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Matrices 6 - Rango de una matriz - Contenido educativo

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Subido el 12 de julio de 2018 por Manuel D.

510 visualizaciones

Se explica qué es el rango de una matriz y cómo calcularlo usando el método de Gauss-Jordan

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo al curso de Matemáticas II de segundo de bachillerato. 00:00:02
Seguimos en el tema de matrices y en este vídeo vamos a presentar la noción probablemente más importante 00:00:12
y que más implicaciones tendrá en cuestiones geométricas. Estoy hablando de rango de una matriz. 00:00:20
Antes de dar una definición formal de rango de una matriz, veamos el siguiente ejemplo. 00:00:29
Imaginemos que queremos resolver un sistema de ecuaciones sencillo como este. 00:00:34
Este sistema puede representarse de forma matricial con una columna de incógnitas x, z de esa forma que veis ahí. 00:00:39
Si nos quedamos con la matriz de coeficientes y con la matriz de término independiente, 00:00:47
obtendría una matriz numérica 2 por 3, 2 filas, 3 columnas. 00:00:52
¿Qué pasa si yo añado una ecuación que es una combinación de esas dos ecuaciones? 00:00:57
Por ejemplo, imaginemos que yo añado la ecuación resultante de multiplicar la primera por 2 y la segunda por 1 y sumar. 00:01:04
Pues yo obtengo una ecuación que no me está aportando nada al sistema de ecuaciones, es decir, el sistema de ecuaciones sigue teniendo las mismas soluciones. 00:01:14
Matricialmente, ¿qué es lo que estoy haciendo? Pues añadir una fila de coeficientes, de manera pues que la tercera fila se obtiene sumando el doble de la primera más la segunda. 00:01:22
¿Qué ocurre? Que a la hora de resolver el sistema, pues la tercera fila la puedo quitar porque no está aportando nada. 00:01:35
Las soluciones son las mismas si prescindo de esa fila. 00:01:42
Bueno, pues esta idea es la que se esconde detrás del rango de una matriz. 00:01:46
Es el máximo número de filas linealmente independientes. 00:01:51
¿Pero qué significa esto de linealmente independientes? 00:01:55
Bien, vamos a verlo un poco con más calma, vamos a definirlo. 00:01:57
Cuando hablamos de filas o hablamos de columnas en una matriz indistintamente, 00:02:02
se suele utilizar la terminología líneas, para referirse, ya digo, a filas o columnas. 00:02:07
Una línea se puede escribir como combinación lineal del resto si existen unos números, 00:02:13
de manera que esa línea se escribe como lambda1 por la primera línea, por la L1, más lambda2 por L2, etc. 00:02:19
Si ninguna de las líneas se puede escribir como combinación lineal del resto, las líneas se dirán linealmente independientes. 00:02:29
El rango de una matriz es el máximo número de líneas linealmente independientes. 00:02:37
Ocurre que da igual si calculamos el rango por filas o por columnas que el número, rango, es independiente de cómo lo estemos calculando. 00:02:42
Por eso se habla a veces de líneas y no de filas o columnas. 00:02:50
Por ejemplo, imaginemos esa fila que tenéis ahí. Esa matriz tiene dos filas. 00:02:55
Se puede obtener la segunda como el doble que la primera, pues entonces el rango es 1. 00:03:00
¿Qué pasa con esa matriz que tenéis ahí? Tiene tres filas y el rango va a ser 2. ¿Por qué? 00:03:06
Porque la primera es la mitad que la segunda, pero la tercera es independiente de las dos primeras. 00:03:12
No se puede escribir como combinación lineal de ellas. Rango 2. 00:03:18
Vamos a poner otro, un tercer ejemplo. Fijaos en la tercera columna. 00:03:22
Se puede escribir como la segunda fila menos el doble de la primera. Eso significa que el rango sería 2. 00:03:25
¿Qué ocurre? Pues que en general, a ojo, hay muchas veces que mirar a ver si una fila es combinación lineal y el resto no es sencillo. 00:03:33
¿Cómo se puede hacer? Bueno, pues va a haber una manera por determinantes que la veremos en el siguiente tema, 00:03:41
pero en este también podemos calcular el rango con el conocido método de Gauss-Jordan. 00:03:46
¿En qué consiste? Bueno, pues básicamente en hacer ceros por debajo de la diagonal. 00:03:52
Es decir, mediante combinaciones lineales yo puedo obtener que la primera columna sea un término distinto de cero y los demás de abajo ceros. 00:03:56
Después seguiría por la siguiente fila debajo de la diagonal todos ceros y así sucesivamente. 00:04:05
Al final lo que voy a obtener es una matriz con una serie de filas de ceros. 00:04:11
Esas filas me las puedo quitar del medio y el rango va a ser el número de filas que no sean todos ceros. 00:04:15
Y así se puede calcular. Vamos a ver un ejemplo de una matriz que, bueno, va a depender de sus coeficientes de un parámetro. Es una matriz 3x4 y vamos a calcular cuándo el rango va a ser 3, cuándo va a ser 2 y si puede ser 1 o no. Vamos a ello. 00:04:22
Bien, en el ejercicio nos piden calcular el rango de esta matriz según los valores del parámetro m. Como la matriz tiene tres filas, el rango como máximo será tres. Así que ya podemos poner que... 00:04:37
Bien, ¿y ahora qué es lo que hay que hacer? Pues lo que hay que hacer es hacer ceros de manera escalonada y mirar a ver al final cuántas filas de ceros nos salen. Es decir, vamos a hacer ceros aquí. 00:04:56
utilizando la forma de Gauss-Jordan, que consiste en sumar y restar múltiplos de una fila a las demás. 00:05:09
Hacemos ceros ahí y veremos a ver cuántas filas nos salen. 00:05:17
Comenzamos. 00:05:20
Para hacer un cero aquí, podemos coger a esta fila y restarle la primera. 00:05:21
Y para hacer cero aquí, podemos coger a esta fila y restarle el doble de la primera. 00:05:37
Bien, ya casi hemos acabado. 00:05:51
¿Por qué? Porque se nos ha producido aquí otro cero, así que ya tenemos los tres ceros que buscábamos. 00:05:53
Y ahora tenemos que ver, como hay dos filas distintas de 0, necesariamente el rango como mínimo será 2. 00:05:58
Y ahora, ¿cuándo va a ser el rango 3? 00:06:10
Pues el rango va a ser 3 cuando haya toda una fila de ceros y esto podamos, digamos que, eliminarlo porque no va a aportar al rango. 00:06:12
Es decir, cuando haya ahí 0, 0, 0, 0, pues vamos a resolver el sistema. 00:06:21
Es decir, que para que sea 0 toda esta fila, necesariamente el valor de m tiene que ser 3. 00:06:36
Si m es igual a 3, aquí podemos comprobar que sale una fila de ceros o comprobaríamos que esta fila es igual a la mitad de la tercera. 00:06:48
Sustituyendo, podríamos comprobar lo que queda. 00:06:58
Aquí el valor de m igual a 3 os lo recomiendo que sustituyáis y miréis a ver qué matriz queda. 00:07:00
si la m no es distinta de 3 00:07:06
aquí va a haber una fila que no es 0 del todo 00:07:10
por lo tanto va a haber 3 filas independientes 00:07:14
y por lo tanto el rango será 3 00:07:16
muy bien, hemos terminado de calcular este rango 00:07:18
va a ser algo esencial al aprender a calcular rangos 00:07:21
de una manera muy segura 00:07:25
así que por favor estudiar bien este concepto y este tipo de ejercicios 00:07:26
nos vemos en el siguiente vídeo, hasta luego 00:07:30
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
510
Fecha:
12 de julio de 2018 - 11:54
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 34″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
105.38 MBytes

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