Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Lo que quedaba de dar de límites - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

4 visualizaciones

Más información Transcripción

Bien, voy a explicar dos cosas para acabar con la clase. La primera es referente a unos ejercicios que aparecen en la hoja, muy sencillos, pero que en uno de los casos aparece un cambio de variable y en otro un producto un poco distinto. 00:00:02
Entonces, para que tengáis también algo grabado del tema. Y lo segundo ya, pues, acabar la clase de ayer, que es un poco más de ampliación. 00:00:19
Si tenemos un límite cuando x tiende a infinito de x al cubo logaritmo de periano de x elevado a x 00:00:27
¿Qué es lo que pasa? Vamos a ver 00:00:43
Aquí es aplicar un poco la lógica 00:00:44
Si logaritmo de periano de x es más pequeño que x 00:00:48
Pues si yo multiplico por x al cubo 00:00:52
Pues seguiría siendo más pequeño, ¿no? 00:00:56
Entonces lo que tenemos es que x cubo logaritmo primero de x es más pequeño que x a la 4 que a su vez es más pequeño que elevado a x 00:00:58
Se puede escribir así, x cubo logaritmo primero de x de orden menor que x4 que tiene orden menor que elevado a x 00:01:12
Y automáticamente, por esta razón, puesto que eso es más pequeño que esto, esto es 0 00:01:21
Ya está 00:01:26
Otros límites que aparecen se pueden explicar con el cambio de variable. 00:01:27
Si yo tengo un límite cuando x tiende a menos infinito de f , el límite va a ser el mismo que si calculo el límite cuando x tiende a infinito de f . 00:01:32
Pongo la fórmula así por si alguien prefiere aprendérsela. 00:01:46
El límite se da de la siguiente forma. 00:01:51
Si yo tengo el límite cuando x tiende a infinito de f de x, yo puedo cambiar la variable x por menos t. 00:01:54
O lo que es lo mismo, t igual a menos x. 00:02:09
De modo que si x tiende a menos infinito, es lo mismo que decir que t tiende a menos menos infinito que es infinito. 00:02:13
entonces podemos cambiar todas las cosas 00:02:22
tenemos aquí límite, pues límite 00:02:30
x tiende a infinito, t tiende a infinito 00:02:36
aquí tenemos la f y donde pone x ponemos menos t 00:02:42
y ya está 00:02:47
ese otro límite que tenemos aquí 00:02:48
no es más que hacer el límite 00:02:51
haciendo el cambio de t otra vez por x 00:02:54
o sea, cambiar únicamente las letras t y x para no poner otras variables 00:02:57
pero bueno, nos da un poco igual 00:03:05
por poner un ejemplo, si tenemos el límite cuando x tiende a menos infinito 00:03:07
bx a la 5 e elevado a x 00:03:15
si observamos, este x elevado a 5 es menos infinito elevado a 5 que es menos infinito 00:03:18
Y esto es elevado a menos infinito que es cero. De modo que este límite es de la forma menos infinito por cero que es una indeterminación. 00:03:26
De modo que hay que emplear órdenes de magnitud. En este caso es más sencillo si hacemos el cambio de variable y ponemos el límite cuando x tiende a... 00:03:37
menos x, o si queréis, x igual a menos t, y tenemos el límite cuando t tiende a infinito, porque si x tiende a menos infinito, t tiende a más infinito, 00:03:56
y ahora ponemos, donde pone x, ponemos menos t, menos t elevado a 5 por e elevado a menos t. 00:04:13
Y ahora ya es operar 00:04:24
Tendríamos el límite cuando t tiende a infinito 00:04:26
Ahora, esto es menos t elevado a 5 00:04:38
Y puesto que elevado a menos t es 1 partido por elevado a t 00:04:43
Sería poner en el denominador elevado a t 00:04:47
Y ahora ya tenemos los órdenes de magnitud 00:04:50
t elevado a 5 es más pequeño, es un orden menor que elevado a t 00:04:53
Por tanto, esto es 0 00:04:58
Y ya hemos terminado 00:05:00
A ver, si alguien quiere ponerlo todo con x también podría 00:05:01
O sea, podría poner aquí directamente 00:05:06
Límite de x tiende a infinito 00:05:08
Ahora cambiamos x por menos x 00:05:12
Y operamos límite cuando x tiende a infinito de menos x a la 5 por esto 00:05:14
Y esto, pues el menos x lo pasamos abajo con x 00:05:23
Y ya ponemos nuevamente 0 00:05:28
Porque x a la 5 es más pequeño que elevado a x 00:05:31
Ambas cosas son correctas 00:05:35
Bueno, hemos hablado del cambio de variable en dos cosas 00:05:38
Una ha sido ahora mismo cuando hemos explicado que el límite cuando x tiende a menos infinito de f de x 00:05:44
Es el límite cuando x tiende a infinito de f de menos x 00:05:53
También cuando hablamos de los límites de f elevado a g 00:06:02
cuando tenemos una indeterminación de la forma 1 elevado a infinito 00:06:10
porque f tendría 1 y g tendría a infinito 00:06:15
en ese caso la solución era e elevado al límite 00:06:19
de f menos 1 por g 00:06:24
y la razón es que sabemos que el límite 00:06:28
cuando x tiende a infinito o menos infinito 00:06:35
de 1 más 1 elevado a x, esto es el número e 00:06:39
Y entonces se podría cambiar de un límite, pues con otra función, por ejemplo, f, o sea, cuando x tiende a algo, de modo que f de x, el límite cuando x tiende a f de x es infinito, de 1 más 1 partido por f elevado a f. 00:06:45
Entonces, en ambos casos utilizábamos el teorema con esto, pero lo tenemos un poco más claro si lo ponemos con dos variables. 00:07:07
A ver, lo que tenemos es un límite cuando x tiende a f de x y queremos cambiarlo cuando t tiende a algo de f donde x es g de t, que serían por ejemplo este tipo de límites. 00:07:14
Cuando en vez de x tenemos aquí, yo que sé, t cubo menos 8t más 4. 00:07:37
Pues en este caso, si tenemos x tiende a, lo que tenemos es que g de t tiende a. 00:07:46
Pero si decimos que g de t tiende a, decimos que decir vale, pero g de t tiende a cuando t tiende a algo. 00:07:56
Entonces será cuando t tiende a todo un nudo b, de modo que el límite cuando t tiende a b de g de t 00:08:03
entonces por eso tenemos estas dos condiciones 00:08:11
entonces aquí tenemos que poner entonces t de n de b 00:08:16
y en este sentido sería un poco más claro esta definición 00:08:19
pero bueno, esto es más teórico 00:08:23
aquí lo hemos utilizado de forma implícita 00:08:25
porque luego los límites no nos dan 00:08:28
y en este caso del x por menos x pues es muy sencillo 00:08:30
voy a añadir también una cosa muy breve 00:08:35
a ver, hemos explicado lo que significa 00:08:38
que una función f tenga mayor orden que g 00:08:42
y bueno, pues también lógicamente 00:08:45
tendríamos lo contrario 00:08:48
cuando una función g tiene menor orden que f 00:08:50
pero no hemos explicado 00:08:52
lo que es que f y g tengan el mismo orden 00:08:55
bueno, pues es una cosa muy sencilla 00:08:57
dos funciones tienen el mismo orden 00:08:59
cuando el límite de una ante la otra 00:09:00
es un número real 00:09:02
a ver, si al dividir nos da infinito 00:09:03
si al hacer el límite de la división nos da infinito 00:09:06
pues f tiene mayor orden que nos da cero 00:09:08
g tiene mayor orden 00:09:11
y si el límite es k perteneciente a r, pues entonces el orden es el mismo. 00:09:12
Si dos funciones son equivalentes, particularmente tienen el mismo orden. 00:09:18
Y ahora continúo en la clase anterior justo en el punto donde la dejamos. 00:09:25
Bueno, terminamos la clase anterior, me quedan muy pocos minutos. 00:09:31
Y nada, pues era comentar los últimos ejemplos. 00:09:37
Voy a añadir un par de dios más porque no comenté qué pasaría cuando añadimos coeficientes aquí 00:09:41
O cuando cogemos logaritmo en otra base. 00:09:44
Bueno, vamos a ver que esencialmente no sale lo mismo. 00:09:48
Es aplicar las propiedades de los logaritmos. 00:09:51
Esto es el límite cuando x tiende a infinito del logaritmo de 7x5 entre el logaritmo de 6x4, ya que esas funciones son equivalentes. 00:09:54
Eso es el límite cuando x tiende a infinito de, aplicando las propiedades de los logaritmos, 00:10:03
logaritmo de 7 más 00:10:08
logaritmo de x a la 5 00:10:10
entre logaritmo de 6 más 00:10:13
logaritmo de x a la 4 00:10:15
ahora bien, esto es un número 00:10:17
y esto es otro número 00:10:19
y eso tiende a infinito 00:10:21
con lo cual, esto es equivalente 00:10:22
a hacer el límite cuando x tiende a infinito 00:10:25
de considerar sólo 00:10:28
los polinomios que están en los números 00:10:29
y aquí ya se hace lo del otro día 00:10:36
esto es el límite cuando x tiende a infinito 00:10:38
de 4 logaritmo de perinodo de x, perdón, aquí abajo 4 logaritmo de perinodo de x, ahora 00:10:40
simplificando sería 5 cuartos. Si tomamos otra base es igual, a ver, podemos hacer lo 00:10:52
mismo, límite cuando x tiende a infinito, podemos quitar ahora los números, perdón, 00:10:58
logaritmo en base 7 de 6 más logaritmo en base 7 de 4. Ahora, al ser estos números, 00:11:10
Esto es equivalente a límite cuando x tiende a infinito de logaritmo de periano de x a la 5 entre logaritmo en base 7 de 4, perdón, de x a la 4. 00:11:18
Podemos quitar exponentes, límite cuando x tiende a infinito de 5 logaritmo de periano de x entre 4 logaritmo en base 7 de x. 00:11:31
Y ahora es recordar las propiedades de los logaritmos 00:11:44
A ver 00:11:47
Logaritmo en base b de a 00:11:47
Era el logaritmo en cualquier otra base 00:11:52
De a 00:11:54
Entre el logaritmo en cualquier otra base de b 00:11:56
En particular logaritmo de a 00:12:00
Entre logaritmo de b 00:12:02
Que quizás sea la fórmula que tenéis 00:12:03
E igual al logaritmo 00:12:10
De pereno de a 00:12:13
Entre logaritmo de pereno de b 00:12:15
Podemos aplicarlo aquí 00:12:17
y poner el límite cuando x tiende a infinito 00:12:20
5 por 00:12:23
eso se deja igual 00:12:24
y aquí tenemos 4 00:12:26
logaritmo de perino de x 00:12:28
entre logaritmo de perino de 7 00:12:30
y aquí ya tendríamos 00:12:32
pues límite cuando 00:12:35
x tiende a infinito de 00:12:37
bueno, eso se puede ir 00:12:38
5 entre 4 00:12:42
entre logaritmo de perino de 7 00:12:48
esto ya es una división de fracciones 00:12:49
Vamos a poner aquí el partido por 1, que sería 5 logaritmo de 7 entre 4. Y ya está. 00:12:52
Bueno, y veamos la que nos quedó en clase. Para esto aplicamos nuevamente propiedades de logaritmos y potencias y es recordar que el logaritmo es la inversa de la potencia. 00:13:02
Es decir, que e elevado al logaritmo de e perinado de x es x, y que el logaritmo de e perinado de e elevado a x es x. 00:13:12
A ver, es lógico, ¿a qué número tengo que elevar? ¿Qué es el logaritmo de e perinado de x? 00:13:27
¿A qué número tengo que elevar e para que me dé x? 00:13:32
Eso es lo que significa, con lo cual tenemos automáticamente esto, y aquí lo mismo. 00:13:37
A ver, ¿qué significa el logaritmo de e elevado a x? 00:13:41
¿A qué número tengo que elevar e? 00:13:47
Para que me dé e elevado a x 00:13:49
Pues para que me dé e elevado a x, tengo que elevar e a x, lógicamente 00:13:51
Y esto ocurre siempre porque x está definida 00:13:56
Y eso solo ocurre para x mayor que 0 porque es cuando el logaritmo está definido 00:14:00
Bueno, quito lo que está en rojo claro 00:14:03
Y con esto continúo 00:14:07
Entonces, vamos a hacerlo. Esto es el límite cuando x tiende a infinito y d. 00:14:12
¿Qué es 2? Pues, si aplicamos esto, pues 2 es igual a elevado al logaritmo de P9 de 2, igual que 3 es elevado al logaritmo de P9 de 3, etc. 00:14:20
Pues esto es, elevado al logaritmo de perino de 2, todo ello elevado a 3x cuadrado más x. 00:14:33
Y esto es, elevado al logaritmo de perino de 3, todo ello elevado a 2x al cuadrado más 1. 00:14:41
Aplicando las propiedades de las potencias, tendríamos elevado a, ahora multiplicamos estos dos, 00:14:51
Podemos multiplicar directamente 3 logaritmo de 2 por x al cuadrado más logaritmo de perinado de 2 por x 00:14:58
Y aquí e elevado a 2 logaritmo de perinado de 3 por x al cuadrado más logaritmo de perinado de 3 00:15:06
Y ahora ya restamos exponentes 00:15:14
Límite cuando x tiende a infinito de e elevado a 00:15:17
3 logaritmo perinado de 2 por x cuadrado más logaritmo perinado de 2 por x 00:15:21
menos 2 logaritmo perinado de 3 por x cuadrado menos logaritmo perinado de 3 00:15:28
y aquí lo importante son donde están las x para hacer la suma de polinomios 00:15:34
seguimos por acá 00:15:41
esto sería igual al límite 00:15:43
cuando x tiende a infinito 00:15:47
D elevado a 3 logaritmo perinado de 2 menos 2 logaritmo perinado de 3 por x al cuadrado menos, perdón, más logaritmo perinado de 2 por x menos logaritmo perinado de 3. 00:15:50
y aquí la clave está en este número 00:16:16
si este número es mayor que 0 00:16:18
pues el exponente tendrá infinito 00:16:23
porque eso es un polinomio 00:16:26
y el límite 00:16:27
lo que hay que ver es el límite cuando x tendrá infinito 00:16:29
del polinomio 3 logaritmo de PnA de 2 00:16:31
menos 2 logaritmo de PnA de 3 00:16:34
por x al cuadrado 00:16:36
menos 00:16:37
logaritmo de PnA de 2 por x 00:16:40
menos logaritmo de PnA de 3 00:16:43
y aquí lo importante es 00:16:44
ese término. Entonces, si esto de aquí tiende a 0, pues eso tenderá a 0 y eso tenderá a elevado a 0, que es 1. 00:16:47
Ahora bien, eso no va a ocurrir porque tenemos logaritmos diferentes y, bueno, no va a ocurrir. 00:17:07
Si esto tiende a infinito, entonces tendremos elevado a infinito, que será infinito. 00:17:14
Y si eso tiende a menos infinito, pues tendremos e elevado a menos infinito, que es 0. 00:17:21
Entonces lo que hay que ver es el signo, porque eso tenderá a más menos infinito si esto es positivo o negativo. 00:17:33
Entonces, cogemos la calculadora, metemos este valor y nos da menos 0,117783, que es menor que 0. 00:17:38
como esto de aquí es menor que 0 00:17:52
este límite es menos infinito 00:17:54
esto sería elevado a menos infinito 00:17:56
que es 0 00:18:00
y ya está 00:18:01
a ver, todas las propiedades como he dicho se pueden resumir aquí 00:18:04
no las voy a pedir, tampoco las van a pedir en evau 00:18:11
de acuerdo, pero bueno 00:18:14
era para completar y sobre todo para 00:18:15
quitar la posible idea 00:18:17
que alguien pudiera tener de que 00:18:19
el logaritmo de x a la 5 00:18:21
ante el logaritmo de x a la 4 00:18:23
tendría infinito 00:18:24
Por supuesto que no, porque hemos dicho que tiende a 5 cuartos 00:18:26
O que el logaritmo de e elevado a x cuadrado más x entre el logaritmo de perinomio 00:18:31
Perdón, y elevado a x cuadrado más x entre e elevado a x cuadrado menos x 00:18:38
Alguien piense que eso tiende a 1, cuando hemos visto que tiende a infinito 00:18:44
Es decir, las propiedades de los polinomios son para los polinomios 00:18:54
Logaritmos para logaritmos, exponenciales para exponenciales 00:18:58
Eso es lo que quería mostrar 00:19:01
si a alguien le interesa esto, pues puede quedarse con esas propiedades 00:19:03
pero bueno, yo solamente pediré las más sencillas 00:19:06
¿de acuerdo? 00:19:10
que son las que me he visto antes 00:19:11
¿de acuerdo? 00:19:13
de hecho en la hoja de ejercicios 00:19:14
os pongo estas, pero con 00:19:16
la nota anterior de para pensar 00:19:18
para decir, pues nada 00:19:22
que no las voy a pedir 00:19:23
¿vale? 00:19:25
y bueno, pues ya está 00:19:27
bueno, sí 00:19:30
Cuando hablo de polinomios vale para cosas de expresiones, o sea, x elevado a 500 o a 5000, por ejemplo, va a ser menor que elevado a x elevado a 0,0001. 00:19:31
Siempre que el exponente sea positivo, bueno, y que eso sea positivo porque si tenemos una cosa negativa, esto tiende a elevado a menos infinito, que es 0, por supuesto, pero siempre que tengamos esto, pues vamos a tener, esto va a ser más grande que esto. 00:19:45
Igual que esto va a ser también, x elevado a 0,001 va a ser más grande que el logaritmo perinomio de x elevado a 500, o 50.000. 00:20:06
Bueno, que esto es lo pequeño, esto ya sabemos que es 50.000 el logaritmo perinomio de x. 00:20:17
Esas reglas veremos que se pueden probar fácilmente con el hospital, ¿de acuerdo? 00:20:24
Pero bueno, esto era para completar todo y sobre todo por algunos problemas que sí que aparecen en la EBAU, de ese tipo de límites. 00:20:27
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
4
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Lo que quedaba de dar de límites
Duración:
20′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
186.49 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid