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Rango de una matriz y sus aplicaciones - Contenido educativo

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Subido el 2 de enero de 2025 por Emma B.

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Hola, bueno, como ya habéis visto en la portada, soy Emma Barroso de sexto C de la asignatura de Matemáticas II de segundo de bachillerato. 00:00:04
Voy a hacer un ejercicio con respecto al rango de una matriz y sus aplicaciones de la extraordinaria de 2012. 00:00:11
El ejercicio nos va a dar un sistema de ecuaciones lineales y nos va a decir que, digamos, 00:00:17
qué tipo de sistema es, si funciona un parámetro sin darnos un valor determinado de ese parámetro, ese va a ser el apartado A. 00:00:21
Vamos a tener que utilizar el rango para ese apartado. El apartado B sí que nos va a dar un valor determinado de ese parámetro. 00:00:27
Lo primero debemos saber que es el rango. El rango es el número de vectores, filas o columnas linealmente independientes que conforma esta matriz. 00:00:32
Linealmente independiente significa que no podemos expresar una fila o una columna como combinación lineal de otra o de otras. 00:00:41
Una vez dicho esto, vamos a empezar a calcular el rango de A. 00:00:48
Inicialmente colocamos su matriz de la siguiente manera. 00:00:56
Aquí vamos a tener cada uno de los números que acompañan a las incógnitas y aquí los resultados, pero para saber el rango de A únicamente nos va a servir esta parte. 00:00:59
ya que es necesaria para sacar su determinante. 00:01:06
Para determinar su rango, tenemos que saber que el rango de A es menor que 3, 00:01:10
siempre que su determinante sea igual a 0. 00:01:15
Por lo tanto, tenemos que forzar esta condición, ya que tenemos parámetros, 00:01:17
entonces, al resolverlo por la regla de Sarrus, en este caso el 3 por 3, 00:01:20
nos queda que menos A y menos 4, al resolver el determinante. 00:01:24
Y como queremos forzar que D sea igual a 0, lo igualamos a 0, 00:01:30
y nos da que A es igual a menos 4. 00:01:33
Teniendo esto hecho, ya sabemos que cuando a es igual a menos 4, su rango va a ser o 1 o 2, 00:01:38
ya que su rango hemos dicho que siempre va a ser menor que 3. 00:01:45
Y cuando a es distinta de menos 4, sabemos por descarte que el rango de a siempre va a ser 3, 00:01:48
ya que debido a que su determinante es 3 por 3, el rango máximo siempre va a ser 3. 00:01:55
Para saber con respecto a estos cuál de los dos es, si 1 o 2, 00:01:59
sabemos que el rango de A va a ser igual a 1 siempre que todos sus determinantes menores sean igual a 0. 00:02:03
Entonces en este caso vamos a coger un determinante menor cualquiera, ya sustituida la A, 00:02:09
porque ya hemos dicho que la A es igual a menos 4. 00:02:13
Yo en mi caso he cogido este, lo escribo aquí pequeñito, 00:02:15
y al hacerlo la regla de Sarrus 2x2 vemos que nos da menos 1, que es distinto de 0, 00:02:18
por lo tanto podemos confirmar que el rango de A siempre que A es igual a menos 4 es 2. 00:02:23
Escribimos esta chuletilla para que no se nos olvide y ahora vamos a hacer el rango de A'. 00:02:30
Algo que nos puede ayudar mucho es que el rango de A' siempre va a ser mayor o igual que el rango de A. 00:02:35
A' cuando A es igual a menos 4, la vamos a colocar de la siguiente manera. 00:02:41
Ahora vamos a escribir su determinante. 00:02:49
Si os fijáis, el determinante tiene tres columnas, una menos, ¿vale? 00:02:51
Esto se debe a que hemos cogido esta columna de los resultados, ya que es indispensable, 00:02:55
y estas dos columnas de aquí, hemos omitido esta columna, ya que digamos que estas tres columnas ya las hemos estudiado en el rango de A, 00:02:58
se van a comportar de la misma manera y por lo tanto omitir una no va a ser demasiado importante. 00:03:05
Ahora tendríamos que resolver el determinante por la regla de Sarrus 3x3, 00:03:10
entonces nos quedaría 8 menos 8 igual a 0, 00:03:14
y aquí podemos confirmar que el rango de A va a ser menor que 3, es decir, 2 o 1, 00:03:18
y sabemos que no va a ser 1 porque si cogemos cualquiera de sus determinantes menores, 00:03:22
en este caso yo voy a coger este, sabemos que nos va a dar 4, que es distinto de 0, 00:03:25
entonces podemos confirmar que el rango de A, en este caso de A', va a ser igual a 2. 00:03:31
Por lo tanto, recapitulando, llegamos a la siguiente solución. 00:03:41
Aquí tendríamos un sistema compatible indeterminado porque tenemos tres incógnitas y nuestro rango es 2. 00:03:44
Por lo tanto, tendríamos infinitas soluciones. 00:03:52
Y aquí, por lo tanto, tendríamos un sistema compatible determinado porque tenemos igual tres incógnitas y nuestro rango es 3, 00:03:55
es decir, que tendríamos una solución para cada incógnita. 00:04:01
No he especificado cómo he sacado este rango, sin embargo, si os acordáis, cuando hemos hecho el determinante 3 por 3 de cuando a era igual a menos 4, 00:04:04
hemos impuesto que nos diese 0 y por lo tanto es imposible que cuando a exista de menos 4 nos vuelva a dar 0 ese determinante. 00:04:11
Sabríamos que el rango de a' no va a ser ni 2 ni 1 y por descarte únicamente puede ser 3, ya que es el máximo rango que tenemos en este caso. 00:04:19
De esta manera habríamos terminado el apartado a. 00:04:27
para el apartado B nos tendríamos que fijar en esta parte de aquí 00:04:29
y tendríamos que resolverlo por el método de resolución de Gauss o por determinantes. 00:04:32
Y espero que os haya gustado mucho y hasta luego. 00:04:37
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Resolución de Problemas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Emma Barroso Martín
Subido por:
Emma B.
Moderado por el profesor:
Carlos Borja Hernández Algara (borja.hernandez.algara)
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
6
Fecha:
2 de enero de 2025 - 14:10
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES CALATALIFA
Duración:
04′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
669.65 MBytes

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