Propiedades de los determinantes (1) - Contenido educativo
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Propiedades de los determinantes.
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Primera, el determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta.
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Se indica el determinante de A igual al determinante de A traspuesta.
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Segunda, si se multiplican todos los elementos de una fila o una columna por un escalar K,
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el determinante queda multiplicado por ese mismo número.
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Fijaos, partimos por ejemplo de este determinante de aquí, un determinante de orden 3.
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Entonces, a la primera columna la voy a multiplicar toda ella por un escalar, por K.
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Entonces el determinante, el nuevo determinante que se me ha formado, es igual a K por el determinante inicial.
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Esto lleva dos implicaciones.
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primero, que gracias a esta propiedad lo que va a hacer es que me va a permitir sacar factores comunes a todos los elementos
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de una fila a una columna, lo cual va a hacer que cuando tenga calculado un determinante
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se me va a reducir en el cálculo
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y segundo, el determinante de la matriz que resulta de multiplicar escalarmente K por A
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es igual a K elevado a N por el determinante de A
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Fijaos, la matriz que resulta de multiplicar K por A es una matriz en la que todos los elementos de A están multiplicados por K, van a aparecer multiplicados por K
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Si tengo N filas o N columnas, vamos a fijarnos en N filas, yo podré sacar factor común por cada fila ese factor K
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Luego, como tiene n filas, podré sacar el factor k n veces.
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Luego, este determinante será k elevado a n por el determinante de A.
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Bien, veamos un ejemplo la propiedad de determinantes que acabamos de ver.
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Nos dice que relaciona el antiguo determinante de A y este otro determinante.
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Primero observamos, el segundo determinante tiene la misma segunda y tercera columna que la de A.
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Y la primera columna del segundo determinante está formada por los mismos elementos que la primera columna del determinante de A,
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pero todos ellos multiplicados por el factor 2.
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Pues vamos a ver cuál es el resultado de cada uno de estos determinantes.
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Determinante de A es el determinante 2, 1, 2, 1, 2, 0, 3, 5, 6.
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calculamos con la regla de Sarrus
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2 por 2, 4 por 6, 24
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más 1 por 0, 0
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y por 3, 0
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más 5 por 1, 5 por 2, 10
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menos 3 por 2, 6 por 2, 12
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menos 5 por 0, 0 y por 2, 0
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y menos 1 por 1, 1 y por 6, 6
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igual, agrupamos
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términos positivos 34
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menos términos negativos 18
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34 menos 18, 16
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Luego el determinante de A vale 16
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Calculemos ahora el otro determinante
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El que está formado por la primera columna
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2 por 2, 2 por 1, 2 por 3
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1, 2, 2, 0, 5, 6
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Antes de desarrollar el determinante
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Vamos a resolver las operaciones que tenemos en la primera columna
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4, 2, 6, 1, 2, 5, 2, 0, 6
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Y ahora de nuevo, desarrollamos este determinante por sarros, 4 por 2, 8, por 6, 48, más 1 por 0, 0, por 6, 0, más 2 por 5, 10, por 2, 20, menos 6 por 2, 12, por 2, 24, menos 5 por 0, 0, por 4, 0, y menos 2 por 1, 2, por 6, 12.
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De nuevo, agrupamos primero los términos positivos, 68, menos, y los términos negativos, 36.
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Entonces, esto nos da 32.
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¿Qué relación hay?
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Pues que el determinante de A, perdón, la relación es que este determinante,
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El determinante 2 por 2, 2 por 1, 2 por 3, 1, 2, 2, 0, 5, 6, su valor es el doble que el determinante de A.
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Esta columna, los elementos de esta columna están todos multiplicados por 2 y me sale entonces, ese es el factor que multiplica al determinante de A.
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Bien, sabiendo que este determinante vale 2, calcula este otro determinante.
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Esto lo vamos a hacer utilizando las propiedades de los determinantes.
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Venga, pues copiamos el determinante.
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3A, 3B, 15C, DE, 5F, GH, 5I.
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Vale.
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me fijo por ejemplo
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que toda esta fila
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está multiplicada, todos los elementos de esa fila
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están multiplicados por 3
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luego podría sacarlo
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factor común el 3
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y además lo voy a hacer a la B
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toda esta columna veo que todos los elementos
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están multiplicados o son múltiplos
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de 5, luego sacamos 5
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factor común, entonces
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si aquí he sacado el 3
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y en este elemento también he sacado el 5
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me quedaría
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A, B, C
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D, E, F, porque aquí he sacado el factor 5, G, H, I.
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Uso el determinante que me han dado, luego esto es 3 por 5 y por 2, esto vale 30.
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Ese es el valor del determinante.
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Si los elementos de una fila o columna se pueden descomponer en suma de 2 o más sumandos,
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el determinante será igual a la suma de dos o más determinantes en los que las restantes filas o columnas se mantienen iguales.
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Y en dicha fila o columna aparece el primer sumando, el segundo sumando, etc.
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Por ejemplo, si yo tengo una matriz de orden 3 y me doy cuenta que la primera columna la puedo descomponer como suma de dos sumandos,
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Entonces el determinante de esa matriz será la suma de dos determinantes, tenía dos sumandos, uno y dos, pues será la suma de dos determinantes, donde las dos últimas columnas siguen siendo iguales y ahora la primera columna del primer determinante será el primer sumando y la segunda columna, o sea, y la primera columna del segundo determinante será el segundo sumando.
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esto también hace que se simplifiquen los cálculos
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si en un determinante los elementos de una fila o columna son nulos
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entonces el determinante es nulo
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es decir, el determinante vale 0
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esto es fácil de comprobar
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si desarrollásemos por ejemplo este determinante de orden 3 por sarro
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sería el producto de A11 por 0 por A33
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0, desaparece este sumando
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El producto de A12 por 0 y por A31, 0, desaparece. El producto de 0 por A32 por A13, 0, desaparece.
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Menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria, 0.
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El producto menos el producto de los elementos de la línea paralela a la diagonal secundaria por su vértice opuesto, 0.
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y menos el producto de los elementos de la otra línea paralela a la diagonal secundaria por su vértice opuesto, cero también.
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Luego este determinante es cero y da igual que sea la segunda columna, la segunda fila, primera fila, tercera columna, da igual.
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Al permutar, intercambiar dos filas o dos columnas, entonces el determinante cambia de signo.
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Por ejemplo, si yo tenía este determinante inicial de orden 3 y quiero o intercambio la segunda y la tercera columna, veis, he intercambiado lo que está en la segunda columna, aquí está la tercera y lo que estaba en la tercera aquí pasa a ser la segunda, entonces el determinante cambia de ser.
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Bien, ¿qué ocurre con el determinante cuando permutamos la primera y segunda columna?
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Bueno, pues vamos a calcular
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Por un lado el determinante de A
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Aplicamos la regla de Sarrus
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1 por 3, 3 por 5, 15
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Más 2 por menos 1, menos 2 por 3, menos 6
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Más 4 por 4, 16 por 3, 48
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Menos 3 por 3, 9 por 3, 27
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Menos 4 por 2, 8, por 5, 40
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Y menos 4 por menos 1, menos 4, por 1, menos 4
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Quitamos paréntesis y nos queda 15, menos 6, más 48, menos 27, menos 40 y más 4
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Agrupamos términos positivos
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15, más 48, 63, más 4, 67
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7 menos, agrupamos términos negativos, menos 6 más 27, 33 más 40, 73.
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Luego esto nos queda menos 6.
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Ahora vamos a formar el determinante que resulte de permutar la primera y segunda columna,
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es decir, la segunda columna del determinante de A, ahora pasa a ser la primera.
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2, 3, 4
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y la primera del determinante de A
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ahora pasa a ser la segunda
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1, 4, 3
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y la tercera queda invariante
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queda igual
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y calculamos el valor del determinante
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por la regla de Sarrus
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2 por 4, 8 por 5, 40
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más 1 por menos 1
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menos 1 por 4, menos 4
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más 3 por 3, 9 por 3, 27
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menos 4 por 4, 16 por 3, 48
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menos 3 por menos 1, menos 3 por 2, menos 6
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y menos 3 por 1, 3 por 5, 15
00:10:48
si quitamos paréntesis nos queda 40 menos 4
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más 27 menos 48 más 6 y menos 15
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si nos fijamos ahora en estos sumandos
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vemos que los que antes estaban en positivo
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el 15, 48 y el 4 ahora están en negativo
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y los que antes estaban en negativo
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el menos 6, el menos 27 y el 40 están en positivo
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luego los sumandos son los mismos solo que cambiados de signo
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hacemos las operaciones, sumamos por los lados positivos
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40 más 27, 67, más 6, 73, menos 4 más 48, 52, 52 menos 15, 67, y esto nos da 6.
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Por tanto, ¿qué ocurre? Lo que ocurre es que el determinante ha cambiado de signo.
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Si un determinante tiene dos líneas o filas paralelas iguales, ese determinante vale 0.
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Si una matriz tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero.
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Fijaos, esto es consecuencia de la propiedad anterior.
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Si nos fijamos primero en este determinante, esta última columna, la tercera columna, es proporcional a esta.
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En esta columna todos tienen el factor común K, podría sacarlo fuera del determinante.
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Y entonces me quedaría K por el determinante que está formado por una segunda y tercera columna exactamente iguales.
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Aplicando la propiedad 6, esto vale 0.
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Comprueba que el determinante de orden 3 es igual a 0.
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Fijaos, este determinante de orden 3 tiene las dos primeras columnas iguales.
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Es una de las propiedades que acabamos de ver ahora.
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Entonces vamos a resolver este determinante y vamos a comprobar que efectivamente sí que vale 0.
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Bueno, vamos a calcular este determinante, por cambiar y por variar un poquito vamos a utilizar este truco de la regla de Sarrus,
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es decir, el que añadíamos las dos primeras filas por debajo y entonces consideramos la diagonal principal y sus otras dos paralelas
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y consideramos la diagonal secundaria y sus otras dos paralelas.
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Entonces, este nos quedaba, las que están marcadas en negro,
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la suma de esos productos y las que están marcadas en azul,
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haremos la resta, la diferencia de esos productos, o sea, vamos a ir uno menos por delante.
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1 por 4 por 5, 20, más 4 por 3, 12, por 3, 36, más 3 por 1 y menos 1, menos 3
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menos 3 por 4, 12, por 3, 36, menos 1 por 3 y por menos 1, sería menos 3
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y menos 4 por 1 y por 5, sería menos 20
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Fijaos, aquí me queda 36 en positivo, 36 en negativo
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Menos 20 en negativo, más 20 en positivo
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Esto es un menos por menos más, más 3 con menos 3
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Luego efectivamente este determinante es 0
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Justifica, ¿por qué ese determinante es 0?
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Bueno, esto lo podríamos justificar por dos propiedades
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La primera, por ejemplo
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Nos podemos dar cuenta de que esta columna, la columna 2
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es dos veces la columna 1
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es decir, la columna 2 es proporcional
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entonces, por la propiedad que nos dice
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que si dos líneas paralelas o fila o columna
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son proporcionales, el determinante es 0
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eso por un lado
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por otro lado, podríamos decir
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el determinante
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3, 6, 9
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6, 12, 18
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0, 1, menos 2, este determinante lo podemos, si sacamos vamos a utilizar la propiedad que podríamos sacar factor común
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Nos fijamos que esta columna tiene como factor común el 3 y que esta columna tiene como factor común el 6
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Luego este determinante lo puedo calcular como 3 por 6 por, si a esta columna he sacado factor común 3 me queda 1, 2, 3
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Si esta columna ha sacado factor 6 me queda 1, 2, 3, 0, 1, menos 2 y por tanto como aquí tengo dos columnas iguales, este determinante es 0, luego el producto de 3 por 6 y por 0, 0.
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Y efectivamente podríamos haber calculado el determinante y comprobar que el valor era 0, o sea por tres formas, para que veáis que si me doy las propiedades puedo rápidamente calcular un determinante.
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Gracias.
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- Autor/es:
- ANA MARIA RUBIO VILLANUA
- Subido por:
- Ana Maria R.
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- Fecha:
- 8 de octubre de 2020 - 8:46
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- IES VILLABLANCA
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