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Ejemplo del teorema de Rouché-Fröbenius con parámetros - Bachillerato - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Ejemplo del teorema de Rouché-Fröbenius con parámetros

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Vamos a realizar unos ejercicios del teorema de Rouché con parámetros. 00:00:00
Ya hemos realizado ejercicios del teorema de Rouché sin parámetros y hemos realizado ejercicios de cálculo de rangos con parámetros. 00:00:05
Pero puede venir bien hacer algunos del tipo también, sobre todo en parte para ver las peculiaridades de hacer un ejercicio del teorema de Rouché con parámetros. 00:00:15
Comenzamos realizando la matriz del sistema, junto con la matriz ampliada 00:00:25
Sería 4, 5, 2, 3, k-1, k, 1, k, 0, k 00:00:33
Bien, podríamos empezar buscando un determinante 2x2 00:00:45
En este caso es fácil, porque sería este, distinto de 0 00:00:55
En este caso tenemos que 4, 2, menos 1, 0, igual a 2, distinto de 0, aunque no es imprescindible. 00:01:01
Podemos empezar también calculando el rango de, perdón, el determinante de A. 00:01:10
El determinante de A sería el determinante de 4, 5, 2, K, menos 1, K, menos 1, K, 0. 00:01:20
Calculamos, a ver, tendríamos 0, 5 por k por menos 1 que sería menos 5k, después más 2k al cuadrado. 00:01:33
Ahora los productos en otra dirección, tenemos menos 2, 0, menos 4k al cuadrado y esto nos da menos 2k al cuadrado menos 5k menos 2. 00:01:44
Y queremos saber cuándo 2 es igual a 0 o, equivalentemente, si multiplicamos todo por menos 1, cuándo 2k cuadrado más 5k más 2 es igual a 0. 00:02:04
Realizamos la ecuación de segundo grado. Esto ocurre si solo si k es igual a menos 5 más menos raíz cuadrada de 25 menos 16 partido por 4. 00:02:21
esto es menos 5 más menos raíz de 9 partido por 4 00:02:36
menos 5 más menos 3 partido por 4 00:02:40
y tenemos dos soluciones, por una parte menos 2 00:02:43
y por otra parte menos 1 medio 00:02:47
entonces lo que tenemos es que, primero, si k es distinto de menos 2 00:02:50
y k es distinto de menos 1 medio 00:02:59
entonces el rango de a es 3 00:03:01
como el rango de ampliada con muchos 3 porque el rango máximo es 3 00:03:09
pues también sería igual al rango de ampliada 00:03:13
y sería igual al número de incógnitas que son 3 00:03:15
de modo que el sistema sería un sistema compatible de terminal 00:03:19
ahora vamos a ver qué pasa si k es igual a menos 2 00:03:26
en este caso podemos sustituir directamente el matriz a 00:03:32
Y tendríamos 4, 5, 2, 3, menos 2, menos 1, menos 2, 1, menos 1, menos 2, 0, menos 2. 00:03:36
¿Qué ocurre ahora que encontrar un menor 2 por 2 es fácil? 00:03:54
Lo suyo es aprovechar el que tiene que un 0 para que todo sea más sencillo. 00:03:58
Entonces si cogemos ese menor, ya tenemos que menos 1, menos 2, menos 2, 0, esto es igual a menos 4, que es distinto de 0. 00:04:03
Con lo cual ya tenemos que el rango de A es 2. Luego el rango de A es igual a 2, porque el determinante sería 0, y hay un menor 2 por 2, distinto de 0. 00:04:17
vale, ahora para calcular el rango de ampliada 00:04:32
cogemos las filas de este determinante 00:04:35
más la fila que no tiene variables 00:04:45
vale, y entonces calculamos dicho determinante 00:04:49
entonces tenemos que 00:04:53
calculamos 5, 2, 3 00:04:55
menos 1, menos 2, 1 00:04:59
menos 2, 0, menos 2 00:05:00
hemos aprovechado que aquí hay un 0 para que todo sea más sencillo 00:05:03
Pues tendríamos que eso sería 20, menos 4, menos 12 y menos 4 y esto nos da 0 00:05:07
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que en el rango de ampliada, obtenemos que el rango de ampliada es 2 00:05:24
¿Por qué? Porque los dos determinantes que contienen a este menor, que son el que hemos señalado en verde 00:05:36
y aquí ahora señalamos naranja, que es A, son 0, por lo tanto el rango de A tiene que ser 2. 00:05:42
Entonces ya aplicamos la UCHE y tenemos que el rango de A es igual al rango de A ampliada, que es igual a 2, 00:05:50
de modo que tenemos un sistema compatible indeterminado. 00:05:57
Perdón, me faltará decir un detalle, disculpad, para que todo esté bien. 00:06:03
Menor que 3, que es el número de incógnitas 00:06:07
Luego tenemos un sistema compatible y determinado 00:06:12
Ahora nos queda ver qué pasa si k es igual a menos 1 medio 00:06:18
Sustituimos en a 00:06:26
Y tenemos 4, 5, 2, 3 00:06:28
Menos 1 medio, menos 1, menos 1 medio, 1 00:06:33
menos uno, menos un medio, cero 00:06:41
y menos un medio. Bueno, aquí 00:06:45
podemos multiplicar todo esto por dos 00:06:53
y todo esto por dos para simplificar los cálculos porque 00:06:57
ya hemos visto que si multiplicamos una fila 00:07:01
o una columna por un número, el rango no va a cambiar 00:07:04
ni la matriz ampliada. Entonces fabricamos una matriz 00:07:09
equivalente, que sería 4, 5, 2, 3, y ahora estamos con una multiplicada por 2, que sería 00:07:13
menos 1, menos 1, perdón, menos 2, menos 1, 1, menos 1, perdón otra vez, menos 2, menos 00:07:23
1, 0 y menos 1. También podríamos, por cierto, para simplificar cálculos, si quisiéramos, 00:07:39
multiplicar también estas dos columnas, si quisiéramos, por menos 1 para quitar signos. 00:07:48
Voy a hacerlo, de hecho, para 4, 5, 2, 3, 1, 2, 1, menos 1, 2, 1, 0, 1. Entonces ya tenemos 00:07:53
tres matrices equivalentes con tres sistemas equivalentes. Bien, ahora ya vamos a calcular 00:08:04
el rango. Nuevamente, aquí tenemos una matriz con un 0, 2 por 2, cuyo determinante sería 00:08:11
menos 1 distinto de 0. Por tanto, para ver el rango de ampliada, de esta matriz equivalente 00:08:24
ampliada, bastará calcular este determinante 00:08:33
pues ya sabemos que este otro nos daría cero 00:08:38
por este cálculo que hemos hecho aquí 00:08:41
bien, pues calculamos ese determinante, vamos a hacerlo 00:08:44
tenemos que 5, 2, 3, 2 00:08:49
1, menos 1, 1, 0, 1, eso es igual a 00:08:57
5, menos 2 00:09:02
0, menos 3 00:09:06
y menos 4 00:09:10
esto nos daría 00:09:12
menos 4 que es distinto de 0 00:09:14
entonces que tenemos 00:09:17
que el rango de ampliada es 3 00:09:20
bueno, de esta matriz, pero esta matriz si es distinta de 0 00:09:21
pues el rango es la misma que esta 00:09:24
entonces tenemos que el rango de A 00:09:25
es igual a 2 00:09:28
que es menor del rango de ampliada 00:09:30
que es 3 00:09:34
y que es igual al número de incógnitas 00:09:35
bueno, esto nos da igual realmente 00:09:37
o sea, nos basta con saber 00:09:39
que es menor que el rango de ampliada 00:09:43
entonces tenemos 00:09:44
un sistema incompatible 00:09:46
y ya tenemos destruido el sistema 00:09:49
con lo cual 00:09:51
una metodología buena es 00:09:53
primero 00:09:54
cuando tenemos una matriz 3x3 00:09:55
que funciona también, calcular el determinante de A 00:09:58
B cuando es 00:10:01
distinto de 0, siempre 00:10:03
en cuyo caso ya sería un sistema 00:10:04
compatible determinado 00:10:06
Y luego, en aquellos lugares donde tengamos cero, estudiar cada caso de forma más sencilla, sabiendo que ya este determinante es cero. 00:10:07
Y sabiendo que podemos multiplicar por números para simplificar las matrices. 00:10:20
Bueno, pues ahora os recomiendo que cojáis este sistema e intentéis, bueno, intentéis, consideráis, utilizar el teorema de Roche-Frobenius, pues realizarlo. 00:10:24
paráis la grabación 00:10:45
lo intentáis hacer 00:10:48
y entonces pues nada 00:10:49
y después pues podéis iniciar 00:10:51
la otra vez la grabación 00:10:54
para ver si lo tenéis bien 00:10:55
y si no os has enterado bien pues podéis escuchar 00:10:58
una segunda clase 00:11:04
pero aún así intentad hacer algo, que sea el primer ejercicio 00:11:05
otra vez sin mirar, para hacerlo 00:11:08
directamente los de la hoja 00:11:10
bueno, pues 00:11:11
primero empezamos, bueno, ya empiezo 00:11:14
la corrección 00:11:16
tomamos A ampliada 00:11:17
que sería 00:11:19
K menos 1 00:11:23
menos 5 00:11:26
menos 1 menos 5 00:11:27
0 porque no hay ninguna X 00:11:30
menos K 00:11:34
2 y 1 00:11:35
y esta sería A 00:11:37
podemos empezar nuevamente haciendo el determinante de A 00:11:40
aquí pues 00:11:44
no va a ser posible encontrar 00:11:48
1 madrid 2 por 2 que no tenga k es 00:11:50
pero no nos importa mucho porque 00:11:53
en fin 00:11:54
luego ya cuando hagamos 00:11:56
los menores pues se puede ver 00:11:58
como he visto antes 00:12:00
el demente de k es 00:12:01
de a perdón es 00:12:05
a ver k k menos 1 00:12:07
menos 1 menos 5 00:12:10
0 menos k 2 00:12:12
pues vamos a empezar 00:12:16
menos 10k 00:12:17
más 0 00:12:20
menos K 00:12:22
ahora vemos los productos en otro sentido 00:12:25
0 más 10K 00:12:28
perdón 00:12:33
0 más 2K 00:12:39
más K al cubo 00:12:46
y esto nos daría K al cubo menos 9K 00:12:52
esto es K por K al cuadrado menos 9 00:12:59
y esto ya es k cuadrado menos 3 al cuadrado 00:13:05
si os fijáis que haciendo las igualdades notables es 00:13:10
k menos 3 por k más 3 00:13:15
o si queréis podéis también hacer k cuadrado igual a 0 00:13:19
k cuadrado menos 9 es igual a 0 00:13:28
k cuadrado es igual a 9 00:13:31
k es igual a más o menos la cuadrada de 9 que es más menos 3 00:13:32
sea como fuere aquí tenéis tres soluciones 00:13:36
y esto es igual a cero si y solo si k es igual a cero, k es igual a tres o k es igual a menos tres. 00:13:39
Con lo cual, primer caso, si k es distinto de cero, k es distinto de tres y k es distinto de menos tres, 00:13:46
entonces el rango de a va a ser tres y el rango de ampliada va a ser tres ya que contiene menos tres por tres distinto de cero, 00:13:57
que es igual al número de incógnitas 00:14:08
de modo que tenemos un sistema compatible de terminal 00:14:11
y ahora tenemos que estudiar los tres casos 00:14:17
caso número 1 00:14:19
k igual a 0 00:14:21
vamos a ver 00:14:23
a ver si k es igual a 0, ¿qué pasa? 00:14:26
pues sustituimos la k 00:14:29
tenemos 0 aquí 00:14:31
0, menos 1, menos 5 00:14:33
menos 1, menos 5 00:14:36
0, 0, 0, 0, 2 y 1 00:14:40
Igual que antes, si queréis podéis multiplicar por menos 1 las dos primeras filas 00:14:46
Para hacerlo más sencillo 00:14:54
0, 0, 1, 5 00:14:55
1, 5, 0, 0 00:14:56
0, 0, 2, 1 00:14:59
Y obtenemos un sistema equivalente 00:15:01
Bueno, primero tenemos que encontrar un menor 2 por 2 distinto de 0 00:15:03
En este caso, pues es más sencillo 00:15:09
este mismo, y tenemos pues que 0, 1, 5, 0 es igual a menos 5 distinto de 0 00:15:10
cogemos la matriz que contiene, tres cuartos que contiene esa submatriz y 00:15:17
pues los términos independientes, que serían 5, 0 y 1 00:15:24
y calculamos su determinante 00:15:32
entonces el determinante sería 0, 1, 5, 5, 0, 0, 0, 2, 1 00:15:33
Bueno, eso se puede calcular muy fácilmente por adjuntos 00:15:42
Fijaos que es 5 por su adjunto, que sería menos 1, 5, 2, 1 00:15:45
Y sería menos 5 por 1 menos 10, que sería menos 9 00:15:55
Que sería 45, pero bueno, si queréis calcular directamente es igual 00:16:04
El único producto que hay dentro de 0 sería 5 por 5, 25 00:16:07
perdón, por 2 00:16:12
por 2,50 menos 5 que nos da 45 00:16:16
lo mismo. Bueno, pues entonces tenemos que 00:16:21
automáticamente ya tenemos que el rango de ampliada va a ser 3 00:16:25
entonces tenemos que el rango de A es igual a 2 00:16:29
menor que 3 que es el rango de ampliada 00:16:33
con lo cual tenemos un sistema incompatible 00:16:36
Veamos ahora qué ocurre si k es igual a 3 00:16:39
Si k es igual a 3, esto lo dejamos nuevamente en la matriz 00:16:44
A ver si me canto todo aquí 00:16:50
3, 3, menos 1 00:16:53
Menos 1, menos 5, 3 00:16:57
Menos 5, 3 00:17:01
0, menos 3 00:17:04
2, 1 00:17:09
Bueno, aquí va a ser más sencillo coger este menor 2 por 2 y 100 de 0. 00:17:13
¿Veis? En estos casos compensa hacer esos cálculos después, porque lo mismo, las matices más sencillas son otras. 00:17:22
En el caso anterior del 0, 0, no hubiéramos podido coger nunca una matriz de aquí, porque todas van a ser 0. 00:17:30
Bueno, sigamos y tenemos entonces que menos uno, menos cinco, cero, menos tres, sería tres, distinto de cero. 00:17:38
Ah, pues ahí está calculado. He puesto uno, sería algo nuevo. 00:17:51
Y luego tenemos que tres, tres, menos uno, perdón, me he despistado. 00:17:55
Bueno, pues tomamos estas dos columnas y esta, y tenemos 3, 3, menos 5, menos 1, menos 5, 3, 0, menos 3, 1. 00:18:04
Calculamos el determinante, tenemos menos 15, 0, menos 15 otra vez, 0, más 3, y ahora más 27. 00:18:30
Nos va a dar 0. 00:18:51
15-15 es 30, 20-20 es 30, 30-30 es 0. Con lo cual, ya tenemos que el rango de ampliada va a ser 2, porque esta matriz tiene determinante de distinto de 0 y también esta matriz, las dos que no tienen la lista. 00:18:53
Por tanto, tenemos que rango de A es igual al rango de ampliada, que es 2, que es menor que 3, que es el número de incógnitas. 00:19:16
Por tanto, tenemos un sistema compatible indeterminado. 00:19:32
Y nos quedaría el caso de K por A3, que no está bien aquí, no es muy limpio, pero es lo que tenemos. 00:19:36
Vamos a hacer otro color para que no haya líos. 00:19:44
Si k es igual a menos 3, entonces tenemos la matriz 00:19:45
menos 3, menos 3, menos 1, menos 5, menos 1, menos 5, menos 3, menos 3, 0, 3, 2 y 1 00:19:54
Igual que antes, podemos multiplicar por menos 1 estas dos filas 00:20:11
obteniendo un sistema equivalente y una matriz equivalente 00:20:15
3, 3, 1, 5, 1, 5, 3, 3, 0, 3, 2, 1 00:20:18
Y todo también con objetivos 00:20:29
Igual que antes, para ver el rango, cogemos un menor 2 por 2 00:20:32
Con un determinante distinto de 0 00:20:39
Y cogemos el que tenga un 0 porque los cálculos se simplifican 00:20:40
1, 5, 0, 3, que sería 3 distinto de 0 00:20:43
Y ahora ya pues cogemos la matriz formada por estas dos columnas y esta 00:20:47
Que sería 3, 3, 1, 5, 0, 3, 5, 3 y 1 00:20:53
Y esto nos daría 0, 15, más 15 00:21:00
Y aquí tenemos menos 3 y menos 27 00:21:09
Mira, perdón, nuevamente 0 00:21:15
entonces tenemos que el rango es 2, por ahí más rango que antes 00:21:18
luego el rango de A es igual al rango de A ampliada 00:21:23
que es 2 menor que 3, que es el número 2 de incógnitas 00:21:28
de modo que tenemos un sistema compatible indeterminado 00:21:33
aquí me falta esto 00:21:39
vale, pues ya está, ya hemos terminado 00:21:41
Valoración:
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
11
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 10:50
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Ejemplo del teorema de Rouché-Fröbenius con parámetros
Duración:
21′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
198.88 MBytes

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