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CLASE CCFF 26 DE ENERO - Contenido educativo

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Subido el 27 de enero de 2026 por M.jose S.

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Bueno, hoy ya la teoría de matrices indeterminantes acabamos con ella la semana pasada y vamos a ampliar esta semana y posiblemente la siguiente en aquellos ejercicios tipo examen que se pueden caer en lo referente al tema de matrices. 00:00:01
Entonces, ejercicios, posibles ejercicios, tipos de ejercicios que os pueden caer en la aplicación de matriz. 00:00:20
El primer y más sencillo de todos que os pueden caer es operaciones directas con matriz. 00:00:37
El siguiente son cálculo de matriz inversa. 00:00:44
El siguiente, ecuaciones y sistemas matriciales. 00:00:58
Por último, bueno, sí, os pueden pedir, sí, bueno, vale. 00:01:09
En operaciones directas puede ser suma, diferencia, producto, traspuesta y rango. 00:01:23
Matrices, ¿dónde? ¿Aquí? 00:01:47
¿Ecuaciones y sistemas, matrices? 00:01:50
Lo de los sistemas, ¿no? Bueno, ecuaciones y sistemas, ¿no? 00:01:51
Espera, a ver, vamos a ver. 00:01:55
Es decir, todo lo que hemos visto hasta ahora son las herramientas de cálculo y de operaciones con matrices. 00:01:57
En aplicación de eso, os pueden poner, ahora veremos cómo se hacen ecuaciones. 00:02:07
Es muy sencillo, no tiene mucho. 00:02:12
Y por último, discusión de sistemas de ecuaciones y resolución de esas. 00:02:14
Resolución de problemas mediante sistema de ecuaciones 00:02:35
Estos son todos los tipos de ejercicios que os pueden caer 00:02:47
Para eso, para poder hacer estos ejercicios 00:03:03
Tenéis que saber operar matrices 00:03:08
es decir, sumar, restar, multiplicar, hacer la traspuesta de una matriz y calcular el rango. 00:03:12
Para el cálculo de la matriz inversa tenéis que saber hacer determinantes, 00:03:21
porque la matriz inversa la hacemos mediante la fórmula de los determinantes, con determinantes. 00:03:26
Para hacer ecuaciones y sistemas matriciales lo único que tenéis que saber es operar matrices, otra vez, 00:03:36
no tiene mayor peso, y a veces, en algunos casos, calcular la matriz inversa, 00:03:42
es decir, que con lo que utilizáis aquí directamente también podéis hacer ecuaciones de sistemas matriciales. 00:03:47
Para discutir sistemas de ecuaciones tenéis que saber hacer determinantes, calcular determinantes, 00:03:55
y por último, para resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones, 00:04:05
pues tenéis que saber diagonalizar matrices y luego tener práctica en el paso del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico, 00:04:08
es decir, plantear los problemas. 00:04:21
Una vez planteado el problema, la resolución de los sistemas se hace mediante la triangulación de matrices con todo lo que sabemos. 00:04:23
¿Vale? Entonces, os he dado unos cuantos ejercicios. Estos ejercicios cogen estas tres primeras partes. 00:04:34
Todavía aquí, hasta la semana que viene, nos entraremos en la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones. 00:04:43
Todos los ejercicios que os he dado aquí cogen estas tres partes. 00:04:49
Entonces, si cogéis el primero, mirad, vamos a ir haciéndolos, pero cogéis el primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, es que prácticamente trece, trece, catorce, bueno, hasta el trece, hasta el trece, todos son operaciones con matrices. 00:04:56
todo, son operaciones con matrices 00:05:25
¿vale? 00:05:27
pues venga, los vamos haciendo 00:05:28
de uno en uno 00:05:30
hasta el 13 son todo operaciones con matrices 00:05:31
toda la primera cara 00:05:35
son operaciones con matrices 00:05:36
entonces 00:05:38
vamos a hacer 00:05:41
el primero 00:05:44
primero os dan 3 matrices 00:05:45
y os quieren calcular la suma de 2 de ellas 00:05:47
la resta de las 3 00:05:50
y luego 3 por a 00:05:52
A más 5 por B menos 6T, es decir, son operaciones puras con matrices. 00:05:54
Os dejo un ratito. 00:06:01
A más B, es que la B pequeña son los apartados. 00:06:02
Pone apartado A, apartado B, apartado C. 00:06:06
La primera operación es A más B, la segunda es A menos B menos C. 00:06:09
Vale, es que se ha juntado. 00:06:13
Y la tercera es 3A más 5B menos C. 00:06:15
Lo meto primero, porque no vamos a hacer todos. 00:06:28
¿Hago primero? 00:06:32
Sí. 00:06:33
¿Vale? 00:06:33
Me dan las matrices A igual a 1 menos 1, 0, 3. 00:06:36
B igual a 4, 0, menos 1, menos 2. 00:06:45
y la c que es igual a menos 1, 2, menos 2, 3 00:06:54
y me piden a más b 00:07:01
cuando sumo dos matrices lo que tienen que es tener la misma dimensión 00:07:05
evidentemente aquí no hay ningún problema 00:07:09
las dos matrices tienen la misma dimensión que son de 2 por 2 00:07:11
y sumarla significa sumar cada uno de los elementos que están en la misma posición 00:07:14
Es decir, en este caso sería 1 más 4, 5, menos 1 más 0, menos 1, 0 más menos 1, menos 1 y 3 más menos 2, 1. 00:07:20
A menos B menos C, primero hago A menos B, que le pasa lo mismo, como tienen la misma dimensión no hay ningún problema. 00:07:34
esto sería a menos b sería 1 menos 4 menos 3 menos 1 menos 0 menos 1 00:07:45
0 menos menos 1 es 1 y 3 menos menos 2 es 5 00:07:55
y a este le tengo que restar c que es menos 1 2 menos 2 3 00:08:02
Si resto, menos uno menos menos tres es menos dos 00:08:09
Menos uno menos dos es menos tres 00:08:13
Uno menos menos dos es tres 00:08:17
Y uno menos tres es menos dos 00:08:20
Esta sería la mejor, a lo mejor me he equivocado 00:08:22
A ver, lo vuelvo a hacer 00:08:25
A menos B 00:08:27
Uno menos cuatro es menos tres 00:08:28
Menos uno menos cero es menos uno 00:08:31
Cero menos menos uno es uno 00:08:33
Y tres menos menos dos es cinco 00:08:35
Esto está bien 00:08:37
Ahora, menos 3 menos menos 1 es menos 2, menos 3 menos 2, ah no, menos 1 menos 2 es menos 3, 1 menos menos 2 es 3 y 5 menos 3 es 2, perdón. 00:08:38
este 00:08:58
este es un 2 00:09:00
¿vale? 00:09:02
¿de acuerdo? 00:09:04
me limito a sumar y restar los elementos 00:09:06
para eso, esto no tiene mayor 00:09:08
mayor problema, y luego por último 00:09:10
más 5B 00:09:14
menos 6C 00:09:18
sería, por un lado 00:09:22
3A sería 00:09:24
si multiplico todo por 3 me queda esto, 5B sería, si multiplico eso por 5 serían 20, 0, menos 5 y menos 10 00:09:26
y si multiplico C por 6 me queda menos 6, 12, menos 12 y 18. 00:09:39
Hago primera esta operación, bueno, si queréis las hago del tirón 00:09:49
Porque como voy siempre con el mismo elemento, pues puedo hacer 00:09:54
En el primer caso, 3 más 20, 23 00:09:58
Menos menos 6, 29 00:10:02
Ahora, menos 3 más 0, menos 3 00:10:04
Menos 12, menos 15 00:10:12
0 más menos 5 es menos 5 00:10:14
Menos menos 12 es 7 00:10:20
y 9 menos 10 es menos 1, menos 18, menos 19. 00:10:23
Pues si no me he equivocado. 00:10:31
Esto es 0 menos 5 y ahora menos menos es más, es menos 5 más 12 es 7. 00:10:32
Este menos menos se convierte en un más, ¿de acuerdo? 00:10:41
Porque habéis puesto, pero esto es negativo, es decir, esto es menos 5 menos menos 12. 00:10:43
Esto es lo mismo que menos 5 más 12, que 7. 00:10:50
No me preocupa, pues si lo haces con calculadora exquisita habrá olvidado poner este paréntesis. 00:10:55
Bueno, a ver, vamos a hacer el 2, un producto. 00:11:03
Hemos trabajado con sumas y restas, vamos a hacer el 2. 00:11:08
Os dan dos matrices y os dices que calculéis A por B y B por A. 00:11:11
acordaros que para hacer una multiplicación 00:11:17
de matrices, lo primero que tiene que pasar 00:11:20
es comprobar 00:11:22
que el número de columnas 00:11:23
de la primera 00:11:26
es igual al número de columnas de la segunda 00:11:26
si no, no se puede hacer 00:11:30
¿de acuerdo? 00:11:31
¿de acuerdo? 00:11:33
no, tú no tienes que dar la vuelta 00:11:35
tú, si se hace 00:11:38
si se puede hacer, se puede hacer 00:11:39
y si no se puede hacer, dirías 00:11:41
este producto no se puede hacer, lo explicas 00:11:43
Porque las dimensiones de las estas no cumplen la... 00:11:45
O sea, vosotros tenéis, la primera es la A, la matriz A, tiene una dimensión de, ¿dónde está? 00:11:49
De 3 por 2, ¿no? 00:12:06
Esta 4 es de 3 por 2. 00:12:10
Y la B es de 2 por 3. 00:12:16
Luego A por B, A por B, si se puede hacer, ¿no? Porque estas dos son iguales, ¿no? 00:12:22
Pero sin embargo si hago B por A, vamos a ver, si fuera B por A tendríamos una de 3 por 2, por, no, perdón, perdón, perdón, tendríamos una de 2 por 3, 00:12:43
pues también se puede hacer 00:13:01
se pueden hacer las dos 00:13:05
para comprobar si el producto 00:13:06
se puede hacer 00:13:12
lo que tenéis que mirar, escribir 00:13:13
son las dimensiones de las dos matrices 00:13:15
que vais a operar 00:13:18
y comprobar 00:13:19
que estos números intermedios 00:13:23
coinciden 00:13:24
si no 00:13:25
la dimensión de la matriz resultante 00:13:26
es los dos números, estos dos números los quitas, los que son iguales aquí 00:13:38
entonces esto te queda de 2 por 2 y esto de 3 por 3 00:13:42
a ver, hemos dicho que se pueden hacer las dos, ya lo tengo claro 00:13:45
eso, ¿no? entonces, las dos multiplicaciones 00:13:50
son posibles, si hago A por B 00:13:54
si hago A por B, me va a dar 00:13:58
una matriz y como esta es de 3 por 2 00:14:05
y esta de 2 por 3 me va a dar una matriz de 3 por 3, ¿no es así? 00:14:09
¿Vale? Esto lo tenemos claro para saber la dimensión de la matriz resultante, 00:14:14
yo quito esto que tiene que ser igual, la condición que es y el otro me da 3 por 3. 00:14:20
¿Cómo sale ese elemento de 3 por 3? Pues el primer elemento sale la primera fila por la primera columna, 00:14:26
es decir, esta por esta más esta por esta, 1 por 4 más menos 1 por 0 es 4, primera fila por primera columna, la siguiente sale, la primera fila sale, el primer elemento primera fila por primera columna, el segundo primera fila por segunda columna, 00:14:32
1 por menos 1 es menos 1 y menos 5, luego es menos 6 00:14:53
¿Sabéis la operación que estoy haciendo? 00:14:59
Tercer elemento de la primera fila, primera fila por tercera columna 00:15:06
1 por 2 es 2, menos 3, menos 1 00:15:10
¿De acuerdo? 00:15:14
Segunda, segunda fila por primera columna, 2 por 4 es 8, más 0 es 0 00:15:18
Segunda fila por segunda columna 00:15:23
Menos dos más quince 00:15:26
Tres, tres por cinco 00:15:29
Vale, lo ves, ¿no? 00:15:30
Tercer elemento 00:15:34
Segunda fila por tercera columna 00:15:35
Dos por dos, cuatro 00:15:37
Y tres por tres, nueve 00:15:38
Luego trece 00:15:40
¿Sí? ¿Me seguís todos lo que estoy haciendo? 00:15:40
Último, última fila por primera columna 00:15:43
Cero y cero, cero 00:15:46
Cero y cuatro por cinco, veinte 00:15:47
Y cero y cuatro por tres 00:15:50
esto es A por B 00:15:53
¿de acuerdo? 00:15:56
B por A 00:15:58
como ahora 00:15:59
voy a poner aquí A 00:16:03
es bueno ponerlos en su sitio 00:16:05
porque si no es más complicado de hacer 00:16:07
vemos que 00:16:09
con B por A 00:16:14
esta es de 2 00:16:16
de 2 por 3 00:16:20
esta es de 3 por 2 00:16:22
Luego el resultado es una matriz de 2 por 2 00:16:26
La primera fila, que si es 2 por 2 tiene dos elementos 00:16:30
El primer elemento es primera fila por primera columna 00:16:36
4 por 1 es 4 00:16:40
2 menos 2 por 1 es menos 2 00:16:42
4 menos 2 es 2 00:16:44
Siguiente elemento, primera fila por segunda columna 00:16:46
4 por menos 1 es menos 4 00:16:52
Menos 4, menos 3, menos 7, menos 7, más 8, 1 00:16:55
Luego abajo 00:16:59
Primera fila, digo, segunda fila por primera columna 00:17:02
0, 5 por 2, 10 y 0, luego 10 00:17:05
Y por último, segunda fila por segunda columna 00:17:08
0, 5 por 3, 15 y 4 por 3, 12, 27 00:17:13
¿Eso es verdad? 00:17:17
Sí 00:17:20
¿Vale? 00:17:20
¿Esto? 00:17:21
Porque has colocado mal los elementos 00:17:22
o sea, si haces esto 00:17:23
por esta tienes que colocarlo aquí 00:17:26
si haces esta por esta tienes que colocarlo aquí 00:17:28
lo habrás colocado aquí 00:17:31
claro, pero porque lo has colocado mal 00:17:32
porque al hacerlo has colocado este uno 00:17:34
que tiene que ir ahí, es una cuestión 00:17:36
las cuentas están bien hechas, pero lo has colocado mal 00:17:38
si tú estás haciendo 00:17:40
este elemento 00:17:42
este elemento sale de hacer 00:17:43
la primera fila 00:17:46
por la segunda columna, luego tiene que estar 00:17:48
en la primera fila 00:17:50
Y tú me lo has puesto, ¿entiendes lo que digo? 00:17:52
Y no es igual, es decir, la matriz es esta, no la que tú tienes. 00:17:54
A pesar de que tenga los mismos números, si los cambias de orden, la matriz es distinta. 00:17:58
O sea, tú tienes que ver cuando haces la cuenta, la cuenta es, esta es la posición, primera fila, segunda columna, 00:18:03
luego es la primera fila por la segunda columna, que va aquí, no ahí, ¿de acuerdo? 00:18:11
Bueno, seguimos operando. 00:18:16
Bueno, el 3 no lo saltamos, lo hacemos en casa tranquilamente si queréis 00:18:20
Os dan 3 matrices y os dicen que hagáis las multiplicaciones que podáis 00:18:28
En este caso, si miráis, podréis hacer A por B, B por A, A por C, C por A, B por C y C por B 00:18:33
Pero no todas se podrán hacer 00:18:45
Porque depende de las dimensiones que tengan esas matrices 00:18:47
¿Me seguís lo que estoy diciendo? 00:18:50
Entonces esto si queréis lo apuntáis para hacerlo en casa o cuando podáis 00:18:53
Matriz, seguimos abajo, vamos con traspuestas 00:18:57
El 4, os dan dos matrices y os piden que calculeis 00:19:01
3 por la traspuesta de A menos B al cuadrado 00:19:05
Calculeis la traspuesta de A, la multiplicáis por 3 00:19:10
Y la B la multiplicáis por sí misma 00:19:13
y luego hacéis la ruta. 00:19:15
¿Y al cuadrado? 00:19:17
¿Una cosa al cuadrado qué es? 00:19:18
¿Transponerlo al cuadrado? 00:19:19
No, no. 00:19:20
Una cosa al cuadrado, cuando yo te digo 00:19:21
que hagas dos al cuadrado, 00:19:22
yo te digo, ¿cuánto es tres al cuadrado? 00:19:24
¿Tres al cuadrado cuánto es? 00:19:26
Tres por tres, ¿no? 00:19:27
¿Cinco al cuadrado cuánto es? 00:19:29
¿Qué es un cuadrado? 00:19:30
¿Qué es un cuadrado? 00:19:34
Un cuadrado es multiplicar una cosa por sí misma. 00:19:35
Luego, si te ponen B al cuadrado, 00:19:38
quiere decir que tienes que multiplicar B, 00:19:40
no transponer. 00:19:42
La transposición es la T, 00:19:43
Es decir, en este caso lo que te dicen es que hagas la traspuesta de A y la multipliques por 3. 00:19:45
Y una vez hecho eso, haces B por B y luego la resta. 00:19:51
A ver, me da las matrices. 00:19:58
A es 1, 3, 3, 1, 4, 3, 1, 3, 4, y la matriz B, 1, 2, 2, 0, menos la 6, menos 1, 0, ¿vale? 00:20:07
Entonces lo primero me piden 3 por A transpuesta y menos B al cuadrado, bueno pues entonces transpongo A, A transpuesta, cambio, filas por columnas, 1, 3, 3, 1, 4, 3 y 1, 3, 4. 00:20:32
Y si lo multiplico por 3, este primer elemento sería 3, 3, 3, 9, 12, 9 y 9, 9, 12, ¿vale? 00:20:56
Eso es 3 fuera traspuesto, ¿de acuerdo? 00:21:12
¿Sí? 00:21:16
Bueno, ahora voy a hacer B al cuadrado. 00:21:17
B al cuadrado, esto sería menos, voy a hacer aquí B al cuadrado. 00:21:19
Entonces tengo 00:21:26
Primera fila por primera columna 00:21:39
Una por una 00:21:42
Una por dos, dos son tres 00:21:43
Tres por menos seis son doce 00:21:46
Doce, estos son menos nueve 00:21:48
Ahora, primera fila por segunda columna 00:21:50
Uno, cero y menos dos 00:21:54
Luego menos uno 00:21:57
Primera fila por tercera columna 00:21:58
Dos, menos uno y cero 00:22:01
Uno 00:22:04
Ahora, segunda fila por primera columna, 2 y 6, que son 8 00:22:05
Segunda fila por segunda columna, 2 y 1, 3 00:22:12
Segunda fila por tercera columna, 4, 0, 0, 4 00:22:17
Tercera fila por primera columna, menos 6, menos 2, menos 8 00:22:23
Tercera fila por segunda 00:22:30
Menos seis, cero, cero 00:22:33
Menos seis 00:22:35
Y por último 00:22:36
Menos seis por dos son menos doce 00:22:38
Menos doce más uno 00:22:41
Son menos once 00:22:43
¿Os dais a la b cuadrada? 00:22:44
¿O me he equivocado en algo? 00:22:48
¿Os da eso? 00:22:51
¿En dónde? ¿Aquí abajo? 00:22:54
O sea, ese menos ocho te da 00:22:56
Un menos cinco 00:22:57
Esto es tercera fila por primera columna 00:22:58
Menos 6 por 1 es menos 6 00:23:03
Menos 6 y menos 2 son menos 8 00:23:05
¿Está bien? 00:23:09
¿Dónde? 00:23:11
¿Aquí? 00:23:13
Pero estás multiplicando 00:23:15
Si este elemento es esta por esta 00:23:16
¿No? 00:23:20
Entonces es menos 6 por 1 es menos 6 00:23:21
Menos 1 por menos 2 es menos 2 00:23:24
Menos 8 y 0 por menos... 00:23:26
Bueno, pues, os habéis equivocado en calcular. 00:23:28
Como los hago de cabeza me puedo equivocar, ¿eh? 00:23:31
O sea, en lo que no me coincide me lo decís, pero vamos, yo soy guerrero, repito. 00:23:32
Pero, ¿por qué 18? 00:23:37
Si es esta por esta, por 1, menos 6, más menos 1 por 2, que es el menos 2, menos 8, 00:23:38
y 0 por menos 6 es 0, menos 8, más 0, menos 4. 00:23:45
¿El menos 11? 00:23:49
A ver, el menos 11 es tercera fila por tercera columna. 00:23:51
Vamos a ver. 00:23:56
menos 6 por 2, menos 12, menos por menos, más 1, menos 11, 0 por 0, 0 00:23:56
claro, pero no es, o sea, ah vale, vale, sí, ya está 00:24:04
¿entiendes lo que digo? 00:24:09
vale 00:24:11
vale, bueno y ahora ya solo tengo que restar 00:24:11
entonces, si resto elemento a elemento, 3 menos menos 9 son 12 00:24:16
3 menos menos 1 son 4, 3 menos 1 son 2 00:24:20
9 menos 8 es 1, 12 menos 3 son 9, 9 menos 4 son 5, 9 menos menos 8 son 17 00:24:25
9 menos menos 6 son 15 y 12 menos menos 11 son 33 00:24:36
Sería eso 00:24:44
¿De acuerdo? 00:24:46
¿Vale? Bueno 00:24:48
Bueno, a ver, los ejercicios siguientes, el 5, pues os da lo mismo, os da 4 matrices y os piden que suméis a más b, 3a menos 4b, 00:24:51
es decir, diferentes operaciones que son exactamente igual que las que hemos hecho. 00:25:18
Marcaroslo también si lo queréis hacer en casa. 00:25:23
El ejercicio 7, que son potencias de eso de a elevado a 50, a elevado a 97, eso no lo vamos a hacer. 00:25:26
Porque las potencias de las matrices no tienen una fórmula, o sea, no hay manera de hacerla. 00:25:34
Hay que ir probando, es decir, para saber si tienes que encoder, si según vas haciendo potencias encuentras un patrón que te pueda decir cuál va a dar, es decir, tienes que hacer el cuadrado, el cubo, la quinta, la sexta y entonces empezar a ver qué es lo que se repite, es decir, es un procedimiento, no lo haces 97 meses, tú empiezas y dices una, luego otra, lo tienes que hacer 10 veces. 00:25:40
Si no encuentras el patrón, pues a lo mejor lo tienes que hacer 10 veces, las 10 primeras potencias hasta encontrar el patrón. 00:26:10
Y entonces, bueno, pues es un rollo, la verdad es que es un ejercicio que es un poco rollo y que es vale. 00:26:18
El 8, sí, nada, el 7 y el 8 son de potencias, a ver, que si las queréis hacer y luego nos da tiempo las hacemos en algún momento, 00:26:24
pero vamos, que no tienen, no tienen mayor, a ver, por ejemplo el 10, el 10, os voy a hacer yo uno de ellos, 00:26:32
dice, nos dan dos matrices, primero nos dan una matriz de 3 por 3, 1, 1, 0, 1, y otra matriz, una matriz de 2 por 2, perdón, 00:26:45
y una vez 3 por 3, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, bueno y me dicen, son dos ejercicios distintos, 00:27:00
me dicen que encuentre una matriz que conmute con esta y otra matriz que conmute con esta, 00:27:11
¿vale? ¿Qué quiere decir que conmute? Quiere decir que yo tengo que encontrar una matriz 00:27:19
A, la que sea de A, B, C y D, una matriz cuadrada, A, B, C y D, de manera que si yo a esto le 00:27:25
llamo B, A por B sea igual que B por A, eso es que conmute, que conmute quiere decir que 00:27:35
se pueda multiplicar en un sentido o en otro y de lo mismo, dos cosas conmutan, por ejemplo 00:27:45
el 2 y el 3, el producto es conmutativo, ¿por qué? Porque me da lo mismo hacer 2 por 3 que 3 por 2. 00:27:51
Entonces, este párrafo que te puede dejar así un poco alucinado, lo único que te está diciendo es que, 00:27:57
¿cómo tendrá que ser esta matriz para que al hacer la multiplicación de A por B me dé lo mismo que B por A? 00:28:05
Bueno, pues vamos a hacerla. Entonces, si yo hago A por B, bueno, voy a hacer B por A, que las tengo aquí, así, 00:28:11
Sería, esta sería, primera fila por primera columna, 1 por A más 1 por C, esto es A más C, ¿no? Estoy multiplicando, exactamente igual, lo que pasa que en vez de tener un buen número, pues tengo letras. 00:28:20
Segunda, esta por esta 00:28:39
B más D 00:28:42
Tercera, esta por esta 00:28:44
Esto es 0 por A, esto es C 00:28:48
Y esta por esta es D 00:28:50
Es decir, si hago B por A, me daría esto 00:28:53
¿Vale? 00:28:58
Yo me voy un poco con lo de A 00:28:59
Pero os lo voy a poner más fácil 00:29:01
Os lo voy a poner antes 00:29:06
A por B, vamos a ver, A hemos dicho que la matriz A, que es la que yo ando buscando, es una matriz que no sé cómo es y que tendrá cuatro números, A, B, C y D, que no sé cuáles son, lo que ando buscando, esos números. 00:29:21
entonces, me dice que A por B tiene que ser lo mismo que B por A, entonces, si hago A por B, esto sería A, B, C, D por 1, 1, 0, 1, 00:29:35
y si hago B por A sería 1, 1, 0, 1 por A, B, C, D, es así, vale, pues voy a hacer esta, 00:29:50
esta sería, tengo que hacer primera fila por primera columna, A por 1, A más B por 0 que es 0, 00:30:04
esto, el primer elemento es A 00:30:11
¿sí? 00:30:13
siguiente 00:30:16
es primera fila por segunda columna 00:30:17
A por A, por 1 que es A 00:30:19
más B por 1 que es B 00:30:21
esto es A más B 00:30:23
no lo puedo calcular porque son letras 00:30:24
lo tengo que dejar escrito 00:30:27
¿de acuerdo? 00:30:28
hago la misma operación que hago con números 00:30:30
pero cuando son letras pues las tengo que dejar 00:30:33
siguiente 00:30:35
esta por esta, C por 1 es C 00:30:36
esto es 0, C 00:30:39
Y esta por esta es C más D 00:30:40
Y si lo hago así, pues hago lo mismo 00:30:43
Esta primera fila por primera columna 00:30:47
1 por A, A 00:30:49
1 por C, C, A más C 00:30:51
La siguiente, 1 por BB 00:30:53
1 por DD, B más D 00:30:55
Siguiente, 0 por A, 0 más C 00:30:57
0 por A, 0 más D 00:31:00
¿De acuerdo? 00:31:02
Entonces, ahora, ¿qué es lo que tiene que pasar? 00:31:04
Primera cosa, que este elemento sea igual que este 00:31:07
Porque lo que tiene que pasar es que sean iguales, ¿no? ¿Lo veis? 00:31:09
Entonces, ¿qué tiene que pasar? Que A tiene que ser igual a A más C. 00:31:14
Luego, ¿de aquí qué deduzco? Que C es cero. 00:31:19
Pues a primera vista, si tú tienes que una cosa es igual a esa misma cosa más esta, 00:31:27
quiere decir que esto es cero, es la única manera, no hay ninguna otra posibilidad. 00:31:33
¿De acuerdo? Luego, de momento, yo ya sé que esta, esta, es un 0. 00:31:36
Ahora, de esta, A más B tiene que ser igual que B más D. 00:31:48
De aquí, ¿qué deduce? Exacto. 00:31:57
Que A y D tienen que ser lo mismo, ¿no? 00:32:00
Porque si yo, esto es igual y las dos sumas son iguales, 00:32:03
Pues ahí D tienen que ser iguales, A igual a D, luego entonces yo ya sé que puedo poner esto, lo puedo poner como A, ¿vale? 00:32:08
Bueno, de aquí está claro, C es igual a C, eso no tengo ninguna, de ahí no deduzco nada, ya claramente. 00:32:21
Y luego por último, C más D tiene que ser igual a D, aquí me pasa lo mismo que arriba, de aquí saco la misma conclusión, 00:32:30
que c es cero, pues ya está, para que una matriz de orden 2 por 2 conmute con esta, tiene que ser de esta forma, 00:32:38
es decir, una matriz que conmuta con esta es por ejemplo la matriz 1, 2, 0, 1, esa conmuta con esa, dándole valores, 00:32:54
o la matriz 5, 8, 0, 5, cualquier matriz que tenga, este de orden 2, que tenga un 0 aquí, estos dos números iguales y ese distinto, ya conmuta, ¿de acuerdo? 00:33:05
¿Veis el procedimiento que he seguido? Las operaciones que he hecho son multiplicación de fracción, de matrices, no he hecho otra cosa, 00:33:23
pero en este caso 00:33:31
me obligan a pensar 00:33:33
porque lo que me están diciendo es 00:33:36
que haga estas dos multiplicaciones 00:33:38
A por B y B por A 00:33:41
y los resultados los iguales 00:33:42
y saque conclusiones al respecto 00:33:44
¿de acuerdo? 00:33:46
¿seréis capaces de hacer lo mismo con esa de 3 por 3? 00:33:48
fijaros que ahora aquí 00:33:53
la matriz que andáis buscando 00:33:54
es de 3 por 3 00:33:56
A, B, C, D, E, F, G, H, I 00:33:57
no te da nada 00:34:03
es mucho más fácil 00:34:06
de lo que se tiene en cuenta 00:34:09
de un montón de ceros 00:34:10
al final al hacer las multiplicaciones 00:34:12
se os va casi todo 00:34:14
porque son casi todos 00:34:16
pues si pensáis lo más bonito 00:34:17
todo lo demás es pura mecánica 00:34:19
en principio lo que hacéis 00:34:22
es sin pensar 00:34:25
multiplicáis, si esto lo llamo C 00:34:26
si esto lo llamo C 00:34:28
hacéis A por C 00:34:30
y C por A 00:34:32
y os las colocáis 00:34:33
y luego ya vais igualando términos 00:34:35
y sacando conclusiones 00:34:38
pero primero sin pensar 00:34:39
hacéis la multiplicación como la... 00:34:41
¿el qué? 00:34:43
como esto es C mayúscula 00:34:46
y es la matriz 00:34:47
esta C es una C minúscula 00:34:49
yo lo que no entiendo es cómo se multiplica 00:34:52
cualquier cosa por C 00:34:53
pues te multiplicas por cero, no hay nada 00:34:55
¿y la de arriba? 00:34:57
claro, claro 00:35:00
toda la cima de la vida será ceros 00:35:01
o sea, tú multiplicas 00:35:03
y lo que te dé, una vez te queda un número, otra vez te queda 00:35:05
letras, otra vez te queda lo que sea 00:35:07
tú multiplicas exactamente igual 00:35:09
si tú haces esta por esta 00:35:11
es todo ceros, luego esto es un cero 00:35:13
esta por esto es todo ceros 00:35:15
el resultado es un cero, y esta por esto 00:35:17
son todo ceros, el resultado es un cero 00:35:19
pues os decía que si hay muchos ceros es muy fácil 00:35:21
claro, que yo lo estaba 00:35:23
nada, pues entonces lo hacéis 00:35:25
y si hay muchos ceros, a multiplicar por cero cualquier cosa 00:35:27
ya sea una letra, un número, lo que sea 00:35:30
va a quedar cero 00:35:32
si queda cero, pues queda cero 00:35:32
claro, le pones la letra igual que yo he hecho aquí 00:35:35
al hacerlo, pues tú le pones 00:35:39
lo dejas indicado 00:35:42
o sea, las operaciones para letras 00:35:44
exactamente igual que con los números 00:35:46
pero no los puedes hacer y por lo tanto 00:35:47
pues siempre por el principio 00:35:49
tú tienes que hacer 00:35:50
A por C y C por A. Este por este y este por este. ¿Vale? Entonces colócate, si vas a 00:35:53
hacer primero este por este, te colocas uno al lado del otro y vas esto por esto, esto 00:36:00
por esto, esto por esto, esto por esto, así. Y que vas haciendo los cálculos. 00:36:04
¿Voy a ello por ahí? ¿Sí? Vamos a ver. Bueno, hemos dicho que para que esto sea conmutativo 00:36:11
O A, A por C, tiene que ser igual a C por A. 00:36:23
A por C es 0, 0, 0, no, lo estoy dando al revés. 00:36:32
A por C es A, B, C, D, E, F, G, H, I 00:36:39
Por 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0 00:36:49
¿Vale? Esto lo veis 00:36:55
Y C por A es al revés 00:36:58
0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0 00:37:00
Por esa matriz que yo ando buscando 00:37:05
A, B, C, D, I 00:37:08
Lo voy a hacer 00:37:10
Entonces, primer elemento aquí 00:37:11
Primera fila por primera columna 00:37:14
A por 0 es 0 00:37:17
B y C, B más C 00:37:18
¿Estáis de acuerdo? 00:37:20
Segundo elemento, todo esto por esto 00:37:23
Esto es 0, esto es 0, esto es C 00:37:25
Tercera, todos ceros 00:37:27
Siguiente, esta por esta 00:37:29
Esto es 0, pues E más F 00:37:32
siguiente, esta por esta es F 00:37:34
y última 2, pues porque es 00:37:39
segunda por esta, D por 0 es 0, E por 0 es 0 00:37:43
F por 1 es F, si somos 0 más 0 00:37:47
más F es F, o sea me limito a hacer 00:37:51
exactamente igual si fuera números 00:37:55
esta, esta es esta por 0 y H por 1 y I por 1 00:37:58
luego H más I, aquí está 0, está 0, está I, y por último está 0, está 0, está 0, 00:38:03
todos ceros, eso es lo que me da por ese lado, ¿vale? Vamos ahora por este lado, por este 00:38:14
lado está, por esta es todo ceros, esta por esta es todo ceros, esta por esta es todo 00:38:20
ceros, ahora, esta por esta, A es 1 y los demás son ceros, luego esto es A, esta por 00:38:27
esta, esto es B, esta por esta es C, esto es un 0, y ahora esta, 1 por A, A más D, 00:38:38
Esta por esta es b más c y por último esta por esta es c más f, ¿vale? ¿Está bien? Bueno, ahora voy a igualar, b más c tiene que ser cero, de ahí al principio no saco nada, c tiene que ser cero, ¿no? 00:38:51
Bueno, ahora de estas dos cosas saco que b también tiene que ser cero, porque si c es cero y esto tiene que ser cero, las dos tienen que ser cero, ¿no? 00:39:16
Luego de momento voy aquí a ponerlas aquí, b y c son ceros, cero y cero, y el cero es el cero, de la primera fila saco esas conclusiones. 00:39:27
De la segunda fila, saco que A tiene que ser igual a E más F, ni idea, de momento eso no me da ninguna pauta. 00:39:39
Segunda, que F tiene que ser igual a B, pero esto es igual a cero, porque B ya era cero, luego F es cero. 00:39:49
y que C es 0 también, porque C es 0, luego entonces, bueno, ya lo sabía yo que C era 0, 00:39:58
vale, y de la última saco, vale, y de la última saco que A más D tiene que ser igual a H más I, 00:40:13
bueno, pues ni idea, que B más E tiene que ser igual a I, vale, 00:40:29
De aquí como b es 0, e tiene que ser igual a i, luego si esto es e, esto es e 00:40:38
Y por último saco que c más f tiene que ser igual a 0, como c es 0, f es 0 00:40:47
Luego f, aquí ya lo tenía, f era 0, ¿de acuerdo? 00:40:57
Bueno, tengo todas estas, ahora yo digo, bueno, pues de estos he sacado estas dos, de aquí saco como f es cero, a es igual a e, luego esto es e, ¿de acuerdo? 00:41:03
Y de aquí saco que si, vamos a ver, h y i hemos dicho... 00:41:17
Pero que sale en medio no era cero. 00:41:23
¿Cuál? 00:41:25
¿Cuál? 00:41:27
La que acabas de poner, bueno, mira, mejor me... 00:41:27
Bueno, yo voy sacando concursiones. 00:41:30
Sí, mejor, ya... 00:41:31
Vamos a ver, de estas está claro, ¿no? B más C es igual a cero, de estas, y de estas C es cero, luego saco que B y C son cero, eso lo tenéis claro, ¿no? 00:41:32
Vale, luego del siguiente, de la siguiente, yo saco que E más F es igual a A, que es igual a esto, y de aquí que F es igual a B, ¿vale? 00:41:44
Pero como b es cero, pues f es cero también. ¿Dónde está la? f, esta es cero. Esta es cero, no esta. La f, porque es la f y la f es esta. Yo coloco los valores que me van dando donde pone la letra. 00:41:55
aquí lo que me sale, de aquí lo que me sale es que f es igual a b, que es igual a 0, esto es igual a esto, que es igual a 0, luego esta es 0, ¿vale? 00:42:12
Y lo que sí pasa es que como f es 0, de aquí me sale que a es igual a e, luego si yo pongo e aquí, a es e, y va por ahí, ¿vale? 00:42:21
Este lo tengo, ahora tengo que de aquí abajo, de aquí no saco nada, de aquí que saco que B es 0 y esto es así, luego E es igual a I, luego E donde pone I lo pongo aquí, ¿vale? 00:42:33
Y de aquí ya me salen los que tenía, y de aquí me sale que A que es E más D es igual a H más I que es E, luego D y H son iguales, D y H son iguales, o sea, si esto es D, esto es D, y esto será G, porque la G no me ha entrado en música. 00:42:46
luego todas las que tengan 00:43:13
estos ceros, estas dos iguales 00:43:15
estas dos iguales y esa distinta 00:43:18
son matrices 00:43:20
que conmutan con 00:43:22
con esa, ¿de acuerdo? 00:43:23
bueno, si os pusiera un ejercicio 00:43:26
de estos, lo normal es que los pusieran 00:43:28
de dos por dos, de tres por tres 00:43:29
es complicado, como veis 00:43:31
hay que sacar muchas deducciones 00:43:34
claro, claro 00:43:35
claro, cualquier 00:43:39
matriz que tenga 00:43:42
esta estructura conmuta 00:43:44
con esta 00:43:47
¿qué quiere decir esto? si quieres dar un ejemplo 00:43:48
pues que esto puede ser todo uno 00:43:51
dos y tres 00:43:53
lo tienes que dejar con las letras 00:43:54
de hecho porque es genérica 00:43:58
tú ahí le puedes dar los valores que quieras 00:43:59
vale 00:44:02
en los ejercicios que os he dado 00:44:02
hemos llegado 00:44:06
al ejercicio 10 00:44:08
vale 00:44:11
bueno, el 11 00:44:12
y el 12 00:44:15
son muy similares 00:44:16
a los que hemos hecho, si queréis 00:44:20
echaros un vistazo, porque el 13 00:44:21
con el 13 ya empezamos 00:44:23
con las 00:44:25
ecuaciones matriciales 00:44:27
entonces mañana seguimos 00:44:29
es fácil 00:44:31
pero esto ha sido un poco lío 00:44:35
bueno, poco 00:44:37
poco a poco 00:44:39
pero de momento lo único que estamos 00:44:41
utilizando es la suma, resta y multiplicación 00:44:44
de matrices, como veis 00:44:46
o sea, no hay más 00:44:48
lo que pasa es que, bueno, el punto de ejercicio 00:44:49
pues te lo complican un poco 00:44:51
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
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27 de enero de 2026 - 16:14
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
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