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Campo mangético de un hilo infinito - Ley de Biot y Savart - Contenido educativo

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Subido el 20 de abril de 2020 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo aplicamos la ley de Biot y Savart para calcular el campo magnético generado por un hilo conductor infinito en un punto.

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En este vídeo vamos a calcular el campo que genera una corriente rectilínea infinita. 00:00:06
Este hilo de aquí es un hilo conductor por el cual circula una corriente de intensidad I. 00:00:13
Vamos a calcular el campo magnético que genera en este punto P, que está a una distancia de, en perpendicular a este hilo. 00:00:21
Para ello vamos a aplicar la ley de Biot y Savart. 00:00:31
Ley de Biot y Savart 00:00:34
La ley de Biot y Savart nos dice que cada trocito de este hilo va a tener una contribución 00:00:41
Un trocito, por ejemplo, de este trocito de aquí 00:00:50
va a tener una contribución diferencial, porque es un trozo pequeño 00:00:55
que va a venir dada por esta expresión 00:01:00
1 sub 0 00:01:03
por la intensidad que circula por el hilo 00:01:05
dividido entre 4pi por diferencial de L que tiene relación con este trocito 00:01:08
producto vectorial con R unitario, el gorrito significa unitario 00:01:17
entre el módulo de R al cuadrado. 00:01:25
Vamos a ver qué representa cada uno de estos términos. 00:01:30
Mu sub cero es la permeabilidad magnética del vacío. 00:01:34
Si no estuviésemos en el vacío, por ejemplo, estuviésemos debajo del agua, tendríamos que añadir un término permeabilidad relativa, un sub-R. 00:01:37
Y es la intensidad que circula por este hilo. 00:01:46
4pi es un factor que multiplica. 00:01:51
Diferencial de L es un vector que tiene como módulo la longitud de este trocito que está generando el trocito de campo. 00:01:53
entonces es la longitud diferencial de hilo 00:02:03
y su dirección y sentido 00:02:16
que lo representamos con el gorrito, con el vector unitario 00:02:20
son la misma dirección y sentido que la intensidad 00:02:25
en este dibujo será positivo j 00:02:28
en el eje y 00:02:33
r, el vector r 00:02:35
es un vector que nos indica la posición de este punto P con respecto al diferencial de L 00:02:38
sería un vector que va de quien genera, desde el punto donde se genera el campo 00:02:47
hasta el punto donde se siente el campo 00:02:54
su módulo por lo tanto será la distancia al punto 00:02:56
y su dirección y sentido siempre es desde DL hasta P. 00:03:05
Este sería el vector R. 00:03:20
Vamos a escribirnos este vector R. 00:03:25
Lo vamos a escribir utilizando este ángulo, cita, de aquí. 00:03:28
Este vector R, R gorrito, vamos a escribirlo, 00:03:35
va a ser el coseno de este ángulo hacia la izquierda, es decir, menos coseno de zeta por i 00:03:39
y el seno de este ángulo hacia abajo, menos seno de zeta por j. 00:03:52
Si hacemos ahora el producto vectorial de la dirección de dl, que hemos dicho que era j, 00:04:01
Y por este regorrito lo que nos va a salir de L producto vectorial con el regorrito, por un lado el módulo de esto sabemos que va a ser diferencial de L producto vectorial con 1 porque el módulo de este es 1 y por el seno del ángulo que forman. 00:04:08
¿vale? veremos si esto va a ser así 00:04:31
en primer lugar aquí tenemos dl que es el módulo de este 00:04:34
luego viene j y hacemos el producto vectorial con este término de aquí 00:04:39
menos el coseno de cita por i menos el seno de cita por j 00:04:45
al hacer el producto vectorial j producto vectorial con j es 0 00:04:52
por lo tanto este término desaparecerá 00:04:59
Nos queda entonces de L el signo menos, el coseno de cita, y ahora nos queda J, producto vectorial, con I, como están las letras en orden inverso, esto es menos K, por lo tanto aquí pongo un signo más, y K. 00:05:02
Por un lado observamos que el campo debe de ser como K 00:05:21
K en este dibujo sería el eje Z saldría hacia arriba del papel 00:05:27
Podríamos haberlo hecho con la regla de la mano derecha 00:05:31
Recordamos que si ponemos el pulgar como la intensidad 00:05:34
El campo abraza el cable de esta manera 00:05:37
En la parte donde está el punto P, la parte izquierda, saldría del papel 00:05:41
Si el punto P estuviese en la parte derecha, entraría al papel 00:05:44
en este punto entonces efectivamente el campo sale del papel tendríamos un campo que circula 00:05:48
de esta manera esto sería el campo en todos los puntos pero sólo nos interesa en el punto p 00:05:58
lo otro que nos llamará la atención es que aquí pone coseno yo había dicho que tenía que salir 00:06:06
un seno pero el seno del ángulo que forman se refiere a este seno de aquí el seno de este 00:06:12
ángulo como es el complementario de este va a ser equivalente al coseno del otro ángulo, pues bien 00:06:21
ya tenemos este término de aquí arriba, nos falta cuánto vale diferencial de L porque lo que nos 00:06:29
interesará es hacer una integral con respecto del ángulo, ahora veremos por qué, vamos a estudiar 00:06:39
este módulo, este módulo va a ir cambiando si yo este diferencial de L, este trocito de aquí lo 00:06:45
pongo más lejos más arriba entonces esta r va a ser más grande si lo pongo más cerca esta r va a 00:06:50
ser más pequeño por lo tanto lo que vamos a hacer es ponerlo en función de esta d que es constante 00:06:55
y es un dato del problema y este ángulo que es el que hemos dicho que nos iba a interesar 00:07:01
entonces r el módulo de este vector la distancia desde p hasta el diferencial de l va a ser siempre 00:07:05
de dividida entre el coseno de este ángulo, porque el coseno de este ángulo es el lado 00:07:15
adyacente dividido entre r. Ya tenemos r, r al cuadrado, pues es el cuadrado de este término. 00:07:24
Vamos a hablar de diferencial de L. Diferencial de L, observamos que es un trocito de la dirección 00:07:34
vertical. Si elegimos la dirección vertical, es decir, todo esto de aquí y le llamamos 00:07:42
por ejemplo L, podemos escribir L en función de D. Si dividimos L entre D, observamos que 00:07:48
es la tangente del ángulo cita. Por lo tanto, si ahora queremos derivar L, diferencial de 00:07:57
L será esta D, que es una constante, por la derivada de la tangente, 1 entre coseno cuadrado de zeta, y por la derivada del ángulo, por diferencial del ángulo. 00:08:05
Ahora lo tenemos todo escrito en términos del ángulo, por lo tanto podemos escribirnos nuestro diferencial de campo como mu sub 0 por i por, 00:08:20
Aquí arriba tengo que escribir diferencial de L que lo hemos escrito de esta manera, d por d cita dividido entre el coseno al cuadrado de cita y dividimos por 4pi y r al cuadrado pero r la hemos escrito de esta forma, entonces d cuadrado entre coseno al cuadrado de cita. 00:08:33
Vemos que aquí podemos simplificar este coseno de aquí, este coseno de aquí, nos ha faltado toda esta parte, hemos escrito el de L pero no hemos escrito esta parte de aquí, con lo cual esto vendría aquí arriba. 00:08:58
Coseno de cita por k. Hemos simplificado el coseno, simplificamos también una de estas d y lo que nos queda, lo voy a escribir aquí debajo, es mu sub 0 por i dividido entre 4pi por d y nos queda diferencial de cita, coseno de cita y la k. 00:09:11
Voy a dejarla acá, aquí fuera, y coseno de cita, diferencial de cita. 00:09:36
Esta parte de aquí es la única que depende del ángulo, todo lo demás son constantes. 00:09:45
Cuando hagamos la integral solamente tendremos que integrar esta parte de aquí. 00:09:50
Vamos a hacer entonces esta integral. 00:09:55
El campo magnético, que será la integral de todos los diferenciales de campo, 00:09:59
de todas las contribuciones que hace cada uno de estos trocitos va a ser la integral de mu sub cero i 00:10:04
dividido entre 4 por pi por d, el vector unitario y el coseno de cita diferencial de cita. 00:10:11
Tendremos que poner ahora los límites de integración. 00:10:22
Si el cable terminase simplemente miraríamos qué ángulo forma el punto P hasta el punto superior 00:10:25
y el punto P hasta el punto inferior. 00:10:30
Pero como el cable es infinito, según vaya creciendo el cable más lejos, más lejos, más lejos, en el límite que tendemos a infinito, el punto superior sería cuando cita fuese pi medios, es decir, 90 grados. 00:10:33
El punto inferior de la misma manera empieza en cero y va creciendo, creciendo, creciendo, creciendo, hasta que vuelve a ser 90 grados, pero esta vez hacia abajo, menos pi medios. 00:10:45
Al hacer esta integral todo este término de aquí es constante y sale fuera y la integral de coseno es seno, entonces nos queda mu sub 0 por i dividido entre 4pi por la distancia de el vector unitario k y al integrar coseno nos sale seno de cita entre el valor máximo y el valor mínimo. 00:10:55
vamos a separar aquí, si continuamos debajo el campo entonces va a ser todo este término que vuelve a ser igual 00:11:25
mu sub 0i dividido entre 4 por pi por la distancia, el vector k y ahora tenemos que sustituir el seno de pi medios que es 90 grados 00:11:37
Si nos hacemos la circunferencia goniométrica recordaremos que el seno de 90 es el valor máximo, es decir, 1, menos y el seno de menos 90, de menos pi medios, que sería este punto de aquí, con lo cual menos 1. 00:11:49
Este resultado del paréntesis es 2, que podemos simplificar con el 4 y nos queda mu sub 0 por i dividido entre 2 por pi y por d. 00:12:08
siguiendo el vector K. Esta es la ecuación del campo de un hilo infinito. 00:12:18
Tenemos que tener en cuenta que si el punto P estuviese justo al otro lado 00:12:27
nos saldría un signo negativo. Este signo negativo nos habría salido porque el vector R 00:12:32
en lugar de ser hacia K sería hacia el otro lado, es decir, tendríamos un positivo aquí. 00:12:38
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Idioma/s:
es
Materias:
Física, Química
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Àngel Manuel Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
119
Fecha:
20 de abril de 2020 - 10:36
Visibilidad:
Público
Duración:
12′ 54″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1024x576 píxeles
Tamaño:
477.82 MBytes

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