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PR4. 5.1. Definición a partir de la función de densidad de probabilidad. Parámetros y características - Contenido educativo

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Subido el 14 de marzo de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12

arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17

de la unidad PR4 dedicada a las variables aleatorias continuas y a la distribución 00:00:21

normal. En la videoclase de hoy estudiaremos las características de una variable aleatoria 00:00:26

normal y su función de densidad de probabilidad. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio 00:00:35

de la distribución normal, que en lo que respecta a variables aleatorias continuas ejerce el mismo 00:00:50

papel de ser una distribución muy representativa y de terrible impetuacia que corresponde a las 00:00:56

distribuciones binomiales en el caso de variables aleatorias discretas. En lo que respecta a la 00:01:03

distribución normal, ésta se define a partir de su función de densidad de probabilidad conocida, 00:01:09

la media mu y la desviación típica sigma. Y entonces una distribución normal con esta media 00:01:15

y esta desviación típica es aquella que corresponde a una función de densidad de 00:01:21

probabilidad que se corresponde con 1 dividido entre la raíz cuadrada de 2pi por la varianza 00:01:26

al cuadrado por la función exponencial de menos x menos la media al cuadrado dividido entre dos 00:01:31

veces la varianza. A esta función de densidad de probabilidad se le conoce con el nombre de 00:01:38

normal o bien con el nombre de gaussiana. Y representaremos x sigue una distribución normal 00:01:42

con media mu y desviación típica sigma, la variable aleatoria normal con media mu y desviación 00:01:50

típica sigma. Como propiedades de esta función de densidad de probabilidad cabe destacar que 00:01:56

tanto los límites cuando x tiende a menos infinito como cuando x tiende a más infinito de la función 00:02:03

son cero. Desde que comenzáramos a dibujar la función en menos infinito tenemos una función 00:02:08

que es creciente hasta alcanzar un máximo en la abscisa que es igual a la media y a partir de aquí 00:02:16

tenemos una función que va a ser decreciente hasta que alcanzamos ese límite cuando x tenga más 00:02:24

infinito que es cero. Y esta función tiene también puntos de inflexión en las abscisas x igual a la 00:02:30

media menos la desviación típica, x igual a la media más la desviación típica. Por último esta 00:02:37

función es simétrica con respecto a la recta vertical que pasa por la media. Podemos observar 00:02:44

estas características representando gráficamente la función de densidad de probabilidad para 00:02:51

distintos valores de la media y de la varianza. En primer lugar representamos en azul el caso de 00:02:55

la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 00:03:01

0,2. Y podemos ver cómo se cumplen las propiedades que hemos mencionado. Límite cuando x tiende a 00:03:07

menos infinito y cuando x tiende a más infinito es igual a cero. Desde menos infinito hasta cero, 00:03:13

que es el valor de la media, la función es creciente. Desde cero hacia más infinito tenemos 00:03:20

una función que es decreciente. Los puntos de inflexión se situarían por aquí en unas abstizas 00:03:25

iguales a la media menos y la media más la desviación típica. Y podemos comprobar cómo se 00:03:31

Se trata de una función perfectamente simétrica con respecto de la recta vertical que pasa por el máximo, que pasa por la media, muy igual a cero. 00:03:36

En rojo tenemos a continuación una función de densidad de probabilidad de una variable normal con la misma media, muy igual a cero, pero con una varianza superior igual a uno. 00:03:45

Y fijaos en qué es lo que ocurre. Tenemos una función con el mismo aspecto general, pero más bajita. 00:03:55

No solamente más bajita, este mínimo está más abajo, sino que esta es más ensanchada. 00:04:02

En el caso de la función azul, tiende a cero muy rápidamente, tanto cuando x tiende a más como a menos infinito, 00:04:08

y en este caso tiende a cero algo más lentamente. 00:04:14

Y en cuanto a los puntos de inflexión, que estarían por aquí situados en estas abstizas, en el caso de la función azul, 00:04:18

en este caso estarían más a la derecha y más a la izquierda, en el caso de la función roja. 00:04:24

Estarían en unas abstizas igual a la media menos la desviación típica, la media más la desviación típica. 00:04:30

Siendo mayor la varianza, es mayor la desviación típica. 00:04:37

¿Qué ocurre en el caso de la función que estamos pintando en color amarillo? 00:04:40

Pues que la media es la misma, con lo cual tenemos la misma función centrada en x igual a 0, simétrica, 00:04:44

pero en este caso la varianza es 5, superior a las anteriores, y vista la tendencia, observamos lo que esperábamos. 00:04:52

Si la función con varianza 0,2 es más alta y más estrecha, la función con varianza igual a 1 es más baja y más ancha, cuando subimos a una varianza incluso mayor o igual a 5, tenemos una función aún más baja, el mínimo está más abajo, y aún más ancha. 00:04:59

Recordad que los puntos de inflexión se sitúan en las abstizas x menos la desviación típica, x más la desviación típica. 00:05:18

Al aumentar la varianza, aumenta la desviación típica y esos puntos de inflexión se apartan del valor de la media. 00:05:25

En todos estos casos tenemos una función de densidad de probabilidad centrada en x igual a 0 y no es casualidad, 00:05:32

es que este es el valor de la media y es el punto central de esta función de densidad de probabilidad. 00:05:39

En este otro caso, en el caso de la función que hemos pintado en verde, tenemos una media igual a menos 2 y una varianza igual a 0,5. 00:05:46

Y fijaos en que la forma de la función es la misma que en los casos anteriores, la representación general es la misma, 00:05:54

pero en este caso el máximo se encuentra en menos 2, como corresponde, puesto que la media es menos 2 y la media se corresponde con el máximo, el punto de simetría. 00:06:01

Y en cuanto a cómo de ancha o de estrecha es esta función de densidad o en dónde se encuentra, a qué altura se encuentra el máximo, fijaos que con una varianza de 0,5 intermedia entre el 0,2 de la distribución azul y del 1 de la función roja, el máximo se encuentra en una altura comprendido entre la altura de la distribución azul y de la distribución roja. 00:06:10

Y en cuanto a cómo de ancha es la distribución, es ligeramente más ancha que la distribución azul, no tanto como en el caso de la distribución roja, por supuesto centrada en el menos 2 en lugar de en el 0. 00:06:37

Con esto que hemos visto, ya podríamos resolver este ejercicio 4, que resolveremos en clase, podremos resolver en una videoclase posterior. 00:06:49

En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios 00:06:57

Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:07:05

No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual 00:07:10

Un saludo y hasta pronto 00:07:15

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