Cálculo Infinitesimal | Mediateca de EducaMadrid

Bien, pues vamos a empezar con el tema. 00:00:05

Bien, vamos a hablar del cálculo
infinitesimal. 00:00:08

¿Qué es el cálculo infinitesimal? 00:00:12

Bien, es una parte de la matemática. 00:00:14

No es una parte cualquiera. 00:00:16

Es muy interesante verlo de manera muy
particular porque este campo fue decisivo 00:00:18

e importantísimo para todo el desarrollo
tecnológico que ha habido en los últimos 00:00:25

tres siglos. 00:00:30

Suele ser, pues, si se habla o se pregunta
sobre cuál es la parte de la ciencia más 00:00:31

importante o la piedra angular del
desarrollo científico. 00:00:39

Se suele decir, pues, las tres leyes de
Newton, el libro de Newton, de principios 00:00:45

filosóficos sobre la naturaleza,
la ley de las tres leyes de Newton, 00:00:50

básicamente. 00:00:56

Bien, mucha gente dice eso. 00:00:58

Otros, entre los que yo me incluyo,
creemos que la parte más decisiva para 00:01:00

todo ese desarrollo científico y
tecnológico es el cálculo infinitesimal. 00:01:06

Es bien hacer la herramienta, lo otro es
también muy importante que duda cabe, 00:01:12

y es materia conceptual, pero con el
cálculo infinitesimal es la herramienta 00:01:17

que no solamente se va a aplicar en la
dinámica o la cinemática, sino que va a 00:01:21

tener infinidad de aplicaciones en
inundadas campos permitiendo pasar de la 00:01:29

aplicación de las leyes naturales de forma
puntual a poderte en cuenta la geometría 00:01:35

propia de los elementos que se están
estudiando, como lo obremos. 00:01:43

Bien, pues esta introducción vamos a ver
un poco el contexto histórico. 00:01:47

El contexto histórico es muy importante,
hay que entender cómo ido evolucionando 00:01:53

todo el pensamiento y todo el desarrollo
científico a lo largo de la humanidad y 00:01:57

qué encaje tiene esta materia con todo
esto. 00:02:03

Hay que entender que durante 1.800 años,
ojo, 1.800 años, 18 siglos, bien, 00:02:07

es como si nos remontamos al año 200,
lo que se hizo el año 200, todavía lo 00:02:15

seguíamos usando hoy. 00:02:19

Es algo realmente pasmoso, bien,
pues durante 1.800 años todos los saberes 00:02:22

científicos del mundo occidental venían
bastándose de una manera bastante amplia 00:02:29

en Platonia Aristóteles. 00:02:37

Al principio la filosofía del pensamiento
de Platón tenía más peso y luego ya fue 00:02:40

Aristóteles el que consiguió mucha mayor
influencia. 00:02:45

De acuerdo desde el siglo IV antes de
Cristo, el 36 pico antes de Cristo, 00:02:49

sabemos que Platón es el maestro
Aristóteles, hasta el renacimiento, 00:02:53

hasta nuestro amigo Descartes. 00:02:58

Se nos ha ido para atrás de esto un
momentito. 00:03:02

Vamos a coger el resaltador. 00:03:10

Perfecto. 00:03:17

¿En qué se basaba el conocimiento
científico de los griegos? 00:03:19

Los griegos usaban como herramienta
principal para sus debates y sus 00:03:24

reflexiones científicas el concepto
extracto, el lenguaje. 00:03:32

Sí, había geómetras, había matemáticos,
pero las bases de todo su conocimiento 00:03:37

eran bases astratas, fundamentalmente en
principio metafísicas. 00:03:45

La metafísica de Aristóteles es bien
conocida y muy famosa que podemos hablar 00:03:51

de ella aquí ahora. 00:03:57

Eran estas bases. 00:04:01

También hay que entender que este tipo de
pensadores eran pensadores globales. 00:04:02

Aristóteles dominaba todo el saber de su
época, pero tenían una vocación de 00:04:11

intelectuales en toda sustención. 00:04:18

¿De acuerdo? 00:04:23

De hecho, Aristóteles hablaba de
metafísica, de físicas naturales, 00:04:24

de biología, de dinámica, de lógica en
general. 00:04:29

Luego también aplicaciones matemáticas,
biología. 00:04:36

Tenía un montón de campos en los que
estuvo trabajando, lo cual no deja de ser 00:04:39

muy sorprendente la capacidad que tuvo
para con unas bases, unos mimbres tan 00:04:43

escasos como los conocimientos que había
en aquella época. 00:04:50

Poder desarrollar y abarcar de una forma
tan amplia tantas materias. 00:04:53

Con lo cual, esta manera de abarcar todos
los conocimientos le hacen la referencia 00:05:00

practicante absoluta de todo hasta ya el
renacimiento. 00:05:08

Es decir, si había una duda sobre tal
cuestión, pues se consultaba Aristóteles, 00:05:13

el filósofo que decía, o como lo llamaría,
Sando Tomás de Aquino. 00:05:17

Esto hay que distinguirlo de lo que
entendemos ahora como filósofo. 00:05:23

El filósofo de ahora es un pensador que se
dedica a un pensamiento más bien abstracto 00:05:27

de temas sociales, cuestiones humanas,
pero el filósofo de ahora no estudia 00:05:32

matemáticas, de forma general. 00:05:39

Ni estudia química, ni estudia física. 00:05:41

Al igual que el matemático actual,
el físico del químico tampoco estudia 00:05:42

filosofía, no estudia metáfrica de
Aristóteles, ni estudia existencialismo, 00:05:48

ni nada similar. 00:05:54

Son campos que con el tiempo sean de una
divergencia que jamás se han vuelto a 00:05:56

dormir y que son ajenos completamente unas
cosas a las otras. 00:06:03

Esto también, ya hago aquí el inciso,
es una de las causas por las cuales toda 00:06:09

esta relación que vamos a hacer,
que haremos también, del pensamiento o de 00:06:16

algunos conceptos aristotélicos,
no se usan en matemáticas. 00:06:22

El matemático, por lo general,
lo desconoce. 00:06:25

Y el señor que estudia Aristóteles
desconoce los conceptos matemáticos. 00:06:28

¿De acuerdo? 00:06:31

Hay un descomiento mutuo, bastante grande. 00:06:34

Decía que hasta el nacimiento la
referencia a Aristóteles. 00:06:37

Esto es muy importante porque las primeras
universidades empiezan ya a surgir a 00:06:43

finales de la edad media y obviamente
todos los profesores y todos los conceptos 00:06:49

de estas universidades son aristotélicos,
de forma general. 00:06:55

Cierto es que son algunos pensadores
nominalistas, etcétera, de otras 00:06:59

corrientes, en fin, que plantean alguna
discrepancia en cuanto a las bases que 00:07:07

presentan Aristóteles, pero no de forma
radical, de una forma absolutamente 00:07:14

novedosa y totalmente distinta. 00:07:19

¿De acuerdo? 00:07:21

Todos acoplan. 00:07:22

Está hablando con estos conceptos que
Aristóteles y Platón forjaron, 00:07:25

¿verdad? 00:07:33

Hasta que llega a un punto, el punto de
Descartes. 00:07:34

Bien, no deja de ser sorprendente toda
esta filosofía aristotélica que, 00:07:38

con conceptos más o menos abstractos,
llegan a una serie de reaccionamientos 00:07:43

bastante potentes y no deja de ser muy
sorprendente, luego lo veremos, 00:07:47

¿no? 00:07:52

Hasta que cosas como unos pensamientos tan
sencillos de inicio pueden llegar a tener 00:07:53

unas conclusiones bastante complejas al
final. 00:07:59

Bien, pues todo este tipo de cuestiones,
todo este tipo de asuntos, provocó que ya, 00:08:02

cuando llevamos al renacimiento,
los genios que también hubo en cuanto a 00:08:07

ese tipo de pensamientos, lo hemos hecho
antes, pues Alberto Magno, que también 00:08:13

dieron un pensador resultante global,
trataba todo tipo de ciencias, 00:08:16

todo tipo de materias, o se entró todo más
de Aquino, pues una vez que ya se aparecen 00:08:20

ese tipo de genios, surgieron otro tipo de
personas que empiezan a tener dificultades 00:08:25

a la hora de manejar estos conceptos,
a la hora de entenderlos, e incluso diría 00:08:31

yo a la hora de explicarlos también,
o de ser explicados. 00:08:35

De tal manera que, bueno, pues ya en el
renacimiento hay una abundancia de gente, 00:08:39

de estudiantes, que van en las nosidades
con cierta frecuencia, obviamente nada ni 00:08:45

parecido a lo que hay ahora, pero aquello
no es simplemente un reducto de genios 00:08:49

europeos, sino que bueno, pues por toda
Europa empiezan a sufrir estas 00:08:56

universidades y ya son pues cientos los
estudiantes que van a aprender en la 00:09:01

universidad, ya estudiar a la universidad. 00:09:10

Es previsible que muchos de ellos pues no
lo entendieran, tuvieran sus dificultades, 00:09:13

también quisieran plantear cosas distintas
y empiezan a surgir ciertas discrepancias. 00:09:18

Descartes es el más famoso de ellos,
porque Descartes es lo que hace el estudio 00:09:23

con los Jesuitas, también pensamiento
aristotélico, y llegado un momento, 00:09:27

digamos que su discrepancia frente a este
sistema de pensamiento hace que lo rechace 00:09:33

de forma frontal, total. 00:09:39

De ahí que se diga muchas veces en los
libros académicos, la duda metódica que 00:09:42

plantea Descartes, duda de todo,
pienso luego es esto, no duda de todo 00:09:47

porque un día se levante, digo,
he dado con la clave, sino duda de todo 00:09:51

porque ese todo significa lo que él ya
había estudiado, lo que ya he enseñado 00:09:55

está disconforme y entonces decide romper
radicalmente, no se guarda nada, 00:09:59

no quiere salvar absolutamente ningún
presupuesto aristotélico. 00:10:04

El presenta de la nada es sin hilo un
sistema filosófico totalmente nuevo y 00:10:09

pretende pues de alguna manera,
haciendo esa crítica que hace Aristóteles 00:10:17

de dudar de todo, pretende hacer lo mismo,
es decir, quito Aristóteles para ponerse 00:10:23

el mismo con su sistema filosófico de
acuerdo. 00:10:28

En la sociedad de aquel momento,
en la sociedad entre actual, empiezan a 00:10:31

surgir muchas tensiones porque hay gente
que lo rechaza de manera frontal, 00:10:34

otros que le apoyan y empieza a ver pues
muchas discrepancias. 00:10:39

Hay que decir que, bueno, con el paso de
los siglos y si comparamos ahora los dos 00:10:45

sistemas, teniendo obviamente el
Aristóteles, sobre todo en la parte del 00:10:50

estudio de las ciencias naturales,
la física, etcétera, pues bastantes 00:10:55

carencias. 00:11:00

Se recordemos, por ejemplo, que en la edad
media pues la química se reducía a 00:11:01

explicar que todos los elementos estaban
formados a su vez por cuatro elementos 00:11:09

básicos, tierra, fuego, aire y agua,
y con eso estaban formados todos los 00:11:14

elementos, de tal manera que, si hay un
elemento que era más caliente que otro, 00:11:20

es porque tenía más fuego que otro. 00:11:23

Entonces, esta era una explicación
bastante naïve, bastante grosera, 00:11:25

si lo entendemos ahora pues como tendemos
obviamente la química. 00:11:30

Y en la física pues, bueno, había también
bastantes... 00:11:35

muchas cosas que eran bastante groseras. 00:11:38

Sin embargo, pues tenía muchos aciertos. 00:11:41

Fundamentalmente en metafísica,
el concepto de potencialidad, que es lo 00:11:43

que hemos tenido que utilizar,
ya está metido de una manera social o está 00:11:48

entendido de una manera ya, como diría yo,
como si fuera con la sociedad, 00:11:55

¿de acuerdo? 00:12:02

El tema tiene mucho potencial,
este chico tiene mucho potencial, 00:12:03

o aquel elemento está en potencial de ser
otra cosa, todo este tipo de expresiones 00:12:07

las entendemos y parece que siempre han
estado allí. 00:12:13

Pero realmente son expresiones
conceptuales que fueron utilizadas para 00:12:16

risoteles para resolver ciertos problemas,
¿de acuerdo? 00:12:21

No siempre estuvieron ahí. 00:12:23

Bien, y sin embargo pues Descartes en su
planteamiento filosófico general plantea 00:12:25

también una serie de temas que son
aberraciones. 00:12:31

Por ejemplo, pues el desarrollo
tecnológico propio de su época, 00:12:35

que ya empiezan a hacer los primeros
relojes, le hace pensar pues que los 00:12:40

animales y los elementos de los seres
vivos son simplemente mecanismos. 00:12:44

La moda de su época es... 00:12:48

o lo que deslumbra en su época son los
relojes, los mecanismos, los elementos que 00:12:50

empiezan a moverse de forma autónoma con
engranajes, etcétera. 00:12:53

Y le hace pensar que los seres vivos son
exactamente lo mismo, sólo de una forma 00:12:59

más compleja. 00:13:03

Tiene un pesamiento comodológico de lo que
es el universo bastante también, 00:13:05

bastante bizarro. 00:13:08

Y bueno, esta le hace también una serie de
plantamientos un poco extraños, 00:13:12

afirma que la alma humana está dentro de
la galón de una pineal. 00:13:18

Y bueno, cosas un poco extrañas,
un poco bastante raras que a día de hoy 00:13:21

disunan bastante más y nos parecen los
relojes bastante más a los seres que los 00:13:26

que podían ser en su día los de
Aristóteles. 00:13:31

Todo se ha dicho, ¿de acuerdo? 00:13:33

Pero sea como fuere, pues en aquella época
empezaría ese confrontamiento. 00:13:34

Bien, el hecho de que Descartes tuviera el
reloj de los seres no significa que todo 00:13:38

lo que quisiera estuviera mal ni muchísimo
ni menos. 00:13:42

Él tiene ciertos muy importantes,
como esto de aquí, ¿de acuerdo? 00:13:44

El sistema cartesiano de Descartes en
latines cartesius. 00:13:50

De ahí viene los ejes cartesianos. 00:13:54

Inventó los ejes cartesianos, que es una
manera de representar la posición de los 00:13:56

elementos en un papel, en un plano. 00:14:04

Algo muy útil para la matemática,
para la ciencia en general, ¿verdad? 00:14:07

Y bueno, pues hizo unas cosas,
una serie de plantamientos en matemáticas 00:14:11

acertados, que también luego fueron
utilizados por otros hombres distintos de 00:14:18

su generación. 00:14:22

Bien, pues este tipo de plantamiento
ideológico y de sensaciones en su época se 00:14:24

trasladaron a la generación siguiente,
que fueron la generación de Newton y 00:14:32

Leibniz, ¿de acuerdo? 00:14:37

Newton bebe de los experimentos que se
hacía o que hizo Galileo. 00:14:39

Hay que entender que ya digo, en aquesta
época empieza a ver avances tendo el reloj 00:14:43

con el reloj, si pueden hacer ciertos
experimentos, medir tiempo, si mides 00:14:49

tiempo, puedes medir movimientos,
velocidades. 00:14:54

De acuerdo, es muy importante. 00:14:56

Los idiomas no tenían relojes,
no me podían medir segundos, no podían 00:14:58

medir cantidad de tiempos pequeñitas ni
los relojes de arena, relojes de saúl, 00:15:01

pero no tenían relojes precisos. 00:15:05

Con el acento de la relojería puedes
empezar a hacer ciertos experimentos que 00:15:07

antes no se podían. 00:15:11

Experimentos iniciales pues los de Galileo
y otros que van recogiendo Newton y 00:15:13

Leibniz, ¿de acuerdo? 00:15:20

Lo que sí, ya que recogen Newton y Leibniz
es esta como... 00:15:22

esta indiferencia, ya no es desprecio,
¿no? 00:15:26

Porque si es verdad que con Descartes y
Aristóteles hay un choque muy fuerte en la 00:15:30

sociedad, pero llega a la generación
siguiente, ya no es hecho que sigue 00:15:34

estando ahí, se ve en mucha videografía de
la época, pero ya no quieren discutir por 00:15:38

unos a nivel de ciencia experimental los
temas Aristóteles, o sea, ya es una 00:15:46

indiferencia, tal manera que todos los
ángeles que se hacen en este sentido, 00:15:50

tanto por Newton como Leibniz,
no tienen en cuenta ningún concepto previo 00:15:54

Aristóteles ni Platónico, por supuesto. 00:16:02

¿De acuerdo? 00:16:04

Simplemente, ellos se dedican a construir
de cero toda la ciencia que van haciendo. 00:16:05

Bien, Newton y Leibniz, Newton es famoso,
muy famoso por las tres leyes. 00:16:11

Leibniz es también quizás la última
persona que consigue abarcar y conocer 00:16:15

todo el conocimiento científico de su
época. 00:16:22

Es una persona tremendamente capaz, 00:16:26

escribido de todo y volo. 00:16:32

Tenía ese objetivo, ese motivación
interior de aprender de todo, de escribir 00:16:36

todo y de resolver la mayor cantidad o
tratar la mayor cantidad de temas 00:16:43

posibles. 00:16:47

¿De acuerdo? 00:16:48

Como descartes. 00:16:49

Tanto Newton como Leibniz son famosos,
sí, por el tema científico, pero también 00:16:50

hay que recordar que escribieron también
temas de los más variados. 00:16:54

Teología, moralidad, etc. 00:17:01

Leibniz tenía su sistema, su propio
sistema filosófico al estilo de descartes 00:17:05

o de Aristóteles, que ya hay muchas cosas
que de ellos no se hablan y se enseñan, 00:17:11

pero no fueron gente de centros de ropa. 00:17:18

De hecho, la vida de Newton es una vida
bastante peculiar como persona. 00:17:21

Es, bueno, merece la pena echarle un
vistazo y ver cómo fue. 00:17:27

Pero no fueron científicos centros de
errores ni de aberraciones. 00:17:32

Hay que aplodir por todos los aceitos que
tuvieron, pero, bueno, no dejan de ser 00:17:37

también personas. 00:17:41

Bueno, pues volvemos a lo de antes. 00:17:46

Ya una vez que descartes plantas o
sistemas cartesianos, primeros fundamentos 00:17:48

matemáticos que se han recogidos por
Newton y Leibniz, ellos lo que hacen es 00:17:52

desarrollar el cálculo infinitesimal. 00:17:58

¿Qué es el cálculo infinitesimal? 00:18:01

¿Por qué se le llama así? 00:18:02

Está llamado así porque ellos,
bueno, el cálculo infinitesimal 00:18:04

básicamente se cimentan lo que son los
conceptos de infinito y de infinito como 00:18:09

algo que tiende a ser mayor que ninguna
otra cosa, de acuerdo, y infinitesimal, 00:18:15

que es justamente lo contrario,
que es un elemento que tiende a ser cero, 00:18:21

pero que nunca lo es, ¿de acuerdo? 00:18:25

Estos son los dos. 00:18:27

Para entender... 00:18:31

y esta es la película, porque estos dos
conceptos que estamos aquí planteando, 00:18:32

que estoy planteando, pues... 00:18:37

son conceptos que crean mucha confusión a
los estudiantes porque se dan de forma 00:18:44

abstracta. 00:18:48

Para entender la problemática,
hago uso, o quiero hacer uso del concepto 00:18:50

de acto-potencia de Aristóteles,
los modos de existir, Según Aristóteles. 00:18:57

Me parece súper interesante porque no es
facilitar la comprensión de lo que es el 00:19:00

infinito y el infinitesimal, ¿de acuerdo? 00:19:05

Ya digo, vuelvo de antes, en la ciencia
moderna, este tipo de recursos, 00:19:08

apenas se usa yo, lo he visto por ahí,
no es una idea mía, ni mucho menos, 00:19:14

lo vi en su momento, en diferentes puntos,
no recuerdo el que por todo, viendo por 00:19:18

aquí trazos de aquí para allá,
hay algún autor que sí que hace algún 00:19:22

comentario particular, pero en materia de
filosofía, pero en general, vuelvo de 00:19:26

antes. 00:19:31

Es decir, los matemáticos se centran,
simplemente, en la matemática pura y dura 00:19:31

y la gente que estudia filosofía que
además ya no es que estudia filosofía, 00:19:35

sino que estudia muchas veces solamente un
campo de la filosofía, o sea, es un 00:19:40

experto en temas de el esencialismo o son
expertos, en el idealismo son expertos, 00:19:44

se centran muchas veces en un campo muy
específico, como para entrar en otros, 00:19:51

como el de la matemática. 00:19:55

Bien, pues sí me gustaría presentar esto,
pero ya digo, no es un tema común y si 00:19:57

esto se plantea algun otro profesor o de
alguna otra forma, pues probablemente 00:20:02

suene raro, ¿de acuerdo? 00:20:07

porque no es común. 00:20:10

Pero me parece muy interesante porque
facilita, a mí me ha facilitado y creo que 00:20:13

transpece más también el entendimiento de
lo que es el infinito y el infinitesimal. 00:20:18

Bien, 00:20:24

pues vamos a ver lo siguiente. 00:20:29

Vamos a ver qué es el concepto de acto
-potencia de Aristoteles. 00:20:37

Bien, imaginémonos si tenemos un pequeño
elemento, en este caso, bueno, 00:20:43

pues un pequeño brote, ya está brotando,
se mira que ha brotado, de acuerdo, 00:20:50

y nos está haciendo la planta. 00:20:56

Esta plantita que tenemos aquí la podemos
considerar actualmente en realidad un 00:21:00

brote. 00:21:06

Eso no significa que no tenga en esa
esencia de ser un brote de un arbolito, 00:21:08

un manzano, un ciruero, lo que sea,
en su esencia tenga una potencialidad para 00:21:13

transformarse en un árbol grande al cabo
de los años, ¿de acuerdo? 00:21:20

Bien, pues como decía antes, en la época
griga había aquí una problemática que es 00:21:26

la opción del cambio, es decir,
¿qué quedamos? 00:21:33

tenemos un brote que está ya pequeñito,
que está brotando, o tenemos un árbol 00:21:36

grande, ¿qué relación hay entre las dos
cosas? 00:21:41

Para decir que ambas cosas, ambas
situaciones es lo mismo. 00:21:43

Si os dais cuenta esta problemática que,
bueno, pues parece como una especie de 00:21:47

pequeño truquito de pequeño juego,
o para mentes inquietas, tiene mucha 00:21:53

trascendencia en muchos campos. 00:21:59

Imaginémonos que en vez de plantear esta
cuestión así de forma séptica, 00:22:02

estamos planteando que en su señor,
que en su día plantó una serie de 00:22:06

árbolitos, ahora los árbolitos son
grandes, cuando plantó los árbolitos eran 00:22:09

sus árbolitos, y ahora que son grandes,
viene alguien, el que sea, y le dice que 00:22:13

ya no son suyos, porque ese árbolito
pequeñito que plantó no tiene nada que ver 00:22:19

con el árbol grande que ha crecido. 00:22:24

Entonces, ya, ahí lo vemos en una forma
distinta, ¿verdad? 00:22:26

cuando solitamos a un hecho social
particular, y el tema es diferente. 00:22:28

Pero sí tiene mucha importancia el
problema del cambio. 00:22:34

Es decir, una cosa que tiene una esencia
en sí mismo, que es un ente por sí mismo, 00:22:38

va sufriendo cambios, que es lo que hace
que ese ente siga siendo el mismo ente. 00:22:43

Bueno, para resolver esta problemática,
Aristóteles planteó o observó que la 00:22:49

manera de ser de las cosas, la esencia,
lo que es en sí, tiene dos aspectos. 00:22:56

El primero es la realidad, el hecho de ser
en acto, la realidad en un momento de 00:23:02

concreto definido, en este caso el
árbolito pequeñito. 00:23:08

Y tiene otro aspecto de esta esencia de
ser, que es la potencialidad, lo que puede 00:23:13

ser en el futuro. 00:23:19

En el caso del árbolito, será un manzano,
un ciruelo, que será de 5 metros de alto, 00:23:21

con tales hojas, de tal tamaño de tronco,
etc. 00:23:27

Evidentemente la potencialidad no puede
ser cualquier cosa, no puede ser una 00:23:31

fantasía. 00:23:34

Este brote de árbol que están haciendo no
es potencialmente un pájaro ni un perro, 00:23:36

ni siquiera un roble. 00:23:42

Si es un manzano, será un manzano. 00:23:43

Si es un ciruelo, será un ciruelo. 00:23:45

Pero no va a dar melones, ¿verdad? 00:23:46

Eso no entra dentro de la potencialidad
como ser. 00:23:49

Así que aquí tenemos dos aspectos. 00:23:52

Si estamos hablando, por ejemplo,
de un estudiante, pues un estudiante en 00:23:54

acto, es un estudiante a lo mejor de
segundo de bachillerato. 00:23:57

Potencialmente podrá ser un abogado. 00:24:00

Pero bueno, el hecho es que hay
actualmente es un estudiante. 00:24:03

Actualmente abogado lo podrá ser. 00:24:10

Tiene esa potencialidad, porque ya va
enfilado, ya va en camino de serlo. 00:24:14

Podría serlo, efectivamente, tiene esa
potencialidad. 00:24:21

De tal manera, cuando sea un abogado,
no se pueda decir que es una persona 00:24:24

distinta de cuando era un estudiante,
a menos de forma absoluta. 00:24:28

Ahora han cambiado algunas circunstancias,
haber habido algunos cambios, pero en 00:24:31

esencia sigue siendo la nueva
personalidad. 00:24:35

Pues esto es el concepto de acto-potencia. 00:24:37

Ese estudiante en acto es un estudiante en
potencia. 00:24:41

Esa faceta del ser potencial es un
abogado. 00:24:44

¿Cómo aplicamos esto a la matemática? 00:24:51

Primero hay que entender que ya digo,
como he dicho antes, en la matemática todo 00:24:54

esto se perdió. 00:24:58

De tal manera que para reflejar esa
potencialidad que muchas veces nos vamos a 00:24:59

encontrar en la matemática y muy
particularmente en el cálculo diferencial, 00:25:04

tanto lógnico como Newton, bueno,
en general, luego todo lo escribimos 00:25:08

después, utilizaron la expresión de tiende
A. 00:25:12

En este caso, por ejemplo, dirían que el
brote de arbolito tiende a ser un árbol 00:25:16

grande, para reflejar esta potencialidad. 00:25:23

¿Qué ocurre con este recurso? 00:25:27

Este recurso realmente nunca ha sido
satisfactorio para nadie de manera 00:25:29

coloquial. 00:25:33

Es muy útil, se entiende, etc. 00:25:34

Pero tanto para los matemáticos que
siempre han visto en esta expresión de 00:25:36

tiende A algo bastante impreciso,
muy alejado de las operaciones matemáticas 00:25:39

y de todas las definiciones matemáticas
que se vienen dando. 00:25:47

¿Cómo para, incluso, los estudiantes que
al final confunden el tiende A con él es 00:25:52

una cosa? 00:25:58

¿De acuerdo? 00:26:00

Tiende A, tiende, pero no es, ni lo será
nunca, porque al momento que lo es, 00:26:00

ya estaría observando de una igualdad. 00:26:05

A es igual a B. 00:26:08

No, A tiende A B son dos cosas distintas,
dos operaciones distintas. 00:26:09

Bien, pues esto es lo que ocurre. 00:26:14

Y vuelvo a inscribir, por eso presento lo
que presentó Aristóteles. 00:26:16

Distingir una cosa, ser en acto de la
potencialidad. 00:26:23

Aquí, por ejemplo, cuando hablamos del
infinito, lo que presentaremos un poco más 00:26:28

tarde, vemos cómo lo expresa Aristóteles. 00:26:32

Si nos damos cuenta de este texto,
podemos comprender el porqué de la 00:26:36

decadencia histórica que antes hablábamos. 00:26:40

Bien, el concepto es muy interesante. 00:26:43

Acto potencia. 00:26:46

La explicación es muy poco didáctica. 00:26:47

Y aquí necesita siempre un apoyo de
alguien que lo vaya explicando, 00:26:49

porque si no el lector Nobel que lea esto,
pues no se entera de nada. 00:26:52

Es complicado, ¿verdad? 00:26:57

Dice Aristóteles el ser. 00:26:59

Se dice de lo que es en potencia o de lo
que es en acto. 00:27:01

Si las dos características del ser o eres
en acto, es decir, eres lo que eres ahora 00:27:04

mismo y puede ser en potencia,
es decir, puede ser otra cosa de una 00:27:07

manera potencial. 00:27:13

Si es que realmente puede llegar a serlo,
¿de acuerdo? 00:27:14

Voy a decirlo de antes. 00:27:17

Un árbol no puede ser nunca un perro. 00:27:18

Y aquí habla de esto y luego ya nos
comenta lo que es el infinito, 00:27:21

¿de acuerdo? 00:27:25

Aquí está aquí abajo. 00:27:26

Es importante mostrar que el infinito es
este potencialmente. 00:27:28

Bueno, por lo que Aristóteles va hablando
un poco de todo esto y nos explica, 00:27:30

ya lo veremos un poquito más adelante que
el infinito existe potencialmente, 00:27:38

pero que no existe en acto, ¿de acuerdo? 00:27:41

No existe por sí mismo como existe el
finito. 00:27:43

Esto ya lo debimos explicando. 00:27:46

A mí este texto me parece interesante
porque, ya digo, refleja esa idea que 00:27:48

hemos dicho antes. 00:27:52

Es decir, el concepto es interesante pero
te lo tienen que explicar, simplificar, 00:27:53

mejorar la actica porque es complejo. 00:27:59

Bien, nos metemos entonces en los
prolegómenos del cálculo diferencial. 00:28:05

Para empezar con el cálculo diferencial
tenemos que empezar con la idea del 00:28:10

límite. 00:28:12

En el límite tenemos dos definiciones. 00:28:13

La edifición coloquial para andar por casa
matemáticamente hablando perfectamente 00:28:19

válida en el ámbito académico más básico
que es el límite. 00:28:23

El límite de la función f de x cuando x
tiende a, volvemos otra vez a ver esa 00:28:29

frase, que en de a es l y se escribe de
esta forma. 00:28:33

Bien. 00:28:38

Límite de f de x es igual a l cuando x
tiende a c. 00:28:40

Cuando x es potencialmente c f de x es
potencialmente para suscribir el límite l. 00:28:43

Aquí estamos hablando de algo que nunca
es. 00:28:51

En los engañas este simbolito en el
momento que pone igual nosotros estamos 00:28:55

pensando en algo que de hecho es en acto,
es. 00:28:59

Pero cuando expresamos un límite de f de x
es algo es a lo que tiende f de x cuando x 00:29:03

tiende a c. 00:29:10

Es decir, cuando x es potencialmente c
entonces f de x es potencialmente l. 00:29:11

Vale. 00:29:19

La otra definición es la definición de un
amigo cochi un hombre muy inquieto un 00:29:20

sabio del siglo XIX matemático un tipo
excepcional que buscó una definición como 00:29:27

ya digo, esto generaba bastante puro en el
tema de los matemáticos y generaba allí 00:29:35

disconformidad cuanto menos con esta
primera definición quiso hacer lo quiso 00:29:42

presentar una definición más matemática
entre comillas, ¿no? 00:29:48

Entonces aquí lo que viene a decir es lo
mismo básicamente lo mismo que 00:29:52

explicábamos antes de una era más precisa. 00:29:55

Es decir, podemos decir que el límite de f
de x cuando de x tiende a c es igual a l 00:29:58

es decir, la misma expresión de antes
cuando y en vez de utilizar los términos 00:30:02

potenciales entonces utilizar una
parafernalia manejando números reales en 00:30:06

acto que es a lo que tiene todo matemático
es decir, esto es así, a buscar lo que es 00:30:11

nunca lo que puede llegar a ser sino lo
que es, ¿bien? 00:30:17

es esta tendencia a expresar todas las
definiciones como lo que es, ¿bien? 00:30:20

Pues aquí nuestro amigo Kochi dice lo
siguiente dice que aquí una definición un 00:30:27

poco labourosa pero es muy sencilla viene
a decir que si encontramos un número real 00:30:35

epsilon de acuerdo mayor que 0 existe un
número real delta mayor que 0 tal que si 00:30:41

la distancia entre x y c es menor que
delta y si encontramos un número x que 00:30:47

está por aquí de tal manera que esta
distancia es menor que delta entonces su 00:30:51

imagen va a ser menor va a ser la imagen
esto se pinta fatal pues esta distancia La 00:31:02

diferencia será menor que la distancia
entre epsilon y L, ¿de acuerdo? 00:31:10

De tal manera que efectivamente,
si x, que esto de aquí, tiende a c, 00:31:18

que es este punto que tenemos aquí,
pues entonces la función irá teniendo a 00:31:23

nuestro punto L, ¿de acuerdo? 00:31:29

Este valor es menor que epsilon,
que perdona, es este valor de aquí menor 00:31:31

que delta, este valor de aquí es menor que
epsilon y la función va teniendo a L, 00:31:37

¿verdad? 00:31:44

Que será su límite, ¿de acuerdo? 00:31:45

Alguno dirá bueno, pues la verdad es que
es un poco más elaborada esta definición 00:31:48

que era anterior, pero bien, es en lo
mismo. 00:31:51

Efectivamente, no nos libramos del tiende
a. 00:31:53

Ahí sigue presente. 00:31:57

De alguna manera hay que expresar
potencialidad, ¿de acuerdo? 00:31:59

Vamos avanzando y vamos viendo,
o mejor dicho, es un poco recapitular lo 00:32:02

que estamos viendo en diferentes ejemplos,
¿de acuerdo? 00:32:06

Voy a decirlo de antes. 00:32:09

Llegado a este punto, las dos formas,
tanto explicarlo de una forma potencial o 00:32:10

explicarlo con el desarrollo matemático,
bueno, pues un modo es entender el 00:32:16

problema. 00:32:19

Bien, el concepto potencial a mí me gusta,
es un modo sencillo, fundamentalmente, 00:32:20

es decir, lo entiendo, sin aspiraciones de
buscar las herramientas matemáticas y 00:32:24

luego, bueno, pues si queremos buscar la
definición únicamente buscando el lenguaje 00:32:29

matemático, hay que entender que es
bastante laborioso, complicado y requiere 00:32:34

un esfuerzo que esté de lo que se da en
bachillerato, ¿de acuerdo? 00:32:39

Bueno, pues aquí iríamos de nuevo a lo
mismo de antes, ¿vale? 00:32:48

Presentaríamos un ejemplo, en ese caso con
una función concreta, ¿bien? 00:32:56

Y veríamos, por ejemplo, que cuando x
tiende a 1, o sea, cuando x tiende a este 00:33:00

valor, entonces f de x, la función tiende
a este otro. 00:33:06

Bien, es una potencialidad. 00:33:13

No estamos diciendo que la función vaga 1. 00:33:14

Tenemos aquí este signo de aquí,
de acuerdo, que nos puede engañar porque 00:33:18

es un signo de igualdad. 00:33:23

Entonces, el signo de igualdad debemos
pensar en valores reales, a es igual a b, 00:33:25

10 es igual a 5 por 2, etcétera,
¿verdad? 00:33:32

Estamos acostumbrados a eso. 00:33:35

Pero realmente tenemos un límite,
esta indicación que ya nos está diciendo 00:33:36

que este valor es potencial. 00:33:41

Nunca vamos a alcanzar, cuando hablamos de
límite de f de x igual a 1, no estamos 00:33:42

diciendo que f de x en algún momento sea
igual a 1, ¿de acuerdo? 00:33:46

No estamos asegurando eso nunca. 00:33:51

Bien, esto es un valor actual y es un
valor potencial, ¿de acuerdo? 00:33:54

Y abajo, como lo puede ser de otra manera,
es x tiende a 1, no ponemos x igual a 1 y 00:33:58

abajo, ¿de acuerdo? 00:34:04

No ponemos esto nunca. 00:34:05

Bien, estamos hablando de cosas
potenciales. 00:34:07

Límite de f de x es un tema potencial. 00:34:10

El límite parece que es 1, puede llegar a
ser 1, cuando x tiende a 1, es decir, 00:34:12

cuando potencialmente x es 1, el límite de
f de x es 1. 00:34:20

Bien, para un ejemplo similar o parecido,
vamos a ver si tenemos una serie de 00:34:26

profesiones que tienen un, imaginémonos,
un salario regulado, un médico por su 00:34:31

categoría, cobrar lo que fuera,
¿de acuerdo? 00:34:37

No lo sé, lo que sea, ¿de acuerdo? 00:34:39

En médico ruso, 4.000 rublos, no tengo ni
idea, al mes. 00:34:45

Bien, pues el estudiante que está en
Rusia, si uno para médico, es el límite de 00:34:51

las ganancias cuando x tiende a ser
médico, son 4.000 rublos al mes. 00:34:56

Bien, pero ese chico ni es médico ni gana
un duro. 00:35:01

Bien, porque actualmente está estudiando,
pero estamos hablando de manera potencial. 00:35:06

Bien, pues así es, esto funciona así. 00:35:11

De hecho, hay que tener en cuenta,
y vuelvo a insistir, en el que no podemos 00:35:13

confundir nunca el ámbito potencial con el
ámbito real. 00:35:17

Bien, vamos a ver dos ejemplos,
dos funciones, la 1 y la 2. 00:35:20

Bien, la función 1 y la función 2. 00:35:24

En la primera función, tenemos que
efectivamente el límite cuando x tiende a 00:35:27

1, como hemos visto antes, es 1. 00:35:31

En la segunda función, exactamente igual. 00:35:34

Este límite se cumple tanto para la 1 como
para la 2. 00:35:36

¿Vale? 00:35:41

Se cumplen en las dos. 00:35:42

Perfecto, muy bien. 00:35:44

Entonces, ¿qué diferencia hay entre las
dos funciones? 00:35:45

Esa es la una función, vamos a ver,
límite es el mismo. 00:35:47

¿Qué diferencia hay por la diferencia? 00:35:50

Está justamente en el aspecto real. 00:35:51

Mientras que en la primera función,
en el punto 1, efectivamente, la función 00:35:54

vale 1, f de x, cuando x es igual a 1,
o sea, f de 1 es igual a 1, ¿de acuerdo? 00:36:00

Y coincide con el límite, ¿vale? 00:36:05

Coincide, no es lo mismo, coincide. 00:36:10

Yo llevo dos personas. 00:36:13

¿Cómo te llamas la primera? 00:36:15

Me dice Pepe. 00:36:16

Y al segundo le pregunto, ¿cómo te llamas
Pepe? 00:36:17

Uy, ¿son la misma persona? 00:36:18

No, son personas distintas cuyo nombre
coincide. 00:36:20

Bien, pues aquí lo mismo. 00:36:23

Tenemos un límite y tenemos un valor real. 00:36:24

Coinciden, pero no es lo mismo. 00:36:27

¿De acuerdo? 00:36:29

Sin embargo, en el segundo ejemplo,
como vemos, este redondelito, que ya todos 00:36:30

sabéis, ese ronde significa que en ese
punto la función no tiene valor, 00:36:34

no existe, ¿de acuerdo? 00:36:41

El límite, sin embargo, es 1, pero si
hacemos el valor real de la función en ese 00:36:43

punto, es 1, no existe, no hay. 00:36:48

Es decir, ya no coincide, ¿de acuerdo? 00:36:51

Con el límite, el valor real y el límite
son distintos en este caso de aquí. 00:36:54

Bien, y es muy importante, porque
generalmente si la función es continua, 00:37:00

bueno, si cumplen, luego lo vemos en las
derivadas, una serie de condiciones, 00:37:06

sí que podemos decir que el límite
coincide con el valor real, y esto nos va 00:37:12

a dar una serie de ventajas muy
interesantes. 00:37:18

Bien, esta característica en determinadas
funciones nos va a dar una ventaja capital 00:37:22

a la hora, luego, de poder utilizar los
límites y los valores, los 00:37:29

infinitesimales, en general, el concepto
de la potencialidad. 00:37:34

Bien, no del valor real, pero hay que
tener en cuenta esto, que son distintos. 00:37:37

Los límites y los valores reales son cosas
distintas, conceptualmente distintas. 00:37:43

Vamos a hablar de dos conceptos muy
particulares. 00:37:49

El primero es el infinito y el segundo es
el infinitesimal. 00:37:56

Bien, en el infinito, lo veíamos antes,
esa pequeña introducción del texto de 00:37:59

Aristóteles, es el elemento que es
potencialmente mayor que cualquier número, 00:38:03

pero que tiene un valor real concreto,
no existen actos. 00:38:09

En los libros de texto, en los libros
académicos, generalmente, cuando se hace 00:38:12

este inciso y empieza a manejar ya el
infinito, pues en los límites, 00:38:15

sobre todo en el cálculo de límites o en
funciones, cuando hacemos el dominio, 00:38:20

este tipo de cosas, a partir de ahí,
asumar la patita al infinito, más allá del 00:38:25

concepto general, que se tiene a lo mejor,
que puede tener cualquier niño pequeño, 00:38:30

cualquier persona, y esto es infinito,
todo el mundo tiene en su cabeza una idea 00:38:33

así, bueno, más o menos básica,
más o menos práctica de lo que es 00:38:38

infinito, pero ya cuando lo manejamos
matemáticamente, empieza a ver los 00:38:41

primeros problemas, ¿de acuerdo? 00:38:44

porque la definición tiene su complejidad,
¿de acuerdo? 00:38:46

Entonces, los libros, generalmente,
lo que hacen es escudarse o no escudarse, 00:38:53

decir lo que no es. 00:38:58

Hay una pequeña reseña generalmente,
pueden ver una pequeña reseña en el libro 00:39:00

y dicen, ojo, cuidado, el infinito no es
un valor real, con lo cual ciertas 00:39:02

operaciones no se pueden efectuar como se
hacen con los números reales. 00:39:07

Por ejemplo, infinito entre infinito es
una determinación, no es igual a uno. 00:39:10

Y aquí ya empiezan los estudiantes más
movidos a decir, ojo, pero por qué no es 00:39:14

igual a uno, no lo entiendo, son dos cosas
iguales, pues la división es igual a uno, 00:39:18

no es indeterminación, porque es que hay
infinitos malandres que otros, 00:39:22

o un fin, hay un montón de argumentaciones
que no acaban de convencer, porque se 00:39:25

pierde de vista, volvemos a lo de antes,
que estamos hablando de a veces de acto, 00:39:30

cuando hablamos de números reales,
entonces de potencialidad. 00:39:35

Bien, pues el infinito es un elemento
bastante curioso, porque es un elemento 00:39:38

que no existe en acto, pero que solo
existe de forma potencial. 00:39:42

Antes decíamos que la realidad tenía dos
caras, el acto, el estudiante, 00:39:47

por ejemplo, que está estudiando,
que es estudiante de cuarto de la ESO, 00:39:51

primero, segundo axidato, tercero de
carrera, y el potencial, que es cuando sea 00:39:55

médico. 00:40:00

En la mayoría de los elementos que
manejamos en la realidad, por no decir 00:40:04

todos, tienen un aspecto, en su esencia
tiene ese aspecto en acto, y el otro es la 00:40:10

potencialidad, ¿de acuerdo? 00:40:18

¿Qué pasa con el infinito? 00:40:21

El infinito es algo que no existe,
solo existe su cara de potencial. 00:40:22

Es como si no existiera ese estudiante,
de acuerdo, como si no existiera, 00:40:28

y solo existiera un potencial abogado. 00:40:33

¿De dónde va a salir? 00:40:36

Bueno, es que realmente nunca llega a
salir de ninguna parte, existe solamente 00:40:39

la potencialidad. 00:40:43

En esto, que en una persona concreta es un
asurdo, porque no puede haber un abogado 00:40:45

potencial, sin haber antes un estudiante
en acto, obviamente, pero matemáticamente, 00:40:49

con el infinito, sí puede existir. 00:40:54

Es decir, estamos manejando un concepto
que no tiene valor real, no existe en 00:40:57

acto, y solo existe esa cara potencial. 00:41:02

Bien. 00:41:05

Por lo cual, eso lo comentamos,
solo existe de forma potencial. 00:41:08

No está dentro del dominio de los números
reales, porque todos los números reales 00:41:14

existen en acto, el 2, el 3, el infinito,
de los 3 millones, 1.000.000 4001, 00:41:19

el 0,000,000,0001. 00:41:25

Todos esos números reales existen en acto,
pero el infinito, no. 00:41:28

Y cuando lo expresamos con ese símbolo
estamos expresando esa potencialidad. 00:41:34

De hecho, en el ejemplo anterior lo vemos. 00:41:42

Cuando x potencialmente tiende infinito,
es potencialmente infinito. 00:41:48

Porque como infinito es un potencial,
yo puedo ser algo potencialmente. 00:41:56

De hecho, en este caso se puso una cosa
bastante curiosa. 00:42:02

Es decir, x en acto será el valor real que
yo quiera que sea. 00:42:05

1, 2, 3, 5, 10 y luego potencialmente será
infinito. 00:42:08

Esa es la característica de la variable. 00:42:14

Potencialmente puede ser infinito o puede
ser en otro mundo real. 00:42:18

Potencialmente puede ser el 3 millones,
perfectamente. 00:42:21

Pero el hecho de que x tiende infinito en
el hecho de que x potencialmente sea un 00:42:24

potencial no va en contra del concepto de
acuerdo. 00:42:28

No es una contradicción. 00:42:33

Sería una contradicción por ejemplo de
decir que 5 tiende infinito. 00:42:36

5 jamás. 00:42:39

Poder atender a infinito jamás podrá ser
potencialmente infinito. 00:42:40

El 5 es un modo real y solamente podrá ser
5. 00:42:43

En acto es 5 y potencialmente es 5. 00:42:46

Coinciden, en este caso, las dos cosas. 00:42:49

Porque no puede ser otra cosa. 00:42:51

La variable como si un verdica es variable
y puede ser varias cosas. 00:42:52

Como decimos aquí, el límite
potencialmente es 0. 00:42:56

Cuando x va para acá, potencialmente es
infinito. 00:43:04

El límite es 0. 00:43:07

Aquí nos encontramos otra cosa curiosa. 00:43:09

Es este 0. 00:43:12

El 0 puede ser un número real. 00:43:13

Podemos utilizarlo como un número real. 00:43:16

Un 0 por 5 es 0. 00:43:19

0 más 1 es 0. 00:43:23

O como un número potencial. 00:43:25

En este caso, sería un concepto potencial. 00:43:28

Porque estamos hablando de que el límite
de f de x, si lo vas a devuelar, 00:43:31

no lo puedes devuelar. 00:43:34

Potencialmente tiende a 0. 00:43:36

Si lo des cuenta, nunca va a llegar a 0. 00:43:38

Aquí estaríamos hablando de este valor de
aquí. 00:43:41

Que se cae más y más y más pequeño. 00:43:44

Estaríamos hablando de un concepto
potencial. 00:43:47

Bien, ese concepto potencial, va
haciéndose cada vez más pequeño, 00:43:53

más pequeño, más pequeño, hasta llegar a
ser casi 0. 00:44:01

Es el concepto infinitesimo, más pequeño
que cualquier número real excepto el 0. 00:44:07

Esta distancia se va haciendo cada vez más
pequeña, más pequeña, más pequeña. 00:44:14

Pero nunca llegase a 0. 00:44:18

De tal manera que ese límite de f de x,
cuando x tiene infinito, es lo que podemos 00:44:20

llamar diferencial. 00:44:25

Cuando hablamos de diferencial
infinitesimo, estamos hablando del mismo 00:44:27

concepto, se lo podemos llamar de base de
banderas. 00:44:33

Desde el punto de vista de la ingeniería,
siempre se llaman diferenciales. 00:44:36

Cuando hablamos de coger un diferencial,
es un alento infinitalmente pequeño. 00:44:40

Potencialmente 0. 00:44:45

Si estamos cogiendo, por ejemplo,
un diferencial en el eje x, se escribe con 00:44:48

esta notación, diferencial de x,
un alento infinital de pequeño, 00:44:52

aquí. 00:44:56

Eso es un diferencial de x. 00:44:57

Si lo cogemos en el eje y, estaríamos
hablando de un diferencial de y. 00:44:58

Si cogemos, por ejemplo, estamos hablando
de geometría y lo cogemos es un área 00:45:05

potencialmente 0, sería un diferencial de
área. 00:45:09

Un diferencial generalmente de volumen,
son de ese tipo de conceptos geométricos. 00:45:12

El diferencial tiene esa característica en
común con el infinito. 00:45:22

Es potencialmente 0 porque no tiene ningún
valor real concreto. 00:45:28

¿De acuerdo? 00:45:33

No existe. 00:45:34

No existe de manera real. 00:45:35

Solo existe como ser, modo de ser. 00:45:37

Solo existe en potencialidad. 00:45:40

¿De acuerdo? 00:45:43

Ya veremos que también le da una ventaja
muy grande a la hora de hacer ciertas 00:45:44

operaciones matemáticas. 00:45:48

Bueno, pues mira, aquí tenemos la paradoja
de la cuerda. 00:45:51

¿Os acordáis de ella? 00:45:54

Hacemos un peño de resumen. 00:45:56

Cortamos una cuerda en invitos trozos. 00:45:58

¿De acuerdo? 00:45:59

El truco tenía una paradoja donde había un
cierto truco. 00:46:00

En primer lugar, planteamos una
proposición matemática. 00:46:04

Es decir, si sumamos números pequeños 0,1
más 0,1 más 0,1 muchas veces de manera 00:46:08

infinita nos da un valor infinito. 00:46:16

Si bajamos ese número, cogemos un 1 más
pequeño 0,000001 más 0,0001, así mil 00:46:17

quintas veces también nos daría infinito. 00:46:23

Bueno, si cogemos un valor real muy
pequeño el que queramos, tan pequeño como 00:46:25

queramos si lo sumamos infinitas 20,
infinitas veces a final obtendremos el 00:46:30

infinito. 00:46:35

¿De acuerdo? 00:46:36

Eso sería el primer presupuesto con el que
afrontaríamos este problema. 00:46:36

Luego cogemos la cuerda y lo que haríamos
sería cortar la cuerda en infinitos 00:46:41

trozos. 00:46:45

¿De acuerdo? 00:46:46

Cortamos la cuerda en infinitos trozos un
montón para obtener un montóncito con 00:46:48

infinitos trozos de la cuerda. 00:46:56

¿Bien? 00:46:58

Porque hemos cortado infinitos trozos con
lo cual tenemos un montón. 00:46:59

Si ahora cogemos estos trozos y los
ponemos uno al lado de otro pan, 00:47:02

pan, como son infinitos y haciendo uso del
presupuesto inicial que ya hemos hecho que 00:47:08

la suma de infinitos números por muy
pequeños que sean de infinito pues esto 00:47:12

nos daría curiosamente una longitud
infinita de cuerda. 00:47:20

Ya sabemos que es asurdo. 00:47:25

¿Bien? 00:47:27

Porque una cuerda finita de un metro lo
podemos sacar una cuerda por mucho que la 00:47:27

cortes y luego no puede sacar una cuerda
de longitud infinita. 00:47:32

La cuestión no es tanto saber la solución
del problema sino saber dónde falla el 00:47:36

razonamiento. 00:47:39

Este razonamiento falla porque lo que
hacemos es mezclar el plano de la 00:47:40

actualidad de los números reales con el
plano de la potencialidad. 00:47:47

¿Bien? 00:47:51

Punto número uno. 00:47:52

No podemos cortar la cuerda en infinitos
trozos reales. 00:47:53

¿De acuerdo? 00:47:57

No la puedo cortar. 00:47:57

Yo no puedo cortar la cuerda en infinitos
trozos. 00:47:59

La puedo cortar en 3 millones de trozos en
5 millones de trozos. 00:48:00

En 20.000 millones de trozos. 00:48:04

Pero no en infinitos trozos. 00:48:06

Sin embargo, potencialmente se pueden
cortar en infinitos trozos. 00:48:08

Potencialmente. 00:48:13

Yo me voy a cortar y yo digo uno. 00:48:14

Si yo sigo cortando, potencialmente tendré
infinitos trozos. 00:48:17

¿De acuerdo? 00:48:21

Distinguimos el hecho real del hecho
potencial de la piedad del acto, 00:48:23

de la potencialidad. 00:48:28

Decíamos antes pues que si un brote de un
árbol en este caso sería un arbolito 00:48:30

pequeñito en acto y que potencialmente
podría ser un árbol mayor lo veíamos tan 00:48:36

bien como la función el hecho de que
potencialmente pueda ser algo no significa 00:48:41

que lo vayas en algún día. 00:48:45

Si ese arbolito llega a los dos días,
llega a alguien, lo pisa, lo corta y se 00:48:46

carga el brote, pues se acabó el árbol y
ya la potencialidad pues se queda 00:48:51

simplemente en media potencialidad. 00:48:55

¿De acuerdo? 00:48:56

Pues aquí es algo más o menos similar. 00:48:56

Sólo que en este caso jamás de ninguna de
las maneras esa potencialidad podría ser 00:48:59

en acto. 00:49:04

Es decir, no podríamos cortar nunca la
cuerda ni infinitos trozos. 00:49:04

Pero la potencialidad existe. 00:49:07

El hecho de que la potencialidad no pueda
ser en algún momento un número real no 00:49:08

significa que esa potencialidad no siga
existiendo como potencialidad. 00:49:13

Lo veíamos tan antes en las funciones. 00:49:16

Lo veíamos aquí de manera muy clarita. 00:49:18

Buscamos, buscamos. 00:49:28

En el tema de las funciones... 00:49:30

Lo veíamos aquí en esta diapositiva. 00:49:35

En este caso el límite, es decir,
la potencialidad de f de x coincide con el 00:49:38

número real, pero en este caso no. 00:49:43

Existe la potencialidad, existe el límite,
existe la tendencia de x igual a 1 pero el 00:49:46

número real no existe. 00:49:51

¿De acuerdo? 00:49:52

Pues lo mismo de antes. 00:49:54

No confundamos el plano real con el plano
de la potencialidad. 00:49:55

Pues aquí lo mismo. 00:50:00

No podemos confundir el hecho de que no lo
puedo cortar. 00:50:01

La cuerda no la puedo cortar en infinitos
trozos con el hecho de que potencialmente 00:50:07

pueda cortarla. 00:50:11

Pues esto es lo curioso. 00:50:12

Potencialmente la puedo cortar en
infinitos trozos. 00:50:13

Entonces potencialmente la puedo cortar en
infinitos trozos. 00:50:15

¿Y esos trozos qué son? 00:50:18

¿Qué son? 00:50:20

¿De acuerdo? 00:50:21

Pues esos trozos serán potencialmente
infinitosimos. 00:50:22

Yo corto potencialmente la cuerda en
infinitos trozos y cada uno de esos trozos 00:50:27

no son trozos reales. 00:50:31

Son potencialmente trozos que
potencialmente tienden a tener una 00:50:32

longitud cero. 00:50:36

¿Bien? 00:50:38

Ya estamos hablando siempre del plano
potencial. 00:50:40

Siempre en lo que tiende no del plano
real. 00:50:42

¿De acuerdo? 00:50:45

Y aquí llega la cosa curiosa. 00:50:46

La suma de infinitos números reales es
siempre infinito en lo que planteábamos 00:50:48

antes. 00:50:51

Yo sumo por un pequeño que sea el número
lo sumo de manera infinita y nos da 00:50:52

infinito. 00:50:55

¿De acuerdo? 00:50:56

Ojo, la suma potencial. 00:50:59

Es decir, jamás podré sumar infinitos
números. 00:51:01

¿De acuerdo? 00:51:04

Y la suma de infinitos infinites animales
puede ser infinito o no. 00:51:08

¿Bien? 00:51:13

Imaginemos que tenemos esta cuerda que
mide dos metros. 00:51:13

¿De acuerdo? 00:51:16

La cortamos en infinitos infinites
animales. 00:51:17

Pues si yo sumase todos esos infinites
animales que tengo que sí, que son 00:51:21

potencialmente cero, etc., pero yo puedo
sumar potencialmente, puedo sumar dos 00:51:26

infinites animales. 00:51:31

Es una operación que logremos más
adelante, que se puede realizar. 00:51:32

¿De acuerdo? 00:51:35

Si lo sumo, pues al final toda la longitud
de esos infinitos infinites animales 00:51:35

debería igual a la longitud de la cuerda. 00:51:40

Un metro, dos metros, lo que fuera. 00:51:42

Pero si la cuerda fuera infinita yo
también la podría dividir en infinitos 00:51:44

trozos. 00:51:47

¿De acuerdo? 00:51:48

Potencialmente. 00:51:49

¿Bien? 00:51:50

Y tendría también infinitos infinites
animales. 00:51:51

En ese caso, si lo sumase todos pues la
suma de infinitos infinites animales me 00:51:54

daría infinito. 00:51:59

Porque la cuerda original tiene un valor
infinito. 00:52:00

¿De acuerdo? 00:52:02

De donde los hemos obtenido era infinito. 00:52:03

Así que la suma de los infinites animales
puede ser un valor finito o puede ser un 00:52:05

valor infinito. 00:52:10

¿De acuerdo? 00:52:11

Es un tema también bastante curioso. 00:52:12

Bueno, pues ya entramos teniendo ya la
base de los conceptos de lo que es 00:52:15

infinitesimal y lo que es el infinito y lo
que son los planos de los números reales 00:52:19

del plano de la potencialidad entonces
entramos ya en lo que es la derivada. 00:52:26

¿Bien? 00:52:31

Bueno, pues nos acordamos cuando
estudiamos las rectas aquí tenemos la 00:52:32

ecuación explícita de la recta mx más n
¿De acuerdo? 00:52:36

Siendo m la pendiente nos acordamos este
concepto muy importante de la pendiente 00:52:41

¿De acuerdo? 00:52:44

La pendiente en la tasa de cambio es decir
lo que varía y cuando varía x ¿De acuerdo? 00:52:48

Si ax la movemos una unidad con la
pendiente que tenga la recta pues el valor 00:52:55

y pues que es esto variará 00:53:02

mx ¿De acuerdo? 00:53:08

bien eso es es muy sencillo, es la tasa de
cambio ¿De acuerdo? 00:53:09

es lo que varía lo que varía lo que varía
el valor de i en función del valor de x 00:53:20

¿Bien? 00:53:28

¿Qué pasa con las curvas? 00:53:29

En la recta el valor de la pendiente
siempre el mismo es constante en todos sus 00:53:31

puntos con lo cual no hay ningún problema
¿Pero qué pasa con las curvas? 00:53:35

En las curvas tenemos un problema y es que
cada uno de sus puntos tiene una pendiente 00:53:39

distinta ¿Cuál es la pendiente de cada uno
de estos puntos en la curva? 00:53:45

Pues coincide con el valor de la pendiente
de su recta de la gente en ese punto ¿De 00:53:52

acuerdo? 00:53:56

De tal manera que aquí lo que tenemos es
que la pendiente en este punto es igual al 00:53:57

incremento de i entre el incremento de x y
coincide con el valor de la pendiente de 00:54:04

la recta de la gente con el valor de la
curva en este punto y solo en este punto 00:54:09

¿Bien? 00:54:14

¿No hubo aquí un inciso? 00:54:15

Porque a lo mejor esto no se ha visto
nunca incremento va... 00:54:16

incremento es decir delta es la letra
delta de los griegos y significa 00:54:20

incremento ¿Qué significa incremento? 00:54:24

Incremento es lo que varía viene a ser x1
menos x0 x1 y x0 son dos valores ¿De 00:54:26

acuerdo? 00:54:34

pues aquí sería x1 estaría aquí de acuerdo
sería este lado y x0 sería esto y esto es 00:54:35

el incremento lo que incrementa,
bien es bastante sencillo ¿De acuerdo? 00:54:40

pues la pendiente es justamente eso
incremento pues aquí arriba el incremento 00:54:45

de i es esto y el incremento de x es esto
de aquí ¿Vale? 00:54:50

fenomenal vamos a ver entonces hemos visto
cómo se llama la pendiente de una recta 00:54:56

muy sencillo pero vamos a ver cómo se
llama la pendiente de una curva a ver si 00:55:01

es tan sencillo bien la pendiente de una
curva no hay manera de obtenerla de forma 00:55:03

directa es decir tengo una curva que puede
ser por ejemplo y igual a x al cuadrado 00:55:11

vaya pues de aquí Aquí, ya teníamos antes
también la ecuación explíta de la recta, 00:55:18

cogíamos el valor de M y el valor de la
pendiente, pero de aquí no podemos obtener 00:55:24

absolutamente nada. 00:55:28

No hay ningún valor, no hay un M ahí
puesto del cual podamos sacar el valor de 00:55:29

la pendiente. 00:55:33

Así, a bote pronto, de acuerdo,
se nos puede ocurrir hacer una pequeña 00:55:34

añapa. 00:55:38

Y es que bueno, cojo dos puntitos de la
curva, los uno mediante una recta, 00:55:39

halló el valor de la pendiente de la
recta, que sería esto de aquí, 00:55:46

de acuerdo, y lo asimilo al valor de la
pendiente de la curva, donde, bueno, 00:55:51

sería una aproximación, de acuerdo,
porque como vemos, ni en este punto, 00:55:59

en este punto de aquí, en este punto de
aquí, de acuerdo, ninguno de estos puntos, 00:56:06

su pendiente coincide con la pendiente de
la recta, porque si hubiera coincidido, 00:56:10

entonces la recta en este punto,
en este punto, sería tan gente, 00:56:15

y vemos que no es tan gente, esta recta es
secante, de acuerdo. 00:56:19

Pero bueno, nos puede seguir con la
aproximación para este punto de aquí, 00:56:24

para el punto medio, una buena
aproximación, pero es que yo no quiero 00:56:27

aproximaciones. 00:56:30

Yo lo que quiero es el valor real de la
pendiente en cada punto, porque la 00:56:32

aproximación, al final, es sinónimo de
error, aceptar un error pequeño o grande, 00:56:39

pero hay que aceptarlo. 00:56:44

No, yo quiero el valor exacto de la
pendiente en cada punto de la curva. 00:56:46

Bueno, ¿cómo lo hacemos? 00:56:52

Bien, pues entonces lo que ponéis haciendo
es lo que vemos aquí en la animación. 00:56:54

Bueno, pues cojo los dos puntos,
cojo la recta secante que empieza aquí 00:56:58

arriba, verdad, y los voy juntando,
los voy juntando, los voy juntando, 00:57:03

los voy juntando, hasta que los dos puntos
coincidan, de acuerdo, la distancia entre 00:57:06

los dos puntos se acero. 00:57:12

De esta forma, vamos reduciendo los
valores, tanto del incremento de i como 00:57:14

del incremento de x, lo llamamos
reduciendo que lo que hemos visto antes. 00:57:19

Bien, acordaos, esto es incremento de i,
que es, eso es incremento de i, 00:57:26

de acuerdo, vamos reduciendo esos valores. 00:57:29

Y nuestro objetivo es hayar una recta que
sea tan gente en el punto p, en este caso, 00:57:35

hayar su pendiente, de acuerdo,
que sería esto. 00:57:42

Y ya está, el problema resuelto. 00:57:49

¿Qué pasa? 00:57:51

Que según vamos bajando, vamos bajando,
vamos bajando, vamos aproximando, 00:57:52

vamos teniendo una recta que cada vez se
parece más arretada en gente, en el punto 00:57:56

p, en esta curva. 00:58:04

Y vamos, vamos, vamos bajando,
el incremento de i, que es bajando, 00:58:06

bajando, bajando, bajando, es justo cuando
los dos puntos se unen, tenemos que el 00:58:09

incremento de i es cero, el incremento de
x es cero. 00:58:15

O sea, nos queda esto. 00:58:17

Una indeterminación, que no podemos
resolver, porque traer un tercero es 00:58:21

indeterminación, de acuerdo, puede ser
cualquier cosa. 00:58:25

No nos vale los números reales para
calcular la pendiente de la recta de gente 00:58:29

en un punto de la curva. 00:58:37

No nos vale, es una herramienta que tiene
sus limitaciones. 00:58:40

Es como esa llave inglesa, que cuando la
que vamos a meter en un hueco o pares de 00:58:43

tornear una tuerca, pues no entra,
es muy grande y no entra, pues aquí pasa 00:58:47

lo mismo, de acuerdo. 00:58:52

Llega a un punto en el que nos da cero en
tercero y no podemos. 00:58:53

Entonces, ¿cómo lo podemos hacer? 00:58:57

Para resolver este problema, recurrimos a
los infinitesimales, de acuerdo, 00:59:02

recurrimos al infinitesimal. 00:59:06

Es decir, lo vamos a calcular de una forma
indirecta. 00:59:09

Yo no puedo calcular de forma directa la
pendiente en un punto, en este punto. 00:59:13

No lo puedo, ya hemos visto, cuando uno es
reales no nos funciona, pero vamos a 00:59:16

hacerlo de forma potencial, ¿vale? 00:59:20

de forma indirecta. 00:59:22

Vamos a ver si lo podemos engañar al
problema. 00:59:23

Bien, si hallamos o la ecuación,
o nos planteamos la ecuación de la recta, 00:59:27

bueno, pues el álgebra de este problema
nos sale que la pendiente de la recta es 00:59:33

igual a f de x, más h, es decir,
esta distancia que seguía esto, 00:59:39

vale, menos f de x, que es esto,
es decir, porque al final lo que nos 00:59:48

interesa es el incremento que es esto de
aquí, de acuerdo, pues eso, menos esto. 00:59:51

Bien, partido de h, que h sigues el
incremento de x, vale, sin ninguna duda. 00:59:55

Bien, sería esta distancia de aquí. 01:00:02

Dejamos el incremento de y, que es esto de
aquí, entre el incremento de x. 01:00:05

El incremento de y es esta distancia de la
bandota, bien, esto de aquí, que es f de 01:00:10

x, más h, menos esto de aquí, de acuerdo,
esto de aquí. 01:00:16

Vale, fenomenal. 01:00:20

Pues ya tenemos la ecuación. 01:00:22

Si tuviéramos la tentación de resolver
esto, poniendo directamente que h es igual 01:00:24

a cero, es decir, otra vez utilizando los
números reales, igual, bueno, pues esto, 01:00:29

ya tenemos la fórmula de la recta,
bueno, pues algo x igual a cero y ya está, 01:00:34

ya no salga al valor. 01:00:38

Y efectivamente, si ponemos h igual a
cero, nos sale f de x, más cero, 01:00:39

menos f de x, partido por cero,
eso saldría f de x, menos f de x, 01:00:43

que es igual a cero, y cero entre cero,
otra vez, la misma indeterminación. 01:00:49

Esto, obviamente, no lo valdría. 01:00:54

Pero, ojito, sin lugar de utilizar un
número real, h igual a cero, lo expresamos 01:00:56

de forma potencial, h tiende a cero y
convertimos a h en un infinitésimo, 01:01:01

es decir, en un dh, de acuerdo,
un diferencial de h, bien, algo que tiende 01:01:08

a cero, pero que no es cero, algo muy
pequeñito, muy pequeñito, pero no es cero, 01:01:12

es potencialmente cero, pues no lo ves. 01:01:15

Bueno, pues ya es algo, ya tiene una
entidad, porque cero no tiene entidad, 01:01:17

cero, aquí esto cero de aquí es cero,
punto. 01:01:19

Pero otro día tiene una entidad,
no es cero, así que no lo podemos manejar 01:01:22

como cero, vale, es algo. 01:01:25

Es muy pequeñito, sí, pero es algo. 01:01:27

Bien, pues fenomenal, plantemos el
problema diciendo bien, solo se calcula la 01:01:29

pendiente de una recta secante,
signito dos puntos, vale, y no puedo 01:01:33

hallar si los dos puntos de la recta
secante coinciden, hasta que estamos de 01:01:37

acuerdo. 01:01:41

Bueno, pues no me digas el valor real de
la pendiente cuando los dos puntos 01:01:42

coinciden. 01:01:46

Dime potencialmente que pendiente
tendríamos si la distancia entre esos dos 01:01:47

puntos tendiese a cero. 01:01:53

Si tengo dos puntos, si los voy juntando
poco a poco, poco a poco, poco a poco, 01:01:55

sin juntarlos nunca, a decir, muy bien de
la tendencia, la potencialidad, 01:01:58

qué pendiente, a qué pendiente tendríamos,
¿de acuerdo? 01:02:03

¿Cuál sería el valor límite de esa
pendiente si la distancia entre los dos 01:02:06

puntos es un diferencial? 01:02:09

¿Vale? 01:02:12

Bien, pues entonces hacemos ya la
operación matemática, dijimos que esa 01:02:13

pendiente es una pendiente potencial,
en vez de la recta es una pendiente 01:02:16

potencial, por eso ponemos un límite,
¿de acuerdo? 01:02:19

Esto no es un valor real, ponemos un
límite y un h que tiende a cero y 01:02:22

funcionamos. 01:02:25

En este caso vamos a calcularnos el límite
de una función concreta, por ejemplo f de 01:02:27

x igual a x al cuadrado. 01:02:35

¿Por qué? 01:02:38

Porque cada función va a tener una
derivada distinta, no es lo mismo en las 01:02:38

derivadas de una función tal que así,
que de una función que haga esto o que una 01:02:43

función no se engana, no sé cómo es de la,
por aquí o de la cuerda o de ese estilo. 01:02:48

Cada uno de estas funciones va a tener un
valor distinto, pero vamos a plantear la 01:02:53

versión matemática fibraica. 01:02:58

Bien, f, lo mismo de antes, f de x más h,
menos f de x partido por h, teniendo que h 01:03:00

es un diferencial, aquí, aquí me he
cortado un poquito para tener la tentación 01:03:08

de sustituir este dh por un dh,
como hemos puesto aquí antes de acuerdo, 01:03:14

por esta temperatura, el dh se usa mucho
en ingeniería y en física, en matemáticas, 01:03:20

no. 01:03:26

Pero hay que tener en cuenta que aunque
pongo aquí h, aunque aquí ponga h, 01:03:28

esto es un infinito simal, no es un valor
real. 01:03:32

Bien, por tradición matemática se pone h,
no se pone dh, entonces no lo voy a poner 01:03:35

yo, porque a lo mejor le haría un poquito
más, pero hay que tener que este valor ya 01:03:40

aquí es un diferencial, este h y este h
son diferenciales. 01:03:44

Sin embargo, esta x y esta otra x al
cuadrado son variables que pueden ser un 01:03:48

valor potencial con infinito, pero también
pueden ser para los reales, y de hecho, 01:03:55

nos interesa el valor real porque queremos
calcular la pendiente, ojo, no nos 01:03:59

despistemos de eso de acuerdo. 01:04:06

Estamos aquí y se usáis cuenta en esta
operación matemática, es muy delicada, 01:04:07

porque estamos mezclando el plano de
potencial con el valor real, de acuerdo? 01:04:12

En cierto modo, es como si dijéramos,
vamos a ver. 01:04:17

Quiero averiguar el dinero que,
no sé, que voy a tener dentro de unos 01:04:22

años. 01:04:29

Entonces voy a sumar el dinero que tengo
ahora, el dinero real que tengo ahora 01:04:30

ahorrado, con el dinero que potencialmente
ganaría si yo hiciera, no sé qué, 01:04:34

y tal. 01:04:40

Verdad, suena peligroso, suena como un un
cuento un poco fantástico, pues aquí, 01:04:41

aquí nos pasa algo parecido. 01:04:48

De acuerdo, hay que tener mucho cuidado al
manejar esto. 01:04:50

De hecho, ya veis algún problema de
cálculo de derivadas, y esto no es tan 01:04:53

sencillo como hacer una operación
matemática. 01:05:00

Cuando hagáis ya, o cuando se,
también se hacen los cálculos de los 01:05:02

límites, en primer lugar, de bachillerato,
pues se aprende un montón de triquiñuelas, 01:05:06

de truquitos, de álgebra, para poder
llegar, con éxito, a calcular los valores 01:05:12

límites, porque casi siempre, cuando uno
resuelve el valor límite de forma directa, 01:05:19

como aquí arriba, de acuerdo, como vemos
aquí, muchas veces nos sale una 01:05:23

interminación, y eso hay que esquivarlo. 01:05:28

En este caso, bueno, pues, hacemos la
operación algebraica x más h al cuadrado 01:05:31

es x al cuadrado más x al cuadrado más
2xh, menos x al cuadrado, bien, 01:05:36

no voy a decidir mucho en el cálculo
algebraico, me lo he dicho, meramente he 01:05:41

dicho, h al cuadrado es diferencial por
diferencial, bien, esto lo podemos 01:05:46

eliminar, despreciar, de acuerdo,
porque va a tender a cero, y si está 01:05:52

multiplicado por sí mismo al cuadrado,
con más fuerza, de acuerdo, con una 01:05:58

potencialidad mayor, esto, x se va con
esta x al cuadrado, se nos va, 01:06:02

y al final nos queda 2xh partido por h. 01:06:07

Nos quitamos de en medio los dos
diferenciales, y nos queda la variable 01:06:12

multiplicada por 2, genial, hemos hallado
la derivada, la función derivada de la 01:06:17

función f de x, es decir, que para todos
los puntos de la función f de x, 01:06:24

el valor de su derivada es 2x,
para x igual a 1, el valor de la función 01:06:29

es igual a 1 al cuadrado igual a 1,
y su derivada sería 2, y así 01:06:36

sucesivamente, bien. 01:06:40

Bueno, bien, no, porque ya me he salto
todo un paso. 01:06:44

Esto sería, como he visto antes,
el valor potencial, no nos olvidemos, 01:06:48

estamos hablando de un límite,
estamos hablando de límite, con lo cual, 01:06:53

esto, hasta este punto, hasta este
momento, es un valor potencial, 01:06:57

es decir, el problema que hemos planteado
antes, es decir, a qué valor tendría la 01:07:02

pendiente, si la distancia entre los dos
puntos de la arrastra secante va a cero, 01:07:07

el valor al que tendrías la pendiente es
2x, un valor potencial, pero bueno, 01:07:15

si sin lo de antes, yo quiero valores
reales, quiero valores que pueda manejar, 01:07:21

quitarme el engorro, la potencialidad,
así de estas historias. 01:07:27

Entonces, ¿qué hago yo con esto ahora? 01:07:31

¿De acuerdo? 01:07:34

Volvemos a lo de antes, es decir,
este, en vez de la recta, tendría un valor 01:07:34

potencial que sería 2x, ¿de acuerdo? 01:07:40

Bien, y aquí, insisto, en esta frase,
hay que recordar que esto sigue siendo un 01:07:44

límite, ¿de acuerdo? 01:07:47

Bien, pero que nunca llegamos,
es potencial. 01:07:48

Entonces, ¿cómo relacionarlo con la
pendiente real en cada punto de la 01:07:50

función? 01:07:54

No me interesa saber cuando x tiende a 1. 01:07:55

No me interesa saber la pendiente cuando x
tiende a 1, no me interesa saber la 01:07:58

pendiente cuando x es igual a 1,
¿de acuerdo? 01:08:01

Eso es lo que yo estoy buscando. 01:08:04

Bien, pues aquí viene lo bueno,
como pongo aquí. 01:08:06

Si se cumplen al igual que cuando hallamos
el límite de una función, ¿de acuerdo? 01:08:08

Valores puntuales, cuando queremos dar las
pendientes en cada punto de la función, 01:08:13

bien, si se cumplen algunas condiciones,
continuan a hacer algunas puntuales, 01:08:19

aquí no voy a entrar al mismo. 01:08:22

El valor límite de la pendiente coincide
con el valor real, ¿de acuerdo? 01:08:24

Al igual que antes, como veíamos en la
anterior función, ¿de acuerdo? 01:08:29

Voy a volver a ponerlo aquí. 01:08:33

¿Dónde lo tenía? 01:08:37

¿Dónde está? 01:08:39

Aquí está. 01:08:40

Al igual que en este ejemplo, cuando se
cumplen ciertas cartesticas, como por 01:08:41

ejemplo la continuidad, el límite,
cuando es igual a 1, coincide, 01:08:45

¿vale? 01:08:50

Este límite coincide, que no es lo mismo,
¿de acuerdo? 01:08:51

Bueno, coincide, no es lo mismo,
pero coincide con el valor real. 01:08:54

Bien, y es una verdad indirecta de
allargo. 01:08:58

Si coincide, pues es que el valor real
también vale eso, ¿de acuerdo? 01:09:00

Pues con la derivada pasa tres cuartos de
lo mismo. 01:09:04

Tenemos... 01:09:07

Se cumplen ciertas condiciones,
a ver dónde estábamos, aquí. 01:09:08

Si se cumplen ciertas condiciones,
entonces, esto de aquí coincide con la 01:09:13

pendiente de la función. 01:09:19

En este caso, como se llama función 2x,
pues podemos buscar la pendiente de cada 01:09:21

función en todos los puntos de la función. 01:09:25

¿Cuando no valdría? 01:09:28

¿O cuando no coincidiría este límite con
la derivada real de la función? 01:09:30

Pues, por ejemplo, en estos casos,
como este, donde la función no existe, 01:09:36

pues la derivada en el punto x igual a 1
no existe. 01:09:41

¿Por qué no hay función? 01:09:45

Entonces, el límite de la derivada,
¿verdad? 01:09:46

El límite de la pendiente en ese punto nos
daría este valor, pero no coincide con el 01:09:51

valor real porque en este punto no hay
función y si no hay función no hay 01:09:58

derivada. 01:10:02

¿De acuerdo? 01:10:02

No existe. 01:10:03

Y también tendríamos estos casos de aquí. 01:10:03

Casos donde pues la recta hace... 01:10:06

tiene una... 01:10:12

forma de estas firmas puntuagudas,
etc. 01:10:15

Eso es un problema. 01:10:19

También de acuerdo a esto, aquí aquí
tampoco coincide este límite con el valor 01:10:20

real. 01:10:26

En todos los casos porque en este punto no
hay derivada. 01:10:27

Cualquier recta con cualquier pendiente
que pase por este punto nos podría 01:10:30

servir... 01:10:36

realmente no se ve ninguna. 01:10:38

¿De acuerdo? 01:10:40

No voy aquí a liar la madeja. 01:10:40

Aquí no hay derivada. 01:10:42

¿Bien? 01:10:43

El límite entonces no coincide con la
derivada de la función porque no hay 01:10:44

derivada tampoco. 01:10:48

¿Vale? 01:10:49

Son esos casos excepcionales. 01:10:49

Bueno, casos excepcionales son casos
atípicos, pero en cualquier función que 01:10:51

sea continua y que cumpla con ese tipo de
características pues que son muchísimas 01:10:55

nos vale de acuerdo, calculamos la
derivada de la función utilizando 01:11:02

infinitesimales. 01:11:06

¿Qué aplicaciones tiene esto? 01:11:07

Pues tiene un montón. 01:11:09

Sobre todo, como he dicho antes supuso un
avance importantísimo en física. 01:11:11

¿Bien? 01:11:15

Bueno, pues ya en cualquier campo sin nada
que usar la derivación para conocer la 01:11:17

tasa de cambio de f de x respecto de x
pues también nos vale. 01:11:20

Por ejemplo, en el caso del momento
uniformemente acelerado pues en el momento 01:11:26

que tenemos un desplazamiento según x
tenemos una función f de x que marca ese 01:11:32

desplazamiento su velocidad sería la
derivada es igual a derivada de x respecto 01:11:38

al tiempo y la aceleración sería a su vez
la derivada de la velocidad. 01:11:43

Por ejemplo, si tenemos la fórmula del
momento uniformemente acelerado que no 01:11:47

sale que la derivada es la derivada
derivada de x sub 0 más v sub 0 por t más 01:11:51

un medio de aceleración por el tiempo
acelerado, la derivada de esto. 01:11:57

Bien, la derivada de esto termino,
termino la derivada de x sub 0 como es un 01:12:00

valor una constante pues es 0. 01:12:06

La derivada de v sub 0 por t la derivada
de t es 1 con lo cual nos sale el valor de 01:12:09

v sub 0 fenomenal y la derivada de un
medio de aceleración por el tiempo 01:12:15

acelerado t al cuadrado es la derivada 2t,
2t por un medio es 1 al final nos queda 01:12:19

este valor at, genial y nos queda la
derivada es v sub 0 más at, si volvemos a 01:12:26

derivar esto respecto del tiempo pues esto
es una constante, se nos va lo attachado 01:12:31

así, eso no significa nada el valor es v
sub 0 más at, en este caso y lo que sucede 01:12:37

es que se nos va y la derivada de at
respecto del tiempo es a con lo cual al 01:12:42

final nos queda el valor de a como no
posee otra cosa, la derivación es igual a 01:12:47

muy bien esto es con el momento uniforme
acelerado, pero imaginemos que tenemos un 01:12:51

movimiento como esto aquí es rático se nos
mueve la bolita de un lado para otro 01:12:58

mientras tengamos la función f de ese
movimiento incluso aquí hemos visto la 01:13:05

bolita en tres dimensiones pues la
velocidad en cada uno de los ejes cada uno 01:13:11

de los ejes y xz pues en la derivada de
del movimiento en cada uno de los ejes 01:13:19

queremos el valor de la velocidad del eje
x o sea la derivada de f de x respecto del 01:13:27

tiempo, de acuerdo siendo f de x la
función que determina el momento de este 01:13:32

cuerpo en el eje x si queremos llegar a la
velocidad en el eje y pues hará que esté 01:13:39

la derivada de f de y o si tuvieramos unas
tres dimensiones pues del z me da igual en 01:13:46

este caso que la función del movimiento
sea una cosa muy compleja que si compleja 01:13:54

que haya logaritmos, senos lo que quieras
tu simplemente derivas y ya tenemos la 01:13:59

velocidad y después volvamos a derivar y
tenemos la aceleración con lo cual, 01:14:07

con este tipo de herramientas tenemos
perfectamente definidos el movimiento y la 01:14:12

velocidad, la posición y el momento de una
partícula en un campo definido por los 01:14:18

ejes de acuerdo x y z en otros campos,
por ejemplo, también como de la economía 01:14:25

podemos hallar la velocidad entre comillas
de acuerdo a la tasa de cambio la 01:14:29

velocidad de tasa de cambio el tiempo de
los precios si tenemos la función 01:14:36

definitoria de los tiempos de los precios
en función del tiempo o en función de 01:14:40

cualquier otra variable eso ya como gay,
aquí arriba la causística es amplísima de 01:14:46

acuerdo bueno, y ya empezamos el último
campo que sería el campo de las integrales 01:14:53

y en por qué vamos a ver las integrales de
acuerdo porque el concepto de las 01:15:02

integrales y las integrales van unidos
vamos a ver por qué para esto empezamos 01:15:05

planteando esta estas observaciones
imaginemos que tenemos un cuerpo que se 01:15:10

mueve con la velocidad de 30 mts por
segundo cuidado, un momento uniforme de 01:15:18

acuerdo, su velocidad viene marcado por
esta función de tal manera que si nos 01:15:21

fijamos el espacio sería igual a la
velocidad por el tiempo esto lo sabemos 01:15:26

por la fórmula en este caso el tiempo
sería 4 segundos y el espacio, 01:15:30

la velocidad son 3 metros pues sería 3x4
que casualmente coincide con el área que 01:15:35

hay debajo de la función de acuerdo si,
la función velocidad es una recta bien y 01:15:43

su espacio es el área que queda debajo una
cosa curiosa de verdad si tenemos un 01:15:50

momento uniformemente acelerado donde la
velocidad son por ejemplo 3 quintos de t 01:15:55

pues podríamos tener la representación
gráfica de esta velocidad sería una recta 01:15:59

con una cierta pendiente la pendiente
sería la aceleración la pendiente es la 01:16:04

recta de la aceleración la aceleración
sería 3 quintos y el espacio que recorre 01:16:08

este cuerpo a lo largo del tiempo seguía
otra vez justamente el área que nos deja 01:16:15

debajo de la gráfica una cosa curiosa el
espacio En el momento uniforme cerrado es 01:16:20

un medio de la acción por el tiempo
acudado, en este caso un medio de la 01:16:28

velocidad por el tiempo. 01:16:31

Si sustituimos la aceleración que es igual
a la velocidad por el tiempo, pues hacemos 01:16:32

esa sustitución y lo vemos. 01:16:39

Y no sabe que es un medio de la velocidad
por el tiempo. 01:16:40

El tiempo esta parte de aquí, esta parte
de aquí, la velocidad es este valor de 01:16:43

aquí, es un triángulo. 01:16:49

El área de un triángulo es un medio de la
base por la altura. 01:16:50

Bien, es curioso. 01:16:53

Pero, ¿qué ocurre si la función velocidad
es de esta forma? 01:16:55

¿De acuerdo? 01:17:00

Es una curva. 01:17:00

¿Cuál sería el área que queda aquí debajo? 01:17:03

¿Cómo lo calculamos? 01:17:05

Bueno, pues, inicialmente ya vemos que no
es muy sencillo. 01:17:07

Podemos intentar calcular ese área
mediante aproximaciones. 01:17:12

¿De acuerdo? 01:17:16

Bien, mediante pues vamos encajando
rectángulos a lo largo de esa función. 01:17:21

Pues de la manera más inteligente posible. 01:17:29

Cuando esa recta pasa por el punto medio
de la base del rectángulo, pues podría ser 01:17:33

una buena altura para el rectángulo,
etcétera. 01:17:38

Bueno, ahí tampoco voy a entrar,
hay diferentes métodos para hacerlo. 01:17:40

Pero la idea sería la que vemos aquí,
¿De acuerdo? 01:17:44

Coger un rectángulo que tiene una base que
es un valor real, ¿De acuerdo? 01:17:46

Es un valor real, 2, 3, 1, 0, 5,
me da igual. 01:17:51

Y con una altura que también es un valor
real. 01:17:54

Bien, es lo que conseguiremos. 01:17:56

Tenemos diferentes rectángulos,
más altos, más pequeños. 01:17:59

Y al final, el área es la suma de todos,
¿Verdad? 01:18:05

La suma de todos estos rectángulos. 01:18:11

Como se pone en red, es el área de los
rectángulos. 01:18:13

Aprovecho para decir que este simbolito de
aquí, que hemos puesto esto de aquí, 01:18:16

es sumatorio. 01:18:20

Indica que es la suma de un grupo de
elementos, en este caso, de todos estos 01:18:22

rectángulos. 01:18:25

Bueno, lo primero que podemos observar es
que con este método, pues, no vamos a 01:18:28

poder hallar, con esa actitud,
el área debajo de la función. 01:18:32

Si vamos reduciendo el rectángulo,
hacer rectángulos cada vez más pequeños, 01:18:37

en cuanto a la base cada vez más
estrechos, podemos llegar a tener un área 01:18:42

con el error tan pequeño como sea posible. 01:18:49

Simplemente, con ir reduciendo la base del
rectángulo, podemos llegar a obtener 01:18:55

valores muy cercanos a la área real de la
función. 01:19:03

Pero jamás ese valor, de acuerdo,
jamás el mismo. 01:19:06

Y aquí volvemos a lo de antes,
de acuerdo. 01:19:09

No me interesan valores aproximados. 01:19:11

Me interesa hallar valores exactos. 01:19:13

Igual con la pendiente de la función,
mientras hay valores exactos. 01:19:17

¿Bien? 01:19:22

Para evitar errores. 01:19:23

Y porque, obviamente, salto cualidadivo de
hacer una aproximación o de tener un valor 01:19:24

exacto, es tremendo, ¿verdad? 01:19:30

Pues vamos a usar para esto la potencia de
cálculo de los infinitesimales. 01:19:34

¿Bien? 01:19:38

En lugar de dividir el área de dejo de la
función en rectángulos con una altura 01:19:39

determinada y con una anchura también
determinada, lo que hacemos es utilizar un 01:19:47

rectángulo cuya altura es f de x,
es el valor de la función en ese punto, 01:19:52

y cuya anchura es un diferencial. 01:20:00

¿Bien? 01:20:02

De ancho es infinitamente pequeño,
casi cero. 01:20:03

Pero no es cero, es un diferencial. 01:20:07

De tal manera que el área de este
rectángulo es f de x por diferencial de x. 01:20:09

Bien, este área es a su vez otro
diferencial, ¿de acuerdo? 01:20:15

Potencialmente el área este es cero. 01:20:21

Así que lo que hacemos ahora con este mini
rectángulo diferencial, lo que hacemos es 01:20:24

dividir todo el área de la función,
cada función en un montón de infinitos 01:20:32

diferenciales, ¿de acuerdo? 01:20:40

de anchura de x y de altura, el valor de
la función en cada punto. 01:20:42

Bien, la anchura de todos los rectángulos
es la misma, es el diferencial, 01:20:47

lo único que varía es el valor de f de x,
¿de acuerdo? 01:20:51

Bien, y aquí volvemos a instruir,
observa que el área de cada rectángulo es 01:20:55

también un infinito decimal. 01:20:58

Bien, el área no es un valor real,
es un valor que tiende a cero. 01:21:00

Genial, y ahora lo que hacemos,
como en el caso anterior, es que subamos 01:21:06

todos los rectángulos. 01:21:09

Pero ¿cómo? 01:21:11

¿Cómo sumo yo todas estas áreas? 01:21:12

¿Cómo sumo yo? 01:21:15

Porque al final va a salir un montón de
diferenciales y ¿qué hago yo con eso? 01:21:17

Me van a salir, si sumo aquí todas estas
diferenciales, pues al final que me va a 01:21:20

salir un diferencial gordo, gigante,
¿qué hago yo con esto? 01:21:24

¿De acuerdo? 01:21:27

Bien, pues aquí llega la sorpresa,
¿de acuerdo? 01:21:27

La suma, la operación que suma,
todos esos infinitos de semanes se conoce 01:21:30

como integral, y se expresa de esta forma,
¿de acuerdo? 01:21:33

Es la integral de fdx por dx, ¿de acuerdo? 01:21:38

Es el rectángulito fdx por dx,
es decir, esta área, bien, la suma de 01:21:41

todos esos áreas, desde dónde? 01:21:47

Desde a hasta b. 01:21:48

Se pone este a y este b, cuando queremos
hallar un valor real, cuando queremos 01:21:51

hallar un área real. 01:21:54

Si lo que nos interesa es hallar la
función de esta área, pues estos valores, 01:21:56

pues no nos falta ponerlos, ¿de acuerdo? 01:22:00

Lo veremos ahora un poco más adelante,
lo que quiere decir, esto sería a, 01:22:02

esto de aquí, y esto de aquí, pues sería
b. 01:22:05

Para este caso, lo que tenemos es fdx por
dx y sumaríamos todos estos diferenciales, 01:22:09

desde el punto cero, ¿vale?, que sería
esto de aquí, hasta el punto mil cien, 01:22:15

que sería esto de aquí, ¿de acuerdo? 01:22:19

Y esto sería el área de la función que
queda, mejor decir ahora, que queda por 01:22:21

debajo de la función, entre esos dos
puntos, ¿bien? 01:22:27

Como he dicho antes, ya digo, si ponemos
dos valores, pero en un momento nos va a 01:22:31

salir un número, ¿bien? 01:22:35

Un número real, ¿de acuerdo? 01:22:37

Si no ponemos esos dos valores,
lo que nos va a salir es una función, 01:22:38

para su otra función, la que sea,
¿de acuerdo? 01:22:42

Ahora lo veremos. 01:22:44

Bien, todo eso es estupendo, ¿verdad? 01:22:47

Pero, ¿qué tiene que ver todo este rollo
con las derivadas? 01:22:49

Pues aquí llega la sorpresa. 01:22:52

Sorpresa y algo importantísimo,
y es que la integral es la operación 01:22:55

opuesta o mejor hecho inversa a la
derivada, ¿de acuerdo? 01:22:59

¿Qué significa eso? 01:23:03

Significa que la integral de la derivada
es igual a la función original, 01:23:04

¿de acuerdo? 01:23:11

La integral de la derivada de fx por dx es
igual a la función original. 01:23:12

Vamos a ver un ejemplo. 01:23:15

Si tenemos una función que es fx es igual
a x acuerdado, la derivada es 2x, 01:23:16

¿verdad? 01:23:21

Pues hacemos la integral de 2x por la
diferencia del x, la integral es x 01:23:22

acuerdado, que es la función original. 01:23:27

Bien. 01:23:30

La derivada de x acuerdado es 2x,
y la integral de 2x es x acuerdado. 01:23:31

Es la función inversa. 01:23:36

¿Vale? 01:23:38

Queremos derivar x acuerdado, nos sale 2x. 01:23:40

Queremos integrar 2x, nos sale x
acuerdado. 01:23:43

¿De acuerdo? 01:23:48

Es decir, que si sabemos derivar,
sabemos integrar o viceversa. 01:23:49

Genial. 01:23:55

¿Y esto qué implicaciones tiene? 01:23:56

Las aplicadoras integrales todavía son más
amplias, incluso si cabe que la de las 01:23:58

derivadas. 01:24:03

Porque si nos damos la cuenta,
es una presión de suma. 01:24:03

Vamos a hacer aquí algunos pequeños
ejemplos para que entendamos la potencia. 01:24:06

Y aquí, después de todo este rollo,
todo este tratado tan grande y tan exceso 01:24:12

que nos ha salido al final, vamos a
entender la importancia y vamos a lo 01:24:16

mollar de la cuestión, la potencia que
tiene. 01:24:24

Vamos a ver por ejemplo, vamos a calcular,
y por eso lo pongo en las opciones 01:24:28

matemáticas más importantes de la
historia, sin ninguna duda. 01:24:33

Para el desarrollo tecnológico tal como lo
conocemos actualmente. 01:24:37

Lo que hacemos es reducir los elementos
que vamos a manejar a pequeños 01:24:40

diferenciales, como hemos visto en el caso
de la área. 01:24:48

Los tratamos de forma individual estos
diferenciales y luego sumamos sus efectos 01:24:53

para obtener el efecto global del elemento
inicial. 01:24:57

Y esto es obviamente un paso de gigante. 01:24:59

Dicho así un poco si pueden en un ejemplo,
pues puedes sonar a través de las lenguas. 01:25:02

Vemos los ejemplos después se vuelve a ver
el vídeo como repaso y ya veis que se 01:25:09

entendería mucho mejor. 01:25:14

Por ejemplo, vamos a ver un cálculo
geométrico. 01:25:16

Vamos a ver el cálculo de área de un
círculo. 01:25:18

Hasta la fecha para allá, por ejemplo,
las áreas de los ejemplos geométricos se 01:25:21

aprenden de memoria. 01:25:27

El área la longitud de un círculo su
perímetro es 2PR. 01:25:28

¿Por qué? 01:25:36

Porque en este caso lo que ya estamos
haciendo es 2PR porque 2P es el ángulo. 01:25:37

El radian es el ángulo que tiene un
círculo 360° 2PR 2PR de tal manera que la 01:25:47

longitud que tiene un arco de
circunferencia es igual a el ángulo en 01:25:55

radianes por el radio. 01:26:02

Esto es la longitud de un arco de
circunferencia. 01:26:04

Si estamos hablando de la longitud de todo
el círculo estaríamos hablando de 2PR 2P 01:26:10

que es en radianes todo el ángulo del
círculo, ¿de acuerdo? 01:26:15

por R, que es el radio. 01:26:23

Muy bien. 01:26:25

Genial, eso es cómo sacamos el perímetro
de un círculo pero cómo sabemos que el 01:26:26

área del círculo es 2PR es PR recordado
¿Cómo sabemos esto? 01:26:34

¿De dónde lo sacamos? 01:26:40

Pues no parece que tenga tampoco... 01:26:42

¿Nos sacamos de la manga? 01:26:45

Podemos utilizar las integrales y los
diferenciales para hallar el área de un 01:26:46

círculo. 01:26:51

Vs de fácil, ¿de acuerdo? 01:26:53

PR cogemos el círculo y lo dividimos. 01:26:56

Aquí tenemos este pequeño círculo aquí
había antes una lupa para mirar ya no hay 01:27:00

lupa. 01:27:05

Cogemos un quesito en este quesito
dividimos el área del círculo en quesitos 01:27:08

infinitesimales así de pequeñito este
quesito va a tener una apertura de un 01:27:14

ángulo diferencial de teta, es decir es un
ángulo muy pequeño casi cero, pero no es 01:27:20

cero y a su vez genera un diferencial de
arco que es DL el final el diferencial de 01:27:29

área que tiene este quesito es igual a que
a un medio de R por DL porque es un medio 01:27:37

de R por DL este quesito va a ser
infinitamente pequeño este algo que 01:27:45

tenemos al final esto es un arco porque
este ángulo es un ángulo el ángulo... 01:27:50

perdón, aquí estamos aquí en ese sector
tenemos una porción de arco que obviamente 01:28:01

es circular pero si tenemos un
infinitesimal a ser esto infinitamente 01:28:08

pequeño el arco que tengamos aquí deja de
tener curvatura para tratarse de un alento 01:28:12

recto diferencial DL ya no tiene curvatura
es un alento recto con lo cual el área el 01:28:20

diferencial de área de ese quesito es un
triángulo Y es un medio de la base por la 01:28:26

altura, ¿de acuerdo? 01:28:31

Y además es un... no solamente... 01:28:33

no tiene ángulo, este diferencial de L,
sino que además, al ser infinitamente 01:28:42

pequeño, la altura de este triángulo... 01:28:47

vamos a ponerlo por aquí. 01:28:50

Esto se va haciendo cada vez más pequeño,
cada vez más pequeño, casi cero. 01:28:53

Esta manera que su altura en ese
diferencial coincide con el valor del lado 01:28:56

lateral, la altura SR, ¿de acuerdo? 01:29:02

Desinferencial, de manera que el área,
el diferencial de área de este quesito, 01:29:05

es un medio de la base por la altura. 01:29:09

La base es de L, como hemos visto ya,
que es este... 01:29:12

y la altura es R, que es el radio. 01:29:18

Coincide con el lado, porque si esto lo
hacemos infinitamente pequeño, 01:29:21

la longitud de ese trozo potencialmente
coincide con la del lado lateral, 01:29:26

con lo cual la altura en este infinito
decimal coincide con el radio, 01:29:32

con el lado. 01:29:39

Ya tenemos nuestro diferencial de área. 01:29:40

Ya lo hemos definido. 01:29:43

Fenomenal. 01:29:45

Ahora, ¿qué hacemos? 01:29:47

Susubrimos. 01:29:48

Hemos visto aquí antes, ya lo hemos puesto
aquí, que la longitud de arco es igual a 01:29:49

que al ángulo, en este caso, de la porción
del sector circular por el radio. 01:29:54

Pues aquí lo mismo, DL, que sería la
longitud de arco, que ya hemos dicho que 01:30:00

es un arco diferencial, es igual a que al
radio por el ángulo. 01:30:07

El ángulo tiene ese diferencial de theta,
¿de acuerdo? 01:30:11

Con lo cual, al final, susubrimos esto
aquí arriba y nos sale que el diferencial 01:30:15

de área es igual a un medio de R cuadrado
por el señal de theta, porque hemos 01:30:19

susubrido esto aquí. 01:30:24

Lo hemos susubrido aquí. 01:30:27

Y nos sale esto de aquí. 01:30:30

Sería un medio de R por R por el
diferencial de theta. 01:30:31

No vais a perdonar porque la piscina que
tengo, pues la verdad es que es bastante 01:30:39

rústico y pinta de aquella manera. 01:30:42

Genial, ya tenemos el diferencial de área. 01:30:46

¿Y ahora qué hacemos con el diferencial de
área? 01:30:48

Pues lo que hacemos es lo que vemos aquí
en el dibujito. 01:30:51

¿De acuerdo? 01:30:54

Tenemos aquí abajo, lo vemos. 01:30:55

Lo que hacemos ahora es sumar todos y cada
uno de esos diferenciales. 01:30:59

Para tener el área global. 01:31:03

¿Cómo sumamos eso? 01:31:05

Con la integral. 01:31:07

El área total, el área del círculo que
tenemos aquí, es igual a la suma de todos 01:31:09

esos diferenciales. 01:31:13

¿Desde dónde está donde? 01:31:15

Desde cero, que es donde empezamos el
ángulo de pida cero, hasta que acaba. 01:31:16

Dos pí radianes. 01:31:20

Por eso ponemos aquí cero hasta dos pí. 01:31:21

¿Bien? 01:31:23

Y el diferencial de área es un medio de R
por el diferencial de theta. 01:31:24

¿Bien? 01:31:27

En este caso, la variable integramos sobre
theta, porque es diferente de theta. 01:31:27

Pues nada. 01:31:32

Un medio de R, la integral de un medio de
R, esto no es ninguna variable. 01:31:33

Son números constantes. 01:31:39

Pues la integral de esto es un medio de R
por theta. 01:31:41

De cero hasta dos pí. 01:31:46

Y esto, al final, se expresa de esta
manera. 01:31:47

Es decir, se sustituye dos pí por theta
menos. 01:31:50

Hay una expresión, pero sustituyendo theta
por cero, que es cero. 01:31:53

¿De acuerdo? 01:31:56

Y al final los da el que nos da la
expresión del área de un círculo. 01:31:56

¿Veis? 01:32:03

Bien. 01:32:05

Esto no es ninguna guada. 01:32:06

Estamos hablando, ya no estamos hablando
de estar manejando triangulitos, 01:32:08

ni rectángulos, si no estamos manejando
círculos, que tosemos la dificultad que 01:32:12

tiene el manejar círculos. 01:32:16

¿De acuerdo? 01:32:19

Porque ya empezamos a hablar de que un
círculo no se puede... 01:32:21

no se puede hacer la cuadratura del
círculo, como todo el mundo sabe. 01:32:26

Y pese complicado que podamos haber
hallado con total precisión el área de un 01:32:29

círculo a partir de la longitud de su
perímetro, pues es una herramienta, 01:32:34

ya digo, bastante, bastante potente. 01:32:42

¿Solamente tienen aplicaciones
geométricas? 01:32:45

No, tienen muchas más. 01:32:47

Por ejemplo, vamos a poner aquí un ejemplo
físico. 01:32:48

Este ejemplo... 01:32:51

de aquí vamos a descubrir una cosa
importante. 01:32:53

¿De acuerdo? 01:32:55

Otra cosa también bastante interesante. 01:32:56

Como hemos visto en el primer caso,
bueno, pues aquí hay una estricuñuela, 01:32:59

ya lo hemos visto, geométricas. 01:33:04

Hay que estar aquí a bispaete para ir
sustituyendo de manera adecuada cada uno 01:33:07

de los elementos. 01:33:11

¿De acuerdo? 01:33:12

Hay que ver que efectivamente el quesito
ser infinitamente pequeña, pues R coincide 01:33:13

con la altura. 01:33:18

Hay que darse cuenta de que el diferencial
de arco, el diferencial de longitud, 01:33:19

en este caso, es igual a R por el
diferencial de teta, ¿vale? 01:33:22

Podemos haber dejado DL como diferencial,
y entonces hubiéramos hecho la integral, 01:33:28

pues desde 0 hasta 2PR, que también podría
haber sido, si podría haber hecho otra 01:33:33

forma también, perfectamente, sin hacer
este paso de aquí, ¿vale? 01:33:39

Este paso de aquí lo podíamos haber
omitido y haber hecho la integral 01:33:43

directamente con un medio de R por el DL. 01:33:47

Bien, pero bueno, aquí lo que hay que ver,
cuando hacemos todo esto, es que esto... 01:33:49

uff, tiene su tríngulos, ¿verdad? 01:33:54

Sí, muy potente, pero no tiene pinta de
ser muy fácil, ¿verdad? 01:33:57

Bien, pues el siguiente ejercicio,
que es el que vamos a ver, es una 01:34:02

aplicación física, en ese caso,
R de hook. 01:34:04

Vamos a vernos cuenta que... 01:34:08

lo vamos a resolver, pero... 01:34:11

pero fácil, fácil no es, ¿de acuerdo? 01:34:14

Bien, podemos saber el caso. 01:34:18

Bien, todos sabemos que R de hook nos dice
que la fuerza que se hace sobre un resorte 01:34:20

elástico es igual a K por X, siendo X la
lenguación y K la constante de 01:34:24

electricidad. 01:34:30

Bien, aquí tenemos nuestro dibujito,
con el mullecito, moviéndose. 01:34:30

Penomenal, ¿vale? 01:34:37

Podemos abordar, por ejemplo, otro tipo de
problemas. 01:34:38

Esto es un problema puntual, esto es un
problema que se estudia y en el fondo lo 01:34:40

único que hacemos es unir dos puntos,
¿vale? 01:34:46

Es un problema adimensional. 01:34:49

No tenemos que tener en cuenta la
dimensión de los puntos donde se aplican 01:34:51

las fuerzas, porque no tienen dimensiones. 01:34:56

Bien, aquí el mullecito que está ancrado a
una pared. 01:35:00

Bueno, pues lo que sea, bien. 01:35:03

Podemos aplicar este mismo problema a un
caso donde si tengamos una cierta 01:35:07

dimensión. 01:35:12

Es decir, por ejemplo, unimos esto que se
ve aquí abajo, unimos dos varillas entre 01:35:13

sí con una banda elástica. 01:35:19

Incluso una goma que ya tiene una altura,
bien, una dimensión determinada o una 01:35:21

anchura en este caso. 01:35:28

Al estirarlo, hace que una fuerza tiene
una temiada elongación. 01:35:31

X, bien. 01:35:37

Así que en este caso la constante de
elongación... 01:35:39

Bueno, aquí no lo he puesto. 01:35:54

Aquí hay un error, ¿vale? 01:35:55

La constante de elongación ya no se envide
en Nm por m, pero si no sería Nm siendo la 01:35:57

fuerza F, o sea, K se mediría en Nm por m,
siendo la fuerza, ¿de acuerdo? 01:36:03

Igual a K por X por A. 01:36:11

Bien, aquí hay un error. 01:36:13

Bueno, lo perdonáis, ¿de acuerdo? 01:36:14

Aquí se mide el ancho de la banda,
que sería esto que hemos visto, 01:36:16

la elongación y la constante K de
elasticidad tendría en cuenta el que ya no 01:36:20

sería una constante como en el caso del
muelle lineal, sino que tendría que tener 01:36:26

en cuenta lo que se longa y el ancho de la
banda, ¿vale? 01:36:32

Pues eso hay que tenerlo en cuenta. 01:36:39

Bien, pues ya tenemos este ejemplo. 01:36:40

Bueno, pero resolver este problema tal que
así tampoco tiene complicación, 01:36:41

porque lo vemos a lo de antes. 01:36:46

La fórmula S igual a K por X por A. 01:36:48

Es decir, en lugar de un muelle tenemos
una fuerza que se aplica sobre una banda 01:36:50

que tiene un ancho de tanto y se estira en
5 centímetros. 01:36:55

Pues, al final, coges. 01:37:00

Te da en la K, te aplica en la K por X,
que son 5 centímetros al poder ancho, 01:37:02

que puede ser 20, y te da la fuerza. 01:37:05

No tiene ningún tipo de problema,
no tiene ninguna complicación, 01:37:07

¿vale? 01:37:10

Pero ¿qué pasa si planteamos el problema
de otra forma? 01:37:10

Es decir, en lugar de una banda
rectangular tenemos una banda triangular, 01:37:14

tal como vemos en este ejemplo,
¿vale? 01:37:19

Y cogemos y estiramos la banda. 01:37:22

Pues aquí lo que tenemos es una cosa
bastante curiosa. 01:37:26

Y es que el ancho de la banda va variando. 01:37:29

Con lo cual ya no me vale esa constante
derongación de antes. 01:37:34

Bien. 01:37:38

La geometría me ofrece una dificultad
importante. 01:37:39

¿De acuerdo? 01:37:46

Entonces, aquí, ¿cómo resolvemos el
problema? 01:37:46

Es decir, ¿qué fuerza haría la banda
rectangular en una distancia de? 01:37:48

¿Cuál sería la fórmula para hallar la
fuerza en función de la elongación que 01:37:52

tenga la banda y su ancho? 01:37:58

En este punto de aquí, ¿de acuerdo? 01:38:01

¿Cómo haríamos eso? 01:38:04

Bien. 01:38:06

En primer lugar, nos vamos a fijar en el
hecho de que las elongaciones... 01:38:07

¿Y cómo vamos estirando esto? 01:38:12

Bien. 01:38:14

Si estiramos la banda, horizontalmente en
la distancia de los puntos, una de una 01:38:15

elongación distinta, es decir,
lo que se estira este punto, ¿vale? 01:38:19

Esto de aquí. 01:38:23

Y lo que se estira en el punto en medio,
la banda, es distinto. 01:38:24

¿De acuerdo? 01:38:29

Con lo cual, los valores x y y y y x van a
ser diferentes en cada punto de la 01:38:29

varilla, para porción de la banda anclada
a ellos. 01:38:33

Para superar este escollo, lo que vamos a
hacer es dividir a la banda, como vemos 01:38:36

aquí arriba, en infinito diferenciales. 01:38:42

De tal manera que vamos a estudiar la
fuerza que hace el diferencial de fuerza, 01:38:46

mejor dicho, que hace cada uno de estos de
estas diferenciales de bandas en cada 01:38:51

punto. 01:38:57

¿De acuerdo? 01:38:57

Bien. 01:38:59

Y luego lo que hacemos es sumar todas esas
fuerzas, esas diferentes fuerzas, 01:39:00

y ya está, ya tenemos la fuerza total. 01:39:04

¿De acuerdo? 01:39:06

Bien. 01:39:09

¿Cómo lo hacemos? 01:39:10

Bueno, pues vamos a plantear el problema
que tenemos aquí abajo. 01:39:11

¿De acuerdo? 01:39:13

Lo vemos ya muy claro. 01:39:14

En primer lugar, hay que ver, vamos a
coger un punto cualquiera de la banda, 01:39:16

que va a ser este de aquí. 01:39:21

¿De acuerdo? 01:39:23

Bien, este que está rojo. 01:39:23

Pues un poco más arriba, un poco más
abajo. 01:39:26

El valor V es una variable que nos va a
indicar a la altura que hay, que está 01:39:28

desde el punto medio de la banda,
hasta donde está el punto de consideremos. 01:39:33

¿De acuerdo? 01:39:37

El valor X0 es la longitud inicial que
tenía la banda en este punto, ¿vale? 01:39:37

En sombreado está el triángulo inicial y
el X1 es el valor elongado. 01:39:45

El valor total es tirado de la banda
cuando lo estiramos una cierta distancia 01:39:51

D. 01:39:55

Se ve ¿no? 01:39:56

¿De acuerdo? 01:39:57

Tenemos una longitud de la varilla L que
está de aquí y una altura inicial del 01:39:58

triángulo que es H de la banda. 01:40:03

Bien, pues en este caso vemos y estudiamos
los apartados geométricos. 01:40:05

X al cuadrado bien, que es esto de aquí X
es la opción inicial que es igual, 01:40:09

es un triángulo rectángulo pues pitágoras
a H al cuadrado H es la altura de la de la 01:40:14

banda por donde, si de la banda triángulo
inicial bien, pues es más V al cuadrado 01:40:21

que es esto de aquí. 01:40:26

Eso es fácil porque es esto de aquí y esto
de aquí. 01:40:28

Ahí teníamos este triangulo. 01:40:30

Esto. 01:40:32

Aquí que no se ve bien porque ya lo he
pintado. 01:40:33

¿De acuerdo? 01:40:35

A ver si puedo coger otro color el rojo
no, que lo aliamos el violeta. 01:40:37

Este valor de aquí X sub 0 es igual al
cuadrado es igual a esto al cuadrado más 01:40:46

esto al cuadrado. 01:40:52

¿De acuerdo? 01:40:54

Y de igual forma la alongación final X sub
1 al cuadrado que X sub 1 es la línea que 01:40:56

está en rojo a puntitos sería igual a esta
distancia ¿De acuerdo? 01:41:01

que sería H más D al cuadrado más la misma
distancia V al cuadrado. 01:41:09

Es fenomenal y esto nos da unos valores X
sub 0, X sub 1 que son las raíces 01:41:15

cuadradas. 01:41:18

Bien, el diferencial de de esta fuerza que
lo he puesto como D de DV ¿Vale? 01:41:19

en cada punto también lo he puesto de F
perfectamente que se hubiera sido más 01:41:27

apropiado. 01:41:32

Bueno, pues este diferencial de fuerza que
es este de aquí ahí va. 01:41:32

Aquí no tengo para... 01:41:39

no. 01:41:40

No me deja. 01:41:40

Para cambiar. 01:41:41

Bueno, ahora lo pinto al amarillo. 01:41:43

¿Vale? 01:41:44

Bien, esto. 01:41:45

Ya está. 01:41:45

Efectivamente. 01:41:46

Bien, pues este diferencial de V ¿A qué es
igual? 01:41:47

es igual a la diferencia de 01:41:50

de longitud entre cuando está elongado y
cuando está en reposo es decir, 01:41:59

a la elongación lo que es la variable X
por K que sería la constante de elongación 01:42:03

por el diferencial de V. 01:42:08

El diferencial de V es el pequeño ancho de
la varilla que estamos considerando. 01:42:10

¿De acuerdo? 01:42:17

En este punto de aquí voy a poner otro
valor. 01:42:18

¿De acuerdo? 01:42:21

Es el diferencial de ancho que estamos
considerando en esa varilla. 01:42:22

Bien. 01:42:27

Así que aquí podemos poner también un
diferencial de F. 01:42:27

Pero bueno, ahí se ha quedado. 01:42:30

Y luego aquí también en cuenta,
por ejemplo las condiciones geométricas. 01:42:34

Es decir, si ya des cuenta la fuerza total
o las fuerzas totales que tenemos que 01:42:37

sumar no es F de DSUV porque está un poco
inclinada sino sería la componente 01:42:43

horizontal que es F de HDSUV. 01:42:48

¿De acuerdo? 01:42:51

Que para allá este valor antes de callar
el cosono de alfa es igual a que al valor 01:42:52

opuesto entre al lado opuesto entre la
hipotenusa en este caso aquí abajo lo 01:42:59

vemos. 01:43:07

¿De acuerdo? 01:43:07

Vamos a calcular este valor este valor
pues cosono de alfa es igual a que a el 01:43:08

lado contiguo que es esto de aquí a ver lo
voy a poner otra vez otro color lado 01:43:15

contiguo que es esto de aquí entre 01:43:20

la hipotenusa que es ese valor de ahí. 01:43:26

¿De acuerdo? 01:43:27

Y con ese valor de cosono de alfa lo
multiplicamos a DSUV para hallarnos el 01:43:28

valor horizontal y ya tenemos el
diferencial de fuerza horizontal 01:43:35

correspondiendo a este punto ¿Qué hacemos
con esto? 01:43:40

¿De acuerdo? 01:43:43

Como vemos nos sale aquí una cosa gente
curiosa ¿Qué hacemos? 01:43:43

lo sumamos todos ¿Cómo es? 01:43:49

le tenemos el 1 punto pues tenemos que ir
sumando de todos los diferenciales y 01:43:50

planteamos la integral ¿Vale? 01:43:55

desde menos el de medios hasta el de
medios ¿Por qué? 01:43:57

porque hemos encontrado que ese es el
punto medio ¿De acuerdo? 01:43:59

con lo cual para allá F que es la fuerza
total que sigue esto de aquí tenemos que 01:44:02

sumar desde el de medios de menos el de
medios es decir desde punto hasta el de 01:44:06

medios hasta aquí arriba ¿Vale? 01:44:13

menos el de medios es de aquí todo esto
hacia abajo al de medios y también hay que 01:44:15

sumar la parte de arriba ¿De acuerdo? 01:44:20

por lo que si ponemos menos el de medios
hasta el de medios de todo este mundo 01:44:22

¿Vale? 01:44:24

la integral de esta historia es bastante
compleja ¿Vale? 01:44:25

no la vamos a resolver porque por si
mentalmente tiene su tela y aquí no viene 01:44:29

el caso y lo que me interesa ver de todo
esto es que es observar la gran dificultad 01:44:34

que plantean en su conjunto este tipo de
problemas es decir por una parte vemos y 01:44:42

entendemos que las integrales los incentes
simales y las derivadas nos dan una 01:44:48

potencia de cálculo tremenda pero por otra
parte hay que ver que hay unas 01:44:54

dificultades procedimentales geometrias y
conceptuales muy serias y eso es un 01:44:58

pequeño ejercicio estamos hablando
simplemente de calcular la fuerza en una 01:45:05

banda triangular y sin embargo ya vemos
que que hay que darle muchas vueltas para 01:45:08

entenderlo bien y para saber comprenderlo
bien por este motivo de aplicación de 01:45:16

cálculo diferencial El tubo tuvo una muy
lenta aplicación sobre disciplinas 01:45:23

científicas. 01:45:25

Por ejemplo, todo el desarrollo del
cálculo de estructuras, que no es ni más 01:45:27

ni menos que la aplicación de la dinámica
de Newton de 200 años atrás, más o menos 01:45:30

un par de siglos, siglos y medios de dos
siglos, se tardó ese siglo y medio, 01:45:38

dos siglos en poder desarrollarse como lo
conocemos ahora. 01:45:42

Se tardó muchísimo. 01:45:47

¿Por qué? 01:45:48

Porque se necesita gente, esto de aquí que
he puesto. 01:45:49

Muy capacitada, que les tiene mucho en el
estudio, hasta que pueda enseñar en la 01:45:53

suficiencia estos recursos. 01:45:56

Es muy complicado. 01:45:58

De acuerdo a esto no lo puedo hacer todo
el mundo. 01:46:00

Se puede explicar de manera contextual y
tal, pero luego realmente el manejo de 01:46:02

esto hay que ser un artista de la física y
de la matemática para hacerlo de manera 01:46:06

muy bien hecho. 01:46:12

Hay muy poca gente en la historia de la
ciencia. 01:46:15

Ha habido muy poca gente. 01:46:18

Ahora porque la educación se ha
emasificado en el último siglo, 01:46:20

pero en 200 años gente que realmente
supiera todo esto eran muy pocos. 01:46:26

Por eso primero, porque tenés que tener
acceso a este tipo de educación. 01:46:34

Y segundo, porque tenés que tener las
facultades personales para poder hacerlo y 01:46:39

la intención de que le hagan hacerlo. 01:46:43

Se contaba todo y era un esfuerzo muy,
muy grande. 01:46:45

Hay que entender que en el año 1800 la
comunicación que había entre los 01:46:47

profesionales no era tan fluido como
ahora. 01:46:52

No había teléfono, no había llevarse los
papeles de un lado para otro o enseñar por 01:46:54

resos entre los diferentes estudiosos. 01:47:00

Era una tarea muy ardua. 01:47:03

Con lo cual ahí estás tu solito frente a
los problemas frente a la resolución de 01:47:05

este tipo de cuestiones. 01:47:11

Que tiene tela marinera. 01:47:14

Como veis, no es sencillo para nada. 01:47:16

Una ventaja que tiene este tipo de
problemas es que se necesita gente 01:47:20

capacitada para poder manejarlos. 01:47:24

Pero a su vez hacer este tipo de
problemas, saber resolver este tipo de 01:47:26

problemas o intentarlo al menos,
genera una capacidad muy grande en la 01:47:29

persona que lo trabaja. 01:47:35

Que viene a ser como el ejercicio físico
en los atletas. 01:47:37

Evidentemente, para ir a las olimpiadas se
necesita una atleta que esté entrenado, 01:47:40

que esté fuerte. 01:47:44

Que el tío no se que corre los 100 metros
liso. 01:47:47

Necesita ser muy rápido. 01:47:49

A la vez que entrena para hacer estas
carreras, el cuerpo va ganando en 01:47:52

velocidad y rapidez. 01:47:57

Y así cada vez va siendo más rápido. 01:48:00

Por eso no ocurre más rápido. 01:48:01

Lo mismo es verdad que siendo la gente
capacitada. 01:48:02

Pero en la medida que uno se ejercita en
este tipo de ejercicios, va dando una 01:48:04

capacidad y una agilidad mental bastante
notable. 01:48:07

Porque, ya volvo a repetir, implica hacer
este tipo de ejercicios, implica la unión 01:48:13

de un montón de disciplinas distintas. 01:48:19

De acuerdo, la cabeza tiene que estar
manejando un montón de disciplinas 01:48:20

distintas. 01:48:24

Pensando y dándole bastante caña. 01:48:27

Hay muchas más aplicaciones con este tipo
de enterales. 01:48:33

Por ejemplo, en este caso, en el cuarto de
la ESO se estudia la dinámica, 01:48:37

lo mismo de manera puntual. 01:48:42

Un coche o tenemos un bloque que se le
aplica una fuerza, pero al final ese 01:48:43

bloque no es más que un elemento puntual. 01:48:49

A mí me da igual que ese bloque,
mira, dos por dos o que sea redondo o que 01:48:53

sea de la forma piramidal, de la forma que
uno quiera. 01:48:59

A final la fórmula va a ser la misma,
fuerza es igual a M por la aceleración. 01:49:03

O sumatoria de fuerza es igual a M por la
aceleración. 01:49:09

Sin embargo, cuando estamos hablando de
elementos que giran, al igual que existen 01:49:13

una inercia lineal, existe una inercia,
en este caso, vinculada al movimiento 01:49:18

rotacional. 01:49:25

Y cada elemento tiene una inercia distinta
en función de su forma. 01:49:26

No es lo mismo. 01:49:31

Por ejemplo, aquí lo vemos. 01:49:31

No es lo mismo hacer girar la varilla del
centro de la misma que desde un borde. 01:49:32

Eso lo podemos hacer experimentamente. 01:49:37

Es muy fácil hacer girar o más fácil hacer
girar. 01:49:40

Requiere menos esfuerzo hacer girar la
varilla desde el centro que desde el 01:49:43

borde. 01:49:48

De acuerdo, que requiere más esfuerzo. 01:49:48

Eso tiene que ver, es relativo a la
inercia del elemento. 01:49:50

Cada elemento tiene una inercia distinta. 01:49:55

Las semisferas, los discos, los aros,
todos distintos. 01:49:58

¿Cómo podemos hallar ese tipo de inercias
con las integrales? 01:50:03

Otra vez. 01:50:09

Aquí, por ejemplo, es el cálculo de un
triángulo que gira alrededor de su eje X. 01:50:09

¿Cuál sería su inercia? 01:50:18

Aquí, como vemos en el ejemplo,
el triángulo lo divide en infinites y 01:50:19

males. 01:50:27

Hay la inercia, con la fórmula de inercia,
de acuerdo, que está aquí. 01:50:28

Hay la inercia para que ese diferencial,
y lo que hace es, mediante la integral, 01:50:32

suma la inercia de todos los
diferenciales. 01:50:37

Y finalmente tiene la inercia de ese
triángulo. 01:50:39

Aquí volvemos a lo de antes. 01:50:42

Hay que saber de geometría para encontrar
la expresión matemática del diferencial 01:50:43

del área que está aquí. 01:50:49

Tiene suficiente perspectiva para poder
hacerlo. 01:50:52

Y luego hay que saber hallar la integral. 01:50:54

Hay que saber procedimentalmente cómo se
llama la integral de esa expresión. 01:50:57

En fin, es un tema bastante arduo. 01:51:02

Pero al final obtenemos el valor que
estamos buscando sin hacer ni un solo 01:51:04

experimento. 01:51:10

Y de una forma perfectamente exacta,
¿de acuerdo? 01:51:10

Tenemos aquí una sección. 01:51:18

Aquí tenemos una teta. 01:51:20

De cuál es, en este caso, como hayamos,
la inercia, por ejemplo, de esa teta. 01:51:23

Bien, si nos damos cuenta de una de las
limitaciones que tenemos en el cálculo 01:51:28

integral. 01:51:32

Es que todo lo que no sea elementos
geométricos conocidos, lo tenemos muy 01:51:33

chungo para manipularlo. 01:51:39

Yo puedo coger un círculo como he visto
antes y dividirlo en sector cictos. 01:51:40

Incluso una función conocida. 01:51:45

Lo que sea el cuadrado, lo que sea. 01:51:48

Pero siempre que sea conocido,
un triangulito por supuesto. 01:51:54

Pero qué pasa si tengo una función,
o mejor dicho, un elemento que no pueda 01:51:58

englobar dentro de una función conocida. 01:52:04

Voy a poner una función muy liosa,
como he visto antes, mientras sepa cuál es 01:52:06

su Wfdx. 01:52:10

Pues, muy probablemente encontraré un
método para poder manipularla. 01:52:12

Más o menos no es complejo, más o menos
labioso. 01:52:16

Pero qué pasa si tengo una retera? 01:52:19

La retera no está definida en ninguna
función. 01:52:20

Bueno, pues aquí llegamos al chiste,
famoso chiste de los ingenieros. 01:52:24

Es decir, se hacen aproximaciones. 01:52:29

Bien, o se hacían aproximaciones,
en este caso. 01:52:31

No sé lo que es la retera. 01:52:34

Al final, cojo la retera y digo,
¿a qué se parece una retera? 01:52:35

Pues parte que es un tronco de un cono. 01:52:37

Bueno, pues me halló la inercia de un
tronco de un cono. 01:52:40

Entonces, la retera, le meto la retera,
la inercia del tronco del cono. 01:52:42

Esto es cómo se funciona a nivel
ingenieril. 01:52:46

Estaba el chiste famoso. 01:52:48

Digo de, a ver cómo se halla el volumen de
una vaca. 01:52:49

Pues llega un tío que está en el
laboratorio, mete la vaca en la bañera 01:52:53

llena de agua, ve la diferencia de
volumen, llega otro, no sé qué, 01:52:57

llega un ingeniero y dice, bueno,
supongamos una vaca esférica. 01:53:00

Bien, pues es chiste que es muy malo,
pero esa refleja una realidad durante 01:53:05

siglos. 01:53:09

En la ingeniería, en la tecnología,
hasta, pues hasta la introducción del 01:53:11

ordenador prácticamente, ha requerido de
muchas simplificaciones. 01:53:17

Porque si no los problemas como vemos,
se ponían muy, muy complejos o eran 01:53:21

imposibles de, de, de calcular por,
pues, lo que acabamos de decir, 01:53:25

¿de acuerdo? 01:53:30

Muy necesarias las simplificaciones. 01:53:31

Y estas simplificaciones volvemos a lo de
antes. 01:53:33

Nehitaban de gente que tuviera un criterio
adecuado, porque no todo valía. 01:53:36

Y había que tener un cierto ojo también
para saber, oye, hasta qué punto esto, 01:53:41

estas simplificaciones valida o no es
valida. 01:53:46

Más ejemplos. 01:53:50

Pues aquí tenemos el ejemplo de cálculo de
estructuras, ¿de acuerdo? 01:53:52

Lo mismo. 01:53:55

Bien, cuando tenemos el entus puntuales,
pues lo manejamos más o menos bien, 01:53:56

que se lo han señalado, pero aquí tenemos
una función, una distribución de cargas. 01:54:00

En este caso, ¿de acuerdo? 01:54:04

Que es una función, pues, que había que
hacer todo este área, dividirlo con 01:54:05

diferenciales y hacemos la integral,
¿de acuerdo? 01:54:09

Estos entus triangulares no se iban tan
necesarios, ¿por qué? 01:54:12

Porque el área que bajo lo se calcula,
es un triángulo, ¿de acuerdo? 01:54:14

Pero esto ya no, es una función. 01:54:17

Entras ya una función, todo va bien,
¿vale? 01:54:20

Podemos hallar la integral. 01:54:22

O en este campo, por ejemplo, en el campo
del magnetismo. 01:54:24

En muchas disciplinas, de hecho,
se utiliza la integral como medio para 01:54:26

proponer ya la ley. 01:54:31

Es decir, aquí lo vemos, ¿de acuerdo? 01:54:33

No se usa una fórmula directa,
sino se usa una integral. 01:54:35

Es decir, la integral de esos elementos,
que luego, al final, pues, sustuimos y nos 01:54:40

da una fórmula concreta para el caso que
sea de acuerdo. 01:54:45

Pero antes de hacer la integral,
pues igual, el magnetismo también, 01:54:48

utilizando ese tipo de cosas. 01:54:52

Bien, y decía que esto se utilizaba hasta
la introducción del ordenador. 01:54:53

¿Qué se hace ahora? 01:54:56

Bien. 01:54:58

Bueno, pues, todo el cálculo diferencial
integral, digamos, que ya ha sido 01:54:59

superado. 01:55:02

Ha sido superado, pues, de forma práctica,
pues, hace muy poquitos años, ¿de acuerdo? 01:55:03

Si hay cierto que siempre hay... eso es,
en las películas, siempre hay sitios en 01:55:08

Estados Unidos que tienen ordenadores
superpotentes en los años 70, en los años 01:55:13

80. 01:55:16

Bueno, entre conmias. 01:55:18

Las películas, ya veréis, que son muy
fantásticas, realmente, no son tantos. 01:55:19

Pero la inmensa mayoría de los ingenieros,
hasta hace, pues, ¿qué decís? 01:55:22

15 años, todo lo más. 01:55:29

15, 20 años, como mucho, en función
también de la empresa, tenían que 01:55:31

manejarse, pues, con fórmulas que venían
del cálculo diferencial. 01:55:35

En la práctica, realmente, la mayoría de
los casos ya estaban estudiados, 01:55:40

con lo cual ya había fórmulas exactas y
realmente el cálculo no es tan engorroso. 01:55:46

Es decir, la inmensa mayoría de las
ingenierías ya tenían todos los supuestos 01:55:51

que tenían que darse, por ejemplo,
un arquitecto, pues, para el cálculo del 01:55:59

calor que sale en un edificio,
para el cálculo estructural, etcétera. 01:56:04

Ya había una serie de normativas y una
cantidad que aplica la normativa, 01:56:09

¿no? 01:56:14

Pero, bueno, siempre había casos nuevos
que había que aplicar, sobre todo, 01:56:15

en temas de investigación, nuevos
productos, etcétera, o investigaciones en 01:56:19

general, donde siempre se hacía uso,
pues, ya digo, del cálculo diferencial. 01:56:23

Pero ahora, unos 15, 20 años, con la
errucción de los elementos finitos, 01:56:26

ya el cálculo diferencial, de un modo
práctico, ha pasado la mejor vida. 01:56:30

¿Qué son los elementos finitos? 01:56:34

Bien, los elementos finitos es el...
comparte la misma esencia de cálculo 01:56:36

diferencial, de acuerdo, pero,
gracias a la potencia de computación, 01:56:41

ya no necesita manejar función,
ni estar haciendo elocurraciones 01:56:45

geométricas de ningún otro tipo. 01:56:53

Simplemente, tenemos, por ejemplo,
una figura que tenemos para esto, 01:56:56

que no sé qué es exactamente eso en el
apoyo de alguna clase. 01:56:58

Introducimos una figura geométrica
dibujada con un programa de cálculo, 01:57:02

¿vale? 01:57:06

En un programa de ordenador de elementos
finitos. 01:57:08

Lo que hace ese ordenador es mallar toda
la superficie, todo el elemento. 01:57:11

Utiliza esto de aquí, que sería similar a
lo que sería un diferencial. 01:57:16

Bien, es un elemento muy pequeñito,
tan pequeñito como estos quedamos. 01:57:23

No es un diferencial, porque el
diferencial ya sabemos que potencialmente 01:57:25

es cero. 01:57:28

Estos elementos finitos, como se nombre
indica, son finitos. 01:57:29

Es decir, son muy pequeños, pero tienen un
valor. 01:57:33

Y lo que se hace es aplicar la ley física
a cada uno de esos elementos. 01:57:36

Acuerdo, ahí tenemos el triangulito. 01:57:42

Este triangulito tendrá una fuerza que se
la aplicará a este borde, otra fuerza que 01:57:44

se aplica a la borde, y otra fuerza que se
la aplica a este borde. 01:57:48

Este triangulito de aquí. 01:57:51

Bien, en el ordenador, lo que hacemos es
meter la ley física de turno, la que sea, 01:57:54

en este caso, pues, la de la elasticidad o
de formación material, etcétera. 01:57:58

Y el ordenador hace un cálculo de la
interacción de cada uno de esos elementos 01:58:04

con todos los que tiene a su alrededor,
de acuerdo. 01:58:09

No de este con este, sino de este con el
que tiene a su lado. 01:58:13

Y eso se sube vez con los que tiene a su
lado. 01:58:17

Y eso se sube vez con los que tiene a su
lado. 01:58:18

De tal manera que todos quedan
interrelacionados de alguna forma, 01:58:19

o de forma directa o de forma indirecta. 01:58:22

Bien, esto a mano para una persona sería
absolutamente enviable. 01:58:25

Ya, a partir de 2005 aproximadamente,
empezaron a haber ordenadores domésticos 01:58:30

que pueden hacer domésticos entre comidas
con cierta potencia, obviamente. 01:58:35

Pero bueno, que sí, que estaban a alcance
ya de muchas empresas que hacían ya 01:58:39

cálculos con elementos finitos,
no demasiado complejos, pero bueno, 01:58:46

en fin, para muchas aplicaciones. 01:58:51

No de un coche como esto que vemos aquí,
pero sí de elementos como este, 01:58:52

como lo que vemos en la pantalla. 01:58:57

En este caso, por ejemplo, se ve
claramente las tensiones interna del 01:58:58

material que se me ha sometido,
pues cuando a lo mejor hay aquí una 01:59:04

pequeña deformación. 01:59:07

De acuerdo, tenemos aquí una deformación. 01:59:08

En este punto, la distribución de
tensiones en todo el material, 01:59:09

como sería. 01:59:13

Y vemos aquí, cada uno de estos elementos
se le aplica un valor tensional. 01:59:15

El ordenador, mejor dicho, calcula el
ordenacional y tenemos perfectamente 01:59:19

definido la situación tensional de toda la
pieza, de una manera súper precisa, 01:59:23

muchísimo más potente que el cálculo
integral, de algo diferencial, 01:59:30

mucho más rápido. 01:59:34

No necesitas gente tan capacitada para
resolver este tipo de problemas. 01:59:36

Y bueno, teniendo, evidentemente,
la potencia de computación adecuada, 01:59:42

pues incluso resolver problemas de
deformación en casos tan complejos como un 01:59:46

vehículo. 01:59:52

Ahora mismo, ya digo, que un ordenador de
2.000 euros, por ejemplo, te puede llegar 01:59:53

a hacer unos cálculos, pues no ha sido un
coche, porque nunca lo he hecho, 02:00:01

pero luego, en infinidad de cálculos,
más o menos complejos, lo puede llegar a 02:00:08

hacer. 02:00:13

Porque esto se hacía cuando ordenados ya
hace 15 años, pues con los de ahora ni te 02:00:14

cuento ya, claro. 02:00:19

Y en todo tipo de áreas, transmisión de
calor, capomagnéticos, hidráulica, 02:00:21

mecánica, dinámica. 02:00:27

De hecho, he visto por ahí algunos
ejemplos, algunos vídeos interesantes, 02:00:28

porque ya no es solamente para ver,
digamos, un temameramente técnico para 02:00:31

llegar a un valor concreto, de acuerdo,
un valor ahí, yo que sé, la deformación, 02:00:37

es igual, sino simplemente para verlo de
una forma visual, a tener animaciones, 02:00:42

pues un coche que se estampa contra un
muro o contra un objeto como este, 02:00:46

pues para ver visualmente simplemente cómo
se llama la deformación, cómo queda todo 02:00:51

eso. 02:00:56

Pues la potencia es muchísimo mayor. 02:00:56

Con lo cual, pues sí, chicos, estamos
ahora mismo al comienzo, desde el punto de 02:00:59

vista de la ingeniería, de una revolución
silenciosa entre comillas que ha superado 02:01:03

una forma de cálculo importantísima,
que ha sido importantísima durante unos 02:01:10

300 años. 02:01:16

Y hasta aquí, si tenéis alguna duda o
alguna pregunta, pues donde estoy. 02:01:20

Espero que no se haya hecho muy pesado. 02:01:28

Creo que es un tema muy complejo,
obviamente, es un tema complejo. 02:01:32

Esto es simplemente una introducción. 02:01:35

Y bueno, pues espero que os sirva por lo
menos a ese nivel. 02:01:38

Pues nada más. 02:01:46

Me despido y que tengáis un buen día. 02:01:48

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