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2Bto - 01 - Matrices - 09 - Potencia de matrices I - Contenido educativo

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Subido el 15 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, venga, en este vídeo vamos a estudiar la potencia de matrices, ¿vale? 00:00:02
Ya sabéis desde que sois pequeños, desde la primaria, que la potencia se define en matemáticas 00:00:08
una potencia con el producto repetido de un mismo factor tantas veces como me indica el exponente, ¿de acuerdo? 00:00:16
Entonces, la potencia de una matriz no es más que el producto repetido de una misma matriz 00:00:23
tantas veces por sí misma como me indique el exponente que me dan, ¿de acuerdo? 00:00:28
Como yo para multiplicar matrices necesito que el número de filas coincida con el número de columnas, 00:00:34
solo podré hacer potencias de matrices cuadradas, ¿vale? 00:00:40
Porque así, de esta manera, cuando yo escriba el producto repetido, ¿de acuerdo? 00:00:44
cuadrado, pues, claro, podré efectuarlo porque el número de columnas de la primera matriz 00:00:50
coincidirá con el número de filas de la segunda, ¿vale? Entonces, pues nada, simplemente recordando 00:00:58
el concepto de potencia como producto repetido, o sea, a mí me indican, me piden que dada 00:01:03
una matriz A, en este caso de orden 2, me piden que haga al cuadrado, pues nada, escribo 00:01:08
dos veces la matriz con la operación multiplicación y comienzo a hacer las operaciones. 1 por 00:01:13
1 es 1, más 2 por 3 es 6, 1 más 6 tendríamos por aquí 7. Como segundo elemento, el elemento 00:01:21
que aquí sería el elemento 2, 1, tendríamos 1 por 2 es 2, más 2 es 4, 3 por 1 es 3, más 00:01:28
3, 6 y 3 por 2, 6 más 1, 7. ¿De acuerdo? ¿Vale? Esta sería, bueno, esto sería al 00:01:39
cuadrado, ¿vale? Si por ejemplo me piden que calcule al cubo, ¿vale? Pues bueno, sería 00:01:49
escribir tres veces el producto de estas matrices, ¿de acuerdo? Y como hemos dicho, bueno, vale, 00:01:54
una vez que lo tenemos escrito, pues nada, simplemente comenzamos a operar. Ya tenemos 00:02:12
calculado uno de los productos, ¿vale? porque lo hemos hecho en el paso anterior 00:02:17
entonces simplemente no vamos a volver a repetir la operación 00:02:23
sino que consideramos, bueno, que ya lo tenemos 00:02:26
hecho, ¿vale? y pues nada, simplemente 00:02:30
bueno, para que veáis de dónde sale 00:02:34
esa primera matriz y simplemente nos quedaría 00:02:40
multiplicar por la otra, ¿vale? tendríamos 7 por 1 00:02:44
7 más 12, 7 más 12 si no me equivoco es 19, me equivocaré muchas veces, os pido disculpas 00:02:48
de antemano. 7 por 2, 14 más 4, 18, sería el segundo valor, 6 por 1, 6 más 21 sería 00:02:54
27 por aquí y por último 12 más 7 que sería de nuevo 19. Ese sería el resultado de elevar 00:03:02
la matriz original al cubo. Vamos a ver ahora un tipo de ejercicios que salen bastante, 00:03:12
mirad, se llaman ejercicios de generalización, van a ser ejercicios en los que nos van a 00:03:20
dar una matriz a priori sencilla, que va a parecer muy facilita y nos van a pedir calcular 00:03:28
el término general de su potencia. Vamos a ver cómo se hace 00:03:35
esto. El enunciado, 00:03:39
aunque aquí no lo he copiado, sería data... A ver, os lo escribo. 00:03:44
Vamos a ver ahora otro ejemplo de 00:04:30
unos ejercicios que suelen salir bastante, que son ejercicios de generalización. 00:04:33
Acabamos de ver cómo se halla la potencia de una matriz, 00:04:38
pero hay veces que nos van a dar matrices que tienen así una pinta bastante sencilla, 00:04:41
con muchos unos, ceros o elementos bastante sencillos, ¿vale? 00:04:45
Números a priori bajitos, en el que nos van a pedir cuál es la potencia enésima, ¿vale? 00:04:50
O sea, un término general de la potencia. 00:04:56
¿Cómo calculamos esto? Pues haciendo, comenzando, comenzaremos hallando la segunda, la tercera potencia, ¿vale? 00:04:59
Hay veces que, bueno, si puede que nos haga falta ya vea la cuarta también, ¿vale? 00:05:07
o como se llame la matriz, pero en este proceso tendremos que observar qué sucede, ¿vale? 00:05:12
¿Qué pinta tiene ese resultado que me está saliendo y qué cosas podemos concluir? 00:05:20
A ver, antes parece que me estoy adelantando un poco a lo que va a salir, pero bueno, vais a ver que no es difícil, ¿vale? 00:05:26
Dada esta matriz, pues nada, primero me piden hallar B, o sea, bueno, para poder hallar B sub B elevado a N. 00:05:32
Bien, comenzamos hallando b al cuadrado, ¿vale? Tendríamos 1 como primer término, ¿vale? Como segundo tendríamos 1 por 1 más 1 por 1 que sería 2, ¿de acuerdo? 00:05:39
1 por 1 aquí, no, a ver, perdón, 0 por 1 y 1 por 0, aquí tendríamos el valor 0 y luego 0 por 1 es 0 más 1 por 1 que sería 1, ¿vale? Este sería el resultado de elevar b al cuadrado, ¿de acuerdo? 00:05:53
Vamos ahora a calcular b al cubo. 00:06:07
Vamos a ver qué pinta tiene. 00:06:10
b al cubo, pues ya sabéis que sería escribir tres veces la matriz b. 00:06:11
Bueno, y como yo sé que primero voy a tener que multiplicar b por b y ese resultado ya lo tengo, 00:06:17
pues simplemente lo escribo. 00:06:22
Esto sería b por b y ahora vuelvo a escribir b, ¿vale? 00:06:24
Y hago esta multiplicación. 00:06:27
Venga, sabéis que como primer término, producto de la primera fila por la primera columna. 00:06:30
1 por 1 es 1 más 2 por 0 que es 0, 1 más 0 es 1, 1 por 1 es 1 más 2 por 1 que es 2, 1 más 2 es 3, 0 por 1 es 0 y 1 por 0 es 0, aquí llevaríamos un 0 y por último 0 por 1 es 1 y 1 por 1 es 1, perdón 0 por 1 es 0, 0 por 1 es 0 más 1 por 1 que es 1, ¿de acuerdo? 00:06:35
Este sería el resultado de la matriz B al cubo, de multiplicar la matriz B tres veces por sí misma 00:06:57
Mirad, en el momento que hemos calculado dos resultados, no sé vosotros, pero esto empieza a tener aquí pinta de que hay cosas que podríamos adivinar 00:07:04
Si nos pidieran, por ejemplo, calcular B a la cuarta 00:07:18
¿No? Daos cuenta que estas dos matrices, lo que tienen por aquí es que primer término, o sea, lo que son los términos de la diagonal, ¿vale? Son siempre 1. 00:07:22
El término que está en la posición 2, 1 siempre es 0. 00:07:33
Y por último, el término que está en la posición 1, 2, cuando hemos elevado al cuadrado es un 2 y cuando hemos elevado al cubo es un 3. 00:07:39
Daos cuenta que coincide con el exponente, ¿de acuerdo? 00:07:59
Por tanto, ¿qué puedo yo deducir de aquí? Puedo generalizar, ¿vale? Y afirmar la pinta que va a tener b elevado a n, que no es otra, que bueno, pues los dos valores de la diagonal principal serán 1, el valor del término 2,1 será 0 y aquí tendremos el mismo valor que teníamos en el exponente, como el exponente es n, ¿vale? 00:08:03
pues esta es la pinta que tiene la matriz 00:08:30
la matriz 00:08:32
B elevado a N 00:08:34
Subido por:
Beatriz N.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
121
Fecha:
15 de septiembre de 2020 - 23:29
Visibilidad:
Público
Centro:
Sin centro asignado
Duración:
08′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
87.52 MBytes

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