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AN5. 2.2. Integrales reducibles a inmediatas + Ejercicio 2 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 10 de diciembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos las integrales 00:00:22
reducibles a inmediatas y resolveremos el ejercicio propuesto 2. En esta videoclase 00:00:34
vamos a estudiar las integrales que se dicen reducibles a inmediatas y que provienen de 00:00:48
la lectura inversa de la regla de la cadena. Recordad que la regla de la cadena me dice 00:00:54
que si yo tengo una cierta función cuyo argumento es otra función y aquí tengo f mayúscula 00:00:58
de g de x, su derivada es la derivada de la función externa, la derivada de f es f minúscula 00:01:05
con el mismo argumento multiplicado por la derivada de la función que tiene el argumento. 00:01:12
De tal manera que si me encuentro la integral de una función que está expresada con un argumento que es a su vez una segunda función 00:01:17
y tengo multiplicando la derivada de esa función en el argumento, puedo escribir esta integral de esta manera, 00:01:26
la primitiva de la función externa con el argumento que le corresponde. Por supuesto, más k. 00:01:33
Vamos a resolver como ejemplo este ejercicio propuesto en el que se nos indica que calculemos las siguientes integrales indefinidas 00:01:41
que se nos dice que son reducibles a inmediatas. 00:01:49
Vamos a comenzar con este primer apartado en el que se nos pide determinar la integral de logaritmo neperiano de x partido por x. 00:01:51
Estoy pensando en, por un lado, la función logaritmo neperiano de x y, por otro lado, 1 partido de x, que es su derivada. 00:01:59
Recordad, la derivada de logaritmo neperiano de x es 1 partido por x. 00:02:06
Así que tengo que pensar en una cierta función que tenga como argumento logaritmo neperiano de x, 00:02:11
puesto que tengo al lado, multiplicando su derivada, la derivada del logaritmo neperiano de x, que es 1 partido por x. 00:02:16
La idea es escribir un 2 multiplicando dentro de la integral y un medio fuera, también multiplicando. 00:02:23
Un medio por este 2 es 1. Esta transformación va a ser habitual, que la hagamos en muchas ocasiones. 00:02:30
Y en este caso, haciendo de esta manera, lo que tenemos es 2 logaritmo neperiano de x partido por x. 00:02:36
2 logaritmo neperiano de x y multiplicando la derivada de logaritmo neperiano de x, que es 1 partido por x. 00:02:43
Podemos escribir esto como un medio de y la integral indefinida sería logaritmo neperiano al cuadrado del valor absoluto de x. 00:02:52
Aquí lo que tenemos es, en el fondo, una integral relacionada con el logaritmo neperiano. 00:03:01
Más k, por supuesto, más el término aditivo. 00:03:06
¿Por qué? Vamos a, como decíamos en la videoclase anterior, hablando de las integrales inmediatas, 00:03:09
comprobar que la integral está bien hecha, sin más que haciendo la derivada. 00:03:16
Un medio se queda tal cual, haciendo la derivada, y tenemos logaritmo neperiano al cuadrado. 00:03:20
Esto es la función de una función. Tenemos que derivar utilizando la regla de la cadena. 00:03:27
Primero, la función más externa, algo al cuadrado, su derivada es 2 por el algo, 00:03:32
así que tengo 2 por el logaritmo neperiano de x, y multiplicado por lo que tenía dentro del cuadrado, 00:03:36
la derivada de lo que tenía dentro del cuadrado, que es la derivada del logaritmo neperiano de x, 1 partido por x. 00:03:43
Así que sería 2 por un medio que se cancela, logaritmo neperiano de x partido por x, 00:03:49
lo que tenía en el argumento, lo que tenía integrando en este ejemplo. 00:03:54
En el segundo ejemplo me encuentro con la integral de x por e elevado a x al cuadrado más 1. 00:03:58
y pienso que esto que tengo aquí multiplicando es casi el argumento de la función exponencial 00:04:04
que sería e elevado a x al cuadrado más 1. 00:04:10
La derivada de este exponente es 2x, no lo tengo, pero puedo hacer como en el caso anterior. 00:04:13
Si pongo un medio fuera multiplicando y un 2 multiplicando por dentro, 00:04:19
esta transformación es lícita, 2 por un medio, tengo un 1, no estoy haciendo ningún cambio, 00:04:23
pero de esta manera me encuentro que dentro de la integral tengo una cierta función 00:04:28
que es e elevado a x al cuadrado más 1, y multiplicando la derivada de su argumento, 00:04:31
la derivada de x al cuadrado más 1, que es 2x. 00:04:37
Así que puedo hacer la integral y escribir un medio, el que tenía afuera, 00:04:40
por e elevado a x al cuadrado más 1, que sería la integral de este e elevado a x al cuadrado más 1. 00:04:45
Voy a hacer la derivada para comprobar que está bien hecha. 00:04:53
Un medio que multiplica a la derivada de la función exponencial, que es ella misma, e elevado a x al cuadrado más 1, por la derivada del argumento, que sería 2x. 00:04:56
El 2 se simplificaría con este y me queda e elevado a x al cuadrado más 1 por x, lo que tenía integrando en este ejemplo. 00:05:06
Continuamos con esta integral de 5 elevado a x más 2. 00:05:16
Podemos pensar en aplicar la misma técnica que en el apartado anterior. 00:05:20
Y en este caso pienso la derivada del argumento de la función exponencial, la derivada de x más 2 es 1. 00:05:23
No lo veo, pero en realidad sí que lo tengo. Fijaos que 1 es el elemento neutro de la multiplicación. 00:05:31
Y esta integral es evidentemente igual a la integral de 1 por 5 elevado a x más 2 diferencial de x. 00:05:36
Ahora ya veo que puedo aplicar la integración de la función exponencial y escribir que esta integral es 5 elevado a x más 2 00:05:42
dividido entre el logaritmo neperiano de 5 y tengo la integral de la función exponencial más k que 00:05:50
perteneciente a r. Como siempre, si hiciera la derivada, tendría 5 elevado a x más 2 por el 00:05:55
logaritmo neperiano de 5 que cancelaría a este que tengo aquí dividiendo por la derivada del 00:06:02
argumento que es 1, que no aparecería. Tengo lo que tenía inicialmente dentro del argumento. 00:06:07
Aquí a continuación veo que tengo la integral de 1 partido de x más 1. 00:06:13
Se parece mucho a la integral de una función logarítmica. 00:06:19
Si fuera 1 partido por x, sin este más 1, sí que tendría logaritmo neperiano del valor absoluto de x. 00:06:22
Pero no, no tengo x, tengo x más 1. 00:06:29
Lo que pasa es que tengo multiplicando la derivada, que es este 1, o bien este 1 que voy a poner aquí expreso para que se vea mejor. 00:06:32
Por supuesto, de esta manera veo que esto, la integral de 1 entre x más 1, es el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 1, más k, por supuesto. 00:06:37
Y fijaos, la derivada sería 1 partido por el argumento, 1 partido por x más 1, por la derivada del argumento por 1. 00:06:48
Este que tengo aquí, o bien, si lo quiero pensar de esta otra manera, este otro 1 que tengo aquí. 00:06:55
Aquí tengo la integral de 3x dividido entre x al cuadrado más 9. 00:07:01
Y pienso en la línea de lo anterior. Podría ser la integral de un logaritmo neperiano. 00:07:06
Tengo, pienso, 1 partido de x al cuadrado más 9. 00:07:14
El argumento sería este x al cuadrado más 9 en ese hipotético logaritmo neperiano que estoy intentando construir. 00:07:18
Lo que pasa es que la derivada del argumento sería 2x, no 3x. ¿Qué es lo que puedo hacer? 00:07:25
Bueno, pues siempre que tenga factores multiplicativos constantes como este, 00:07:30
La técnica es muy sencilla y siempre la misma. 00:07:34
Yo no quiero tener este 3, así que lo voy a sacar fuera de la integral. 00:07:37
Me gustaría, a cambio, tener este 2 que tengo aquí. 00:07:41
Y lo que voy a hacer es, al tiempo que pongo este 2 multiplicando dentro de la integral, poner un 2 dividiendo fuera. 00:07:44
Esta técnica de poner dentro multiplicando y fuera dividiendo una constante ya la hemos aplicado anteriormente. 00:07:50
Ahora sí veo que tengo lo que me gustaría tener. 00:07:56
1 partido de x al cuadrado más 9, pienso que esto sea la integral del logaritmo neperiano de x al cuadrado más 9. 00:08:00
Lo que pasa es que tendría que tener multiplicando al lado la derivada del argumento y si la tengo es este 2x. 00:08:07
Así que tendría 3 medios, este que tengo afuera, logaritmo neperiano del valor absoluto de x al cuadrado más 9. 00:08:12
Por supuesto, más k. 00:08:19
En este caso, a partir de aquí, esto ya es para los estudiantes de ciencias, tengo funciones trigonométricas. 00:08:22
Aquí tengo en primer lugar la integral de e elevado a x por el seno de e elevado a x. 00:08:30
Y pienso que la integral del seno es menos el coseno. 00:08:35
Claro que aquí dentro del seno tengo una cierta función. 00:08:39
Ojalá estuviera multiplicando la derivada de esa función. 00:08:42
Y sí, la tengo. Así que puedo aplicar directamente la regla y tener menos el coseno de e elevado a x. 00:08:45
Más k, por supuesto. 00:08:52
¿Cuál es la derivada? 00:08:54
Bueno, pues la derivada de menos el coseno de una función es el seno de esa función, por, aplicando la regla de la cadena, la derivada del argumento, que sería este e elevado a x. 00:08:55
Todo se corresponde. 00:09:04
Aquí tengo la integral de coseno de 2x por e elevado al seno de 2x. 00:09:07
Estamos en las mismas de antes. 00:09:13
Lo que pasa es que ahora ya no tengo únicamente dos funciones una dentro de otra. 00:09:14
Tengo tres funciones. 00:09:18
Tengo la exponencial de, el seno de, y luego tengo 2x. 00:09:20
Aquí lo que necesito es tener multiplicando no solamente la derivada del primer argumento, sino también del argumento que tiene este. 00:09:25
Así que, pensando en igual que antes la función exponencial del seno de 2x, necesitaría tener la derivada del seno de 2x, que es este coseno de 2x. 00:09:32
También tenía que tener el 2, que es la derivada de este 2x. 00:09:43
Bueno, pues necesito este 2 aquí dentro de la integral. 00:09:47
a cambio va a poner un medio fuera dividiendo, bueno, perdón, multiplicando, dos dividiendo, un medio multiplicando. 00:09:49
Y así lo que tengo es e elevado al seno de 2x, su integral es e elevado al seno de 2x, este un medio es el que tengo aquí, 00:09:56
más k por supuesto y si fuera a hacer la derivada para comprobar que está bien hecho tendría el un medio. 00:10:05
La derivada de e elevado al seno de 2x que es ella misma por la derivada del seno de 2x que es el coseno de 2x. 00:10:11
Por la derivada de 2x, que es 2. 00:10:19
El 2 con este 1 medio se simplifican y que me quedaría coseno de 2x por e elevado al seno de 2x, el argumento de la integral. 00:10:23
Aquí me encuentro con que tengo seno al cubo de x. 00:10:32
Y en este caso lo que tengo que hacer es lo siguiente. 00:10:36
Voy a descomponer seno de x al cubo como seno de x por seno al cuadrado de x. 00:10:38
Y a su vez voy a aplicar la primera relación fundamental de la trigonometría para escribir este seno cuadrado de x como 1 menos coseno al cuadrado de x, pensando en que voy a poder descomponer esta integral como por un lado la integral del seno de x, que es inmediata, y a continuación más la integral de este menos, seno de x por coseno cuadrado de x que tenemos aquí. 00:10:44
En este caso voy a pensar en que tengo coseno al cuadrado de x, tengo al cuadrado la función coseno de x y me gustaría tener, pensando en que tengo la integral de una función potencial, al lado multiplicando la derivada del argumento, que en este caso es el coseno de x y veo que tengo aquí menos seno de x. 00:11:10
Así que lo que voy a hacer es, pensando en este coseno al cuadrado, tengo la función al cuadrado, voy a poner multiplicando este 3 y voy a poner dividiendo este 3 para tener 3 coseno al cuadrado de x y pensar en que estoy integrando una función potencial, que sería 3 algo elevado al cuadrado, en este caso el coseno elevado al cuadrado. 00:11:30
La integral de 3, el argumento elevado al cuadrado, es el argumento al cubo. 00:11:55
Y entonces, ahora lo que hago es, la integral del seno de x es inmediata menos el coseno de x. 00:12:00
Este un tercio lo tengo aquí. 00:12:07
Y ahora tendría la integral del coseno al cuadrado multiplicado por 3. 00:12:10
Y esa integral es el coseno al cubo. 00:12:15
Lo que tengo para la integral de la potencia al cuadrado es la potencia al cubo. 00:12:18
dividido entre 3, que cancelaría este 3 que tengo aquí. 00:12:22
Así que, aplicando y juntándolo todo, lo que me va a quedar es que esta integral sería 00:12:26
menos el coseno de x más un tercio del coseno al cubo de x. 00:12:31
Si yo la derivara, la derivada de menos el coseno de x es el seno de x, 00:12:35
la derivada de un tercio por el coseno al cubo de x sería un tercio, 00:12:41
la derivada del coseno al cubo es 3 coseno al cuadrado, el 3 con este 3 se simplificaría, 00:12:46
Tendría coseno al cuadrado de x y ahora lo que tendría es la derivada del coseno que sería menos el seno de x. 00:12:52
Y tendría seno de x y a continuación menos seno de x por coseno al cuadrado de x. 00:12:59
Deshaciendo los cambios algebraicos volvería a tener seno al cubo de x. 00:13:05
Fijaos que aquí en esta integral me he dado cuenta de que aparte de esas pequeñas técnicas de reconocer 00:13:09
Cuando tengo una cierta función que puedo integrar fácilmente con un argumento que no es x, sino a su vez otra función y que tengo al lado multiplicando en el integrando la derivada de esa otra función, aquí vemos que en ocasiones tengo que hacer otra amplia colección de transformaciones teniendo en cuenta otra serie de relaciones. 00:13:17
Entonces, darme cuenta de que puedo descomponer seno al cubo como seno por seno al cuadrado no siempre es fácil. 00:13:39
Darme cuenta de que tengo que aplicar una de las relaciones fundamentales de la trigonometría para así ver cómo una función es la derivada de la otra no es sencillo. 00:13:45
Y en muchas ocasiones, al aire de este ejemplo se ve muy bien, hacer una integral no es tan inmediato como me pudiera parecer. 00:13:55
Eso va a ocurrir únicamente con las integrales inmediatas, sino que en muchas ocasiones es un arte y necesito una cierta experiencia para saber cómo tengo que, en cierta medida, transformar lo que tengo en el integrando para que sea reconocible poder convertirlo siquiera a una integral reducible inmediata, que son las siguientes más fáciles después de las inmediatas, que son las únicas que directamente voy a poder resolver. 00:14:03
Al ir de esto que acabo de decir, en este último ejemplo tenemos la integral de la cotangente de x. 00:14:26
Bien, si yo transformo la cotangente en su definición coseno partido por seno y me doy cuenta de que esto es 1 partido por el seno y lo que tengo es la derivada del seno, que es el coseno, multiplicando, 00:14:32
en ese caso puedo escribir que la integral de la cotangente de x es el logaritmo neperiano del valor absoluto del seno de x, por supuesto, más k. 00:14:45
Fijaos que de cotangente a logaritmo neperiano del seno hay un trecho bastante largo. 00:14:54
En realidad no, la transformación es muy sencilla, pero desde el punto de vista conceptual, 00:14:58
viendo cotangente por un lado y logaritmo neperiano del seno, esto no parece directamente relacionado con lo anterior. 00:15:02
Una vez más, insisto, en ciertas ocasiones, ciertas integrales, pese a que sean reducibles a inmediatas 00:15:09
y entonces la integral en sí misma sea muy sencilla, el llegar hasta ahí, a la transformación que me permite hacer esa integral, 00:15:15
reducible inmediata puede ser complicado, bien algebraicamente, bien conceptualmente. 00:15:22
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:15:31
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer 00:15:37
vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:15:43
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
10
Fecha:
10 de diciembre de 2024 - 12:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
16′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
37.53 MBytes

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