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PR5. 3. Ejercicio 3 resuelto.mp4 - Contenido educativo

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Subido el 14 de febrero de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad PR5 dedicada a la teoría de muestras y las distribuciones en el muestreo. 00:00:21
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 3. 00:00:28
En este ejercicio se nos indica que en una cierta población una característica X mayúscula 00:00:47
se distribuye mediante una distribución normal. 00:00:52
Tomando muestras de tamaño en igual a 100, se determina que la probabilidad de que la media muestral x barra 00:00:55
sea menor o igual que 75 es 0,58 y la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 80 es 0,04. 00:01:00
Con esta información se nos pide hallar la media y la desviación típica de las distribuciones de x y de x con barra. 00:01:08
De la distribución de X sabemos que es normal y nos faltaría hallar la media y la desviación típica. 00:01:15
X es la distribución de una única medida. 00:01:22
Elegimos, en este caso, una persona de esta población, medimos la característica X 00:01:27
y queremos conocer la media y la desviación típica de la distribución de esa X, una única medida. 00:01:33
En el caso de X barra es algo diferente. 00:01:39
Lo que estamos haciendo es ir tomando muestras de tamaño en igualación y calcular la media aritmética de las 100 medidas de esta característica. 00:01:41
Y se nos pide determinar la media y la desviación típica de la distribución de esa media aritmética, la media muestral, con muestras de tamaño en igualación. 00:01:50
Lo primero que tenemos que hacer es relacionar las distribuciones de x, la variable de una única medida, y x barra la media aritmética de muestras de tamaño 100. 00:02:00
De x sabemos que sigue una distribución normal con media muy de desviación típica sigma, 00:02:11
por hipótesis y porque nos lo han dado en el enunciado. 00:02:16
La variable aleatoria media muestral va a seguir una distribución que va a ser también normal, 00:02:19
con media la de x y desviación típica que va a ser la de x 00:02:25
dividido entre la red cuadrada del tamaño de la muestra, en este caso entre la red cuadrada de 100. 00:02:30
Así que la media muestral va a seguir una distribución también normal con media la misma que la de x y haciendo la operación de desviación típica la de x entre 10. 00:02:35
Si quisiéramos tipificar esta variable, la de la media aritmética, la media muestral, lo que tenemos que hacer es definir una variable z que será la media muestral menos su media mu dividido entre su desviación típica sigma partido por 10. 00:02:47
Y esta Z va a seguir una distribución normal estándar con medida 0 y desviación típica 1. 00:03:04
Con esto en mente vamos a ver qué son los datos del enunciado, cuáles son los datos que tenemos y con los que vamos a poder operar. 00:03:11
Lo que tenemos es que la probabilidad de que la medida muestral sea menor o igual que 75 es 0,58. Esto lo podemos escribir de esta manera. 00:03:18
Para poder utilizar la tabla de la distribución normal estándar lo que necesitamos es tipificar. 00:03:27
En el suceso vamos a, en los dos miembros, restar la media de la distribución de X barra y vamos a dividir entre su despección típica, la media, mu, la despección típica, sima, partido por 10, como veis. 00:03:31
Y lo que va a quedar es, en el miembro de la izquierda, la variable normal estándar, Z, X barra menos mu, dividido entre la despección típica, dividido entre 10. 00:03:44
Y a la derecha tenemos este 75 menos mu, entre sima, dividido entre 10. 00:03:53
Y la probabilidad de este suceso es igual a 0,58. 00:03:58
Dado que la probabilidad la conocemos y nos estamos preguntando por cuál será la abstisa que le corresponde 00:04:01
de una cola de la izquierda, vamos a leer en la tabla de la distribución normal 00:04:08
Vamos a ver valores de probabilidad que sean iguales a 0,58 00:04:12
Justo este no lo vamos a encontrar 00:04:17
El más próximo, como indico aquí, es 0,5793 00:04:18
que se corresponde con la probabilidad de que z, normal estándar, sea menor o igual que 0,20 00:04:24
Si consideramos que este 0,58 es suficientemente próximo a 0,5793, que lo es, 00:04:29
lo que vamos a inferir es que 75 menos mu dividido entre sigma entre 10 va a ser igual a este 0,20, 00:04:35
esta abscisa que hemos leído en la tabla de la distribución normal, como veis aquí. 00:04:41
Si operamos y reorganizamos términos, llegamos a la expresión equivalente, 00:04:46
mu tiene que ser igual a 75 menos 2 partido por sigma. 00:04:51
Esta conclusión es a la que llegamos con el primer dato. 00:04:55
Si vamos al segundo, la probabilidad de que la media aritmética sea mayor que 80 es igual a 004. 00:04:58
Eso se traduce en esta expresión que tenemos aquí. 00:05:04
Vamos a operar de forma análoga. 00:05:07
Vamos a tipificar la variable dentro del suceso. 00:05:09
Pero antes de eso, lo que vamos a hacer es darnos cuenta de un detalle. 00:05:13
Aquí tenemos media mayor o igual que 80. 00:05:16
En la tabla de la distribución normal tenemos las colas de la izquierda, x menor o igual que. 00:05:18
Así que lo primero que vamos a hacer es considerar el suceso contrario. 00:05:24
Si la probabilidad de que la media aritmética sea mayor o igual que 80 es 0,04, 00:05:28
la probabilidad del suceso contrario, que sea menor o igual que 80, será 1 menos esta, o sea 0,96. 00:05:32
Ahora sí, como dije hace un momento, vamos a tipificar. 00:05:39
Vamos a, en el suceso, restar la media y dividir entre la desviación típica de la distribución de la media aritmética. 00:05:43
Y lo que tendremos es z, que será x barra menos mu, dividido entre sigma, dividido entre 10, 00:05:50
Variable normal estándar menor o igual que este 80 menos mu dividido entre sigma dividido entre 10. 00:05:56
Igual que ocurría en el caso anterior, vamos a buscar este 0,96 dentro de las probabilidades de la tabla de la distribución normal estándar. 00:06:03
0,96 exacto no lo voy a encontrar, pero sí encuentro 0,9599, que es a mi modo de ver suficientemente próximo. 00:06:12
La abscisa que corresponde es 1,75. La probabilidad de que z sea menor o igual que 1,75 es esta. 00:06:22
De aquí infiero que la abscisa 80 menos mu dividido entre sigma entre 10 va a ser igual a este 1,75. 00:06:28
Igualmente, operando y despejando, obtengo la expresión mu igual a 80 menos 17,5 dividido entre sigma. 00:06:37
Con ninguna de las dos condiciones he podido calcular por separado mu o sigma, que son las incógnitas que tengo en este momento. 00:06:45
Pero tengo dos ecuaciones que contienen esas dos incógnitas mu y sigma. 00:06:55
Así que lo que necesito hacer es resolver el sistema de ecuaciones formado por ambas. 00:06:59
Se pueden emplear distintas alternativas. 00:07:05
tal y como he escrito las ecuaciones, lo más directo es igualar estas dos expresiones 00:07:08
algebraicas para mu y obtener una ecuación para sigma que resulta ser igual a 3,1. Una vez que 00:07:12
tengo el valor de sigma puedo sustituir en una cualquiera de estas, lo he hecho en la primera, 00:07:19
para calcular el valor de mu que resulta ser 74,35. Así que la variable aleatoria x mayúscula va a 00:07:24
seguir una distribución normal con media mu la que acabo de calcular 74,35 y desviación típica sigma 00:07:31
igual a 3,1 que es la que acabo de calcular. En cuanto a la media aritmética con muestras de 00:07:39
tamaño 100, deduje hace unos minutos que iba a seguir una distribución normal con media mu igual 00:07:44
que la de x, o sea 74,35 y desviación típica que iba a ser la de x dividido entre la red cuadrada 00:07:52
del tamaño de la muestra, cuadrada de 100, o sea, este 10 que tengo aquí. 00:08:00
De tal forma que, operando, descubro que la media aritmética, 00:08:04
la media muestral, como esta es de tamaño n igual a 100, 00:08:09
va a seguir una distribución normal con media la misma mu que la de x, 00:08:12
74,35, y desviación típica sigma entre 10, que va a ser 0,31. 00:08:16
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:24
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:30
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:35
Un saludo y hasta pronto. 00:08:40
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
13
Fecha:
14 de febrero de 2025 - 16:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
22.98 MBytes

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