver 00:29:03

Es que en matemáticas cuanto más orden lleven las cosas, mejor 00:29:06

porque si tengo las cosas desordenadas 00:29:10

pues me puedo liar y juntar 00:29:13

términos que no corresponden 00:29:15

entonces cuando me manden a hacer sumas y restas 00:29:17

sobre todo de polinomios 00:29:19

lo primero que voy a hacer es ordenarlos 00:29:21

y si no son 00:29:23

completos dejar huequitos 00:29:25

por aquí, como voy a tener 00:29:27

que sumar por términos 00:29:29

semejantes, o sea voy a tener que sumar 00:29:31

las x al cuadrado con las x al cuadrado 00:29:33

las x al cubo con las x al cubo 00:29:34

las x a la quinta con las x a la quinta 00:29:36

pues si yo las tengo bien colocaditas 00:29:38

las veré muy rápido las sumas 00:29:40

si lo tengo todo mezclado pues puede ocurrir 00:29:43

que me deje algún término atrás 00:29:45

o que alguno le ponga dos veces 00:29:47

o que le suma con quien no debo 00:29:49

y ya la he liado 00:29:51

y siendo una operación tan sencilla como sumar y restar números 00:29:52

pues monte la de Dios 00:29:55

por no haber colocado bien las cosas 00:29:57

lo vamos a ver ahora mismo 00:29:58

lo vamos a pasar a las operaciones 00:30:00

entonces por eso quería comentar 00:30:01

a que se llama 00:30:05

polinomio completo y ordenado para que ahora cuando me hagan referencia a ello 00:30:07

que en la teoría no me lo han dicho, pues sepa de qué me están hablando 00:30:10

¿vale? Bueno, antes de pasar a ello vamos a terminar 00:30:15

viendo la última definición que es 00:30:18

¿qué es el valor numérico de un polinomio? Y esto es muy simple 00:30:22

el valor numérico de un polinomio es 00:30:27

el número que saldría si yo cambio cada letra 00:30:30

que forma el polinomio, cada letra que forma su literal 00:30:36

o cada variable, como lo queramos llamar 00:30:38

por un número concreto que me digan 00:30:41

y hago las cuentas 00:30:43

como si fuesen luego operaciones combinadas 00:30:45

de números enteros 00:30:46

entonces, tengo aquí por ejemplo 00:30:47

si yo tengo el polinomio este 00:30:49

2x al cubo, menos 3x 00:30:52

más x al cuadrado y 00:30:55

y la x vale menos 1 00:30:56

y la y vale 2 00:30:59

¿cuánto valdría este polinomio? 00:31:00

pues lo único que tengo que hacer es 00:31:03

cambiar todas las x por menos 1 y todas las y 00:31:04

por 2, ir haciendo la cuenta, 2 00:31:08

por menos 1 al cubo, menos 3 por menos 1 00:31:12

más menos 1 al cuadrado por el 2 00:31:17

que valía la y, hago esa operación combinada y el resultado 00:31:21

final que es el 3 sería el valor numérico 00:31:24

de este polinomio para esos valores de la variable 00:31:28

¿Se ve? Sí, es muy tonto, muy de lógica. Vamos a hacer un ejemplo para que nos quede del todo claro. Me dice, valor numérico de x al cubo menos 7x al cuadrado más 3x menos 2 para x igual a menos 2. 00:31:32

Pues, ¿qué es lo que tengo que hacer? Ir cambiando todas las x por menos 2. 00:32:03

Entonces, lo vamos a hacer aquí debajo, justo para que se vea mejor. Menos 2 elevado a 3 menos el 7 por, otra vez, menos 2 elevado a 2 más 3 por menos 2 y el menos 2 final. 00:32:11

perdón, el menos 2 esto lo quería poner en rojo 00:32:38

para que sí se vea bien 00:32:40

que solo estoy cambiando las x 00:32:43

que todo lo demás que dejo en verde 00:32:45

es lo que tenía de operaciones el polinomio 00:32:48

pues ahora hago esas cuentas y digo 00:32:50

menos 2 al cubo 00:32:52

pues lo primero que me tengo que acordar 00:32:54

que no se me olvide de los números enteros 00:32:56

es que una potencia impar 00:32:58

de un número negativo 00:33:01

me daba resultado negativo 00:33:04

y ahora 2 elevado a 3 00:33:07

era 8, o sea que eso me sale 00:33:10

menos 8, en el siguiente 00:33:11

digo al 7 le tengo que multiplicar 00:33:14

por lo que me salga de multiplicar 00:33:15

menos 2 por menos 2 00:33:17

o lo pienso como potencia 00:33:19

potencia par 00:33:21

de un número negativo, el resultado va a ser 00:33:23

positivo, y ahora 2 al cuadrado 00:33:25

¿cuánto es? 00:33:28

4, y aquí lo primero 00:33:29

que haría es regla de signos 00:33:32

más 3 00:33:33

cuando lo multiplique por menos 2 00:33:35

más por menos 00:33:37

lo primero, menos 00:33:38

o sea que como siempre 00:33:40

estamos haciendo ya operaciones con números enteros 00:33:42

pues volvemos a lo que decíamos 00:33:45

de números enteros, que controléis bien 00:33:47

los signos antes de hacer 00:33:49

la cuenta numérica, porque los signos 00:33:51

son los que nos van a hacer la puñeta 00:33:53

el 90% de las veces 00:33:54

y ahora ya voy a la siguiente operación 00:33:56

hemos quitado las potencias, ahora tengo que quitar 00:33:59

las multiplicaciones 00:34:01

y me queda todavía esta 00:34:03

pues menos 7 por 4, 28 00:34:04

el menos 6 y el menos 2 00:34:08

como todos los números son negativos 00:34:11

el resultado va a ser negativo 00:34:14

si hubiese negativos y positivos 00:34:15

pues acordaros que os decía que 00:34:17

agrupaseis mejor positivos por un lado 00:34:19

y negativos por otro 00:34:21

porque nos vamos a equivocar menos 00:34:22

como aquí todos son negativos, no hace falta 00:34:24

digo 28 más 2, 30 00:34:26

más 8, 38 00:34:29

voy agrupando por los que me sean más fáciles 00:34:31

28, y 2, 30, y 8, 38, y 6, 44. 00:34:33

Pues el resultado final es 44. 00:34:39

Pues este es el valor numérico que estábamos buscando. 00:34:42

Es cuánto sale de resultado si yo las X las cambio por un valor concreto. 00:34:47

Que hay X, Y, Z, pues tendré que cambiar la X, la Y, la Z, cada una por su valor. 00:34:52

Nada más, solo es sustituir y hacer las cuentas, teniendo mucho cuidado de hacer las cuentas. 00:34:58

en el orden correspondiente y muchísimo más cuidado aún con los signos. 00:35:03

¿Vale? 00:35:10

Vale. 00:35:11

He entendido esto, ningún problema, ¿no? 00:35:11

No. 00:35:13

Bueno, pues vamos a ver ahora cómo se operan por enormes. 00:35:15

Y yo, querido, ponemos aquí una cosa importante, 00:35:19

para que no nos vuelvan locos esas reglas de los signos que nos traen a maltraer 00:35:24

y estaremos en junio y seguiremos todavía con problemas con los signos. 00:35:28

Y es esto, que llamamos polinomio opuesto a aquel que tiene los términos iguales pero cambiando todos los signos. 00:35:32

O sea, yo digo, el opuesto de 5 era menos 5, el opuesto de menos 2 era más 2, el opuesto de 1 es menos 1, el opuesto de menos 6 es más 6. 00:35:42

Pues el opuesto del polinomio completo, en definitiva, es que cambie todos los signos de todos sus términos. 00:35:53

no me como la cabeza de ir uno a uno 00:35:59

sino que cuando me hablen de opuesto 00:36:02

del tirón cambio los signos de todos los términos 00:36:04

y me olvido ya 00:36:07

¿cuándo vamos a usar esto y cuándo nos va a ser muy útil? 00:36:08

cuando hagamos restas 00:36:12

porque restar es lo mismo que sumar el opuesto 00:36:13

entonces cuando me manden restar un polinomio a otro 00:36:16

lo que yo hago es al polinomio del sustraendo 00:36:21

que es el que está restando 00:36:25

le cambio todos los signos 00:36:26

y lo que hago es sumar los resultados de ese polinomio con el que tenía original, ¿vale? 00:36:28

Lo vamos a ver ahora mismo. 00:36:34

Entonces, sumas y restas se van a hacer de la misma manera. 00:36:36

Solo tengo que tener cuidado de que si es una resta, 00:36:40

cambie los signos del polinomio que está restando antes de empezar a sumar y restar. 00:36:43

Ahora, ¿cómo se suma y resta? 00:36:47

Pues, de pura lógica, digo, para sumar y restar polinomios, 00:36:49

lo que voy a hacer es juntar los términos semejantes 00:36:54

juntar los términos que tienen el mismo 00:36:58

grado, ¿vale? Lo vemos directamente 00:37:00

en el ejemplo. Aquí me dice que si me los han dado los ponidos entre paréntesis 00:37:03

que quite los paréntesis dejando 00:37:07

los signos iguales y tengo un más delante 00:37:10

y cambiando todos los signos y tengo un menor delante 00:37:11

eso así a mí me parece un poco rojo. Mejor 00:37:14

que me quede con la historia que me están diciendo. Si me están mandando 00:37:19

sumar yo juntos los términos semejantes 00:37:22

si me están mandando restar 00:37:24

los junto igualmente pero asegurándome 00:37:26

de que el primero cambia todos los signos 00:37:29

del que resta 00:37:30

cuando yo estoy 00:37:31

restando estos dos polinomios 00:37:33

lo que hago es a este segundo 00:37:36

cambiarle todos los signos 00:37:38

entonces ese 7 al cubo será un menos 7 al cubo 00:37:40

este 4x al cuadrado 00:37:43

será un menos 4 00:37:44

este menos x será un más x 00:37:45

y el 8 será un menos 8 00:37:47

voy a ver cuantas x a la cuarta tengo 00:37:48

que era el primer término que tenía que sumar 00:37:52

solo tengo estas, aquí no hay ninguna 00:37:54

pues el resultado final de la suma 00:37:56

2x a la cuarta 00:38:00

¿cuántas x a la quinta? 00:38:01

pues tengo menos 5 de aquí 00:38:03

más otras menos 7 que me salieron aquí 00:38:05

al cambiar de signo 00:38:08

pues en total 00:38:09

menos 5 y menos 7 00:38:10

me va a dar menos 12x al cubo 00:38:13

¿cuántas x? 00:38:16

pues aquí tengo una 00:38:18

y como esta la tenía que cambiar de signo 00:38:19

me va a salir otra más positiva. Pues una positiva más otra positiva en total 2x positivos. 00:38:21

Aquí tengo de término independiente un menos 2 y este 8 se convirtió en un menos 8. 00:38:29

Pues menos 2 del primero más menos 8 del segundo en total menos 10. 00:38:35

O sea que lo que estoy haciendo es juntar los términos semejantes simplemente sumando sus coeficientes 00:38:40

Y los literales no los toco, ¿vale? Bajo mi gusto, mejor que hacerlo en línea, y por eso decía lo de ordenar los polinomios, hacerlo en vertical, que lo tenemos más asociado. 00:38:49

entonces vamos a hacer un ejemplo 00:39:03

ya veréis como hará eso 00:39:05

que parece que es que ha estado contando 00:39:08

este hombre que rollo 00:39:10

como cuando lo ordenemos hace un poco 00:39:11

igual que hago con los números 00:39:14

las unidades con las unidades, las decenas con las decenas 00:39:16

yo tengo, fijaos que luego 00:39:18

más adelante y en los ejercicios no lo pone así 00:39:20

tengo un polinomio p de x 00:39:22

que es 2x al cubo 00:39:24

más 7x al cuadrado 00:39:26

más 3x 00:39:29

menos 1 00:39:30

Y quiero sumarle un polinomio q de x que va a valer 2x al cuadrado menos 7x al cubo más 4 y menos 3x. 00:39:31

Joder, es que esto está todo descolocado. Pues, ¿qué puedo hacerlo primero? Ordenarlo. 00:39:47

Digo, al primero me le daban ordenado y completo. ¿Vale? Estaba todo colocadito. Genial. 00:39:53

me han hecho un favor muy grande, pero el segundo me lo dan todo descolocado 00:40:00

aunque está completo, pues lo que hago es decir 00:40:05

voy a poner las x al cubo debajo de las x al cubo 00:40:08

las x al cuadrado debajo de las x al cuadrado 00:40:13

el término de grado 1 debajo del término de grado 1 00:40:16

y el término independiente debajo del término independiente 00:40:20

y lo que hago es sumarlos por columnas 00:40:23

cada oveja con su pareja 00:40:28

lo que estoy haciendo es sumar los términos semejantes 00:40:30

o los monomios semejantes 00:40:35

si al menos 1 le sumo 4 00:40:36

¿cuánto tengo en total? 00:40:40

pues más 3 00:40:43

si a 3x le quito 3x 00:40:45

¿qué me va a ocurrir? 00:40:49

que las x desaparecen 00:40:51

si al 7x al cuadrado 00:40:53

le sumo otra 2x al cuadrado 00:40:56

¿qué me va a ocurrir? 00:40:59

que en total tendré 9x al cuadrado 00:40:59

y si al 2x al cubo 00:41:02

le sumo menos 7x al cubo 00:41:05

la suma de números enteros 00:41:08

decíamos cuando era uno positivo 00:41:09

y otro negativo 00:41:11

poníamos el signo del más grande 00:41:12

y al grande le quitaba el pequeño 00:41:14

si tengo 2 euros que decíamos 00:41:15

y me quiero gastar 7 00:41:19

¿qué me va a ocurrir? 00:41:20

que me faltan 5 ¿no? 00:41:22

pues a que así es más razonable 00:41:23

y más práctico el hacer la suma 00:41:27

pero es esto lo de antes 00:41:29

es esto lo mismo de antes 00:41:31

nada más que lo que hemos hecho primero es colocar las cosas 00:41:32

y no cambia el signo 00:41:35

al no restar no se cambia el signo 00:41:36

al no restar no se cambia el signo 00:41:38

ahora vamos a hacer una resta 00:41:40

para rematar y dejamos las multiplicaciones y divisiones 00:41:41

para el próximo día 00:41:44

que las podéis ir echando un ojo 00:41:45

porque las multiplicaciones las vais a entender muy bien 00:41:47

las divisiones se complican un poquito más 00:41:50

y tenemos luego ahí la regla de Ruffini 00:41:52

que esa la explicaré despacito 00:41:55

pero las multiplicaciones las vais a saber 00:41:57

hacer seguro, porque es igual 00:41:59

que en números 00:42:01

tú multiplicas las unidades 00:42:02

cuando tienes el número de varias cifras, las unidades 00:42:04

por todas las cifras, luego las decenas por todas las cifras 00:42:07

y vas colocando, ¿no? 00:42:09

vas saltando una posición, pues aquí lo que vas a ir 00:42:10

colocando es lo grado de los monomios 00:42:13

que te sale, cuando 00:42:15

multipliques, por ejemplo 00:42:17

el 4 lo multiplicas por todo y no te varía 00:42:18

al grado del polinomio, pero cuando multiplicas el 3x 00:42:21

hay que multiplicar 00:42:23

por un lado los coeficientes 00:42:25

y por otro lado los literales 00:42:27

y cuando hagas aquí x por x 00:42:29

te va a dar una x al cuadrado, entonces eso es lo que 00:42:31

te hace que te saltes una posición 00:42:33

pues tú lo único que harás es el resultado 00:42:35

ponerle debajo las x al cuadrado 00:42:37

¿vale? bueno, vamos a 00:42:38

hacer una resta y luego eso ya te digo 00:42:41

cuando mires los ejemplos seguro que 00:42:43

vas a entenderlo a la primera 00:42:45

vamos a hacer una resta 00:42:47

para ver lo que estábamos diciendo antes 00:42:49

Yo quiero al polinomio p de x, que es 3x al cuadrado menos 7x, solo así, le quiero restar el polinomio q de x, que es 5x al cubo más 2x al cuadrado menos 3x más 1. 00:42:51

Pues lo que digo es lo siguiente. 00:43:16

lo que digo es 00:43:18

el p de x se queda como está 00:43:24

pero al q de x como está restando 00:43:26

le tengo que cambiar todos los signos 00:43:35

o sea que 00:43:37

ese se va a convertir en negativo 00:43:38

ese se va a convertir en negativo 00:43:43

ese se va a convertir en positivo 00:43:46

y ese se va a convertir en negativo 00:43:48

pues yo los pongo ya con esos signos 00:43:50

y los coloco ya cada uno en su 00:43:52

columna correspondiente, digo menos 5x al cubo 00:43:54

menos 2x al cuadrado 00:43:59

más 3x menos 1 00:44:03

y sumo los resultados, lo que hago en realidad es una suma 00:44:07

después de haberme asegurado que he cambiado los signos 00:44:11

y los sumo por monomios semejantes, igual que antes 00:44:14

entonces el menos 1 con nadie más, pues se queda menos 1 00:44:18

ahora, menos 7x más 3x 00:44:22

¿qué me va a dar? menos 4x 00:44:26

3x al cuadrado menos 2x al cuadrado, pues me va a quedar 00:44:29

solo una x al cuadrado, los unos no hace falta ponerlos de coeficiente 00:44:34

¿vale? y el menos 5x al cubo que estaba solo, pues se sigue 00:44:38

quedando como está, o sea, que he transformado la resta en una 00:44:42

suma, ¿vale? de los opuestos 00:44:46

de cada uno de los coeficientes 00:44:50

y así me va a ser más cómodo 00:44:51

más fácil y me voy a equivocar 00:44:54

menos porque no tengo que ir pensando 00:44:56

uno a uno la regla de los signos 00:44:58

sino que los cambio a todos 00:45:00

del tirón y luego ya sumo 00:45:02

los resultados 00:45:04

¿vale? 00:45:04

entonces, sumas y restas 00:45:08

entendidas 00:45:10

si no te lo dan ordenado 00:45:11

como me explicabas antes 00:45:14

lo puedo ordenar yo sin ningún problema 00:45:15

¿verdad? 00:45:18

Y yo os aconsejo que lo hagáis así en vertical en vez de en horizontal, que nos ponen los ejemplos, porque así tú te puedes dar el lujo ese de ordenar todo antes de empezar a operar. Y el tener todo ordenado es el 90% del ejercicio. Si lo tengo todo revuelto, va a ser muy, muy fácil que me equivoque, ¿vale? 00:45:18

Si lo tengo ordenadito, es que son sumas y restas de números enteros, que las sabemos hacer de sobra, o multiplicaciones en las que mezclo multiplicación de número entero con regla de las potencias. 00:45:39

O sea que nada que no sepamos de antes, donde la regla de las potencias me dice que si estoy multiplicando potencias de la misma base, solo tengo que sumar los exponentes. 00:45:52

Ya está. Entonces, muy sencillo si lo ordeno. Si lo dejo todo revuelto, aun siendo igual de sencillo, tendemos a equivocarnos mucho más, porque termino perdiendo términos. Como los polinomios sean muy largos, ¿alguno me dejo atrás? Seguro. O soy muy ordenado, que voy marcando cada uno de los que estoy usando, o me dejo alguno atrás. 00:46:00

o si no me dejo el término, me dejo 00:46:21

sobre todo los negativos 00:46:23

y digo, uy, y ahora si no este cual era 00:46:25

y ya la hemos dado, cuando me pierda uno 00:46:27

me he cargado todo el ejercicio, vale 00:46:29

si lo tengo todo colocadito y ordenadito 00:46:31

no tiene que haber ningún problema 00:46:33

¿de acuerdo? 00:46:35

muy bien, bueno, pues aquí lo dejamos 00:46:37

hoy, miro lo de los ejercicios 00:46:40

vale, y te digo, si por favor y me pones 00:46:41

un correo y dices, pues ya salen bien 00:46:43