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Vectores - Contenido educativo

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Subido el 20 de octubre de 2023 por Elias M.

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Buenos días, hoy empezamos tema nuevo. El título es geometría analítica. 00:00:00
La geometría analítica es una parte de las matemáticas que se encarga de traducir gráficas en fórmulas y fórmulas en gráficas. 00:00:07
Ese va a ser el objetivo de nuestro tema. 00:00:17
Cuando veamos una gráfica, saber cuál es la fórmula que le corresponde, y cuando veamos una fórmula, saber cuál sería la gráfica que representa. 00:00:20
Podemos decir que la geometría analítica empezó en el siglo XVII, cuando Descartes, que era un filósofo y matemático francés, inventó, entre otras cosas, 00:00:29
el sistema de coordenadas cartesianas, que ya conocéis de otros años. 00:00:43
Entonces, el sistema de coordenadas cartesianas, sabéis que consta de dos ejes perpendiculares. 00:00:49
El eje de las X se le llama eje de abscisas, y el eje vertical, donde representamos la coordenada Y, se llama el eje de ordenadas. 00:01:00
Donde se cruzan es el origen de coordenadas, el punto 00, que se representa con una O. 00:01:17
Y luego las unidades positivas horizontales van hacia la derecha, 1, 2, lo sabéis de sobra. 00:01:30
Las positivas en el eje de ordenadas van hacia arriba, 1, 2, así, todo lo que quisiéramos prolongarlas. 00:01:39
Y las negativas van hacia abajo y hacia la izquierda. 00:01:46
Y este sencillo invento nos permite empezar a representar gráficas y traducirlas en fórmulas. 00:01:55
Porque con este invento podemos representar, por ejemplo, darle unos valores al punto A. 00:02:05
Lo que es un dibujo, un punto, podemos expresarlo con números ahora. 00:02:11
Entonces, el punto A siempre se dan las coordenadas X e Y en este orden. 00:02:17
La coordenada X del punto A, la coordenada Y del punto A. 00:02:26
Siempre X e Y en orden alfabético. 00:02:32
¿Cuáles son? Pues la X2, Y1. 00:02:34
Representado así entre paréntesis y separados por coma las coordenadas del punto A. 00:02:39
Igualmente, este punto que le voy a llamar B, veo cuánto está desplazado hacia la derecha y cuánto está desplazado hacia abajo. 00:02:48
B tendría coordenadas, vamos a llamarle X del punto B, Y del punto B. 00:02:58
Serían coordenadas 2 también, porque son dos unidades hacia la derecha, y menos 3. 00:03:06
Esto lo sabéis de sobra de otros años, ¿de acuerdo? 00:03:11
Muy bien, pues así se representan los puntos en el plano. 00:03:14
Pero aparte de puntos en el plano, se pueden representar otras cosas. 00:03:23
Por ejemplo, líneas, ¿vale? 00:03:27
Y las líneas, ya sean rectas o curvas, simplemente es puntos puestos uno a continuación del otro, ¿vale? 00:03:29
Eso lo veremos más adelante. 00:03:38
Y otra cosa que vamos a representar en el plano van a ser los vectores, ¿vale? 00:03:40
Para entender para lo que sirven los vectores, necesitamos recordar que eran las magnitudes, 00:03:45
algo que estudiábamos en ciencias naturales o que habréis estudiado más recientemente en física, ¿vale? 00:03:52
Las magnitudes simplemente son algo que se puede medir, ¿vale? 00:03:57
Propiedades o características de los objetos que podemos medir. 00:04:04
Por ejemplo, de una mesa, ¿qué podemos medir? 00:04:07
Pues lo larga, lo ancha que es, la superficie que tiene, lo que pesa, ¿vale? 00:04:10
De un coche, ¿qué podemos medir? 00:04:15
Pues lo mismo, las dimensiones. 00:04:17
Podemos medir también otra cosa, como la velocidad a la que va, 00:04:19
o el tiempo que tarda en llegar a determinado sitio, ¿vale? 00:04:25
Entonces hay muchos tipos distintos de magnitudes y se miden con unidades diferentes, 00:04:32
depende de lo que sean, ¿vale? 00:04:37
Y se representan también de formas diferentes. 00:04:39
Las magnitudes, tenemos básicamente dos tipos de magnitudes. 00:04:41
Las magnitudes escalares, que se pueden representar con un número. 00:04:44
Por ejemplo, la temperatura se representa con un número que indica los grados a lo que está. 00:04:48
Cuando el número es más alto, pues mayor temperatura tiene. 00:04:53
Cuando el número es más bajo o es negativo, pues menos temperatura tiene, ¿vale? 00:04:56
El tiempo también se mide con un número, ¿vale? 00:05:01
El peso, las longitudes, las distancias, se miden. 00:05:04
La capacidad de lo que cabe en algún sitio se mide con un número, ¿vale? 00:05:09
El número ese puede representar litros, metros, segundos, lo que sea. 00:05:15
Esos son magnitudes escalares porque solo necesitan un número para representarlas. 00:05:20
Pero hay otro tipo de magnitudes que podríamos decir que son más complejas, 00:05:25
que no basta con un número para explicarlas del todo. 00:05:28
Necesitamos más información. 00:05:32
Y son las magnitudes vectoriales. 00:05:34
¿Qué información necesitamos? 00:05:37
Necesitamos lo que se llama módulo, la dirección y el sentido. 00:05:39
Una magnitud vectorial que todos conocéis es, por ejemplo, la velocidad, ¿vale? 00:05:43
La velocidad de algo que se está moviendo. 00:05:50
Si solo decimos un número, por ejemplo, los kilómetros por hora a los que se mueve en coche, 00:05:53
pues vale, es algo de información. 00:05:58
Pero nos interesaría también saber otras cosas como la dirección en la que se mueve y el sentido, ¿vale? 00:06:00
Esto es módulo, dirección y sentido. 00:06:10
El módulo representa la intensidad, lo fuerte que es esa magnitud, ¿vale? 00:06:12
Lo grande que es esa magnitud. 00:06:17
La velocidad, cuanto más alta sea, tendrá el módulo más grande. 00:06:20
Cuántos más kilómetros por hora vaya un coche, más grande tendrá el módulo. 00:06:27
Vamos a ver ya cómo es el dibujo para representarlo, ¿vale? 00:06:36
Porque los escalares simplemente se representan con un número. 00:06:45
Pero las magnitudes vectoriales se representan con un dibujo. 00:06:48
Y el dibujo es una flecha, ¿vale? 00:06:51
Porque en la flecha podemos representar estas tres cosas. 00:06:56
El módulo. El módulo es la longitud de la flecha. 00:06:59
Cuanto más grande es la longitud de la flecha, mayor es la intensidad de esa magnitud, ¿vale? 00:07:02
Una persona andando a 5 kilómetros por hora, pongamos que es así de largo, 00:07:07
y anda en esa dirección y en ese sentido, ¿vale? 00:07:13
La dirección es la inclinación de la recta sobre la que podríamos dibujar la flecha, 00:07:16
pero con esta inclinación puede ir o hacia arriba o hacia abajo, ¿vale? 00:07:22
Pues una persona que está moviéndose en esa dirección y en ese sentido, ¿vale? 00:07:27
5 kilómetros por hora. 00:07:32
Pero pongamos que esta cuesta la está subiendo un coche también. 00:07:34
O, bueno, para que me salga mejor el dibujo, un ciclista. 00:07:38
Un ciclista que va subiendo la cuesta, pero el ciclista va a 20 kilómetros por hora, 00:07:45
cuatro veces más rápido por la flecha. 00:07:52
Tiene módulo 20, ¿vale? 00:07:57
Y va en la misma dirección porque es la misma cuesta, 00:08:00
y en el mismo sentido porque va hacia arriba, ¿vale? 00:08:04
Si ahora el ciclista bajara la misma cuesta y va a 60 kilómetros por hora, 00:08:08
bajando, la velocidad se representaría así, 00:08:18
con una flecha tres veces más grande que subiendo, 00:08:22
y apuntando la flecha hacia abajo porque está bajando la cuesta, ¿vale? 00:08:29
La coordinación, esa es la dirección, es la misma en los tres casos, 00:08:34
pero lo que cambia es el módulo y el sentido. 00:08:39
En estos ejemplos que os he puesto, ¿vale? 00:08:43
¿De acuerdo? 00:08:46
Pues esas son las características básicas de un vector. 00:08:48
Módulo, dirección y sentido. 00:08:51
Pues vamos a ver ya cómo se representaría un vector 00:08:55
en el sistema de coordenadas cartesianas, ¿vale? 00:08:59
He hecho aquí un dibujito. 00:09:02
Fijaos que hay que simplemente representar una flecha, ¿vale? 00:09:05
Y quiero deciros que hay varios tipos de vectores, ¿de acuerdo? 00:09:11
Vamos a ponerlo aquí. 00:09:15
Tipos de vectores. 00:09:17
Tipos de vectores. 00:09:20
¿Vale? Pues el más sencillo sería un vector fijo. 00:09:26
Vector fijo. 00:09:29
¿Vale? ¿Qué se considera un vector fijo? 00:09:32
¿Vale? Pues un vector que lo hemos aplicado en un punto. 00:09:36
Este es el punto de aplicación o origen del vector 00:09:41
y hasta donde llega se llama extremo del vector, ¿vale? 00:09:45
Entonces el vector tiene un origen, que es un punto, el punto C, 00:09:50
y el extremo, que es el punto B. 00:09:53
El origen también se le llama punto de aplicación del vector, 00:09:55
que es donde estamos aplicando la fuerza. 00:09:57
Pongamos que el coche estaría aquí y la velocidad está aquí. 00:10:00
O si vamos a empujar algo para que se mueva, 00:10:05
la fuerza que vamos a emplear para que empiece a moverse el objeto 00:10:08
se aplicaría en el punto C, ¿vale? 00:10:13
Punto de aplicación o origen del vector y extremo del vector. 00:10:16
¿Cómo calculamos las coordenadas? 00:10:20
Este vector se llamaría vector CD 00:10:23
y se pondría una flechita aquí, ¿vale? 00:10:27
Siempre la primera letra es el origen 00:10:29
y el extremo la segunda letra 00:10:31
y la flecha que va del origen al extremo. 00:10:33
Y este es el nombre del vector. 00:10:35
¿Cómo se representan las coordenadas del vector? 00:10:37
Pues decimos que el vector CD tiene coordenadas... 00:10:40
¿Cómo se calculan? 00:10:45
Pues restando D menos C, el extremo menos el origen. 00:10:47
¿Cuáles son las coordenadas del punto D? 00:10:51
Pues lo miramos. 00:10:55
6, 8. 00:10:57
6, 8 menos... 00:10:59
Las coordenadas del punto C son 2, 5. 00:11:02
2, 5. 00:11:06
¿Cómo se hace esta operación de restar las coordenadas de dos puntos? 00:11:08
Pues la X con la X y la Y con la Y. 00:11:12
6 menos 2 da 4 y 8 menos 5 da 3. 00:11:16
Estas son las coordenadas del vector CD. 00:11:21
Este es un vector fijo. 00:11:26
¿Cómo sabemos cuál es un vector fijo? 00:11:28
Porque tiene un punto donde se aplica, ¿vale? 00:11:30
Pero llamamos también... 00:11:33
Entonces tiene punto de aplicación. 00:11:38
Por lo tanto tiene origen y extremo del vector. 00:11:48
Vale, pues llamamos vectores equipolentes a todos los que tienen el mismo módulo... 00:11:59
Bueno, la misma, ya que ha empezado así, 00:12:23
misma dirección, sentido y módulo. 00:12:25
Vale, entonces fijaos. 00:12:38
Este vector, el CD, y el vector OA son equipolentes 00:12:40
porque los dos tienen la misma dirección, están inclinados igual, 00:12:46
tienen el mismo sentido hacia arriba y son igual de largos. 00:12:52
¿De acuerdo? 00:12:56
Son vectores equipolentes. 00:12:57
Y llamamos vectores libres a cualquier representante de todos los vectores equipolentes que hay. 00:12:59
Hay infinitos vectores equipolentes. 00:13:14
Los podemos colocar donde sea. 00:13:17
Pues un representante que no tiene ni origen ni extremo, ¿vale? 00:13:19
Uno genérico que tiene el mismo módulo, dirección y sentido, 00:13:26
pero que no hemos aplicado a ningún sitio 00:13:29
y lo representamos con una letra minúscula y la flechita, ¿vale? 00:13:31
Diríamos que es el vector libre representante de todos los vectores equipolentes 00:13:35
que hay con este módulo, esta dirección y este sentido. 00:13:40
No indicamos dónde lo estamos aplicando. 00:13:44
Luego, si queremos aplicarlo, se convertirá en un vector fijo. 00:13:46
Si ya lo colocamos sobre el plano, empezando en un punto que nosotros conozcamos, 00:13:50
pero cuando lo único que estamos señalando es el módulo, la dirección y el sentido 00:13:55
y no lo aplicamos a ningún sitio, se llama vector libre, ¿vale? 00:13:59
No tienen punto de aplicación. 00:14:02
Y se representan con una letra minúscula, como os he dicho, ¿de acuerdo? 00:14:11
Muy bien. 00:14:15
Y hay otro tipo de vector que quiero que conozcáis, que son los vectores de posición. 00:14:16
Cuyo origen, o punto de aplicación, que hemos visto que son sinónimos, 00:14:23
está en el origen de coordinadas. 00:14:32
¿Vale? De todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido, 00:14:43
de todos los vectores equipolentes, cuyo representación es la misma, 00:14:47
cuyo representante es el vector v, este es el vector de posición, 00:14:51
porque es el que empieza en el punto cero cero. 00:14:55
¿Vale? Este es un representante un poco especial, por eso le llamamos vector de posición. 00:14:59
¿Por qué es especial? Porque las coordenadas de los vectores de posición 00:15:05
coinciden con las coordenadas de su extremo, donde apuntan. 00:15:09
Porque imaginaos que vamos a calcular las coordenadas de este vector. 00:15:14
Pues tendríamos que hacer... 00:15:19
El vector oa 00:15:23
tiene, para sus coordenadas, restamos las de a menos las de o. 00:15:29
¿Cuáles son las coordenadas de a? Cuatro, tres. 00:15:34
¿Cuáles son las coordenadas de o? El origen, cero cero. 00:15:38
Si tú restas cuatro tres menos cero cero, te da cuatro tres. 00:15:42
Es decir, las coordenadas de este vector, del vector oa, 00:15:46
que también se representa muchas veces con... 00:15:50
Bueno, vamos a dejarlo así. El vector oa 00:15:54
coincide con las del punto a. 00:15:58
¿Lo veis? Tienen las mismas coordenadas, porque al restar se queda igual. 00:16:02
Ese es un vector que utilizamos por esto, porque es sencillo. 00:16:07
Bueno, pues vamos a ver ahora cómo calcular, 00:16:17
y esta es una fórmula muy importante, cómo calcular el módulo de un vector. 00:16:21
He vuelto a dibujar el vector que os he puesto como ejemplo antes, 00:16:25
el vector de posición, que es bastante sencillo. 00:16:29
Y vamos a ver cuál es la fórmula para calcular el módulo 00:16:33
de un vector. 00:16:37
Bueno, tenemos que las coordenadas, 00:16:42
recordamos que las coordenadas del vector oa 00:16:46
se obtenían como a menos o. Las coordenadas de a en este punto 00:16:50
tienen coordenadas cuatro tres, y las coordenadas del origen 00:16:54
de coordenadas es cero cero, entonces cuatro tres 00:16:58
menos cero cero, igual a cuatro tres. 00:17:02
Estas son las coordenadas del vector oa, 00:17:06
el vector de posición, que va desde o hasta a. 00:17:10
¿Cómo averiguamos su módulo? 00:17:14
¿Qué es el módulo de un vector? El módulo define 00:17:18
la intensidad de la fuerza. 00:17:22
Bueno, de la fuerza, depende de la magnitud que estemos viendo. 00:17:26
Si es una fuerza, pues lo grande que es esa fuerza. Si es una velocidad, 00:17:30
lo rápido que va. Cuanto más grande es el módulo, 00:17:34
más grande es 00:17:38
la cantidad de magnitud que estamos mirando. 00:17:42
Y se representa con la longitud de la flecha. 00:17:46
Y nosotros entonces lo que queremos averiguar cuando yo os pida el módulo 00:17:50
de un vector, es lo largo que es el vector. 00:17:54
Y esto, sin que yo os explicara nada, probablemente ya sabréis resolverlo, 00:17:58
porque calcular lo largo que es este vector 00:18:02
es calcular la longitud 00:18:06
de este lado de este triángulo. 00:18:10
¿Vale? 00:18:14
Y vosotros seguro que sabéis calcular lo que mide de largo 00:18:18
este triángulo, porque es un triángulo rectángulo 00:18:22
y sabemos lo que mide 00:18:26
esto, y sabemos lo que mide esto, ¿verdad? 00:18:30
¿Cuánto mide esto? Cuatro unidades. 00:18:34
¿Cuánto mide esto de alto? 00:18:38
Lo miramos aquí. Tres unidades. 00:18:42
Entonces, lo único que nos están pidiendo 00:18:46
el módulo de OA, que se representa así. 00:18:50
El nombre del vector entre dos barritas. 00:18:54
El módulo de OA es la longitud de este lado, 00:18:58
que es la hipotenusa de ese triángulo rectángulo. 00:19:02
Esto mide 3, esto mide 4. ¿Cómo se calcula la hipotenusa? 00:19:06
Con el teorema de Pitágoras sería el cuadrado 00:19:10
de la hipotenusa igual a la suma del cuadrado de los catetos. 00:19:14
Si OA al cuadrado sería 00:19:18
4 al cuadrado más 3 al cuadrado. 00:19:22
Luego OA sin elevar al cuadrado 00:19:26
sería la raíz cuadrada de 4 al cuadrado 00:19:30
más 3 al cuadrado. Es decir, la raíz cuadrada de 16 00:19:34
más 9, raíz cuadrada de 25, 00:19:38
5. Cogemos sólo el valor positivo porque una distancia, 00:19:42
una longitud, no tiene sentido que sea negativa, ¿verdad? 00:19:46
El menos 5 no tendría sentido. Muy bien. 00:19:50
Fijaos qué fácil es calcular el módulo de un vector. 00:19:54
Si tienes sus coordenadas, 4 y 3, 00:19:58
las elevas al cuadrado, las sumas y haces la raíz cuadrada 00:20:02
porque es el teorema de Pitágoras. 00:20:06
Entonces, si tú tienes un vector 00:20:10
cuyas coordenadas 00:20:14
son la x del vector 00:20:18
y la y del vector, el módulo 00:20:22
de ese vector 00:20:26
lo calculamos con esta fórmula. 00:20:30
La raíz cuadrada de la x del vector al cuadrado 00:20:34
más la raíz cuadrada 00:20:38
de la y del vector. 00:20:42
Vamos, lo estaba diciendo mal. Se calcula como la raíz cuadrada 00:20:50
de la coordenada x al cuadrado 00:20:54
más la coordenada y al cuadrado. 00:20:58
Eso es el módulo de un vector, como se calcula. 00:21:02
Pasemos a las operaciones con vectores. 00:21:08
Empezamos por la suma y la resta. 00:21:12
Empezamos por la suma de vectores. 00:21:16
Vamos a ver dos métodos para cada una de las operaciones. 00:21:20
El primer método es gráfico. 00:21:24
Imaginaos que tenemos un vector así 00:21:28
que le vamos a llamar u. Es un vector libre, 00:21:32
no tiene punto de aplicación, lo podríamos dibujar donde quisiéramos. 00:21:36
Y otro vector v, que va a ser así. 00:21:40
También vector libre. 00:21:44
Y queremos sumarlos. 00:21:48
Yo creo que la forma más sencilla de sumarlos sería 00:21:52
dibujar el vector u 00:21:56
y cuando acaba el vector u, en su extremo, dibujamos a continuación 00:22:00
el vector v. Como son vectores libres, los podemos dibujar donde queramos. 00:22:04
Lo dibujamos a continuación. 00:22:08
¿Cuál es el resultado de la suma? 00:22:12
Este es el vector que resulta de unir el inicio 00:22:16
el punto de aplicación del vector u, es decir, el origen de u 00:22:20
con el extremo de v. 00:22:24
Así. Este nuevo vector que sale 00:22:28
la flecha iría desde el origen de u 00:22:32
hasta el v. Este es el vector suma. 00:22:36
v más u, que es lo mismo que u más v porque 00:22:40
cumple la propiedad conmutativa. 00:22:44
La suma de vectores. 00:22:48
Igual, por lo tanto, si yo al vector v 00:22:52
veis que lo tengo aquí, en donde 00:22:56
acaba él, dibujo 00:23:00
el vector u. 00:23:04
El resultado sería el mismo vector. 00:23:08
¿Os dais cuenta? 00:23:12
Es igual de largo, tiene la misma inclinación y apunta también 00:23:16
hacia arriba la flecha. Así es la suma de vectores por el método 00:23:20
gráfico. También habréis oído algunos que 00:23:24
otra manera de sumar es otro método 00:23:28
pero que lleva algo más de trabajo 00:23:32
es hacer un paralelogramo con los vectores. 00:23:36
Un cuadrilátero que tiene en los dos lados 00:23:40
el vector u y en los dos lados el vector v 00:23:44
y la suma es la diagonal que va desde donde 00:23:48
empiezan los dos vectores hasta donde acaban. 00:23:52
Ese es el método del paralelogramo 00:23:56
pero me vale cualquiera de los dos. ¿Cómo se suman 00:24:00
por el método analítico usando las coordenadas? 00:24:04
El vector u tiene coordenadas 00:24:08
por ejemplo, 1, 2 00:24:12
y el vector v que 00:24:16
tuviera de coordenadas 00:24:20
3, 0 00:24:24
Si yo quiero sumar u más v 00:24:28
lo único que tengo que hacer es sumar sus coordenadas. 00:24:32
Súper fácil. 4, 2 00:24:36
son las coordenadas del vector suma. 00:24:40
Y la resta 00:24:44
se puede resolver de forma muy parecida. 00:24:52
Vamos a utilizar los mismos vectores que he puesto como ejemplo. 00:24:56
El vector u que tenía esta forma y el vector v 00:25:00
que era más largo en horizontal. 00:25:04
Si queremos hacer no es lo mismo u menos v que v menos u. 00:25:12
Vamos a ver qué daría. 00:25:16
Si yo hago u menos v 00:25:20
lo que tengo que hacer es 00:25:24
al vector u donde acaba 00:25:28
el vector u 00:25:32
le dibujo 00:25:36
el vector v pero en sentido contrario 00:25:40
o sea, le dibujo menos v. 00:25:44
Es como si sumara u más menos v. 00:25:48
El vector menos v que es lo mismo que el vector v pero cambiado de sentido 00:25:52
como si la flecha apuntara hacia el otro lado. 00:25:56
Dibujo 00:26:00
menos v menos v 00:26:04
¿Cuál es el resultado? 00:26:08
El que va desde el inicio hasta el final 00:26:12
de todo el procedimiento. Esto sería u menos v. 00:26:16
¿De acuerdo? Esto ya no cumple la propiedad 00:26:20
conmutativa porque si yo hago ahora 00:26:24
v menos u, fijaos lo que va a salir. 00:26:28
v es así 00:26:32
y menos u sería como éste pero en sentido contrario 00:26:36
con la misma dirección pero en sentido contrario. 00:26:40
Y el resultado, fijaos 00:26:44
que no es lo mismo 00:26:48
porque éste apunta hacia arriba y éste apunta hacia abajo. 00:26:52
Esto es v menos u. 00:26:56
¿Vale? De forma analítica 00:27:00
igual u menos v 00:27:04
¡Ah, muy fácil! Se restan las coordenadas. 00:27:08
¿Qué me da? Uno menos tres menos dos 00:27:14
y dos menos cero, dos. 00:27:18
Y si hiciera la otra operación 00:27:22
que sería v menos u 00:27:26
tendría que poner primero el vector v que es 3, 0 00:27:30
y le resto 1, 2. Las x con las x, 3 menos 1, 2 00:27:34
y las y con las y, 0 menos 2, menos 2. 00:27:38
Fijaos que el resultado 00:27:42
son vectores que son iguales en módulo y en dirección pero en sentido contrario. 00:27:46
Eso es la suma y la resta de vectores. 00:27:50
Otra operación súper fácil con vectores es 00:27:56
el producto de un vector por un número que también se puede llamar 00:28:00
producto por un escalar. Habíamos dicho que las magnitudes escalares eran números. 00:28:04
Pues multiplicar un ejemplo 00:28:08
muy fácil. Tengo este vector 00:28:12
v y lo quiero multiplicar por 2. 00:28:16
Pues nada. 00:28:20
A continuación de este vector pongo otro porque multiplicarlo por 2 00:28:24
¿y a cómo sumarlo con el mismo? 00:28:28
Si quiero multiplicarlo por 3, añado otro. 00:28:32
Entonces todo esto, desde el principio al final, es 2 00:28:36
por v. Y de forma gráfica, 00:28:40
de forma analítica, si el vector 00:28:44
este tiene coordenadas 00:28:48
me las voy a inventar como si fuera otro vector 1, 3 00:28:52
y quiero hacer 2 por v, pues sería 2 00:28:56
por 1, 3. Es decir, 2, 6. 00:29:00
¿Vale? Y si quiero multiplicarlo por 5, 5 por v 00:29:04
5 por 1, 3. 00:29:08
15. Así de fácil. Producto por un escalar. 00:29:12
Que no debéis confundirlo 00:29:16
con otra operación muy importante que se llama el producto 00:29:20
escalar. 00:29:24
No producto por un escalar, sino el producto escalar de dos vectores. 00:29:28
¿Y en qué consiste esto? En multiplicar un vector 00:29:32
por otro vector. ¿Vale? Y el resultado, y por eso se llama 00:29:36
producto escalar, el resultado, curiosamente, multiplicas un vector 00:29:40
por otro vector usando el producto escalar y el resultado es un número 00:29:44
no es otro vector. ¿Vale? Multiplicas un vector por otro vector, resultado número. 00:29:48
Eso es producto escalar. Luego en bachillerato he estudiado otra operación con vectores que es el 00:29:52
producto vectorial, que multiplicas un vector por otro vector y el resultado 00:29:56
da otro vector. ¿Vale? Pero esa es una operación distinta. 00:30:00
Nosotros esa no la vamos a ver este año, nosotros vamos a ver el producto escalar. 00:30:04
Entonces se pone así. Es una fórmula que os tenéis que aprender. 00:30:08
u por v es igual al módulo de u 00:30:12
lo que mide por el módulo de v 00:30:16
por el coseno del ángulo 00:30:20
que forman u y v. 00:30:24
¿Vale? 00:30:28
Entonces, y el resultado como podéis ver es un número. ¿Por qué? 00:30:32
El módulo de u es un número, lo que mide de longitud el vector u. 00:30:36
El módulo de v es igual a otro número, lo que mide de longitud el vector v. 00:30:40
Y el coseno, ya sabéis que es un número 00:30:44
que está comprendido entre menos uno y uno. 00:30:48
O sea que si multiplicamos estas tres cosas el resultado va a ser un número. 00:30:52
La interpretación gráfica tampoco nos aporta demasiado. 00:31:00
No la fuerais a entender, pero tampoco 00:31:04
tiene mucho sentido que nos entretengamos con ella en estas circunstancias. 00:31:08
Lo que sí que os puedo decir es que hay otra manera de calcular 00:31:12
el producto escalar 00:31:16
de dos vectores. 00:31:20
Bueno, aquí usamos las coordenadas, pero 00:31:24
supongamos que las coordenadas x e y del vector u 00:31:28
son u1 y u2. 00:31:32
U1 sería la x, y u2 sería la y, 00:31:36
la ordenada del vector u. 00:31:40
Aquí las cisa serían v1 y v2, 00:31:44
la ordenada. ¿De acuerdo? 00:31:48
Otra manera de calcular el producto escalar 00:31:52
muy fácil sería u por v. 00:31:56
Esto de arriba es la definición, y os la tenéis que saber. 00:32:00
Pero esta otra manera de calcularla es la que usamos 00:32:04
siempre que podemos porque es más fácil que calcular todo esto. 00:32:08
Requiere menos trabajo. Simplemente sería 00:32:12
multiplicar 1 por v1, 00:32:16
es decir, la x del primer vector por la x del segundo vector, 00:32:20
y a eso sumarle la y del segundo vector por la y del segundo. 00:32:24
Así. 1 por v1 más 00:32:28
u2 por v2. Así que 00:32:32
estas dos formas 00:32:36
de calcular el producto escalar las tenéis que saber 00:32:40
de memoria. Vamos, por ejemplo, 00:32:44
vamos a ver algunos ejemplos. 00:32:48
Vamos a poner un ejemplo fácil. 00:32:52
El vector u 00:32:56
es éste. 00:33:00
Y forma 00:33:04
45 grados con el vector 00:33:08
v. Las coordenadas 00:33:12
de u voy a ver que son, por ejemplo, 00:33:16
2,2. Y las coordenadas del vector v 00:33:20
van a ser 4,0. 00:33:24
¿De acuerdo? Y el ángulo que forman 00:33:28
u y v es un ángulo de 45 00:33:32
grados, como he puesto en el dibujo. 00:33:36
Vamos a usar la primera fórmula para calcular el producto escalar 00:33:40
de los dos vectores. Pues lo primero que tendríamos que hacer es calcular 00:33:44
el módulo de cada uno de ellos. Recordamos la fórmula que hemos 00:33:48
visto antes. El módulo de u sería la raíz cuadrada 00:33:52
de la suma del cuadrado de sus coordenadas. 00:33:56
2 al cuadrado más 2 al cuadrado, porque las dos son 2. 00:34:00
Entonces sería la raíz cuadrada de 00:34:04
8. Y en el 00:34:08
vector v lo mismo. 00:34:12
La raíz cuadrada de 4 al cuadrado más 0 00:34:16
al cuadrado, es decir, raíz cuadrada de 4 al cuadrado 00:34:20
es decir, 4. Longitud 4. 00:34:24
Y esta longitud raíz de 8. Y el coseno es 45. 00:34:28
Entonces, si lleguemos a hacer por la primera fórmula, por esta 00:34:32
u por v, sería el módulo del primero, raíz de 8 00:34:36
por 4 por el coseno 00:34:40
de 45 grados. 00:34:44
Raíz de 8, si os acordáis de los primeros temas, 00:34:48
se puede extraer de aquí. Sería 2 raíz de 2. 00:34:52
¿De acuerdo? Se puede poner así también. 00:34:56
Lo digo porque ahora nos va a venir bien para simplificar. 00:35:00
En vez de poner raíz de 8 ahora pongo 00:35:04
2 raíz de 2 por 4 00:35:08
por raíz de 2 partido de 2. 00:35:12
Fijaos que, si le hago toda esta operación, 00:35:16
2 por 4, 8, raíz de 2 por raíz de 2 00:35:20
partido de 2. Raíz de 2 por raíz de 2 00:35:24
sería 2. Entre 2, 1. 00:35:28
Resultado, 8. 8. 00:35:32
Multiplico este vector por este y me ha dado 8. Ese es el resultado. 00:35:36
Vamos a ver qué pasaría con la otra fórmula, que ya os digo que siempre que lo uséis 00:35:40
es mucho más fácil y siempre intentamos resolver esta fórmula 00:35:44
antes que la otra. Porque veis que lleva un trabajo. Tienes que calcular los módulos, 00:35:48
tienes que conocer el ángulo, hacer el coseno, 00:35:52
o calcularlo. Esto se haría con la calculadora, salvo que sea uno de los ángulos 00:35:56
fundamentales de los que conocemos 00:36:00
las razones trigonométricas. Vamos a ver cómo se haría con esta otra fórmula. 00:36:04
u por v sería 00:36:08
la x del primero por la x del segundo 00:36:12
2 por 4 más 00:36:16
2 por 0. 00:36:20
2 por 4, 8, más 2 por 0, 0. 00:36:24
Igual a 8. Da lo mismo trabajando mucho menos. 00:36:28
Pero hay que saberse las dos por algo que veremos más adelante. 00:36:32
Que es que se utilizan ambas fórmulas combinadas 00:36:36
para calcular el ángulo que forman dos vectores, que es una de las cosas 00:36:40
que más vamos a utilizar durante este tema. 00:36:44
Y antes de pasar a ver ejercicios, vamos a 00:36:48
estudiar un par de conceptos importantes 00:36:52
que tienen que ver con la combinación lineal 00:36:56
de vectores. Primero vamos a ver qué son vectores 00:37:00
linealmente dependientes. Es un nombre un poquito raro, pero 00:37:04
el concepto es muy sencillo. Vectores 00:37:08
linealmente 00:37:12
dependientes 00:37:16
son dos vectores que cumplen 00:37:24
que v es igual 00:37:28
a un cierto número de veces u. 00:37:32
Entonces decimos que v y u 00:37:36
son linealmente dependientes. Por ejemplo, los que os he puesto 00:37:40
aquí arriba. Fijaos, el vector 00:37:44
2,6 es linealmente dependiente 00:37:48
con el vector 1,3. ¿Por qué? Porque 2,6 00:37:52
es lo mismo que multiplicar 1,3 por 2. O el vector 5,15 00:37:56
es linealmente dependiente con el vector 00:38:00
1,3 también, porque se obtiene multiplicando 1,3 por 5. 00:38:04
¿Por qué se llama así, de esta forma tan rara? Vectores linealmente 00:38:08
dependientes. Porque si os dais cuenta, todos los vectores que cumplan esto 00:38:12
tienen la misma dirección, tienen la misma inclinación. 00:38:16
Se pueden dibujar sobre la misma línea. 00:38:20
Su inclinación es la misma 00:38:24
en todos. 00:38:28
Es como si siguieran la dirección 00:38:32
de una línea o las paralelas. 00:38:36
Entonces, siempre que se cumpla que un vector 00:38:40
sea el resultado de multiplicar 00:38:44
otro por una cantidad, decimos que es linealmente dependiente. 00:38:48
Tienen la misma dirección. Voy a poneros un ejemplo. 00:38:52
Más, por ejemplo, 00:38:56
este vector, vector u 00:39:00
y este otro vector. 00:39:08
El vector v son linealmente dependientes 00:39:12
porque tienen la misma dirección. Las coordenadas de este podrían ser 00:39:16
las coordenadas de u 00:39:20
podrían ser, por ejemplo, 00:39:24
menos dos y las de este 00:39:28
podrían ser 00:39:32
por ejemplo 00:39:36
menos tres 00:39:40
seis 00:39:44
Si estos dos vectores son linealmente 00:39:48
dependientes, habrá un número k por el que podremos 00:39:52
multiplicar uno de ellos para obtener el otro. 00:39:56
Vamos a sustituir los valores aquí. 00:40:00
Menos tres seis. 00:40:04
Tiene que ser k veces uno menos dos. 00:40:08
¿Esto cómo sería? 00:40:12
Menos tres seis. 00:40:16
Multiplicar un número por una escala es simplemente multiplicar el número 00:40:20
por cada una de sus coordenadas, menos dos k. 00:40:24
Como las x van por un lado y las y por el otro, aquí podemos sacar dos ecuaciones. 00:40:28
Menos tres tiene que ser igual 00:40:32
que k. Y seis tiene que ser 00:40:36
igual que menos dos k. 00:40:40
Y tendría que dar la misma k en los dos lados. Esta k de arriba tiene que dar lo mismo 00:40:44
que la de abajo. Arriba ya lo tenemos resuelto. K es menos tres. 00:40:48
K de abajo también será menos tres, despejando. K es seis entre menos dos. 00:40:52
Efectivamente, es menos tres. 00:40:56
El número por el que hay que multiplicar este para obtener el otro es menos tres. 00:41:00
Como sí que existe ese número, podemos afirmar que son linealmente dependientes 00:41:04
y están en la misma dirección. 00:41:08
Es como a este darle la vuelta, por eso el menos 00:41:12
de menos tres y hacerlo tres veces más grande para formar este. 00:41:16
Vale, pues estos son vectores linealmente dependientes. 00:41:20
Ahora, que dos vectores son combinación... 00:41:24
Bueno, varios vectores son combinación... 00:41:28
Perdón. Un vector es combinación lineal 00:41:32
de varios vectores y cumple esto. 00:41:36
El vector v es una combinación lineal... 00:41:40
A ver cómo lo pongo... 00:41:44
Decimos que v es combinación lineal 00:42:08
de los vectores u1, u2 y u3 00:42:12
si se cumple que el vector v 00:42:16
es un cierto número de veces el vector k1 00:42:20
más el vector v1 00:42:24
un cierto número de veces el vector u1 más otro cierto número 00:42:28
de veces el vector u2 más otro cierto número de veces el vector u3. 00:42:32
Y así todos los que quisiéramos poner. 00:42:36
Combinando linealmente, es decir, haciendo lo mismo que aquí 00:42:40
pero con varios vectores 00:42:44
combinando linealmente los vectores u1, u2 y u3 00:42:48
o los que hubiera. Eso se llama que un vector 00:42:52
sea combinación lineal de los otros dos. 00:42:56
Un ejemplo con números. 00:43:00
Tenemos varios vectores, por ejemplo 00:43:04
el vector u1 que va a ser 1, 2 00:43:08
el vector u2 que va a ser 00:43:12
menos 3, 5 00:43:16
y vamos a hacer una combinación lineal 00:43:20
de estos dos vectores. Por ejemplo voy a multiplicar 00:43:24
para obtener el vector v voy a multiplicar el vector 00:43:28
voy a multiplicar el vector 1 por 2 00:43:32
2 va a ser 2 veces 1 más una vez 00:43:36
el vector u2 00:43:40
es decir, el u2 no es como si lo dejara igual. 00:43:44
¿Cómo lo hacemos? Pues 2 por las coordenadas de 1 00:43:48
más 1, porque estas coordenadas se quedan iguales 00:43:52
las puedo dejar así directamente. Entonces v 00:43:56
sería 2, 4 00:44:00
más menos 3, 5. Acabamos ya de resolver 00:44:04
aquí. 2 menos 3, menos 1 00:44:08
y 4 más 5, 9. 00:44:12
Este vector v ha salido como combinación lineal 00:44:16
de estos otros dos vectores 00:44:20
1 y 2. Simplemente es que sepáis 00:44:24
que con varios vectores 00:44:28
hacer una combinación lineal y que es de otro vector. 00:44:32
Vamos a ver ahora dos aplicaciones 00:44:44
que se utilizan un montón en todos los problemas que vamos a ver 00:44:48
durante el tema. La primera es saber calcular el ángulo entre dos vectores. 00:44:52
... 00:44:58
... 00:45:02
Y cuando estoy hablando de ángulo entre dos vectores 00:45:06
me refiero al ángulo más pequeño que hay 00:45:10
entre los dos vectores, porque si yo tengo dos vectores así, por ejemplo 00:45:14
u y v, ¿vale? Podríamos decir ¿cuál es el ángulo entre dos vectores? 00:45:18
¿Este o el que va por el otro lado? 00:45:22
Vamos a considerar que es el más pequeño. 00:45:26
Este es el ángulo que hay entre u y v. Para averiguar el ángulo entre dos vectores 00:45:30
vamos a utilizar la fórmula del producto escalar, que de todo lo que hemos visto hasta ahora 00:45:34
es la única que aparecía alguna referencia al ángulo 00:45:38
entre dos vectores. La fórmula de la que estoy hablando es esta. 00:45:42
El producto escalar de dos vectores 00:45:46
tiene esta definición, que ya os dije que os tenéis 00:45:50
que aprender. Módulo de u por módulo de v por el coseno 00:45:54
del ángulo que forman u y v. Esta es la definición 00:45:58
del producto escalar. De aquí podemos 00:46:02
despejar el coseno, porque una vez sepamos el coseno 00:46:06
podremos averiguar el ángulo, como con el arco. 00:46:10
El arco coseno 00:46:14
del ángulo entre u y v 00:46:18
sería, despejando, pasando esto al otro lado, dividiendo 00:46:22
quedaría arriba el producto escalar de los dos vectores 00:46:26
y en el denominador quedaría el módulo 00:46:30
de u por el módulo de v. 00:46:34
Así podemos averiguar el ángulo entre dos vectores. 00:46:38
Así de sencillo. 00:46:42
Bueno, esto no es el ángulo, esto es el coseno del ángulo. 00:46:46
Si queremos averiguar el ángulo entre u y v tendríamos que hacer 00:46:50
el arco coseno del coseno 00:46:54
de lo que nos da aquí. 00:46:58
El arco coseno del coseno del ángulo entre u y v. 00:47:02
Vamos a ver un ejemplo con números. 00:47:06
Son unos que me voy a inventar 00:47:10
ahora mismo. Imaginaos que nos dan dos vectores. El vector u 00:47:14
que tiene coordenadas 00:47:18
1, 2 00:47:22
y el vector v que tiene coordenadas 00:47:26
menos 3, 5. Creo que son los mismos que he puesto antes. 00:47:30
Y queremos averiguar qué ángulo forman estos dos vectores. 00:47:34
No hace falta ni que los dibujemos. 00:47:38
Simplemente es utilizar 00:47:42
esta fórmula. En realidad con que os aprendáis de memoria de estado 00:47:46
despejarla es fácil, pero vamos a ver la fórmula. 00:47:50
El coseno del ángulo 00:47:54
entre u y v sería el producto 00:47:58
escalar de u por v 00:48:02
dividido entre el módulo de u por el 00:48:06
módulo de v. 00:48:10
Vale, pues vamos a ver. Podemos calcular 00:48:14
el módulo de u. 00:48:22
Raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado. 00:48:26
Esto es raíz cuadrada de 5. 00:48:30
Módulo de v. 00:48:34
Raíz cuadrada de menos 3 al cuadrado más 00:48:38
5 al cuadrado. 9 y 25. 00:48:42
34. 00:48:46
Raíz de 34. 00:48:50
Vale, ya tenemos los módulos para poner debajo. 00:48:54
¿El numerador? 00:48:58
¿Lo sabemos averiguar? Pues vamos a verlo. 00:49:02
Módulo... o sea 00:49:06
producto escalar de u por v sería igual a 00:49:10
1 por menos 3 00:49:14
más 2 por 5. Esto es 00:49:18
menos 3 más 10, que da 00:49:22
7. Pues ya tenemos todo lo que nos hace 00:49:26
falta aquí. Vamos allá. Coseno 00:49:30
del módulo... o sea, perdón, del ángulo 00:49:34
entre u y v sería 7 partido 00:49:38
de raíz de 5 00:49:42
por raíz de 34. 00:49:46
Vale, lo creé. 00:49:50
Y para averiguar el ángulo 00:49:54
entre u y v 00:49:58
sería el arco coseno 00:50:02
de 7 partido de raíz de 5 por raíz de 34. 00:50:06
Y esto es lo que hay que ver en la calculadora. 00:50:10
La calculadora la voy a poner 00:50:14
en grados. 00:50:18
Y hago arco coseno 00:50:22
paréntesis 7 entre 00:50:26
paréntesis raíz de 5 00:50:30
por raíz de 34. 00:50:34
Cierro paréntesis, cierro el otro paréntesis 00:50:38
y me sale un ángulo de 00:50:42
57,53 grados. 00:50:46
Cosa que se usa mucho 00:50:50
es averiguar el punto medio 00:50:54
de un segmento, o el punto que está a un tercio 00:50:58
o a los dos tercios de un segmento, o a un cuarto. 00:51:02
Como dividir un segmento en trozos. 00:51:06
El ejemplo más fácil es el punto medio de un segmento. 00:51:10
Aquí tengo un segmento, un trozo de línea, que varía desde a hasta b. 00:51:14
Y yo quiero averiguar las coordenadas 00:51:18
del punto m, que está en el medio 00:51:22
del segmento. Yo sé las coordenadas de a. 00:51:26
Las coordenadas de a son 1, 2, 3, 4, 5. 00:51:30
Esto es 5, esto es 1. 00:51:34
1, 5. Las coordenadas de b son 00:51:38
1, 2, 3, 4, 5. 00:51:42
5, 3. 00:51:46
Y quiero averiguar cuáles son 00:51:50
las coordenadas de m. M es el punto que está en la mitad. 00:51:54
Podemos utilizar un truco 00:51:58
usando vectores de posición para resolver esto. Fijaos. 00:52:02
Yo lo que quiero averiguar son las coordenadas de m. Y habíamos dicho que en un vector 00:52:06
de posición, las coordenadas del vector coinciden 00:52:10
con las coordenadas de su extremo, es decir, de donde apuntan. 00:52:14
Si consiguiera 00:52:18
averiguar las coordenadas de este vector 00:52:22
de posición, que va desde el origen hasta 00:52:26
el punto m, si encuentro las coordenadas de este vector 00:52:30
del vector o.m, son las mismas 00:52:34
que las de m. ¿Por qué? Lo que os explicaba al principio del tema. 00:52:38
Las coordenadas de un vector de posición son las mismas que las de su extremo. 00:52:42
O sea que el problema se reduciría a encontrar 00:52:46
las coordenadas de este vector o.m. 00:52:50
Y también hemos visto cómo hacer 00:52:54
operaciones con vectores. 00:52:58
Este vector o.m. es la suma de otros dos vectores. 00:53:02
Que podemos ver 00:53:06
que serían 00:53:10
el vector de posición del punto a, un vector que empieza aquí 00:53:14
y basta si a este 00:53:18
¿qué le tendría que sumar para que me diera esto? 00:53:22
Pues le tengo que sumar este cachito de aquí. Si a este vector 00:53:26
le sumas esto, como el resultado de la suma es 00:53:30
desde el inicio del primero hasta el final del segundo, ya tenemos el punto m. 00:53:34
Es decir, el vector o.m. 00:53:38
se puede obtener como 00:53:42
la suma del vector 00:53:46
o.a. 00:53:50
más este cachito de aquí. ¿Qué es este cachito? 00:53:54
Pues justo la mitad del segmento más 00:53:58
un medio, la mitad del vector que va 00:54:02
desde a hasta b. 00:54:06
Entonces sería 00:54:10
sumándole este cachito y ya tendríamos el resultado. 00:54:14
Este vector es la suma de esto más la mitad del vector 00:54:18
que va de un extremo a otro del segmento. 00:54:22
Y esto es fácil de resolver. O.m. es igual. 00:54:26
¿Cuáles son las coordenadas del vector o.a.? Como es un vector de posición que sale del origen 00:54:30
pues las mismas que 00:54:34
del punto a. Uno cinco más un medio 00:54:38
y ¿cuáles son las coordenadas del vector a.b.? 00:54:42
Más un medio de a.b. ¿Cuáles son las coordenadas del vector a.b.? 00:54:46
Pues lo hemos visto al principio. Si sabemos dónde empieza y dónde acaba el vector 00:54:50
las coordenadas del vector a.b. 00:54:54
se obtienen restando las coordenadas de b menos las de a. 00:54:58
Es decir, cinco tres menos uno cinco. 00:55:02
Esto da cinco menos uno cuatro. 00:55:06
Y tres menos cinco menos dos. 00:55:10
Más un medio de 00:55:14
cuatro menos dos. Es decir, 00:55:18
uno cinco más un medio de cuatro 00:55:22
dos. Un medio de menos dos menos uno. Es decir, 00:55:26
uno cinco más esto 00:55:30
sería tres cuatro. 00:55:34
Estas son las coordenadas de o.m. 00:55:38
Por lo tanto, m también tiene 00:55:42
tres cuatro. Y hemos encontrado el punto medio 00:55:46
de este segmento. 00:55:50
Este método sirve también 00:55:54
para encontrar el punto que está a un tercio de a. O sea, si quisiéramos partir 00:55:58
en tres trozos el segmento a.b., solo tendríamos que hacer 00:56:02
para el primer trozo, para saber dónde caería el primer tercio, aquí 00:56:06
pondríamos un tercio, y para el segundo tercio, dos tercios. 00:56:10
El primer tercio 00:56:14
uno coma cinco más un tercio de cuatro dos. Y este 00:56:18
dos tercios. Y así para partirlo en las veces que queramos, solo cambiando 00:56:22
esta fracción, que representaría los trozos 00:56:26
en los que queremos dividir el segmento. Si quiero averiguar 00:56:30
el trozo que está en el primer quinto, más un quinto 00:56:34
de cuatro dos. Si queremos el segundo trozo, pues dos quintos. 00:56:38
Tres quintos y cuatro quintos. Cinco quintos ya sería el segmento entero. 00:56:42
Entonces podemos, con este truco, dividir un segmento de la forma que queramos. 00:56:46
¿Vale? Por eso es muy importante que esto lo sepáis hacer. 00:56:50
Pero, para calcular justo el punto 00:56:54
medio de un segmento, hay otro truco todavía más fácil, pero tiene el inconveniente 00:56:58
que solo sirve para partir por la mitad un segmento. Solo para partir por la mitad. 00:57:02
Con este método podemos partirlo en los trozos que queramos. 00:57:06
Pero, con el que os voy a explicar ahora, que es mucho más fácil, solo sirve 00:57:10
para partir por la mitad. Y el truco es así. 00:57:14
M sería 00:57:18
a uno más b uno entre dos 00:57:26
coma a dos más b dos 00:57:30
entre dos. Fijaos que con esta sencilla fórmula 00:57:34
con menos trabajo, se puede obtener directamente 00:57:38
el punto medio. Comprobémoslo. A uno más b uno son las 00:57:42
coordenadas x de a y b. Entonces tendríamos uno 00:57:46
más cinco entre dos coma 00:57:50
cinco más tres entre dos. Vamos a ver si da. 00:57:54
Seis entre dos son tres 00:57:58
y ocho entre dos son cuatro. Da exactamente el mismo resultado 00:58:02
mucho más rápido y sin tener que pensar nada. 00:58:06
Inconveniente que este sirve para cualquier división. 00:58:10
Este solo sirve para partir por la mitad, recordadlo. 00:58:14
Si yo os pido que me partáis el segmento en tres trozos, esto no lo vais a poder usar. 00:58:18
Sin embargo, si os pidiera que lo partierais en cuatro, 00:58:22
ahí lo dejo para un ejercicio que os mandaré. 00:58:26
Idioma/s:
es
Autor/es:
Elías Martí Borredà
Subido por:
Elias M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
20 de octubre de 2023 - 13:58
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLA DE VALLECAS
Duración:
58′ 32″
Relación de aspecto:
3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
Resolución:
720x480 píxeles
Tamaño:
157.29 MBytes

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