Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Clase Rolle - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 9 de octubre de 2020 por Emilio G.

78 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Venga, pues vamos a empezar. 00:00:00
Bueno, teorema de Rolle. 00:00:03
El teorema de Rolle, ¿qué dice? 00:00:04
Si una función, una función real, de variable real, 00:00:05
si es continua, 00:00:09
las condiciones estas son las de siempre, 00:00:10
es continua en el intervalo cerrado a b 00:00:12
y derivable en el intervalo abierto, nunca puede ser cerrado. 00:00:13
Si además la función en los extremos, 00:00:17
en a y en b, coincide, 00:00:18
entonces lo que dice el teorema de Rolle 00:00:20
es que va a existir un punto entre a y b 00:00:21
en el que la derivada es cero. 00:00:23
¿Y eso qué significa? 00:00:26
¿Qué significa que la derivada sea cero? 00:00:27
Pues no sé, Emilio. 00:00:33
Y es constante. 00:00:35
Es un número constante. 00:00:38
Casi. Que la derivada sea cero 00:00:40
significa que la pendiente es cero, ¿no? 00:00:41
La derivada es la pendiente. O sea, que la inclinación 00:00:43
es cero, que no hay inclinación. 00:00:46
Emilio. 00:00:48
Dime. 00:00:49
Desde casi no vemos nada. 00:00:51
O sea, no escuchamos ni... 00:00:53
No escucháis ni veis. 00:00:55
O sea, bueno, si la pantalla compartida sí la estamos viendo. 00:00:57
Bueno, algo es algo. 00:01:00
Pero no. 00:01:01
No. 00:01:03
Bueno, estoy grabando la clase 00:01:05
y pues 00:01:07
pues 00:01:09
y si no dejas esto 00:01:10
¿puedes dejar el móvil 00:01:12
así abierto 00:01:15
y en manos libres para que se oiga algo? 00:01:16
Sí, pero 00:01:20
es que un móvil para toda la clase. 00:01:21
Lo que hacíamos en química 00:01:25
era poner la pantalla de Marisol 00:01:27
en la frente y con dos 00:01:29
móviles en cada esquina de la clase y se podía 00:01:31
escuchar bien todo. 00:01:33
Sí, pues venga, intentad eso, con dos móviles 00:01:35
a ver qué pasa. 00:01:37
Con dos móviles conectar con los dos. 00:01:39
¿Con tu móvil o con el? 00:01:41
¿Qué es lo que te dice? 00:01:43
Yo lo que puedo hacer es lo que me ha dicho Hugo. 00:01:45
Pongo el altavoz 00:01:48
el mío y que Hugo lo ponga. 00:01:49
¿Va a subir? 00:01:50
¿Va a subir? 00:01:51
¿Va a subir? 00:01:53
¿Cuándo llegamos a mi pieza? 00:01:57
está grabando la clase y la vas a subir pues lo he intentado otras veces y algunas veces si se 00:02:03
puede entrar no no sé por qué entonces lo intentaré si se puede sí y sí pero otra vez me da un me dice 00:02:11
que no reconoce el archivo y no se puede subir así que bueno ya veremos yo creo que sí sí se 00:02:19
puede pero a lo mejor es que pesa mucho pues a mitad de clase lo paró la grabación vuelvo a 00:02:24
ponerla y lo subo en dos partes, a ver si es el problema ese, que tenga mucho peso. 00:02:33
Bueno, pues venga, estamos. 00:02:38
Terma de error. Lo que dice el terma de error es que yo tengo, fijaos aquí en la gráfica, 00:02:41
en A la función vale lo que sea, pues 3. En B vale lo mismo, 00:02:45
3, o da igual el valor. Si la función es continua y derivable, 00:02:49
si no ocurre, no pasan cosas raras, si tiene que ir desde A 00:02:53
la función que está en 3 hasta B, que también acaba en 3, 00:02:56
Pues en algún momento dado, aquí, a lo mejor es solo en un punto, a lo mejor es en dos, a lo mejor es en 200 puntos, en algún punto la tangente será horizontal, la inclinación es cero, es decir que la tangente es horizontal, inclinación cero, o sea, derivada a cero. 00:03:00
Eso es lo que dice el trabajo de rol. 00:03:18
¿Vale? En este ejemplo hay 00:03:19
dos puntos. Aquí en C1 00:03:21
a ver que amplio esto. 00:03:24
En C1 y en C2. 00:03:30
¿Vale? ¿Sí? ¿Está claro eso? 00:03:32
¿Sí o no? Decidme algo. 00:03:45
Emilio, se ve fatal. 00:03:47
Si le dices que reivindica todo lo que hemos 00:03:49
llevado a lo último. 00:03:50
Se ve fatal. 00:03:52
Bueno, haremos lo que podamos y 00:03:54
os lo colgaré en la grabación. 00:03:56
Bueno, pues lo que... 00:04:01
Pero ¿queda claro eso? 00:04:03
¿Qué ejemplos hay? Vamos a ver tres ejemplos 00:04:05
El primero y el segundo son muy sencillos 00:04:10
No tiene mucha cosa 00:04:12
El tercero es el importante 00:04:13
El primer ejemplo 00:04:16
Dice que hay que determinar el valor de A 00:04:18
Para que esa función cumpla las hipótesis 00:04:20
Del intervalo 0A 00:04:22
Pues que cumpla las condiciones 00:04:24
Los primeros que sea continua 00:04:27
Si no es continua o derivable 00:04:28
Ya está, no cumple el tema de rol 00:04:29
Como es un polinomio es continuo 00:04:32
Es derivable en todo R 00:04:34
lo que dice el teorema de Rolle es que la función en 0 00:04:35
tiene que valer lo mismo que la función en A 00:04:39
pues calculamos cuánto vale la función en 0 00:04:40
que es 3, ¿no? 00:04:43
0 al cubo menos 3 por 0 más 3 00:04:44
para que se cumpla el teorema de Rolle 00:04:46
la función en A también tiene que valer 3 00:04:49
tiene que valer lo mismo 00:04:51
f de A tiene que ser 3 00:04:52
pues es una ecuación 00:04:54
x al cubo menos 4x más 3 igual a 3 00:04:56
en vez de x ponemos A 00:04:59
3 se va con 3 00:05:01
y queda al cubo menos 4A igual a cero. 00:05:03
Solución es, pues A es igual a cero, A es igual a dos, A es igual a menos dos. 00:05:08
¿Sí? 00:05:13
Sí. 00:05:16
Vale. 00:05:18
¿Por qué A igual a cero no es válida? 00:05:19
Porque el error ha sido quiso. 00:05:26
¿Por qué? 00:05:31
Porque se supone que el punto es de cero A, entonces sería repetitivo. 00:05:36
Claro, no puede ser de cero a cero, no es nada, sería cero. 00:05:41
O sea, cero nada más. 00:05:44
Incluso derivables no serían ni 0, porque si era intervalo abierto de 0 a 0, no existiría intervalo. 00:05:46
Eso es. Muy bien. 00:05:50
Pues a igual a 0 no es válida porque no, no puede ser 0, 0. 00:05:52
Podría ser 2, podría ser menos 2. 00:05:56
Si fuera menos 2, pues el intervalo sería menos 2, 0. 00:05:58
Y ya está. Da igual. 00:06:00
¿Vale? Solo eso, ya está. 00:06:02
El ejemplo este es así de fácil. 00:06:04
Solo hay que ver que la función en A valga lo mismo que la función en 0. 00:06:06
El segundo sería un ejemplo trampa, un ejercicio trampa. 00:06:10
comprobar que se verifica o si se verifica el teorema de Rolle para la función 00:06:13
pues esa, raíz cúbica de x al cuadrado, en menos 1, 1 00:06:18
si decís, pues f de menos 1, ¿cuánto vale? 00:06:21
la raíz cúbica de menos 1 al cuadrado, 1, ¿cuánto vale f de 1? 00:06:26
pues también vale 1, pues que bien se verifica Rolle, pues no 00:06:30
¿por qué? la función es continua, pero la función 00:06:34
no es derivable, si hacéis la derivada queda esto de aquí 00:06:38
2 partido de 3 por la raíz cúbica de x 00:06:40
y esta función no es derivable en 0 porque en 0 00:06:44
2 partido por 0 no existe 00:06:47
¿Sí? ¿Lo veis? ¿Está claro? 00:06:49
Sí. Vale, pues ese sería un ejercicio 00:06:54
un ejemplo trampa 00:06:57
pero el que sí que sale de vez en cuando y creo que salió el año pasado 00:06:58
en la EBAU en junio 00:07:03
no este, pero algo parecido 00:07:05
A ver. Demostrar que la ecuación x al cubo menos 2x cuadrado más 3x menos 3 igual a 0 admite una única solución real en el intervalo 1, 2. 00:07:07
¿Qué hacemos? Lo primero, que sea continuo y derivable, porque si no, no hay nada que hacer. 00:07:18
Como es un polinomio, es continuo y derivable en todos los reales. ¿Vale? 00:07:23
Esto ya hemos visto algo parecido. ¿Qué hay que hacer para saber si tiene solución? 00:07:28
Aplicar el teorema de Bolzano, ¿no? ¿Os acordáis o no? 00:07:32
Sí. 00:07:37
¿Seguro? 00:07:37
más o menos 00:07:39
el teorema de Bolzano decía 00:07:40
la función es continua en 1, 2 00:07:43
derivable en 1, 2 00:07:45
si en 1 00:07:46
en f de 1, f de 1 vale menos 1 00:07:48
es menor que 0 00:07:51
y f de 2, 3 00:07:52
mayor que 0, el teorema de Bolzano 00:07:55
lo que decía es que en algún punto entre 1 y 2 00:07:57
en f de c 00:07:59
vale 0, ¿no? 00:08:01
es negativo, es positivo, pues en algún 00:08:03
momento dado tendrá que atravesar el eje 00:08:05
y vale 0, ¿sí? 00:08:07
Es decir, que tiene solución. 00:08:09
Si me pidesen que tiene solución, ya está, se acabó. 00:08:13
Pero el termo de Borsano dice que tiene solución, 00:08:16
pero no dice si es una, dos o 500 soluciones. 00:08:18
Tiene solución, pero puede haber muchas más. 00:08:21
Pero el ejercicio me pide que tenga una única solución, 00:08:24
que solo haya una. 00:08:27
El termo de Borsano no me lo asegura. 00:08:28
Me asegura que hay solución, pero no me dice que sea una o dos. 00:08:29
Pues entonces lo que vamos a hacer es reducción al absoluto. 00:08:34
¿Qué es eso de reducir un absurdo? 00:08:36
¿Lo has visto alguna vez en 00:08:39
en filosofía? 00:08:41
Me suena, pero no me acuerdo 00:08:45
Sí, lo del año pasado 00:08:46
Te invitabas el resultado, ¿no? 00:08:47
Bueno, reducir un absurdo es 00:08:51
yo supongo una cosa 00:08:53
y si llega un absurdo es que esa cosa que he supuesto al principio 00:08:54
era incorrecta 00:08:57
¿Vale? Sí, sí, sí 00:08:59
Vale, pues vamos a hacerlo 00:09:01
Estos siempre se hacen igual 00:09:03
Si os pongo uno de estos en el examen 00:09:05
o en la de Bau, que de vez en cuando aparecen. 00:09:07
Los pasos son los mismos. 00:09:10
Primero aplicar Bolzano, y con Bolzano 00:09:11
me aseguro de que hay solución. Y después, 00:09:13
aplicar Rol, por reducción a 00:09:15
absoluto, siempre igual. 00:09:17
Entonces, ¿qué 00:09:19
vamos a suponer? Pues vamos a suponer que hay dos soluciones. 00:09:20
¿Vale? 00:09:24
Dos soluciones, C1, C2. 00:09:25
En vez de una, dos. Dos soluciones. 00:09:27
F de C1 es igual a F de C2 00:09:30
igual a cero. ¿Sí? ¿Vale? 00:09:31
Y supongo que C1 es más pequeño que C2. 00:09:35
porque al revés, ¿qué más da? Uno es más pequeño 00:09:37
que el otro, pues ¿qué más da? Suponemos que 00:09:39
C1 es más pequeño que C2. 00:09:40
La función es continua 00:09:44
en C1, C2 y es derivable en C1, C2 00:09:45
porque es un polinomio 00:09:47
y es derivable en todo R, ¿no? 00:09:49
Y la función vale lo mismo 00:09:52
en C1 y C2 porque vale 0. 00:09:53
¿Sí? Sí. 00:09:55
Entonces, el termo de error 00:09:58
lo que me dice es que hay un punto 00:09:59
C' entre C1 y C2 00:10:01
de manera que la derivada 00:10:03
en C' vale 0. 00:10:04
Sí. Esto es c' no es c elevado a 1. f' de c' igual a 0. ¿Está claro? Sí. Vale. Bueno, pues vamos a hacer la derivada. ¿Cuál es la derivada de la función? 00:10:07
Pues la derivada de la función, como es un polinomio, x al cubo, pues 3x al cuadrado. 00:10:23
Menos 2x al cuadrado, pues menos 4x. 00:10:30
Más 3x, pues más 3. 00:10:33
¿Sí? 00:10:36
Sí. 00:10:39
¿Cuándo vale 0? 00:10:40
Hacemos la ecuación del segundo grado y resulta que no tiene solución. 00:10:41
Me sale la raíz de menos 20, no hay solución. 00:10:44
¿Vale? 00:10:47
Es decir, que la derivada nunca vale 0. 00:10:48
Si no hay solución, la derivada nunca vale 0. 00:10:53
o sea que no existe ese punto 00:10:55
no existe C' en el que valga 0 00:10:57
pues ahí está el absurdo, la contradicción 00:10:59
¿sí? 00:11:02
el teorema de Rolle me dice que sí 00:11:05
el teorema de Rolle me dice que sí que existe 00:11:07
F' de C' vale 0 00:11:09
y al hacer las cuentas resulta que me sale que no 00:11:11
pues ahí está la contradicción 00:11:14
ahí está el absurdo, ¿de dónde viene el absurdo? 00:11:16
de lo que hemos supuesto al principio 00:11:19
que es que existían dos soluciones 00:11:20
como hemos llegado a un absurdo 00:11:21
suponiendo que hay dos soluciones no puede ser 00:11:24
no hay dos soluciones, así que solo hay una 00:11:26
la solución es única 00:11:28
¿Sí? ¿Está claro? 00:11:29
Sí 00:11:33
Bueno, pues muy bien 00:11:33
pues 00:11:37
pues nada, el teorema de Rolle 00:11:38
es esto nada más, el teorema de Rolle 00:11:40
siempre, bueno siempre no, pero casi siempre 00:11:42
va unido al de Bolzano 00:11:44
Bueno, pues vamos a ver 00:11:46
el siguiente 00:11:48
Emilio, ¿esto luego lo vas a poner en el aula? 00:11:49
Sí, sí, esto está ya, lo he puesto ya en el aula 00:11:55
Vamos a ver el otro teorema 00:11:57
Teorema del valor medio de Lagrange 00:12:01
que también se llama de los valores 00:12:06
infinitos, de los valores finitos 00:12:08
incrementos, perdón 00:12:10
de los incrementos finitos 00:12:12
A ver, ahí se ve bien, ¿no? 00:12:14
Sí 00:12:19
Bueno, pues lo mismo, igual 00:12:19
las condiciones siempre son las mismas 00:12:22
Una función que sea continua en el intervalo cerrado 00:12:23
derivable en el intervalo abierto 00:12:25
pues lo que dice el teorema de Lagrange 00:12:27
es que existirá un punto entre A y B 00:12:30
un punto C entre A y B 00:12:33
de manera que la derivada en C 00:12:34
es igual a esto 00:12:36
a los incrementos, al incremento de Y 00:12:37
partido por el incremento de X 00:12:40
o sea F de B menos F de A partido de B menos A 00:12:41
¿vale? 00:12:44
es decir, despejando 00:12:47
pues F de B menos F de A es igual 00:12:48
a F' de C por B menos A 00:12:50
y esto es la ecuación 00:12:52
de la recta tangente ¿no? 00:12:54
sí sí vale gráficamente qué significa qué significa esto yo tengo una función intervalo 00:12:57
cerrado a b en a vale lo que sea efe de ahí tengo el punto a vale en b pues el punto b 00:13:07
la función es esto de aquí la curva la curva como sea da igual lo que dice el teorema de 00:13:14
Lagrange es que hay un punto 00:13:24
C en medio entre A y B 00:13:25
de manera que si yo aquí 00:13:28
en F de C 00:13:29
en F de C hago la recta tangente 00:13:31
pues la recta 00:13:35
tangente es paralela 00:13:37
a la recta que pasa por A y por B 00:13:39
esta es la recta de A y B 00:13:41
y la recta tangente en C 00:13:43
es paralela 00:13:45
¿si? eso es lo que dice el teorema de Lagrange 00:13:46
ya está, no dice más 00:13:53
ejemplos, pues vamos a ver dos ejemplos 00:13:54
Por aquí estos ejemplos suelen ser bastante tontos. 00:13:57
El ejemplo 1 dice encontrar un punto de esta función, un polinomio, 00:14:02
en el que la recta tangente sea paralela a la cuerda que une 0, menos 2 y 4, menos 6. 00:14:06
Pues, ¿cómo lo haríais si nos olvidamos de Lagrange? 00:14:14
Si esto fuera un ejercicio que se hubiera puesto hace una semana, ¿podríais hacerlo? 00:14:16
¿Cómo lo haríais? 00:14:21
Con fotomar. 00:14:27
¿Y además? 00:14:29
Yo haría comprobar si es continua o no. 00:14:36
aunque aquí en este caso sí que es continua es continua aseguró que es un polinomio pero ahora 00:14:38
esto de aquí la recta tangente os pido la recta que la recta tangente sea paralela a esa cuerda 00:14:43
o esa recta me da igual a la recta que pasa por ahí por b esto lo hemos hecho yo lo que haría 00:14:50
si en vídeo yo lo que haría es que si la cuerda pasa por el punto y el punto b haría la fórmula 00:14:56
esta de la pendiente que es 00:15:05
variación de y 00:15:06
partido de variación de x. Ahí tengo una 00:15:08
pendiente y como es paralela 00:15:11
a la función 00:15:13
saco la derivada de esa función y ahí 00:15:14
igualo ambas y consigo 00:15:17
un punto x. 00:15:19
Eso es. Y realmente el teorema 00:15:21
de Lagrange tampoco 00:15:23
nos dice gran cosa porque efectivamente eso ya lo hemos hecho. 00:15:25
Era un ejercicio de rectas tangentes. 00:15:27
¿Cómo calculo la recta 00:15:30
tangente que me piden? Pues como dice que 00:15:31
sea paralela, lo que hay que hacer es sacar la pendiente de esta cuerda o de esta recta, 00:15:33
me da igual. Y la pendiente, la definición de pendiente es eso, incremento de y, incremento 00:15:37
de x. En este caso, por ejemplo, incremento de y, pues menos 6 menos menos 2, menos 4, 00:15:41
partido de 4 menos 0, menos 1, 4, menos 4 entre 4, menos 1. La pendiente de esta cuerda 00:15:48
es menos 1. Como la recta tangente 00:15:56
es paralela, me piden que sea paralela, pues también la pendiente es menos 1. 00:16:00
Así que la derivada es menos 1. ¿Sí? 00:16:05
Sí. Vale, pues ya está. En este ejercicio hemos hecho uno 00:16:11
muy parecido. Si la pendiente es menos 1, 00:16:16
como la pendiente coincide con la derivada, pues hacemos la derivada que sería 00:16:20
no lo he puesto aquí, pero sería 3x cuadrado menos 10x más 3 00:16:23
igual a menos 1. 00:16:27
¿Sí? 00:16:30
La derivada quiero que sea menos 1, 00:16:31
que sea igual que la pendiente. 00:16:33
Es una ecuación de segundo grado y las soluciones son estas. 00:16:35
¿Vale? 00:16:38
Es decir, que realmente no hace falta, para hacer este ejemplo, 00:16:41
no haría falta el teorema de 00:16:43
Lagrange. 00:16:45
Y el ejemplo 2, tampoco es necesario 00:16:47
hacer el teorema de Lagrange 00:16:49
o de valor medio de incremento finito. 00:16:51
Da igual, se llaman las tres maneras. 00:16:53
Dice calcular a y b para que esta 00:16:56
función definida de trozos, cumpla las hipótesis del termo de valor medio en 00:16:57
menos 1, 5. Y hallar c. Bueno, aquí lo he escaneado y no 00:17:01
pone... se ha comido eso. Hallar c. Hallar el valor. 00:17:05
Pues, ¿qué dice el termo de valor medio? Que la función tiene que ser continua y derivable. 00:17:12
Es decir, que lo único que tenemos que hacer, lo que hemos hecho estos días, ver 00:17:16
cuándo es continua y derivable esta función 00:17:19
y cuánto tiene que valer a y b para que sean 00:17:22
continua y derivable, ¿dónde? Pues en x igual a 1, en el salto. 00:17:27
¿Sí? Sí. Vale. 00:17:31
¿Qué hacemos entonces? Pues eso, lo que hemos hecho siempre. 00:17:38
Continúa, límite por la derecha, límite por la izquierda, 00:17:42
el límite por la derecha, donde pone x ponemos 1, 00:17:46
aquí por la derecha, donde pone x ponemos 1, 2 por 1 más 1, 3. 00:17:49
Límite por la izquierda, 1 más a más b. 00:17:54
Eso tiene que ser igual a 3. 00:17:59
Pues ahí tenemos una ecuación. 00:18:01
Nos vamos a la derivada. 00:18:03
De momento es una ecuación con A y con B. 00:18:05
O sea, que de momento no puedo despejar nada. 00:18:07
Tenemos dos incógnitas. 00:18:08
Haríamos la función derivada, que sería 2X más A, ¿no? 00:18:10
Y aquí sería 2. 00:18:15
¿Sí? 00:18:17
Sí. 00:18:20
No hace falta que lo explique, ¿no? 00:18:21
Esto ya he puesto la solución interesante. 00:18:23
Yo creo que es fácil, que no hace falta explicarlo. 00:18:25
La función derivada es 2x más a por la izquierda, 2 por la derecha. 00:18:27
En 1, que es donde está el salto, tiene que ser igual por la derecha y por la izquierda. 00:18:33
Como usted era 2x más a, pues 2 por 1 más a, o sea, 2 más a. 00:18:39
¿2 más a? 00:18:44
Sí. 00:18:46
2 más a tiene que ser igual a 2, pues a tiene que valer 0. 00:18:50
Ya está. 00:18:54
El primer valor que sacamos de la derivada es que a vale 0. 00:18:54
y ahora vuelvo para atrás 00:18:57
ya sé que A vale 0 00:18:59
me voy a la condición que habíamos sacado 00:19:01
de la continuidad, que era 00:19:03
más A más B 00:19:06
igual a 3 00:19:08
¿sí? 00:19:09
entonces B vale 3 00:19:13
B vale 2 00:19:14
porque era 1 00:19:17
1 más A 00:19:18
pero A ya sabemos que es 0 00:19:21
1 más A, 0 00:19:22
1 más B 00:19:24
tiene que ser igual a 3. 00:19:26
¿Sí? 00:19:28
Sí. 00:19:32
Vale, pues como 1 más b tiene que ser igual a 3, despejamos y b tiene que ser 2. 00:19:33
¿Vale? 00:19:38
Sí. 00:19:39
El punto C vamos a sacarlo. 00:19:40
Vamos a ver otra cosa. 00:19:41
A ver si puedo escribir aquí, saldrá como salga, pero bueno. 00:19:45
Tenemos entonces la función f de x es x cuadrado más ax más 0, 00:19:51
x cuadrado más b más 2 cuando x es menor que 1 y 2 y más 1 cuando x es mayor o 00:19:57
igual que 1 vamos a voy a hacer una cosa ya compartir 00:20:04
otra pantalla y voy a parar la grabación para qué 00:20:09
a ver si en dos en dos trozos la vuelvo a grabar ahora 00:20:20
Subido por:
Emilio G.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
78
Fecha:
9 de octubre de 2020 - 14:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES TIRSO DE MOLINA
Duración:
20′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
53.39 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid