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Global de Análisis Modelo C - Ejercicio 1 - Contenido educativo

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Subido el 19 de enero de 2021 por Manuel D.

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Global de Análisis Modelo C - Ejercicio 1

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Bueno, pues vamos con el primer ejercicio de este examen de global, es un global de análisis de matemáticas 2. 00:00:00
Vamos a empezar con un ejercicio, como veis ahí, que fue propuesto en Davao de septiembre de 2020 en Madrid. 00:00:10
Es un ejercicio en el que nos van a pedir calcular una serie de cosas sobre una función que nos dan, 00:00:17
que es la función potencia de una pila en función del tiempo. 00:00:23
entonces, vamos allá, nos están dando esta función y nos van a pedir una serie de cosas 00:00:26
que son calcular hacia qué valor tiende la potencia generada si se deja en funcionamiento indefinidamente 00:00:33
vamos con este primer apartado 00:00:42
qué significa que el valor de la función al que tiende cuando se deja indefinidamente 00:00:43
lo primero que tenemos que pensar es que indefinidamente quiere decir que el tiempo crece hacia infinito. 00:00:53
Es verdad que uno no va a pensar nunca que el tiempo pueda alcanzar a infinito, 00:01:03
pero eso es la idea que nos tiene que dar cuando hablamos de un crecimiento indefinido de la variable independiente tiempo. 00:01:07
Entonces, ¿qué habrá que hacer? Pues calcular en el apartado A el límite de la función p de t cuando el tiempo tiende a infinito. 00:01:16
Eso es lo que hay que calcular, es este límite. Límite de 25t por elevado a menos t cuadrado partido por 4 cuando el tiempo tiende a infinito. 00:01:23
Y ese valor, pues si lo vamos a ver mucho mejor si lo escribimos de la siguiente forma. 00:01:45
y bueno pues fijaos, numerador esto es un polinomio 00:01:50
y denominador es una exponencial 00:01:59
nosotros sabemos que la exponencial crece mucho más rápido que el polinomio 00:02:06
cuando el tiempo tiende a infinito, cuando la variable independiente tiende a infinito 00:02:13
así que ese límite, como eso crece más despacio que el denominador 00:02:17
pues eso va a tender a cero 00:02:22
es decir que el límite de nuestra función en la potencia va a tender a cero 00:02:23
la pila tiende a agotarse cuando el tiempo pasa indefinidamente 00:02:29
lo lógico, ¿verdad? ese sería el apartado A 00:02:32
y bueno, conviene destacar 00:02:37
que esto es así porque la exponencial 00:02:40
es un infinito de orden superior 00:02:44
a veces se pone esto así, que 00:02:48
el polinomio, ¿de acuerdo? es un infinito de orden superior 00:02:50
Vamos con el apartado B que nos dicen que determine la potencia máxima que genera la pila 00:02:57
Nos están pidiendo que calcule un máximo 00:03:03
Es decir, vamos a calcular la potencia 00:03:05
Vamos a ver, el momento donde se alcanza la potencia máxima 00:03:09
Ese sería el tiempo máximo 00:03:14
Y el valor de la potencia, ese sería la potencia máxima, el valor de la potencia 00:03:16
Fijaos que nos piden el instante, ese sería el T sub máximo 00:03:21
y la potencia, que sería el valor de la función en ese máximo. 00:03:27
Bien, pues ¿qué habrá que hacer? 00:03:32
Derivar, claro, para calcular un máximo, un extremo relativo, habrá que derivar igual a cero. 00:03:33
Vamos con la función, la copiamos aquí, derivamos, igualamos a cero. 00:03:39
25t con elevado menos t cuadrado partido por cuatro, hay que derivar. 00:03:45
Derivemos aquí y esto, pues por el producto, vamos a estar calculando la derivada de la función. 00:03:50
Será la derivada del primero es 25 por el segundo sin derivar, es un producto, ¿verdad? 00:03:57
Más el primero sin derivar, 25t, por la derivada del segundo, que como es una exponencial, será la propia exponencial, 00:04:02
por la derivada del exponente, que en este caso va a ser la derivada de menos t cuadrado partido por 4 es menos 2t cuartos. 00:04:10
Ojo, conviene que esto no lo derivéis como un cociente, sino como un polinomio. 00:04:20
Eso es menos un cuarto de t cuadrado. No se os ocurra aplicar la regla porque lo olvidéis muchísimo. 00:04:25
Vamos a simplificar un poquito esto y nos ponemos a calcular el máximo. 00:04:33
Venga, vamos allá. 25 elevado a menos t cuadrado partido por 4 menos 50 cuartos de... 00:04:38
Bueno, podía haber simplificado entre 2 ya que estamos. Vamos a simplificar entre 2. 00:04:47
Esto es un medio, así que menos 25 medios de t por elevado a menos t cuadrado partido por 4 00:04:51
Esa es la potencia, la derivada de la potencia 00:04:59
Y ahora, ¿qué vamos a hacer? 00:05:02
Pues igual a cero y resolver esa ecuación 00:05:04
Importante, factor común, vamos a sacar factor común 00:05:07
Si podemos, el 25 también, ya de paso 00:05:10
La exponencial 00:05:12
Y ahora tendremos un 1 menos un medio de t 00:05:14
y eso hay que igualarlo a cero 00:05:18
si hemos salido a sacar factor común ahora está chupado 00:05:22
porque esta parte no se anula nunca, es una exponencial 00:05:25
que nunca vale cero, con lo cual solo tenemos que hacer cero esto 00:05:29
es decir, uno menos un medio de t es cero 00:05:33
y eso pues solo vale cero 00:05:38
si la t vale un medio, no, equivocado, si la t vale dos 00:05:41
hay que saber despejar 00:05:47
t igual a 2 por 1 medio 00:05:49
pues 1 menos 1 medio por 2, 0 00:05:51
vale, ese sería el tiempo 00:05:54
donde se alcanza 00:05:57
la derivada máxima 00:05:59
perdón, la derivada 0, es decir 00:06:01
el valor de la potencia máxima 00:06:03
y ahora esa potencia 00:06:05
primero vamos a calcular, vamos a 00:06:07
demostrar que eso efectivamente es un máximo 00:06:09
y no un mínimo, calculando la segunda 00:06:11
derivada y sustituyendo en el 2 00:06:13
pues venga, vamos allá 00:06:15
o si queremos vemos el signo a la izquierda y a la derecha 00:06:16
que quizás es más sencillo, mirad, si yo pongo la derivada 00:06:20
alrededor del 2, a la izquierda del 2 00:06:24
y a la derecha del 2, en el 2 yo sé que la derivada vale 0 00:06:29
a la izquierda del 2 esto va a ser todo entero positivo 00:06:34
y a la izquierda del 2, por ejemplo, en el 1 00:06:37
1 menos 1 medio esto va a ser positivo y a la derecha del 2 00:06:40
Por ejemplo, en el 3, 1 menos 3 medios, negativo, ¿verdad? 00:06:45
Luego, eso quiere decir que la función, la propia función, no la derivada, que sería esto, 00:06:49
sino la función función, sube la potencia y luego baja. 00:06:55
Es decir, aquí hay un máximo. 00:06:59
Es decir, t igual a 2 es un máximo. 00:07:01
Conviene que demostremos que es un máximo y no lo demos por hecho. 00:07:05
Y ahora vamos a calcular efectivamente el valor del máximo, 00:07:09
Es decir, calcular la potencia en el tiempo en el instante 2. 00:07:12
Nada más que sustituir en la función de partida, es decir, ahí, será 25 por 2, 50 menos 2 al cuadrado de 4 entre 4 a 1. 00:07:17
Pues 50 por elevado a menos 1. 00:07:27
Por favor, no utilicéis calculadora, haced las cuentas, que se pueden mentalmente, mentalmente. 00:07:32
No, al final la calculadora lo único que os puede hacer es retrasar 00:07:37
¿Que queréis dar ese valor en aproximado? Pues bueno, no hace falta en realidad 00:07:44
Si lo queréis dar con calculadora al valor aproximado en decimales, pues lo podéis hacer 00:07:48
¿Listo? Bueno, pues este ha sido el ejercicio 00:07:54
Ah, perdón, que nos falta un apartado 00:07:58
En el apartado C nos piden calcular la energía total generada por la pila 00:07:59
Sabiendo que la derivada de la energía es la potencia 00:08:04
Es decir, aquí nos están, sin decirnoslo, pidiendo una integral. 00:08:07
Vamos con el apartado C. 00:08:12
Nos dicen que la derivada de la energía es la potencia y nos piden que calculemos la energía entre qué valores. 00:08:15
Pues vamos a ver. 00:08:26
En el instante 0 tenemos una energía de 0 y calcular la energía producida por la pila entre el instante t igual a 0 y el instante t igual a 2 00:08:26
¿Qué habrá que hacer? 00:08:39
Bueno, pues nos están diciendo el valor inicial, el valor de la energía inicial, que es 0 00:08:41
Y nos están pidiendo que integremos, ¿por qué? 00:08:46
porque si la derivada de la energía es la potencia 00:08:49
tendremos que la integral de la potencia 00:08:52
pues será la propia energía 00:08:56
nos están pidiendo calcular la energía, así que habrá que integrar 00:08:58
entre los dos valores del instante que nos están pidiendo 00:09:03
entre el 0 y el 2, y recuerdo que la función era 25t menos 00:09:06
por e, perdón, elevado a menos t cuadrado 00:09:11
partido por 4, diferencial de t 00:09:15
Pues venga, vamos a integrar. Para integrar el 25, me lo puedo quitar del medio, me queda t dentro y elevado a menos t cuadrado partido por 4, diferencial de t. 00:09:18
Y ahora esto, fijaos que es una exponencial elevada a una función, no a la t, sino a una función. Si yo esto lo llamo g de t, ¿cuál es la derivada de esto? 00:09:30
Pues la derivada de g es menos 2t partido por 4, es decir, menos t medios, menos 1 medio de t. 00:09:40
Entonces, ¿aquí qué me falta? Pues me falta un menos 1 medio. 00:09:52
Si yo consigo aquí tener un menos 1 medio, asunto arreglado. 00:09:56
Pero no lo tengo, por eso pues lo añado. 00:09:59
Y para no cambiar las cosas, pues habrá que multiplicar también por un menos 2 para no cambiar las cosas. 00:10:03
Y con este truquito, fijaos que menos 2 por menos 1 medio se iría y lo que hemos procurado aquí, lo que hemos conseguido es tener ahí la derivada del exponente. 00:10:08
Y eso lo que implica necesariamente es que yo voy a tener aquí, esto es un menos 50, ¿verdad? 00:10:19
Menos 50 por la integral de menos 1 medio de t, voy a volver a escribirlo para que lo veáis, por elevado a menos t cuadrado partido por 4, no habría falta de repetir esto, ¿verdad? 00:10:26
donde aquí tenemos g elevado a g y aquí tenemos g'. 00:10:37
Esto sería g' y esto sería g. 00:10:42
Por lo tanto, la integral, y bueno, no os olvidéis los límites de integración 00:10:46
que luego los calcularemos, la integral será menos 50 por e elevado a menos t al cuadrado 00:10:50
partido por 4. 00:10:58
Y hay que evaluar entre el 0 y el 2. 00:10:59
Vamos con ello. 00:11:03
Bueno, en realidad tendríamos que añadir la constante, pero es que la constante es cero, en el cero vale cero, así que no hay que hacer nada. 00:11:04
Y entonces tendríamos que sustituir y ya está, elevado a menos uno, bien, menos uno. 00:11:19
estaba yo temiéndome que nos diese negativo 00:11:34
pero no, fijaos que 1 partido por e es menor que 1 00:11:37
al restarle 1 te queda negativo 00:11:41
por este negativo es positivo 00:11:43
es decir, que el valor de la integral quedaría 00:11:44
pues esto de aquí 00:11:47
y ya estaría 00:11:48
muy bien, pues hemos terminado con este ejercicio 00:11:51
ahora sí, y enseguida pasamos 00:11:56
enseguida pasamos al siguiente 00:11:59
hasta luego 00:12:01
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
70
Fecha:
19 de enero de 2021 - 0:10
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
12′ 03″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
56.50 MBytes

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