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Campo magnético en el centro de una espira circular - Ley de Biot-Savart - Contenido educativo

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Subido el 20 de abril de 2020 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo calculamos el campo magnético generado por una espira conductora circular en el centro de la misma usando la ley de Biot y Savart.

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En este vídeo vamos a calcular el campo magnético que una espira con una corriente de intensidad I genera en su punto central. 00:00:06
No podemos para este problema utilizar la ley de Ampere porque no hay simetrías. 00:00:15
Entonces utilizaremos la ley de Biot y Savart. 00:00:20
Esta ley, recordamos, nos dice que cada trocito de hilo, por ejemplo un trocito aquí de hilo, 00:00:32
nos va a generar un trocito de campo que va a venir dado por mu sub 0i dividido entre 4pi 00:00:38
por la longitud de este trocito orientada como la intensidad, producto vectorial con un vector unitario 00:00:48
recordamos el gorrito significa unitario y este vector va a ir desde este elemento hasta el punto donde queremos calcular el campo 00:00:58
dividido entre la distancia hasta ese punto elevada a 2. 00:01:07
Pues bien, vamos a escribirnos estos vectores, diferencial de L y R. 00:01:16
Para ello vamos a ampliar un trocito de este esquema, lo vamos a ampliar aquí a la derecha. 00:01:23
este es el punto central, aquí tenemos nuestro hilo por el que circula una intensidad I 00:01:30
y entonces aquí tenemos nuestro trocito de cable que como es muy pequeño podemos asumir que es recto 00:01:39
y le vamos a llamar diferencial de L vector. 00:01:47
El vector que va desde diferencial de L hasta el centro sería R 00:01:52
Por lo tanto, un vector unitario en esta dirección y sentido sería R gorrito. 00:01:58
Para poder sumar luego, es decir, como son pequeños, integrar todos estos trocitos, 00:02:05
nos es conveniente poner esto en función de este ángulo de aquí, que llamamos cita, con respecto a la horizontal. 00:02:11
Pues bien, vamos a escribirnos el vector R gorrito y el vector diferencial de L en función de este ángulo cita. 00:02:20
R es el sencillo de escribir porque simplemente tenemos que poner la parte horizontal como el coseno pero como va hacia la izquierda menos el coseno de cita por I y la parte vertical como el seno pero como va hacia abajo menos el seno de cita por J. 00:02:28
En cuanto a este vector de aquí, podemos hacer lo siguiente. 00:02:51
Si hacemos una perpendicular, observaremos que este ángulo de aquí es el mismo que este, también es cita. 00:02:56
Un truco para observar esto es que si hacemos este ángulo pequeño, este ángulo se va a hacer pequeño. 00:03:03
Y si hacemos este ángulo grande, este ángulo se va a hacer grande. 00:03:09
Por lo tanto, coinciden. 00:03:13
Veamos entonces cómo escribimos diferencial de L en función de este ángulo. 00:03:16
escribiremos primero el módulo de diferencial de L que es la longitud de este segmento pequeño 00:03:20
y a continuación como observamos el lado que toca en este caso es el vertical 00:03:27
por lo tanto el que no toca que es el seno es el lado horizontal y va hacia la derecha 00:03:33
por lo tanto es seno de cita por I 00:03:39
el lado vertical como hemos dicho antes es el que toca por lo tanto es el coseno 00:03:44
y va hacia abajo, por lo tanto menos coseno de cita por j. 00:03:49
Si ahora hacemos este producto vectorial, r, producto vectorial, perdón, al revés, 00:03:57
diferencial de l, producto vectorial con r, tenemos que ponerlo en el orden correcto 00:04:07
porque si no recordad que nos sale un signo menos, nos sale lo siguiente, 00:04:14
Nos sale primero el diferencial de L. Y a continuación multiplicaremos seno de cita con el vector i, si lo multiplicamos por el primer término, i con i nos da 0, por lo tanto ese término desaparece. 00:04:18
cuando lo multipliquemos por el segundo término y producto vectorial con j nos da k 00:04:33
por lo tanto sale seno con seno, seno cuadrado, este signo menos 00:04:39
y y vectorial j que hemos dicho que era 00:04:47
cuando hagamos ahora el segundo término, el coseno con una j 00:04:50
y lo multipliquemos por este segundo término que también tiene j nos va a dar cero 00:04:58
por lo tanto este término de aquí con este término de aquí es el único que se va a quedar 00:05:03
y sale j producto vectorial con i menos k 00:05:08
nos sale un signo menos que con este es más que con este es menos 00:05:13
así que nos sale otra vez negativo coseno por coseno coseno al cuadrado y k 00:05:17
si esto lo podemos arreglar un poquito observaremos que nos sale un signo menos 00:05:24
el diferencial de L, K, y nos queda seno al cuadrado de cita más coseno al cuadrado de cita. 00:05:32
Este signo menos y este signo menos los hemos sacado aquí. 00:05:42
Seno al cuadrado de cita más coseno al cuadrado de cita es 1, es la regla fundamental de la trigonometría, 00:05:46
por lo tanto esto es menos diferencial de L por K. 00:05:52
Además, esta R de aquí es la distancia desde el diferencial de L hasta el punto 00:05:56
Pero como esto es circular, es una circunferencia, esa distancia es siempre el radio de la circunferencia R 00:06:04
Por lo tanto, ya tenemos todos los términos para poder escribirnos el diferencial de campo 00:06:10
Nuestro diferencial de campo es mu sub cero y dividido por 4pi 00:06:17
este producto vectorial que hemos resuelto aquí menos diferencial de L por K 00:06:27
dividido entre R pero ahora vamos a poner el radio de la espira R mayúscula al cuadrado 00:06:34
y ahora para calcular el campo total aplicamos el principio de superposición 00:06:42
principio de superposición que nos dice que el campo total es la suma 00:06:47
que en este caso como son pequeñitos es la integral, de todas las contribuciones de campo, es decir, todo esto de aquí es constante, la r también es constante 00:07:01
y el vector k y el signo menos también, así que todo puede salir de fuera excepto diferencial de l, 4pi r cuadrado por la integral en toda la longitud de diferencial de l. 00:07:12
Bien, esto lo que nos está diciendo es que tenemos que sumar trocitos de longitud todo lo largo de la circunferencia y por lo tanto esto de aquí no va a ser más que la longitud de la circunferencia, que sabemos que es 2 por pi por el radio de la circunferencia. 00:07:27
conferencia. Así podremos simplificar un radio con un radio, un pi con un pi y el 2 con el 4 y nos va 00:07:44
a quedar que el campo, me ha faltado aquí por sacar la k de la integral, que el campo es menos 00:07:52
mu sub 0 y dividido entre el 2 con el 4 nos da un 2, el pi se ha ido y de las dos r una se va con 00:07:59
está? Vector unitario K. Lo que nos está diciendo esta ecuación es que el campo es 00:08:09
negativo según el eje Z, es decir, entra en el papel. Si aplicamos la regla de la mano 00:08:19
derecha observaremos que poniendo el pulgar como la intensidad, si lo hago por ejemplo 00:08:26
en este trozo, observamos que entra. Si lo hago por ejemplo en este trozo, observamos 00:08:31
que entra. En cualquier sitio donde pongáis el pulgar como la intensidad observaréis 00:08:36
que en la parte central entra el campo. Si la intensidad fuese al revés o bien girásemos 00:08:40
la espira y la viésemos desde el otro lado, observaríamos que la intensidad en esta parte 00:08:46
de aquí saldría por el centro, en esta parte de aquí saldría por el centro y en esta 00:08:52
parte de aquí saldría por el centro. 00:08:58
Valoración:
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Idioma/s:
es
Materias:
Física, Química
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Àngel Manuel Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
137
Fecha:
20 de abril de 2020 - 10:48
Visibilidad:
Público
Duración:
09′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1024x576 píxeles
Tamaño:
338.63 MBytes

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