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Recta tangente a una función - Contenido educativo
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Esta recta tangente a una función en un punto viene dado por la siguiente expresión. La recta tangente a f en x igual a x sub cero es y menos f de x sub cero igual a f prima en x sub cero por x menos x sub cero.
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donde x sub 0, f de x sub 0 es el punto de tangencia
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y f' de x sub 0 es la pendiente de la recta tangente
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la derivada, su definición es justamente
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la derivada en x sub 0 es la pendiente de la recta tangente
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es decir, que tenemos una función y esta es la recta tangente
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el punto de tangencia es x sub 0, f de x sub 0
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y la pendiente es la derivada de la función en ese punto.
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Vamos a verlo con dos ejemplos.
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El primer ejemplo es hallar la recta tangente a esta función, x por e elevado a x, en x igual a 1.
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Por un lado calculamos el punto de tangencia.
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Ese punto es x sub 0, f de x sub 0, es decir, 1 f de 1.
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sustituimos 1 y nos da e
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es decir, que el punto de tangencia es 1, e
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ahora vamos con la pendiente
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primero hacemos la derivada de la función
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la calculamos, es un producto
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y obtenemos esta expresión
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hallamos el valor de la derivada
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en el punto de tangencia
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en x igual a 1
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f' en 1, al sustituir aquí
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nos queda 2e
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por tanto, la recta tangente es
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Y menos E igual a la pendiente 2E por X menos 1.
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Esta es la recta tangente.
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Vamos a ver otro ejemplo un poco al revés.
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Queremos hallar A y B en esta función para que Y igual a 2X menos 3 sea la recta tangente en X igual a 2.
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Este es un problema un poco inverso del otro.
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Nos dan la recta tangente y nos piden hallar ciertos valores de la función para que esto sea así.
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Por un lado, la función tiene que pasar por el punto de tangencia y es lo primero que vamos a hallar.
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¿Cuál es el punto de tangencia?
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El punto de tangencia ahora lo vamos a buscar en la función.
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Como nos dice que es nx igual a 2, pues nos vamos a la recta tangente.
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y en la recta tangente al sustituir 2 obtenemos 2 por 2, 4 menos 3, 1.
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Es decir que para x igual a 2 la y vale 1 en la recta tangente
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y también por supuesto tiene que ocurrir en la función.
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Es decir que cuando yo sustituya aquí en la función f de 2
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¿a qué es igual? Sustituimos y queda 4a más 2p
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y ¿a qué tiene que ser igual? Tiene que ser igual a 1
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para que pase por el punto de tangencia.
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Por otro lado, la pendiente de f en x igual a 2 es la de la recta tangente, que en este caso es 2.
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Entonces, ¿qué es lo que hacemos? Hallamos la derivada de la función, la derivada de esta función, que es 2ax más b.
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2ax más b.
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En x igual a 2, la derivada sustituimos y vale 4a más b.
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Si lo escribimos aquí, nos sale 4a más b. ¿Y a qué tiene que ser igual? Tiene que ser igual a 2, que es la pendiente de la red tangente. Es decir, que por un lado, 4a más 2b es igual a 1, y por otro, 4a más b es igual a 2.
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Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo resolvemos y nos sale que a tiene que valer tres cuartos y b tiene que valer menos uno.
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Para estos valores tenemos una función cuya recta tangente en x igual a dos es dos x menos tres.
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- Autor/es:
- Francisco Medina
- Subido por:
- Francisco M. M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 85
- Fecha:
- 28 de noviembre de 2020 - 14:09
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES JAIME FERRAN CLUA
- Duración:
- 04′ 32″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 768x480 píxeles
- Tamaño:
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