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FU2. 2.2 Funciones homográficas. Ejercicio 5 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:20
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones homográficas. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones homográficas, que son aquellas cuya expresión 00:00:40
algebraica es un cociente de polinomios de primer grado, como vemos aquí. Para que esta 00:00:52
definición tenga sentido, necesitamos en primer lugar que el numerador no sea el polinomio 00:00:57
idénticamente nulo, de tal forma que los dos coeficientes m1 y m1 que tenemos aquí 00:01:01
en el numerador no pueden ser simultáneamente cero. Por otra parte, el denominador no puede 00:01:06
ser una constante, de tal forma que el coeficiente principal m2, el coeficiente de x, no puede 00:01:11
ser igual a cero. Si fuera una constante, estaríamos dividiendo entre una constante 00:01:16
lo que tendríamos es una función polinómica realmente. 00:01:20
Esta que es la forma en la cual se definen las funciones homográficas 00:01:23
no es tal vez la más útil a la hora de buscar cómo representar gráficamente la función, 00:01:26
incluso como veremos hacia el final de esta videoclase, 00:01:31
cómo a partir de la representación gráfica determinar la expresión algebraica. 00:01:34
Si realizamos esta división que tenemos aquí expresamente 00:01:39
y reorganizamos ligeramente los términos, 00:01:42
vamos a poder llegar siempre a esta expresión algebraica 00:01:44
que va a ser la que nos sea realmente útil. 00:01:47
Todas las funciones homográficas se van a poder expresar como el cociente de una constante 00:01:50
entre el binomio x menos una constante más un último término y sub a. 00:01:54
xa e y sub a no están definidos de esta manera con esta anotación al azar, 00:02:01
sino que xa y sub a van a ser dos valores realmente importantes a la hora de caracterizar la función. 00:02:07
De hecho, puedo adelantaros que estas funciones tienen asíntotas, una horizontal y una vertical. 00:02:13
La asíntota horizontal os adelanto que va a ser y igual a y sub a y en cuanto a la asíntota vertical va a ser x igual a x sub a. 00:02:19
De tal forma que esta expresión lo que va a poner de manifiesto es cuáles son las asíntotas. 00:02:26
Asimismo esta va a ser una función simétrica con respecto de un punto y ese punto va a ser x a y sub a. 00:02:31
De tal forma que una vez más con esta forma de representar la función va a quedar claramente de manifiesto los elementos geométricos con respecto de los cuales se va a representar gráficamente la función. 00:02:37
Se puede encontrar cuáles son las expresiones algebraicas para determinar k, xa e y sub a en función de los coeficientes en esta definición, 00:02:49
aunque estas expresiones nunca nos las venderemos, sino que siempre buscaremos cómo a partir de esta expresión encontrar esta otra 00:02:58
o, en llegado al caso, cómo hacer el camino inverso. Lo veremos más adelante, hacia el final de la videoclase. 00:03:04
En lo que respecta a cuál es la representación gráfica de este tipo de funciones homográficas, se van a tratar de hipérbolas equilateras 00:03:10
Y las asíntotas de las hipérbolas van a ser estas que os he presentado anteriormente, van a ser las rectas y igual a y sub a, x igual a x sub a, paralelas a los ejes de coordenadas. 00:03:17
Evidentemente, el punto de corte de las dos asíntotas, x a y sub a, va a ser el punto con respecto de la cual las hipérbolas van a ser simétricas. 00:03:29
En cuanto a la forma de estas hipérbolas, sabemos que hay dos tipos, crecientes y decrecientes. 00:03:37
Bien, pues cuál de las dos se trata, nos lo va a indicar el signo de esta constante k. 00:03:42
De tal forma que, como discutiremos en un momento, si la constante es positiva, la hipérbola va a ser monótona decreciente, si k es negativa, va a ser monótona creciente. 00:03:46
En lo que respecta a las características generales, el dominio de este tipo de función va a ser siempre toda la recta real, excepto este valor xa, que va a hacer cero el denominador. 00:03:57
Mientras que la imagen va a ser toda la recta real, excepto este valor y sub a que tenemos aquí. 00:04:08
Y puede que corte o puede que no corte la hipérbola con los ejes de coordenadas. De cortar al eje de las x, cortará en una única abscisa que se determinaría de esta manera, o bien resolviendo la ecuación f de x igual a cero. 00:04:13
Fijaos que esta definición, esta forma de calcular la abscisa, sólo tiene sentido si m1 es distinto de cero, puesto que no podemos dividir entre cero. Y esa es la condición para que exista este punto de corte. 00:04:30
Igualmente el punto de corte con el eje de las i es de existir es único, esto guarda relación con la definición de función. 00:04:40
Se podría calcular de esta manera o bien directamente sustituyendo y calculando cuál es el valor de la función cuando x vale 0. 00:04:45
Fijaos que no tiene sentido calcular n1 entre n2 salvo cuando n2 sea distinto de 0 y esta es la condición para que exista este punto de corte con el eje de las i. 00:04:52
Hemos hablado de la monotonía anteriormente. 00:05:01
si la constante es positiva o es negativa tendremos una función que va a ser monótona decreciente o 00:05:03
monótona creciente en todo su dominio. Las hipérbolas no tienen extremos relativos. En 00:05:08
cuanto a la curvatura, las hipérbolas van a ser cóncavas o convexas en todo su dominio dependiendo 00:05:14
de cuál sea el signo de la constante y como vemos aquí, si la constante es positiva la función va 00:05:19
a ser convexa en todo su dominio, si es negativa, cóncava en todo su dominio. Las hipérbolas no 00:05:24
tienen puntos de inflexión. Ya hemos discutido las asíntotas vertical x igual a xa y horizontal 00:05:30
y igual a y sub a. La función va a ser continua en todo su dominio y con respecto a la simetría 00:05:35
algo que ya habíamos comentado y algo extra. Las hipérbolas son simétricas con respecto del 00:05:42
punto de corte de las dos asíntotas así que va a ser simétrica con respecto al punto xa e y sub a 00:05:48
y en el caso en el que las asíntotas coincidan con los ejes de coordenadas tendremos una función 00:05:55
impar, puesto que va a ser simétrica con respecto al origen del sistema de referencia. Asimismo, 00:05:59
las hipérbolas, como veremos un poco más adelante, son asimismo simétricas con respecto a las 00:06:05
bisectrices de los cuadrantes que definen las asíntotas. Y un poco más adelante, cuando veamos 00:06:11
ejemplos, discutiremos a qué se refiere esta expresión de los cuadrantes definidos por las 00:06:15
asíntotas. A continuación vamos a estudiar un par de ejemplos. En este ejercicio se nos pide 00:06:21
que estudiemos y representemos las funciones adx igual a menos 2x más 5 dividido entre x menos 1 00:06:27
y posteriormente haremos lo mismo con la función bdx igual a x menos 1 dividido entre x más 1. 00:06:34
Para poder representar bien la función lo primero que vamos a hacer es expresarla 00:06:40
algebraicamente en la forma en la que anteriormente hemos mencionado constante 00:06:45
dividido entre x menos x sub a más y sub a. Vamos a empezar con la función adx cuya 00:06:48
la expresión algebraica que reproduzco aquí. Y lo primero que vamos a hacer es la división. 00:06:54
Menos 2x más 5 entre x menos 1. El cociente es menos 2, el resto es más 3. 00:06:58
Y entonces lo que hacemos es expresarlo de esta manera. El dividendo lo vamos a sustituir por el cociente, 00:07:05
por el divisor, más el resto. Y ahora vamos a recolocar términos. 00:07:10
En primer lugar voy a escribir 3 dividido entre x menos 1. Aquí lo tenemos. 00:07:15
Y a continuación voy a escribir menos 2 por x menos 1 entre x menos 1. Estos dos términos se van a simplificar y sencillamente voy a escribir menos 2. 00:07:19
Y aquí ya tengo la constante que toma valor positivo más 3. x sub a, que va a ser la asíntota vertical, es igual a 1. 00:07:28
E y sub a, que va a ser la asíntota horizontal, es igual a menos 2. 00:07:36
Y con eso ya puedo iniciar un poco la representación gráfica que tengo aquí a la izquierda. 00:07:40
Tengo la asíntota horizontal y igual a menos 2, tengo la asíntota vertical x igual a 1, 00:07:45
y puesto que la constante toma un valor positivo, sé que la función va a ser monótona decreciente. 00:07:51
Si contara la historia de cómo la represento gráficamente, desde que la inicio en x tendiendo a menos infinito, 00:07:58
hasta que acabo en x tendiendo a más infinito, la función comienza despegándose hacia abajo, 00:08:03
puesto que es decreciente de la asíntota horizontal, que es y igual a menos 2. 00:08:09
La función es monótona decreciente y dado que me voy a encontrar con una asíntota vertical, la tasa de crecimiento tiene que aumentar para que conforme me aproximo a la asíntota vertical, me aproximo a x igual a 1 por la izquierda, la función tienda a menos infinito y se aproxime infinitamente a la asíntota aún sin llegar a tocarla. 00:08:13
Bien, salto de la asíntota y cuando comienzo a pintar la función desde x igual a 1, valores próximos a x igual a 1 por la izquierda, hacia más infinito, sé que tengo que pintar la función despegándome de la asíntota vertical, así que desde más infinito, decreciente, y en algún momento debe cambiar la tasa de decrecimiento, puesto que necesito que la función siga siendo decreciente, se vaya aproximando a la asíntota horizontal y igual a menos 2 infinitamente sin llegar a tocarla nunca. 00:08:33
Y representaría algo tal que así. Y fijaos que dado que la constante es positiva, las dos ramas de la epérbola me van a quedar en lo que sería el primer y el tercer cuadrante del espacio que queda dividido por las dos asíntotas. 00:09:00
Y que la función se representa simétrica con respecto de este punto, el punto de corte de las dos asíntotas. 00:09:16
Tengo mucha información contenida en este dibujo y hay mucha información que conozco de las características propias de este tipo de funciones. 00:09:24
Por ejemplo, tengo que el dominio de la función va a ser toda la recta real, excepto el valor x igual a 1. 00:09:31
No puedo dividir entre 0, así que debo omitir el 0 de este denominador. 00:09:36
Vamos, tengo que omitir la asíntota vertical. 00:09:41
En cuanto a la imagen, va a ser toda la recta real, excepto el menos 2. 00:09:43
De aquí, de la recta real, debo omitir la asíntota horizontal. 00:09:47
En cuanto a los cortes con los ejes, los puedo determinar algebraicamente, 00:09:51
sin más que sustituir el valor x igual a 0 para encontrar cuál es la abstisa que correspondería al punto de corte con el eje de las y. 00:09:55
En este caso obtengo el punto 0 menos 5 y si resuelvo la ecuación adx igual a 0 encontraría cuál es la abstisa que le corresponde al punto de corte con el eje de las x. 00:10:04
Y en este caso obtengo el punto 5 medios 0, este punto que tengo aquí. 00:10:15
Puesto que la constante es positiva sabemos que la función va a ser decreciente en todo su dominio, ya así la hemos representado. 00:10:19
Esta función no tiene ni máximos ni mínimos relativos. 00:10:25
En esta primera rama la función es cóncava, de la forma que la función es cóncava en el intervalo para x que va desde menos infinito hasta 1, ambos extremos abiertos. 00:10:29
Y esta segunda rama vemos que es convexa, así que la función es convexa en el intervalo para x que va desde 1 hacia más infinito, ambos extremos abiertos. 00:10:37
La función no tiene puntos de inflexión. 00:10:47
Ya hemos discutido las asíntotas x igual a 1 e y igual a menos 2. 00:10:49
esta función es continua en todo su dominio 00:10:53
de hecho el único punto de discontinuidad coincide con la asíntota vertical 00:10:55
que hemos eliminado expresamente del dominio 00:10:59
así que decir que es continua en todo su dominio es correcto 00:11:02
y en cuanto a la simetría 00:11:05
por un lado la que ya hemos mencionado 00:11:06
con respecto al punto de corte de las dos asíntotas 00:11:08
con respecto al punto 1, menos 2 00:11:10
pero también esta función es simétrica 00:11:12
con respecto de esta línea recta que estoy trazando 00:11:14
que es la recta y igual a x menos 3 00:11:18
la bisectriz del primer y tercer cuadrante que delimitan las asíntotas y, con respecto a esta otra asíntota, que también estoy aquí marcando, sería la recta y igual a menos x menos 1, 00:11:22
la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante que delimitan las dos asíntotas. 00:11:34
Fijaos que si yo doblara la representación gráfica con respecto de esta primera bisectriz, este trozo de la rama se superpondría sobre este otro trozo de la misma rama, 00:11:38
este trozo de la segunda rama se superpondría sobre este otro trozo de la misma rama y ahí tenemos la simetría. 00:11:49
Mientras que si doblara la representación gráfica por respecto de esta línea recta, 00:11:54
vería como esta rama de la hipérbola se superpondría por encima idénticamente de esta otra y ahí volvería a tener una cierta simetría. 00:11:58
En lo que respecta a la función b, podría operar de forma análoga. 00:12:06
La expresión algebraica es esta que tengo aquí, x menos 1 entre x más 1. 00:12:11
Si hago la división, obtendré como cociente 1 y como resto menos 2. De tal forma que podría expresar la función, en lugar del dividendo, pues el cociente por el divisor más el resto. 00:12:14
Vuelvo a reorganizar términos. Tengo por un lado menos 2 entre x más 1, que es lo que he escrito aquí, y por otro lado 1 por x más 1, que es x más 1, dividido otra vez entre x más 1, que es este 1 que tengo aquí. 00:12:26
Y ya estoy viendo la constante negativa, el valor de x sub a que va a ser menos 1, puesto que aquí espero ver x menos x sub a, y x menos menos 1 es este x más 1 que tengo aquí, e x sub a es igual a este valor 1 que tengo aquí. 00:12:37
Puesto que la constante es negativa, sé que la función va a ser monótona creciente y podría hacer un bosquejo como este que tengo aquí. 00:12:53
He pintado la asíntota vertical x igual a menos 1, la asíntota horizontal y igual a 1 y me cuento a mí mismo la misma historia acerca de cómo representaría gráficamente la función de izquierda a derecha. 00:13:00
Sé que la función tiene que ser monótona creciente, así que voy a pintar la función despegándose de la asíntota horizontal hacia arriba, función creciente. 00:13:14
Conforme nos aproximamos a la asíntota vertical, para que sea tal, lo que voy a hacer es cambiar la tasa de crecimiento para que, conforme me aproxime a la asíntota vertical x igual a menos 1 por la izquierda, la función tienda más infinito y se aproxime infinitamente a la asíntota horizontal aún sin llegar a tocarla. 00:13:22
Cuando salto a la derecha de la asíntota horizontal, me despego, pinto la función despegándome de ella, una función creciente desde menos infinito y vuelvo a cambiar la tasa de crecimiento para que la función se aproxime infinitamente a la asíntota horizontal conforme x tiende a más infinito, aún sin llegar a tocar la lonca. 00:13:39
Y tendría una representación aproximadamente igual a esta. 00:13:57
Igualmente tengo mucha información aquí contenida, mucha información que conozco de esta familia de funciones. 00:14:01
El dominio de la función es toda la recta real excepto menos 1. 00:14:08
Omito la asíndota vertical, el valor que hace 0 este denominador. 00:14:12
La imagen va a ser toda la recta real excepto el 1. 00:14:16
Voy a omitir la asíndota horizontal. 00:14:19
En cuanto a los puntos de corte con los ejes, se pueden determinar analíticamente. 00:14:21
Sustituyo x igual a 0 para ver cuál es la ordenada del punto de corte con el eje de las y. 00:14:25
Y obtengo el punto 0 menos 1. 00:14:31
Bueno, resuelvo la ecuación resultante de igualar b de x igual a 0 para encontrar cuál es la abscisa del punto de corte con el eje de las x y obtengo el punto 1, 0. 00:14:32
Como la constante es negativa, sé que esta función va a ser creciente en todo su dominio, las hipérbolas no tienen extremos relativos. 00:14:45
Por otro lado, esta primera rama va a ser convexa, así que la función es convexa en el intervalo que va de menos infinito a menos 1, abierto. 00:14:52
Y aquí estoy viendo esta otra rama que es cóncava, así que la función es cóncava en el intervalo que va desde menos 1 hasta más infinito, ambos extremos, por supuesto, siempre abiertos. 00:15:00
Ya hemos discutido las asíntotas, vertical en x igual a menos 1, horizontal en x igual a 1, es una función continua en todo su dominio. 00:15:11
Y ya hemos hablado de la simetría con respecto del punto de corte de las dos asíntotas, en este caso el punto menos 1, 1. 00:15:19
y a esto hemos de añadir la simetría con respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante que delimitan las asíndotas 00:15:26
y la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante que delimitan estas dos asíndotas. 00:15:33
Serían las rectas y igual a x más 2 e y igual a menos x. 00:15:40
En este tipo de funciones, al igual que ocurría en las funciones que estudiamos en la videoclase anterior, 00:15:46
las potenciales con exponente entero negativo, hay una serie de puntos característicos que me 00:15:53
van a permitir hacer una representación gráfica más fiel, más adecuada, más precisa y que al 00:15:58
mismo tiempo, como veremos un poco más adelante, me va a permitir a partir de la expresión gráfica 00:16:04
determinar de una forma cómoda y sencilla cuál es la expresión álgebra k que le corresponde. 00:16:09
Lo que voy a hacer es utilizar esta expresión que tengo aquí, donde tengo k dividido entre x menos 00:16:14
x a más y sub a. Una vez que he pintado las dos asíntotas, x igual a x a, en este caso x igual a 00:16:20
menos 1 e igual a y sub a, en este caso y igual a más 1, lo que voy a hacer es fijarme en este valor 00:16:28
de la constante que es menos 2. Y lo que voy a hacer es, a partir del punto donde se cortan las 00:16:34
dos asíntotas, ir contando a derecha, a izquierda, arriba y abajo, porque voy a buscar puntos de la 00:16:41
función con respecto de este punto donde se cortan las asíntotas. De la siguiente manera, si me muevo 00:16:49
desde aquí una unidad hacia la derecha, la función se va a encontrar dos unidades hacia abajo, una y 00:16:56
dos, y efectivamente aquí tengo la función. Una unidad hacia la derecha es más uno, dos unidades 00:17:02
hacia abajo es menos dos, y si multiplico uno por menos dos obtengo este valor menos dos que tengo 00:17:08
aquí. Si me desplazo, en cambio, desde este punto de corte una unidad hacia la izquierda, me encuentro 00:17:13
la función dos unidades hacia arriba. Una unidad hacia la izquierda es menos 1, dos unidades hacia 00:17:20
arriba es más 2, menos 1 por más 2 es menos 2. No es casualidad, es este que tengo aquí. No es este 00:17:26
el único punto que puedo determinar de esta manera, hay muchos más. Si me desplazo dos unidades hacia 00:17:33
la derecha, más 2, me voy a encontrar la función una unidad hacia abajo, menos 1, porque 2 por menos 00:17:38
1 es este menos 2. Igualmente, dos unidades hacia la izquierda, que sería menos 2, la función me la 00:17:45
voy a encontrar una unidad hacia arriba, más 1, porque menos 2 por más 1 es igual a este menos 2. 00:17:52
Igualmente con cualesquiera otra pareja de números cuyo producto se iguala menos 2. Por ejemplo, 00:17:59
4 por menos un medio. 4 por menos un medio es menos 2. Bien, 4 unidades hacia la derecha, que es el más 4, media unidad hacia abajo, que es el menos un medio. 00:18:05
Y aquí tengo la función. O bien, media unidad hacia la izquierda, menos un medio, 4 unidades hacia arriba, más 4, 1, 2, 3, 4, menos un medio por más 4, es este menos 2. 00:18:18
De esta forma, puedo pintar varios puntos de ambas ramas de la epérbola. Me bastaría con pintar unos, puesto que la función va a ser simétrica, pero puedo pintar puntos de ambas ramas de la epérbola. 00:18:33
Y de esta forma, teniendo en cuenta cuál es la idea general de cómo debería trazar la función, creciente, aproximándome a las asíntotas, etc., ir pasando por esos puntos de tal forma que la representación sea realmente precisa. 00:18:45
Y insisto, voy a buscar parejas de números cuyo producto sea igual a la constante. Positivo hacia la derecha, negativo hacia la izquierda, positivo hacia arriba, negativo hacia abajo. Y eso me va a indicar coordenadas de los puntos de la función, insisto, con respecto de las asíntotas, con respecto del punto donde se corta. 00:18:58
Esto lo he hecho con la función b. Podría haber hecho lo propio con la función a. 00:19:19
Y en este caso me fijo en que la constante es más 3. 00:19:23
La asíntota vertical es x igual a 1, la asíntota horizontal es y igual a menos 2. 00:19:27
x igual a 1, y igual a menos 2. 00:19:33
El punto de corte es el punto 1 menos 2 y voy a buscar parejas de valores que den como resultado 3. 00:19:36
Bueno, lo más sencillo es 1 por 3. 00:19:43
Veamos, con respecto a este punto, una unidad hacia la derecha, tres hacia arriba. 00:19:45
Aquí lo tengo. 00:19:50
También podría haber hecho tres unidades hacia la derecha y uno hacia arriba. 00:19:51
Tres por uno también es tres. 00:19:55
Y aquí tendría este otro punto que hay aquí. 00:19:56
Podría haber usado valores negativos. 00:19:59
Menos uno por menos tres también es tres. 00:20:01
Menos uno, uno a la izquierda, menos tres, tres hacia abajo. 00:20:04
O bien menos tres por menos uno, tal que también da como resultado más tres. 00:20:07
Tres hacia la izquierda, uno hacia abajo. 00:20:12
No son las únicas posibilidades. Podría haber tomado, por ejemplo, 9 por un tercio o menos 9 por menos un tercio. Hay distintas posibilidades con las cuales podría ir pintando distintos puntos y aprovecho antes con la función veo, como he dicho antes, sabiendo que la función tiene que despegarse de una asíntota, pegarse a otra, ser monótona, decreciente, etc. 00:20:15
Si tengo por aquí unos cuantos puntos, puedo hacer una representación gráfica que sea mucho más precisa, que sea fiel. 00:20:35
Como dije anteriormente, también podría ser que se nos diera la representación gráfica de la función 00:20:44
y se nos pidiera que diéramos cuál es la expresión algebraica que le corresponde. 00:20:48
Bien, una vez que hemos identificado esta función como una hipérbola equilátera, 00:20:53
es tan sencillo como trazar cuáles son las asíntotas horizontal y vertical, 00:20:57
y una vez que hemos identificado que la asíntota vertical es x igual a 1 en este caso 00:21:01
y la asíntota horizontal es y igual a menos 2 en este otro, 00:21:06
ya tenemos dos de los tres parámetros que caracterizan la función. 00:21:10
Sabemos que vamos a poner la función como constante dividido entre x menos xa, 00:21:15
así que el denominador va a ser x menos 1, el valor de esta asíndota vertical. 00:21:20
Y que tenemos que sumar y sub a, bien, pues lo que tenemos que hacer es añadir un menos 2, 00:21:25
que se corresponde con este y sub a. 00:21:30
Y de esta expresión algebraica a la cual vamos a querer llegar, 00:21:32
a excepción de la constante, ya tenemos el denominador x menos 1 y este menos 2. 00:21:35
¿Cómo podemos determinar la constante? 00:21:41
Bien, pues utilizando los puntos característicos que hemos mencionado hace un momento. 00:21:43
¿Qué ocurre si con respecto del punto de corte de las dos asíntotas me desplazo una unidad hacia la derecha? 00:21:47
Pues bien, que la función me la voy a encontrar, una, dos, tres unidades hacia arriba, más tres. 00:21:54
Bien, pues ese es el valor de la constante. 00:21:59
Este es el punto característico más sencillo. 00:22:03
Podría haber pensado en qué es lo que ocurre cuando me desplazo una unidad hacia arriba. 00:22:06
¿Dónde me encuentro la función? 00:22:10
Una, dos, tres unidades hacia la derecha. 00:22:12
Ese valor 3 igualmente se va a corresponder con el valor de la constante. 00:22:15
Así de sencillo. 00:22:20
Una vez que tengo esta expresión, adx igual a 3 entre x menos 1 menos 2, 00:22:21
si quisiera expresarlo en esta manera, como el cociente de dos polinomios, 00:22:26
lo único que tenía que hacer es operar con las trasfracciones algebraicas, 00:22:30
poner denominador común y agrupar en el numerador y obtendría esta expresión que tengo aquí. 00:22:34
En el caso de la función b podría operar de forma análoga. 00:22:40
Me dan esta representación gráfica, busco cuál es esta línea asíntota vertical y esta otra línea asíntota horizontal. 00:22:44
Veo que la asíntota vertical pasa por x igual a menos 1, que la asíntota horizontal por y igual a 1 00:22:52
y entonces tengo dos de los tres parámetros. 00:22:58
En esta expresión tengo ya el denominador x menos menos 1, x menos la asíndota vertical, que es este x más 1, y también tengo este más 1, que se corresponde con la asíndota horizontal. 00:23:00
Y ahora, ¿cómo puedo determinar la constante? Pues con los puntos característicos. Me voy al punto de corte de las dos asíndotas y me desplazo una unidad hacia la derecha. ¿Dónde me encuentro la función? Una, dos unidades hacia abajo, menos dos. Pues bien, ese es el valor de la constante. 00:23:13
Igualmente, no necesariamente tiene que ser este el punto que yo elija. 00:23:30
Podría haberme desplazado una unidad hacia arriba con respecto de ese punto de simetría. 00:23:33
¿Dónde me encuentro la función? 00:23:39
Una, dos unidades hacia la izquierda. 00:23:40
Aquí vuelvo a tener este valor menos 2. 00:23:43
Igualmente, si quisiera tener la expresión como cociente de dos polinomios, 00:23:46
no quiero tener esta expresión así, 00:23:50
volvería a poner denominador común para poder sumar con estas fracciones algebraicas 00:23:52
y agruparía el numerador, obteniendo esta expresión que tengo aquí. 00:23:55
Un detalle importante es cómo puedo distinguir estas funciones, las hipérbolas equiláteras, 00:24:00
con respecto a las funciones potenciales con exponente entero negativo cuando ese exponente era impar. 00:24:08
Porque si el exponente era par me encontraba con las dos ramas o bien por encima o bien por debajo del eje de las x, 00:24:15
pero ¿qué es lo que ocurre si tengo las dos ramas enfrentadas? 00:24:21
Voy a volver hacia atrás a buscar el ejemplo en el cual teníamos esta función con este denominador x elevado al cubo. 00:24:25
Fijaos en lo que ocurre con las dos ramas que tengo aquí. 00:24:36
En su momento mencioné que en estas funciones lo que tenía una simetría con respecto al origen del sistema de referencia, 00:24:40
pero no dije nada, porque no hay, de una simetría con respecto a las bisectrices de cualquiera de los cuadrantes. 00:24:47
En este caso de los cuadrantes que podría obtener con las dos asíntotas, la vertical x igual a 0 y la horizontal y igual a 0. 00:24:54
Y es que esta función no es simétrica con respecto a esas líneas, tan sólo cuando el exponente es 1. 00:25:02
Y en ese caso lo que tengo es un caso particular de una hipérbola. 00:25:08
Así pues, en el caso en el que yo vea que no solamente tengo un asíntoto horizontal y vertical, 00:25:12
sino que además tengo esa simetría con respecto a esas bisectrices, sé que me encuentro ante una hipérbola. 00:25:17
Y en caso contrario, cuando no tengo esa simetría, lo más probable es que si me estoy restringiendo a estos tipos de funciones, 00:25:24
me encuentro con una de estas funciones, constante dividido entre x elevado a un exponente impar, pero que no va a ser 1. 00:25:32
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:25:41
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:25:48
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:25:53
Un saludo y hasta pronto. 00:25:58
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3
Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 8:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
26′ 26″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
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