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Cálculo de asíntotas - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Vamos a hacer ahora unos ejemplos correspondientes al cálculo de asíntotas en funciones racionales. 00:00:03
Empezamos con esta función. 00:00:11
Lo primero que tenemos que ver es el dominio de la función. 00:00:13
El dominio de la función, al tratarse de una función racional, tenemos que ver cuándo el denominador se hace cero, 00:00:17
que en este caso se hace cero para dos valores de x. 00:00:25
Para x igual a cero y para x igual a tres. 00:00:30
Por lo tanto, el dominio serán todos los números reales menos el denominador, que son 0 y 3 00:00:33
Las asíntotas verticales las vamos a buscar precisamente para estos valores de x 00:00:40
Vamos a ver si en x igual a 0 y en x igual a 3 hay asíntota vertical 00:00:49
Estudiamos el límite cuando x tiende a 0 de la función 00:00:55
y vemos que al sustituir la x por 0 me queda la indeterminación del tipo k partido de 0 00:01:00
que sabemos que nos da infinito o menos infinito 00:01:08
pero que hay que verlo estudiando los límites laterales 00:01:17
por la derecha y por la izquierda 00:01:23
por la derecha de 0 podemos coger el valor 0,001 00:01:30
y sustituyendo en la función, mejor lo vamos a hacer factorizando 00:01:35
que se hace más fácil el producto de signos 00:01:42
fijaros que para x igual a 0 me quedaría, bueno, este x menos 3 se me puede ir con este x menos 3 00:01:51
0 más, me acerco por la derecha, esto me va a quedar positivo y esto me va a quedar positivo también 00:02:02
Así que el resultado de este límite sería más infinito. 00:02:11
El límite, cuando x tiende a cero por la izquierda, lo factorizamos también, 00:02:17
me quedaría, imaginaos que cogemos un valor como menos 0,001 y sustituimos. 00:02:39
El resultado del numerador va a ser positivo y el del denominador negativo, 00:02:47
así que el resultado finalmente va a ser menos infinito. 00:02:52
Eso quiere decir, si los resultados de estos límites son divergentes, más o menos infinito 00:02:55
Significa que en x igual a 0 hay una asíntota vertical 00:03:02
Y además, ya estamos estudiando la posición relativa de la gráfica respecto de la asíntota 00:03:09
Cuando yo me acerco a 0 por la derecha, la gráfica se va pegando a la asíntota por arriba, hacia más infinito 00:03:18
Y cuando yo me voy a cero por la izquierda, la gráfica de la función se va pegando a la asíntota por abajo. 00:03:25
Es decir, tiende hacia el menos infinito. 00:03:34
Veamos ahora qué ocurre en x igual a 3. 00:03:37
En x igual a 3, el límite cuando x tiende a 3 de esta función, me queda la indeterminación ahora cero partido de cero. 00:03:41
vale, si me queda esta indeterminación 00:03:52
pues hay que trabajar un poquito más el límite 00:03:54
en este caso 00:03:59
al factorizar vemos 00:04:01
que se me va el x menos 3 00:04:04
y al sustituir de nuevo la x por 3 00:04:10
me quedaría 6 00:04:13
partido de 3 00:04:15
que es 2 00:04:17
es decir, este límite no me ha dado divergente 00:04:18
no me ha dado más infinito o menos infinito 00:04:21
Por lo tanto, fijaros, a pesar de que en 3 no estaba definida la función 00:04:24
Lo que tenemos ahí no es una asíntota vertical 00:04:30
En x igual a 3 no hay asíntota 00:04:34
Lo que vamos a tener es un punto de discontinuidad evitable 00:04:39
Porque existe el límite, el límite vale 2 00:04:49
Pero en 3 no está definida la función 00:04:58
No existe f en 3, pero sí existe el límite, que vale 2. 00:05:02
Bien, vamos ahora a las asíntotas horizontales. 00:05:18
Asíntota horizontal. 00:05:24
Tenemos que estudiar el comportamiento de la función cuando yo me voy hacia infinito y hacia menos infinito. 00:05:26
Si el resultado de este límite me da un número, eso significa que existe una asíntota 00:05:34
y la ecuación de la asíntota sería y igual a ese valor. 00:05:41
En este caso vemos que me queda la indeterminación infinito partido de infinito 00:05:47
quedándome con lo que crece más rápido en el numerador que es x al cuadrado 00:05:52
y en el denominador que es el término x al cuadrado también. 00:06:03
resulta que este límite me da 1 00:06:06
¿Eso qué significa? 00:06:13
Que existe asíntota horizontal 00:06:16
cuando me voy hacia más infinito 00:06:19
y esa asíntota tiene la ecuación igual a 1 00:06:24
Análogamente estudiamos el límite 00:06:27
cuando x tiende hacia menos infinito de la función 00:06:31
y en este caso realizando pasos similares 00:06:34
pues me va a quedar lo mismo 00:06:43
como siempre en una función 00:06:46
tiene por qué ocurrir esto 00:06:49
en esta concretamente nos da lo mismo 00:06:52
porque el resultado de esto es una constante 00:06:57
y depende de x 00:07:02
el resultado es 1 00:07:03
así que también tenemos la misma asíntota horizontal 00:07:06
cuando x tiende hacia menos infinito 00:07:15
Y tiene esta ecuación. 00:07:23
Si quiero estudiar la posición relativa de la gráfica respecto de la asíntota, 00:07:25
sabemos que nuestra asíntota es así, pero ahora quiero saber si la gráfica se acerca, 00:07:31
cuando me voy hacia menos infinito, se acerca a la asíntota horizontal, por arriba o por abajo. 00:07:42
E igualmente si me voy hacia menos infinito, si se acerca por arriba o se acerca por abajo. 00:07:48
¿Cómo determinamos esto? 00:07:53
Pues lo que vamos a hacer va a ser tomar un valor alto 00:07:57
Por ejemplo, para x igual a 1000 00:08:00
Y lo que vamos a hacer va a ser sustituir en la función 00:08:04
Sabemos que el valor va a ser próximo a 1 00:08:09
Pero mayor, un poquito mayor que 1 o más pequeño que 1 00:08:15
Entonces, lo mejor es sustituir en la función factorizada. 00:08:20
Fijaros, para 1000 el resultado sería 1003 dividido entre 1000. 00:08:40
Esto va a ser un poquito mayor que 1. 00:08:49
Con lo cual, la función, cuando yo me voy hacia más infinito, se va a ir acercando por arreglo. 00:08:53
Es decir, se pega la asíntota horizontal por arriba, porque da un poco mayor que 1 la función. 00:09:05
¿Qué ocurre cuando cojo un valor muy negativo? 00:09:10
Como por ejemplo, menos 1000. 00:09:18
Sustituyendo en la función, también se va el x menos 3, 00:09:20
sustituyendo me quedaría menos 1000 más 3, pues sería menos 997. 00:09:32
Dividido entre menos 1000. 00:09:40
El resultado va a ser próximo a 1 pero un poquito más pequeño que 1 00:09:42
Porque el numerador 997 es más pequeño que 1, menor que 1 00:09:50
Eso significa que la gráfica, en este caso, cuando me voy hacia menos infinito 00:09:56
Se va a ir pegando por abajo 00:10:05
Porque el valor obtenido es un poquito más pequeño que el valor que toma el asíntota 00:10:07
Entonces ya hemos estudiado qué ocurre 00:10:12
en la asíntota vertical 00:10:16
con la posición relativa 00:10:22
y en la asíntota horizontal 00:10:24
y por último decir 00:10:27
que si hay asíntota horizontal 00:10:29
pues no se estudia la asíntota oblicua 00:10:32
siempre el orden tiene que ser 00:10:34
primero estudiar la asíntota horizontal 00:10:36
y luego la oblicua 00:10:38
si hay horizontal no hay oblicua 00:10:39
así que asíntota oblicua no hay 00:10:41
vamos a hacer una segunda función racional 00:10:45
x cubo partido de x cuadrado menos 4 00:10:50
Vemos primero cuál es el dominio de la función 00:10:54
En este caso el denominador se me anula para dos valores de x 00:10:58
que son 2 y menos 2 00:11:04
Así que el dominio son todos los números reales 00:11:06
exceptuando 2 y menos 2 00:11:10
Aquí es donde vamos a poder buscar si hay asíntotas verticales 00:11:12
Así que asíntotas verticales, empezamos con x igual a 2 y calculamos el límite cuando x tiende a 2 de la función. 00:11:19
Nos queda 8 partido de 0. 00:11:35
Este en determinación sabemos que da lugar a asíntotas, puesto que va a dar divergente, más infinito menos infinito. 00:11:39
Estudiamos los límites laterales por la derecha y por la izquierda. 00:11:48
Voy a factorizar en el denominador para hacer los cálculos más sencillos. 00:11:55
Entonces aquí está el 2 y me acerco a 2 por la derecha, por ejemplo, cogiendo el valor 2,000. 00:12:03
Sustituyendo arriba me va a quedar positivo y en el denominador esto me va a quedar positivo y esto también. 00:12:12
O sea que todo al final resulta positivo más infinito y así resulta. 00:12:19
El límite ahora, cuando tengo A2 por la izquierda 00:12:23
A2 por la izquierda, escogeríamos, por ejemplo, el 1,999 00:12:29
Sustituyendo, arriba en el numerador me va a dar positivo 00:12:44
En el denominador este factor va a ser negativo y este positivo 00:12:50
Así que el resultado de los símbolos me da negativo menos infinito 00:12:54
entonces concluimos que en x igual a 2 hay una asíntota vertical 00:12:59
y además vemos que cuando me acerco a 2 por la derecha 00:13:09
la función se va a hacer más infinito 00:13:15
y cuando nos acercamos a 2 por la izquierda 00:13:19
la función se va pegando a la asíntota por menos infinito 00:13:23
Hacemos lo mismo con x igual a menos 2 00:13:27
El límite cuando x tiende a menos 2 de la función 00:13:31
Pues me queda menos 8 partido de 0 00:13:41
Esta indeterminación también me indica que vamos a tener así un total 00:13:50
Estudiamos los límites laterales 00:13:54
Por la derecha de menos 2 y por la izquierda 00:13:58
Si aquí está menos 2 00:14:04
Si nos acercamos por la derecha 00:14:15
por ejemplo podemos coger el valor menos 1,99 00:14:18
si sustituimos el signo resulta que arriba en el numerador me va a dar negativo 00:14:22
esto me va a quedar negativo y esto positivo 00:14:30
o sea que al final el resultado de los signos me va a quedar positivo 00:14:35
negativo, negativo, positivo, negativo, positivo 00:14:39
Ahora el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda 00:14:43
Por ejemplo, si por la izquierda, acercándome a menos 2 por la izquierda 00:14:51
Puedo coger el valor menos 2,001 00:15:04
El resultado del numerador es negativo 00:15:07
Esto es negativo y esto es negativo también 00:15:12
Con lo cual menos, menos, menos, el resultado va a ser menos infinito 00:15:17
Bien, pues entonces concluimos que en x igual a menos 2 tenemos también una asíntota vertical 00:15:22
y también sabemos cómo se va acercando la gráfica a la asíntota cuando nos vamos a menos 2 por la derecha o por la izquierda. 00:15:30
Cuando nos vamos por la derecha, la gráfica se va pegando a la asíntota yéndose hacia más infinito. 00:15:41
Y cuando nos vamos por la izquierda, la gráfica se va pegando a la asíntota yendo hacia menos infinito. 00:15:48
Así que esta sería la posición relativa de la gráfica respecto de las dos asíntotas que hemos calculado. 00:15:57
x igual a 2 y x igual a menos 2. 00:16:04
Bien, vamos a ver ahora las asíntotas horizontales. 00:16:08
Para ello estudiamos el límite cuando x tiene el infinito de la función. 00:16:12
Este límite, vemos que me queda la indeterminación infinito partido de infinito 00:16:16
Nos quedamos con los términos que crecen más, arriba y abajo 00:16:29
Y simplificando, me queda el límite cuando x tiende a ser infinito de x, que es infinito 00:16:34
Vemos que por aquí, cuando me voy hacia más infinito, no tengo asíntota horizontal 00:16:44
Pues esto creo que me da divergente este límite, sé que la función se va hacia más infinito 00:16:50
Ahora, el límite cuando x tiende hacia menos infinito 00:16:55
Aquí en este caso me quedaría menos infinito partido de infinito 00:16:59
Y determinación también 00:17:09
Me quedo con los términos que crecen más rápidamente 00:17:11
Y el resultado de este límite, el límite cuando x tiende hacia menos infinito de x 00:17:15
Es menos infinito 00:17:22
Aquí tampoco va a haber asíntota horizontal 00:17:24
Cuando me voy hacia menos infinito, el límite me ha dado divergente 00:17:26
Vemos que no hay asíntota horizontal, por lo tanto vamos a ver si hay asíntota oblicua 00:17:30
La asíntota oblicua es una recta que tiene pendiente y ordenada en el origen 00:17:37
La pendiente se define como el límite cuando x tiende hacia infinito de f de x partido de x 00:17:46
y la ordenada en el origen, límite cuando x tiende a ser infinito de f de x menos m, 00:17:54
esta m que nos había dado hasta el primer límite, por x. 00:18:04
Igualmente haríamos para menos infinito. 00:18:10
Entonces vamos a ver si estos límites me dan convergentes o no. 00:18:12
El límite cuando x tiende a infinito de la función x cubo partido de x cuadrado menos 4 partido de x. 00:18:17
Hacemos la división. 00:18:29
Arriba me quedaría x cubo y abajo el producto este de aquí. 00:18:34
Es decir, x cubo partido de x cubo menos 4x. 00:18:42
este límite cuando sustituyo por infinito me queda infinito partido de infinito 00:18:47
si me quedo con lo que crece más rápidamente 00:18:54
x cubo en el numerador y x cubo en el denominador 00:18:59
este límite me da 1 00:19:04
así que m es igual a 1 00:19:06
vamos a calcular ahora n 00:19:12
n sería el límite cuando x tiende hacia infinito 00:19:19
de la función menos m, que como me he dado 1 lo vamos a poner, por x. 00:19:25
Este límite me queda infinito menos infinito, pero vamos a realizar la suma de fracciones algebraicas, 00:19:41
se llama el x cubo, y este límite cuando x se me hace infinito, 00:20:06
me queda la determinación infinito partido de infinito, 00:20:13
Quedándome con lo que crece más 00:20:16
Arriba sería 4x y abajo sería x al cuadrado 00:20:20
Simplificando una x 00:20:25
Límite cuando x tiende a ser infinito de 4 partido de x 00:20:27
Eso es 0 00:20:31
Por lo tanto la n vale 0 00:20:33
Eso significa que la síntota 00:20:37
O el líquido que tenemos 00:20:40
Es de la forma 00:20:43
sustituyendo aquí los valores obtenidos 00:20:45
es de la forma 00:20:48
igual a x 00:20:50
Los cálculos para x tendiendo hacia menos infinito 00:20:53
pues serían similares 00:21:01
y se puede comprobar que da los mismos resultados 00:21:03
que m vale 1 y que n vale 0 00:21:07
Ahora vamos a ver la posición relativa 00:21:09
de la gráfica respecto de la asíntota oblicua 00:21:12
La asíntota nos ha dado igual a x 00:21:15
vamos a estudiar la posición relativa de la gráfica respecto de la asíntota 00:21:20
estos son los ejes, aquí sí 00:21:27
dibujamos esta asíntota 00:21:31
y ese trid del primer y tercer cuadrante 00:21:34
queremos saber si la función se va aproximando por este lado a la asíntota o por este 00:21:39
y en este caso también, si se va acercando por este lado o por abajo 00:21:46
Para ello, lo único que tenemos que hacer, como hicimos en el primer ejemplo, en la primera función racional, 00:21:52
para ver la posición relativa con respecto del asíntota horizontal, es coger un valor grande, por ejemplo para 1000, 00:21:59
y sustituimos en la función y en la asíntota. En la asíntota nos va a dar el valor de 1000. 00:22:08
En la función, si yo sustituyo x al cuadrado menos 4 para x igual a 1000, nos va a quedar 1000 elevado al cubo dividido de 1000 elevado al cuadrado menos 4. 00:22:13
¿Esto qué nos va a dar? ¿Un valor mayor que 1000 o un valor más pequeño que 1000? 00:22:49
Pues en este caso, como le estamos restando este 4 aquí, el cociente va a ser más grande que 1000. 00:22:56
Entonces esto va a ser mayor que 1000. 00:23:03
Podéis hacer la cuenta, coger un número más bajito que no sea 1000. 00:23:07
En este caso entonces, la función, si nos ha dado mayor que 1000, es que se acerca por arriba. 00:23:14
Vamos a ver ahora para un valor muy negativo, por ejemplo, menos 1.000. 00:23:31
Y sustituimos de nuevo en la función, para la síntesis ya sabemos que nos da menos 1.000. 00:23:39
Para la función nos quedaría, mira, que sería menos 1.000 elevado al cubo, 00:23:45
y abajo sería menos 1.000 elevado al cuadrado, que sería un millón, menos 4. 00:23:52
Este número nos da más negativo que menos mil, por lo tanto, la gráfica de la función se va acercando, 00:24:09
nos da más negativo, eso significa que se va acercando por abajo, más pequeño que menos mil. 00:24:27
Entonces ya tenemos la posición relativa de la gráfica respecto del asintotáblico que habíamos obtenido, igual a x. 00:24:48
Bien, ya aquí en este gráfico tenemos resumida toda la información que hemos obtenido. 00:24:56
Las asíntotas verticales, asíntotas horizontales no había, 00:25:01
sabíamos que la función se iba hacia infinito cuando x tendía hacia infinito 00:25:06
y hacia menos infinito cuando la x tendía hacia menos infinito. 00:25:10
Pero la cuestión es que cuando hemos estudiado la asíntota oblicua 00:25:16
hemos visto que efectivamente existe y que esa es y igual a x. 00:25:21
El comportamiento también está aquí representado. 00:25:26
La asíntota oblicua en funciones racionales se puede calcular fácilmente 00:25:29
si dividimos el numerador x cubo entre el denominador. 00:25:35
Si hacemos esa división, en este caso nos quedaría x menos 4, 00:25:41
pues aquí más 4x menos x cubo, nos queda que x cubo dividido entre x cuadrado menos 4 00:25:53
es igual al cociente x más el resto 4x partido del divisor. 00:26:07
Bien, cuando la x tende hacia infinito, o hacia menos infinito en este caso también, 00:26:16
la función vemos que se comporta como y igual a x, porque es precisamente el cociente de esta división. 00:26:23
Cuando la x tiende hacia infinito, este cociente vemos que tiende a cero. 00:26:34
El numerador crece mucho más lento que el denominador. 00:26:40
Esto tiende a cero y la función se va a comportar como y igual a x. 00:26:44
Es precisamente esta la asíntota obre. 00:26:49
Y para que el resultado de este cociente me quede aquí un polinomio de primer grado, 00:26:54
para que sea la asíntota 1 a la ecuación de una recta, 00:26:59
El grado del numerador tiene que ser una unidad mayor que el grado del denominador 00:27:02
Por ejemplo, en este caso era 3, que cede en una unidad al grado del denominador 00:27:12
De tal manera que entonces al hacer la división, el cociente me queda un polinomio de grado 1 00:27:27
Es decir, una recta, si escribo y igual a x, esta sería la ecuación de una recta 00:27:33
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 16:44
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
27′ 43″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
60.37 MBytes

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