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EvAU MAtemáticas II 2017 Modelo B 2 Geometría - Contenido educativo
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Hoy vamos a ver un ejercicio sencillito. Es del modelo del año 2017, de la EBAO de Madrid, como siempre.
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Del modelo B, el ejercicio 2. Es un problema de geometría 3D, relativamente sencillo, digo.
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Nos dan tres puntos y nos piden hallar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.
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bueno, vamos a dibujar los tres puntos que están ahí, A, B y P
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y bueno, pues se ve claramente como va a tener que ser el plano
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que lo contiene, que a los tres puntos
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ahí lo tenemos
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GeoGebra tiene una funcionalidad que si sobre el plano
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damos representación 2D del plano
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pues nos sale que aquí está y entonces se ve claramente
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que los tres puntos están en el plano que hemos calculado.
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Vamos a cerrarlo por si no lo conocíais.
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Bien, esto lo hemos hecho con GeoGebra, pero estamos con lo de siempre.
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En el examen de la EVO, ¿cómo lo hacemos?
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Bueno, pues lo tendríamos que hacer montando una matriz
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para la cual haremos después su determinante igual a cero,
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en el que en la primera línea ponemos x menos las coordenadas de uno de los tres puntos
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yo he decidido que aprovechando que hay dos ceros en el punto B
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pues he hecho x y z menos las coordenadas de B
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y a partir de ahí he hecho el vector BA, 2, 1, 4
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y el vector BP, 1, 1, 4
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he calculado el determinante, lo he igualado a 0 y me sale esta ecuación
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que no nos sorprende que sea la misma que ha calculado GeoGebra para el plano
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así que ya tendríamos un punto en el examen, que es el plano que contiene los tres puntos
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ahora para hallar el área del triángulo formado por A, B y P
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voy a dibujar el triángulo
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pues sabemos que el producto de BA por BP
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el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo
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definido por B por A y por P
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faltaría el cuarto vértice, que estaría por aquí
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entonces el área del triángulo es el módulo del producto vectorial
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BA por BP partido por 2
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en realidad tenemos que hacer, al hacer el producto vectorial
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tenemos las dos filas iguales
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Y si lo hubiéramos hecho por menores o adjuntos, pues ya lo tendríamos hecho, da menos 4j más k, y la longitud de este vector, haciendo la raíz cuadrada de cada una de las coordenadas al cuadrado, pues da raíz de 17.
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El área del triángulo será un medio de la raíz 17, que si lo operáramos, pues nos va a dar, lo tenemos aquí, el área del triángulo 2.06, que es lo que vale raíz 17 partido por 2.
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Así que ya tenemos otro punto del examen, muy sencillito.
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Por último, nos dicen hallar la distancia del punto P a la recta que pasa por AB.
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Una manera sería preguntarse a la GeoGebra, ¿verdad?
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Dime la distancia, me da 0,9
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Pero realmente lo haremos con la fórmula de la distancia
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Del producto, que sería el módulo del producto vectorial
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VA por BP, que ya lo tenemos hecho de antes
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Partido por el módulo del vector director de la recta
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Que es VA, ya que nos dicen que es la recta que pasa por VA
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No necesito escribir la ecuación de la recta para nada. Aquí la he pintado en GeoGebra porque no me ha costado nada.
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Bueno, pues si hago el módulo del vector 2, 1, 4, que era BA, ¿os acordáis?
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Pues me da raíz de 21 y si lo divido entre lo que me ha dado el producto vectorial, su módulo,
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entre lo que me ha dado el módulo de BA
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pues me da un 21 de la raíz de 357
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que si lo hago numérico es 0,9
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como repito nos había dicho GeoGebra
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existe otra manera de hacerlo
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aunque está evidentemente para este ejercicio es la más sencilla
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ya lo habríamos completado
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que es utilizar la geometría
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haríamos el vector perpendicular
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a la recta, es decir, utilizando que era 2, 1, 4, pues pondríamos 2, 1, 4, lo haríamos
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que pasara por P, con lo cual pondríamos 2 por paréntesis x menos 1 más 1 por paréntesis
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por x por y menos 1
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más 4 por paréntesis
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por z menos 1
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igual a 0
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y me saldría esta ecuación
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en positivo
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si lo hacemos con 2, 1, 4
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que es lo de menos porque como veis
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está todo cambiado de signo
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luego haríamos el punto de corte
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sustituyendo
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x, y, z
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por
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las paramétricas
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2 menos 2 lambda, 1 menos lambda
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1 menos 4 lambda o 2, 1, 4 si lo hubiéramos puesto positivo
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Resolveríamos en lambda, volveríamos a sustituir y nos daría el punto Q o P'
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Vamos, perdón, le llamo aquí P', 1, 80 y tal
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Luego haríamos la distancia del segmento, que es este segmento G en el dibujo
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Y nos vuelve a dar 0,9
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Con lo cual hemos visto tres maneras de calcular la distancia
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La distancia, por supuesto, siempre es en perpendicular. Esto por repasarlo también, otra manera de hacer la distancia. Y hemos terminado el ejercicio.
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Pablo J. Triviño Rodríguez
- Subido por:
- Pablo Jesus T.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 309
- Fecha:
- 10 de marzo de 2018 - 20:25
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES CARMEN CONDE
- Duración:
- 06′ 16″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 18.74 MBytes
