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Simetría - Contenido educativo

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Subido el 20 de octubre de 2023 por Elias M.

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Hola a todos. Pues mirad, hoy tengo una mala noticia que daros. Seguramente este 00:00:00
sea el último vídeo que os pongo en lo que queda de 00:00:04
evaluación, porque estuve hablando con la jefa de departamento y decidimos lo 00:00:10
que iba a entrar y yo creo que me da tiempo a meterlo en este vídeo, pero no 00:00:13
os preocupéis que intentaré que sea lo más largo posible, ¿vale? Y así no os da 00:00:16
tanta pena. Mirad, ayer os dije que... bueno, en el último vídeo os dije que me 00:00:20
quedaban algunas cosas por ver de las gráficas de las funciones, ¿vale? Algunas 00:00:27
de las características de las funciones que no me había dado tiempo 00:00:31
de ver en el vídeo anterior, ¿vale? Y una de ellas es la simetría, ¿vale? Os he puesto 00:00:36
aquí cuatro gráficas, cuatro ejemplos de gráficas, y seguramente muchos de 00:00:39
vosotros a simple vista... bueno, lo de simetría es una palabra que yo creo que 00:00:47
no es desconocida para ninguno de vosotros y sabéis más o menos de qué va. 00:00:54
Incluso puede que lo hayáis visto en otros cursos. Bueno, algo simétrico es 00:00:58
algo que está como reflejado, ¿vale? Algo que podríamos suponer que es igual por 00:01:04
un lado que por el otro, ¿verdad? Como las imágenes que ves en un espejo... 00:01:13
No sé, lo tendrían que haber buscado en el diccionario porque seguro que ahí lo 00:01:19
decían muy bien, ¿no? Pero yo creo que el concepto de simetría no es 00:01:23
desconocido, ¿vale? Entonces estas gráficas seguramente hay una o varias que os 00:01:26
parece que puede ser simétrica, ¿no? Que como que se puede partir por la mitad y 00:01:36
lo que hay a un lado es igual que lo que hay al otro, ¿verdad? Esa sería la 00:01:41
simetría más fácil que conocemos. Yo en concreto veo dos que cumplen ese 00:01:45
criterio, que las partimos por la mitad y los dos lados es como si se reflejara 00:01:51
en un espejo, ¿vale? La primera está muy claro porque además tenemos ya la línea 00:01:58
que la parte hecha, ¿veis? Esta podríamos decir que es simétrica respecto al eje 00:02:04
vertical, al eje de las... es el eje de ordenadas, ¿verdad? Fijaos que si parto 00:02:11
por aquí lo que hay a este lado es como si lo viéramos a través de un 00:02:15
espejo con respecto a este. Y si hemos dicho que está simétrica hay otra muy 00:02:21
parecida que es esta de aquí, pero la diferencia es que ya no es simétrica 00:02:27
respecto al eje de ordenadas. Ahora sería simétrica respecto a una línea que 00:02:33
pasará por aquí, ¿vale? Este sería como el espejo, 00:02:41
donde se refleja este lado y aparece este otro, ¿verdad? 00:02:47
Otra manera de verlo es que si las doblamos por su eje de simetría 00:02:53
coincidirían la línea de un lado y del otro. Imaginaos que doblamos... que doblar 00:02:57
allí el papel coincidiría este lado con el otro y aquí si lo doblo por el eje de 00:03:01
ordenadas también coincide, ¿vale? Ese es un tipo de simetría, ¿vale? Simetría 00:03:05
axial se llama, la simetría respecto a un eje, respecto a una línea. Pero hay otro 00:03:11
tipo de simetría más difícil de ver y es lo que llamamos simetría impar o 00:03:15
simetría respecto a un punto, ¿vale? Y aquí hay otra función de todas estas que es 00:03:21
simétrica. Seguro que también lo veis porque si tiene que ser de las otras dos 00:03:28
alguna seguro que todos habéis apostado por esta. Pero es una simetría más 00:03:33
difícil de ver porque aquí, vale, esto no me serviría como espejo porque si doblo 00:03:36
por aquí el papel no va a coincidir y esto tampoco es el espejo porque si lo 00:03:44
doblas no coincide. En realidad hay que doblar por los dos sitios a la vez. 00:03:49
Esta es una función que tiene simetría impar, decimos, y es simétrica respecto a 00:03:54
este punto, el origen de ordenadas. ¿Cómo podemos ver si una función, a partir de 00:03:59
su gráfica, cómo podemos deducir que es una función simétrica respecto al origen 00:04:05
de ordenadas, que tenga simetría impar? Pues doblando dos veces, una sobre el eje 00:04:10
horizontal y otra sobre el eje vertical. Si coinciden, entonces es simétrica impar. 00:04:17
Imaginaos que doblo sobre el eje horizontal, entonces la parte de arriba 00:04:22
la bajo abajo. Me quedaría esto aquí. Y ahora sí que tiene, y ahora si lo volvemos 00:04:26
a doblar por el eje vertical, entonces ya sí que coincide lo de este lado con lo 00:04:34
de este otro. Cuando eso sucede es simetría impar. Entonces esta es... 00:04:38
Vale, vamos a ver. Esto era simetría axial, esto simetría impar. Pero dentro de la 00:04:44
simetría axial hay un caso particular, un caso que es el que más nos interesa, que 00:04:51
es la simetría par, que es cuando es simétrica, que es esta primera, cuando es 00:04:55
simétrica respecto al eje de ordenadas. O sea, nosotros los dos casos de simetría 00:04:59
más importantes que vamos a estudiar es simetría par y simetría impar. 00:05:02
Vale, esta también es simétrica, lo que pasa que no es uno de los tipos de 00:05:11
simetría que nos van a interesar durante este tema, simetría axial, pero en este 00:05:15
tema nos vamos a centrar sobre estas, estos dos tipos de simetría. ¿Por qué? 00:05:19
Porque luego vamos a estudiar unas formulitas que nos permiten deducirlo 00:05:22
incluso sin conocer la gráfica. ¿Vale? Deducir si una función es simétrica par 00:05:26
o impar. Y estas dos diremos que no presentan simetría par ni impar. ¿Vale? 00:05:31
Esta no presenta simetría en absoluto, ¿vale? Porque es una función que no tiene 00:05:36
simétrica. No es simétrica. 00:05:41
Esta es simetría axial, pero eso no lo vamos a estudiar de momento. Nosotros 00:05:48
diremos que es simétrica par pero desplazada, pero eso lo veremos más 00:05:51
adelante, ya después de la evaluación, ¿vale? Que quedarán unos días para 00:05:55
ampliar un poco de materia para que no vayáis tan mal de cara al año que viene. 00:05:58
¿Vale? Muy bien, pues ahora voy a ir con las fórmulas estas que os he dicho. La 00:06:03
fórmula para la simetría par es esta. f de x es igual... f de menos x igual que f de x. 00:06:09
Y las funciones que tienen simetría impar cumplen en cambio esto. 00:06:19
¿Qué significa eso? Pues lo vamos a ver con ejemplos con números, ¿vale? Y a partir de 00:06:28
estas gráficas. Bueno, en vosotros ya supongo que habréis 00:06:32
practicado y sabéis averiguar el valor de una función en un punto. Yo, por 00:06:37
ejemplo, si os digo ¿cuánto vale f de 1? 00:06:41
Pues vendríais aquí a la gráfica y buscáis el 1 en las x 00:06:51
y veis que la altura a la que está es 0. ¿Vale? 00:06:59
¿Y cuánto vale...? Y ahora vamos a cambiarlo de signo a este. ¿Cuánto vale f de menos 1? 00:07:05
Vamos al menos 1 y vemos que también es 0. Esto es lo que se cumple en las 00:07:12
funciones que tienen simetría impar. Que la función en un punto vale lo mismo 00:07:17
que en el mismo punto pero en negativo. ¿Vale? 00:07:23
Y veis que eso se cumpliría para cualquier 00:07:29
cualquier valor de x. ¿Vale? Imaginaos... 00:07:34
Esto vamos a suponer que es 1,5. f de 1,5 me da menos 2. 00:07:39
Es lo mismo que f de menos 1,5. Sí, también da menos 2. Esto se tiene que 00:07:50
cumplir siempre que sea una función simétrica para. Y con las impares sucede 00:07:57
algo más o menos parecido. ¿Vale? Hay alguna correspondencia entre entre los 00:08:02
valores positivos y los negativos. Vamos a verlo con números también. ¿Cuánto vale 00:08:10
f de 1? Vamos a la gráfica. f de 1 vale menos 1. 00:08:15
Y ahora le cambiamos el signo a la x. f de menos 1 ¿Cuánto valdrá? 00:08:20
Nos vamos al menos 1. Fijaos que en las funciones impares si le cambias el signo 00:08:26
a la x se lo cambias también a la y. ¿Vale? Fijaos que se cumple también para 00:08:32
cualquier valor. Bueno, el 0 resulta que no tiene... 00:08:38
Este ejemplo a lo mejor no se ve claro pero f de 2 sería 0 y f de menos 2 00:08:43
también es 0. ¿Vale? Pero es que el 0 es el único número que no tiene signo. ¿Vale? 00:08:51
Si fuera cualquier otro valor se le cambiaría el signo. Pues eso es lo que 00:08:56
tenéis que saber de estas dos fórmulas. Son las que os tenéis que aprender. 00:08:59
¿Cómo se utilizan estas fórmulas para trabajar analíticamente? ¿Vale? 00:09:06
En vez de con la gráfica de una función, con la fórmula de una función. 00:09:14
Pues vamos a ver un ejemplo. Imaginaos esta función f de x igual a x a la cuarta 00:09:17
Bueno, al cuadrado es más fácil. Menos 4. ¿Vale? Sin hacer la gráfica. ¿Vale? 00:09:26
Podríamos dibujar la gráfica y verlo pero eso llevaría mucho trabajo. 00:09:35
Tendríamos que empezar a dar bastantes puntos. ¿Cómo lo hacemos? 00:09:38
Pues vamos a cambiar todas las x por menos x. Vamos a calcular f de menos x. 00:09:42
¿Vale? Si cambio aquí la x por menos x voy a cambiar. Cada vez que aquí aparezca una x 00:09:47
la sustituyo por menos x. Esto será menos x al cuadrado. Fijaos que como es un número negativo 00:09:54
un valor negativo lo he sustituido entre paréntesis. Menos 4. ¿Vale? 00:09:59
Vamos a simplificar esta expresión. Vamos a seguir desarrollándola. 00:10:05
Es decir que f de menos x es igual. A ver si le damos menos x al cuadrado. 00:10:08
Menos x por menos x. Menos por menos más. X por x. X al cuadrado. 00:10:15
Fijaos lo que ha pasado. La fórmula de f de x ha coincidido con la fórmula de f de menos x. 00:10:21
¿Veis? Es decir, esta función es simétrica. 00:10:31
Oye. 00:10:38
Ahora os voy a poner un ejemplo de simetría impar. A ver, no fácil. 00:10:44
Bueno, esta es la más fácil que se me ha ocurrido, que es impar. Entonces hacemos lo mismo. 00:10:56
Esta es la fórmula de nuestra función. Eje de x, 1 partido de x. 00:11:01
¿Qué hacemos? Para saber si tiene simetría, cambiamos las x por menos x. 00:11:08
¿Vale? Recordad que os he dicho que en una fracción el signo menos preferiblemente arriba o delante. 00:11:17
Entonces voy a colocarlo. Da lo mismo donde lo pongas. Delante, abajo, o sea, arriba, delante o abajo. 00:11:24
Preferiblemente debajo o arriba. Pero fijaos lo que ha pasado. 00:11:31
La fórmula de g de menos x es exactamente igual que la de g de x. 00:11:35
Lo que pasa es que con el signo menos delante. Eso es simetría impar. 00:11:43
Vale, pues luego os pondré unos ejercicios para que practiquéis con esto. 00:11:55
Voy a poneros otro ejemplo un poquito más difícil, porque luego a lo mejor no se os ocurre como resolver otras ecuaciones. 00:12:01
Voy a llamarle h de x a 3x menos x elevado al cubo. 00:12:12
El procedimiento es muy sencillo, lo de siempre. Cambiamos todas las x por menos x. 00:12:21
Ojo, porque es como si fuera un valor negativo, entonces hay que hacerlo entre paréntesis. 00:12:29
¿Veis? Esta x la he cambiado por menos x entre paréntesis. 00:12:36
Y aquí también, donde estaba la x, menos x entre paréntesis. 00:12:39
Y ahora hay que simplificar esta expresión, hay que dejarlo bonito. 00:12:44
h de menos x, 3 por menos x, menos 3x. 00:12:48
Y esto sería menos, y si hacemos menos x elevado al cubo, por las propiedades de las potencias, 00:12:55
cuando elevas un número negativo al cubo, eso se puede poner así también. 00:13:01
Eso a lo mejor lo tenéis que repasar porque seguro que se os ha olvidado a todos. 00:13:07
Eso se puede poner aquí. Ahora os pongo un recordatorio. 00:13:12
Entonces ahora el menos ya está fuera de la potencia, está delante, entonces esto me queda así. 00:13:17
Menos 3x, y menos por menos, más x elevado al cubo. 00:13:23
Si saco factor común el menos, es decir, pongo el menos delante, 00:13:34
y al sacar factor común el menos tengo que dividir por menos uno tanto esto como esto, 00:13:39
me queda 3x menos x elevado al cubo. 00:13:44
Fijaos lo que ha sucedido después de dejarlo bonito, ordenarlo y tal. 00:13:48
La función h de menos x es exactamente igual que la que tenía al principio, 00:13:53
pero con un menos delante. Luego ésta es simétrica e impar. 00:13:59
También, ¿vale? 00:14:08
Y os voy a poner aquí una chuletilla, un recordatorio de las propiedades de las potencias, 00:14:10
porque, aunque me duela decirlo, o se os olvida muy rápido, o no acabáis de aprenderlo bien, 00:14:15
y si no mirad los apuntes del principio del curso, ¿vale? 00:14:24
Si tenemos un número negativo, una potencia de base negativa, elevada a un exponente par, 00:14:28
pues esto quedaría así. 00:14:39
Esto, si n es par, y cuando la base es negativa, pero el exponente es impar, pasa esto. 00:14:42
¿Vale? Acordaos de esta propiedad de las potencias, que se os olvida siempre, no la veis clara. 00:14:59
No es lo mismo que el menos esté dentro del paréntesis a que esté fuera. 00:15:06
¿Vale? Un ejemplo. 00:15:10
Menos dos elevado a cuatro es igual que dos elevado a cuatro, que es dieciséis. 00:15:12
Menos dos elevado a tres es igual a menos dos elevado a tres, es decir, menos ocho. 00:15:20
¿Veis? 00:15:30
Y otro ejemplo. 00:15:32
Menos dos elevado a cuatro es igual a menos dieciséis. 00:15:35
Porque no es lo mismo que el menos esté dentro del paréntesis, se eleva a cuatro el menos dos, 00:15:43
y aquí no, aquí se eleva a cuatro el dos, y luego va el menos. 00:15:50
¿Vale? Porque las potencias en matemáticas se hacen antes que las multiplicaciones. 00:15:55
Es como haces tú la potencia primero, de dos elevado a cuatro, y luego lo multiplicas por menos uno. 00:15:58
Ojo con la diferencia entre esto y esto también, ¿vale? 00:16:03
Por favor, esto lo hemos visto muchas veces, pero como os aprendéis las cosas de aquella manera, pues os olvida enseguida. 00:16:08
Pasamos ahora a otra cosilla. 00:16:17
Idioma/s:
es
Autor/es:
Elías Martí Borredà
Subido por:
Elias M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
20 de octubre de 2023 - 17:23
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLA DE VALLECAS
Duración:
16′ 21″
Relación de aspecto:
3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
Resolución:
720x480 píxeles
Tamaño:
39.42 MBytes

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