Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Geometría analítica. Ecuaciones de una recta. - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 15 de febrero de 2022 por Roberto A.

134 visualizaciones

Vídeo explicativo de las ecuaciones de la recta, hallar la ecuación de la recta conocidos dos puntos, un punto y un vector director, pasar de una ecuación a otra.

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Buenas, voy a intentar hacer un vídeo introductorio mezclando conceptos que hemos dado en el tema de vectores con ahora los conocimientos necesarios para hallar las distintas ecuaciones de las rectas, rectas paralelas, rectas perpendiculares y demás. 00:00:00
¿Vale? Nosotros hemos visto en el primer tema vectores, hemos visto su módulo, su dirección, su sentido y también hemos visto que un vector se puede poner como combinación lineal de otros dos. 00:00:20
¿Vale? Yo ahora lo que quiero es introduceros un poco el concepto de plano, de referencia, de puntos y también de rectas. 00:00:34
¿Vale? Nosotros consideramos un origen, un origen O que tenemos aquí y un punto, un punto que denominamos P. ¿De acuerdo? Nosotros estamos en una base cualquiera formada por dos vectores. Uno es un vector V y otro vector U. 00:00:42
Para formar base es muy importante que los dos vectores o los tres o los vectores que formen ese sistema, en este caso al ser un plano, un plano es bidimensional, con lo cual con dos vectores ya tenemos definido ese plano, estén en distinta dirección. 00:01:01
Aquí vemos que U tiene una dirección y V tiene otra. No están, digamos, alineados. Entonces, este punto P, respecto a este origen, pues si nosotros lo unimos, formamos lo que es el vector OP. 00:01:20
¿Vale? Ese vector OP pues tiene una serie de coordenadas que en función de la base en la que estaremos pues serán distintas. 00:01:35
Aquí vemos que, precisamente por la propiedad de que un vector se puede poner como combinación lineal de otros dos de ellos, 00:01:48
vemos que este vector OP resulta de, si nosotros formamos un paralelogramo, 00:01:56
que es el que está aquí punteado en verde, 00:02:03
donde tenemos precisamente que P mide 3 veces U, es 3 veces U y 2 veces V. 00:02:07
Vemos aquí que aquí está un U, 2U, 3U, hacemos en la misma dirección de U ese puente A. 00:02:19
Luego, donde termina, hacemos en paralela a V hasta llegar a P. 00:02:27
Vemos aquí que tenemos un paralelogramo y que P justo ocupa dos posiciones de V y tres posiciones de U. 00:02:32
Con lo cual, las coordenadas de P respecto a esta base formada por U y por V es 3, 2. 00:02:43
Esto es para cualquier base que nosotros definamos. 00:02:52
¿Qué ocurre? Que nosotros estamos acostumbrados a nuestro eje de coordenada. Y nuestro eje de coordenada, sin saberlo, nosotros estamos utilizando una base que está formada por el punto 1,0 y por el punto 0,1. 00:02:58
tanto el punto 1, 0 como el 0, 1 respecto al origen son dos vectores 00:03:13
dos vectores que además su módulo, el módulo de 1, 0 00:03:18
es la raíz de 1 al cuadrado más 0 al cuadrado 00:03:23
vemos que es la raíz de 1 que es 1, son unitarios 00:03:27
y también el módulo de 0, 1 00:03:32
el módulo de 0, 1 es 0 al cuadrado más 1 al cuadrado 00:03:34
es igual a la raíz de 1 que es 1 00:03:39
Y además, ¿qué ocurre? Que el ángulo, el ángulo alfa que forman los 1, 0 con 0, 1, ¿vale? Pues precisamente 90 grados y son ortogonales, ¿de acuerdo? 00:03:42
¿Qué ocurre? Que nosotros todos los puntos de un plano los vamos a referenciar respecto a nuestro eje de coordenada y eso es fundamental, ¿vale? Eso es fundamental para poder luego poder hacer toda la geometría analítica, ¿vale? 00:04:00
Si nosotros, por ejemplo, ya en nuestro eje de coordenadas tenemos un punto Q, pues él tiene respecto al 1, 0 y al 0, 1 una serie de coordenadas. 00:04:18
Vemos que está aquí en la posición 6 de las X y vemos que está en la posición 4 de las Y, con lo cual las coordenadas del punto Q respecto a nuestro origen de coordenada, a nuestro eje de coordenada, son 6, 4. 00:04:31
Si nos hubiéramos tenido una base distinta, pues tendrían otras coordenadas. ¿Qué es lo importante del punto Q y de todos los puntos del plano? Es que desde el origen nosotros trazamos un vector a ese punto y este se llama vector posición del punto Q. 00:04:48
¿De acuerdo? Y ese vector posición es muy importante porque podemos hallar a través de sus coordenadas donde está situado el punto y además nos va a permitir luego pues hallar puntos medios, nos va a permitir incluso dividir un segmento en varias partes, nos va a permitir si tenemos un triángulo hallar su baricentro, su altura, su mediana, etc. 00:05:10
¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que nos han enseñado siempre? Que cuando nosotros tenemos dos puntos, dos puntos para la izquierda, por ejemplo, este es A y este B, tan solo existe una única recta, una única recta que pase por esos dos puntos. ¿De acuerdo? Tan solo existe una única recta definida dos puntos, tan solo hay una única recta que pase por esos dos puntos. 00:05:36
¿Qué ocurre? Que si nosotros tenemos aquí nuestro eje de coordenada, ¿vale? Vamos a tener por un lado el vector posición del punto A, vamos a tener el vector posición del punto B y ahora aparece un concepto nuevo y es súper importante que es justo, que es justo, el vector dirección, vector dirección, vector dirección de precisamente 00:06:04
A y B se coinciden con el vector director de la recta. Vemos que entre A y B tan solo hay una única recta que pase por esos dos puntos. 00:06:34
Entonces, precisamente el vector que une A con B es el vector director de esa recta, ¿de acuerdo? Y es lo que yo os comento que eso es súper, súper importante, ¿vale? 00:06:48
¿Por qué? Porque ese vector director me va a permitir calcular todas las ecuaciones de la resta paramétrica, en vectorial e implícita. 00:07:06
Luego también yo puedo saber, dada una recta, hallar otra paralela. Luego también puedo hallar otra que es perpendicular. Con lo cual, el vector director para una recta es fundamental. 00:07:22
¿De acuerdo? Ese vector director, daros cuenta que yo tengo el OA, que es el vector que une el vector de posición respecto a mi origen O del punto A, y que yo tengo que OA más AB, precisamente por la suma de vectores que hemos visto en el tema anterior, es precisamente OB. 00:07:40
acordaros que para sumar vectores 00:08:08
yo tengo, este lo voy a poner en otro color 00:08:10
para que se vea 00:08:12
mejor, por ejemplo en morado 00:08:14
yo tengo que OA por un lado 00:08:16
si yo le sumo AB 00:08:18
pues es igual a 00:08:20
OB, con lo cual a mi que es lo que 00:08:22
me interesa, a mi lo que me interesa 00:08:24
es el vector director AB 00:08:26
que es precisamente 00:08:28
si yo despejo de aquí 00:08:30
OB menos 00:08:31
como OB 00:08:34
B parte del origen y OA parte del origen, al final el vector director es la diferencia de las coordenadas X y la diferencia de las coordenadas Y de tanto de B como de A. 00:08:37
Es decir, si B tiene las coordenadas x sub 2 e y sub 2 y A tiene las coordenadas x sub 1 y y sub 1, el vector director es x sub 2 menos x sub 1 e y sub 2 menos y sub 1. 00:08:52
Y eso es fundamental para saber las ecuaciones de una recta. 00:09:10
¿Vale? Hemos comentado que para definir una recta, pues con dos puntos sería necesario. Es decir, yo tengo el punto A y yo tengo el punto B, tan solo existe una única recta que lo define. 00:09:22
¿Vale? Pero, ¿qué ocurre? Que yo, teniendo los dos puntos, resulta que si yo hago el vector AB, tengo el vector director de esa recta. 00:09:35
de esa recta. Pues se definen, bueno, hemos comentado que si tenemos dos puntos hay una 00:09:55
única recta que pasa por ellos. Tenemos los puntos A y B y tan solo hay una recta que 00:10:07
pasa por esos dos puntos. Por lo tanto, nosotros si sabemos un punto de la recta, un punto 00:10:14
A o un punto P y sabemos precisamente un vector director de la recta, un vector 00:10:23
director de la recta y un vector posición, es decir, un punto y un vector 00:10:32
direccional de esa recta, yo puedo calcular la ecuación de la recta en las 00:10:36
distintas formas que tenemos, ¿vale? Aquí os he resumido pues la notación 00:10:43
vectorial, ¿no? La primera, aquí todas las ecuaciones de la recta que vamos a ver. 00:10:48
¿La notación vectorial? Pues yo, por ejemplo, mi recta X está definida por el vector posición OP, esto me lo da el punto, y luego un parámetro T y el vector director de esa recta, ¿vale? 00:10:52
esto si lo queréis os lo aprendéis 00:11:11
y si no podéis ver 00:11:14
que es lo que hice en clase y también en el libro 00:11:16
de donde sale esta fórmula 00:11:18
¿vale? es que al final 00:11:20
pues se forma 00:11:22
desde un origen a la recta 00:11:23
desde este origen O a la recta 00:11:26
pues yo tengo aquí 00:11:28
al final este vector 00:11:30
director yo lo tengo aquí que he multiplicado 00:11:32
un número de T veces 00:11:35
pues puedo hallar 00:11:36
cualquier punto que 00:11:38
pertenezca a mi recta, ¿vale? 00:11:40
Precisamente de esta anotación vectorial, pues yo puedo sacar unas paramétricas. 00:11:44
Las paramétricas es porque depende de este famoso parámetro t. 00:11:49
Este parámetro se puede llamar t, podemos llamarlo lambda, podemos llamar cualquier 00:11:53
letra que nosotros queramos. 00:11:58
Normalmente lo ponemos con una t, ¿vale? 00:12:01
Entonces, si os fijáis, la x es precisamente la coordenada x, la p sub 1, la primera coordenada 00:12:03
del punto más t veces la primera coordenada del vector director. Y la i es la coordenada 00:12:10
segunda o coordenada i del punto más t veces la coordenada i o coordenada segunda del vector 00:12:18
director. Si os fijáis, sabiendo un punto o conociendo dos puntos de la recta, que a 00:12:26
través de los dos puntos de la recta yo puedo hacer el vector director, ¿vale? Acordaros 00:12:34
que era la coordenada de B, si esto es X sub 2, Y sub 2 y esto es X sub 1, Y sub 1, el vector director era X sub 2 menos X sub 1 y luego Y sub 2 menos Y sub 1. 00:12:40
¿De acuerdo? Vale, pues una vez hallado ese vector director con los dos puntos o bien me dan el vector director, pues yo puedo sacar las paramétricas de una forma fácil. 00:12:56
Vamos a poner ahora un ejemplo para sabiendo dos puntos de una recta vamos a hallar todas las ecuaciones que tenemos aquí, ¿vale? La función continua, la función continua se extrae es si yo de aquí, de mi paramétrica, despejo la t, ¿vale? Pues veo que el p sub 1 me lo llevo al primer miembro y luego el v sub 1 pasa dividiendo. 00:13:06
Veis que esta parte de aquí es de despejar t en la primera ecuación paramétrica de las x y el y menos p2 partido de v2 viene de despejar esta t precisamente en esta ecuación de aquí. 00:13:29
Aquí la P2 pasa rectando y menos P2 y la V2 pasa dividiendo, ¿vale? 00:13:47
Entonces, si sabemos dos puntos de la recta, pues ya con uno de ellos y con el vector director, que es la diferencia de los dos puntos, ya puedo hallar la vectoria, la paramétrica y la ecuación continua de una forma muy sencilla, ¿vale? 00:13:54
Bien, la explícita es la que nosotros siempre hemos estado familiarizado hasta ahora con la ecuación de una recta. La M es la pendiente, la N es la ordenada en el origen y demás. 00:14:12
La pendiente, ¿qué ocurre? Que la pendiente significa que si nosotros avanzamos una unidad, pues subimos m unidades hacia arriba, ¿vale? La m es realmente lo que subimos, ¿vale? Es decir, si yo avanzo un metro, subo m. 00:14:26
Es la variación de Y respecto a la variación de X, ¿vale? Esa es la pendiente de una recta, ¿vale? Pues, ¿qué ocurre? Que si a mí me dan la pendiente, yo sé que el vector director de esa recta es 1M, ¿de acuerdo? 00:14:50
Ese es el vector director de una recta, es decir, a mí me dicen que tiene pendiente 9, el vector director de esa recta es 1m, ¿vale? 00:15:13
si yo sé la pendiente y un punto de la recta 00:15:23
pues yo con esta fórmula de aquí 00:15:29
puedo hallar la ecuación de la recta 00:15:31
es y menos y sub cero y sub cero es la coordenada 00:15:34
la coordenada y del punto de la recta 00:15:38
igual a m que es la pendiente 00:15:41
que multiplica a x menos x sub cero 00:15:44
que es la componente x de ese punto 00:15:47
¿vale? 00:15:50
y luego la última que es la que estamos 00:15:51
digamos un poco menos familiarizado a la hora de ver rectas, pero sí que estamos bastante más familiarizados 00:15:53
cuando hemos visto sistemas de ecuaciones lineales, es esta forma de aquí, ¿vale? 00:16:00
Esta se llama la ecuación general de una recta o la ecuación implícita, ¿vale? 00:16:05
Siempre tiene la misma forma, es un número por x más otro número por y más el término independiente 00:16:11
Y siempre lo que se hace es igualar a 0. Es decir, nosotros normalmente hemos visto ecuaciones del tipo 5x más 3y igual a 2. Nosotros lo único que tenemos que hacer es para poner la ecuación general o la ecuación implícita de la recta, es poner 5x más 3y menos 2 igual a 0. 00:16:20
Es decir, nos llevamos el término independiente al primer miembro y lo igualamos a 0. Entonces, aquí es muy importante una cosa. Precisamente este a y este b, es decir, el a es el que multiplica a la x y la b es la que multiplica a la y, es un vector pero que es perpendicular a mi recta. 00:16:42
Y esto es muy importante, es decir, yo tengo aquí mi punto A, mi punto B y esta es la dirección de mi recta, con lo cual este de aquí a B es mi vector directo, pues en la ecuación implícita o general lo que me da es un vector que se llama un vector normal a la recta. 00:17:04
Un vector normal significa que es perpendicular, que forma 90 grados con mi recta, ¿vale? 00:17:26
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que para pasar precisamente de paramétrica o continua o vectorial a implícita o de implícita a cada una de ellas, pues si yo sé que AB es mi vector perpendicular a la recta, 00:17:34
Recordemos de lo que hemos dado hoy en clase, que un vector perpendicular a uno dado, 00:17:51
es decir, si yo tengo el vector 5, 3, pues un vector perpendicular, podemos tener 2, es 3 menos 5 o bien menos 3, 5. 00:17:57
Recordemos que le damos la vuelta a la componente x, la componente y, y a uno de ellos, o bien la x o bien la y, le cambiamos el signo. 00:18:12
Claro, si yo hago el producto escalar de 5, 3 con 3 menos 5, pues me da 0. Y si yo hago el producto escalar de 5, 3 con menos 3, 5, también me da 0. 00:18:21
Vamos a hacer un ejemplo donde me dice de expresar de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos, que pasa por el punto, por ejemplo, A, 4, 2, y el punto B, por ejemplo, que es, no sé, 00:18:33
Menos 1, 2. Bueno, en vez de 2, lo estoy inventando, vamos a poner el 0. ¿De acuerdo? Entonces, vamos a repasar las distintas ecuaciones que hay. Por ejemplo, primero la vectorial. 00:19:03
La vectorial es del tipo que x es igual a p más una t por v, ¿vale? 00:19:19
Donde p es el vector posición, vector posición, y la v es el vector directos, ¿vale? 00:19:32
Voy a cambiar de bolígrafo un momentillo. 00:19:45
Entonces, el vector posición, pues puedo coger cualquiera de los dos, ¿vale? 00:19:48
Puedo coger el punto A, que es el 4, 2, o el punto B, que es el menos 1, 0. 00:19:53
Ambos puntos sé que pertenecen a la recta. 00:19:59
Y ahora, el vector directo, pues puedo coger bien el AB, que el AB, ¿cómo lo hallo? 00:20:02
Pues AB es, por un lado, menos 1, menos 4, y por otro, 0, menos 2, ¿vale? 00:20:08
que me da que AB es igual a menos 5 menos 2, o bien puedo hallar BA, que ocurre con BA, que es precisamente 5, 2, ¿vale? Esto lo hallaría con 4 menos menos 1 es 5 y 2 menos 0 es 2. 00:20:14
Me da exactamente igual, porque uno va en un sentido y otro va en otro. ¿De acuerdo? Entonces, ¿cuál sería mi ecuación vectorial? 00:20:37
A ver, aquí. Pues x, la ecuación de mi recta, es el vector 4, 2 más t menos 5 menos 2. 00:20:46
Pero es que también podría valer 4, 2 más t, 5, 2, pero es que también puede ser menos 1, 0, más, menos, más t, perdona, voy a hacerlo bien con la fulla, ¿vale? 00:21:03
Más t que multiplica a menos 5 menos 2 o también puede ser menos 1, 0 más t que multiplica a 5, 2. Estas cuatro posibilidades nos definen la misma recta, ¿vale? 00:21:24
¿Qué ocurre? Que cualquier punto de aquí, en función de la ecuación que yo tenga, pues por ejemplo, ¿cómo obtengo aquí el punto A? Pues haciendo t igual a 0, ¿verdad? 00:21:46
Si yo hago aquí t igual a 0, tengo aquí el punto A. Pero sin embargo, aquí si yo pongo t igual a 0, lo que tengo es el punto B. Si yo le doy distintos valores a la t, pues obtengo los distintos puntos que pertenecen a la recta, ¿vale? 00:22:02
En este caso de aquí, si yo le doy t igual a 1, para t igual a 1, ¿qué voy a obtener? Pues precisamente el punto b. 4 menos 5 es menos 1 y 2 menos 2 es 0. 00:22:25
Y aquí, precisamente, si yo hago t igual a menos 1, pues obtendré el punto A, ¿vale? Y con t igual a 1 tengo el punto B. 00:22:42
Lo que es importante aquí es, nosotros en el examen en general, lo que tenemos que dar es una de estas soluciones. Yo elijo el punto que yo quiera y elijo el vector director que yo haya hallado, bien de AB o de BA. ¿De acuerdo? Es fácil, ¿no? 00:22:56
Pues vamos a hacer ahora la implícita. La implícita, por ejemplo, voy a obtenerlo de aquí. Voy a cambiar el color y lo único que hago es voy coordenada por coordenada. 00:23:16
El vector x es xy, ¿vale? Con lo cual, si yo tengo que xy es igual a 4, 2, por ejemplo, más t que multiplica a menos 5 menos 2, pues yo lo que tengo aquí es que x es igual a 4, perdón, 4 menos 5t, ¿vale? 00:23:32
Aquí tengo el 4 por un lado y que por menos 5, menos 5t. Y que y es igual a 2 menos 2t. ¿Vale? Una forma sencilla y rápida de hallar las ecuaciones paramétricas. 00:24:03
Las ecuaciones paramétricas, de una forma sencilla, es yo tengo la x, yo tengo la y. 00:24:23
Aquí pongo la coordenada de un punto, por ejemplo, voy a poner aquí el menos 1 y aquí el 0. 00:24:30
Y luego le pongo el parámetro que yo quiero y el vector director que yo elija. 00:24:37
Por ejemplo, voy a elegir el 5, 2. Pues nada, t por 5 y t por 2. 00:24:43
Esto realmente es menos 1 más 5t y esto de aquí es 2t. Pues esta de aquí, estas ecuaciones de aquí también son válidas, ¿vale? Son ecuaciones paramétricas, tanto esta de aquí como esta. 00:24:48
De hecho, de cada una de las vectoriales puedo sacar una ecuación paramétrica. Por eso no os extrañéis cuando hagáis los ejercicios, pues que os puedan dar valores diferentes, porque obteniendo un punto y obteniendo un vector director correcto de una recta nos puede dar distintas ecuaciones paramétricas. 00:25:05
¿Vale? Vamos a irnos a la ecuación continua, ¿vale? La ecuación continua. 00:25:33
La ecuación continua, como me lo he inventado, A era 4, 2, ¿vale? A era 4, 2 y B creo que era menos 1, 0, ¿no? 00:25:43
Sí, menos 1 es 0. ¿De acuerdo? Entonces yo aquí, por ejemplo, tengo a b que es menos 5, 2. Pues la ecuación continua, ¿vale? La ecuación continua es tan sencilla, la ecuación continua es tan sencilla como poner x y elijo, por ejemplo, el punto a. 00:25:54
Pues nada, menos 4 partido de el vector director, el menos 5. Y esto es igual que x menos 2, este menos 2 de aquí, ¿vale? Partido de 2, ¿vale? 00:26:24
También es válida si os fijáis x menos 4 partido de 5 igual a x menos 2 partido de menos 2, ¿vale? Si yo hago va, perdona otra vez, vayatela, si yo hago va, el vector director es, me he equivocado, sí, esto era menos 1, no, esto es menos 2, ¿vale? 00:26:42
Con lo cual esto es menos 2, perdonad que aquí me he equivocado, ¿vale? 00:27:10
5 menos 2 y BA es 5, 2, ¿vale? 00:27:13
Con lo cual esto es un más, ¿vale? 00:27:19
Esto es un más, voy a borrar esto, lo voy a hacer bien. 00:27:27
AB es 5, perdonad, 5, no, menos 5, menos 2. 00:27:32
Y BA es 5, 2. 00:27:40
Con lo cual, tanto esta ecuación de aquí como esta de aquí son correctas. En paz, inclusive, yo puedo hacer, en vez de coger el a, cojo el b, tengo 4 más 1 partido de menos 5, esto es igual a, perdón, aquí es una i, ¿vale? 00:27:42
¿Vale? Como estoy hoy. Esto es una y, ¿vale? Y, esto es una y, es y menos el 0 partido de menos 2, pero es que también puedo coger x más 1 partido de 5 igual a y menos 0 partido de 2, ¿de acuerdo? 00:28:04
Aquí estoy cogiendo el punto B, aquí también estoy cogiendo el punto B, que es el menos uno cero, y aquí estoy cogiendo el punto A. 00:28:34
Aquí lo que siempre tenemos que tener cuidado porque es X menos X sub cero partido del vector director V sub X, por ejemplo, igual a Y menos Y sub cero partido el vector director, la componente Y. 00:28:45
¿Vale? Estas son las ecuaciones, la ecuación, lo diré, la ecuación continua. ¿De acuerdo? La ecuación continua. La ecuación continua, que además, pues, si yo tengo las paramétricas, acordaros que yo tengo las paramétricas, x es igual a 4 menos, sí, perdón, o bueno, menos, más 5t, me da igual. 00:29:04
Y la Y es igual a 2 más 2T. Pues nada, si yo de aquí despejo la T, queda que es igual a X menos 4 partido de 5, ¿no? 00:29:33
Y de aquí ¿cuánto vale t? Pues y menos 2 partido de t. Y aquí volvemos a una cosa, si a es igual a b y b es igual a c, eso implica que a es igual a c, ¿verdad? 00:29:49
Entonces si t vale todo esto y t vale todo esto, entonces x menos 4 partido de 5 es igual a y menos 2 partido de 2, ¿de acuerdo? 00:30:04
Entonces, vámonos a uno nuevo, teníamos que A era, vamos a ver, 4, 2, y que B vale menos 1, 0, ¿de acuerdo? 00:30:15
Ahora vamos a ir a la ecuación de toda la vida, ¿vale? A la ecuación de toda la vida, que es la ecuación explícita, ¿vale? 00:30:33
explícita, la explícita 00:30:45
¿qué ocurre? que yo aquí 00:30:52
en principio no tengo la pendiente 00:30:56
no tengo la pendiente, no tengo la pendiente 00:30:59
y tampoco tengo la ordenada en el origen 00:31:02
¿vale? la forma explícita 00:31:05
es esta de aquí, de y igual a mx más n 00:31:08
que es la que nosotros estamos familiarizados 00:31:12
de siempre y aquí se puede hacer de dos formas 00:31:14
si yo sé que pasa por el punto 4,2 00:31:18
el punto 4,2 pertenece a esta recta de aquí 00:31:22
con lo cual podemos hacer un sistema, la y vale 2 00:31:26
para x igual a 4 la y vale 2, pues entonces 4m 00:31:30
más n, esto es el 4,2 00:31:34
si nosotros sabemos que pasa por el menos 1,0 00:31:39
es que la y vale 0 y la x vale menos 1, con lo cual menos m más n. 00:31:42
Si nosotros esto de aquí lo restamos, pues tenemos 2 menos 0 es igual a 2, 00:31:49
4 menos menos 1 es igual a 5m y n menos n es 0, de donde m es igual a 2. 00:31:56
De aquí, de esta ecuación, pues vemos que m es igual a n, por lo tanto mi forma explícita es 2 quintos de x más 2 quintos. 00:32:04
Vamos a comprobar que realmente tanto el 4, 2 como el menos 1, 0 pertenece a la función y es igual a 2 quintos de x más 2 quintos. 00:32:20
Pues entonces el 4, 2 resulta que y es igual a 2 quintos por 4 más 2 quintos, tenemos 8 quintos más 2 quintos es 10 quintos que vale 2, lo verifica. 00:32:32
Y vamos a ver el menos 1, 0 y es igual a 2 quintos por menos 1 más 2 quintos, pues menos 2 quintos más 2 quintos es 0, lo verifica. 00:32:47
Si no queremos hacer el sistema, que en este caso hemos visto que el sistema es fácil, 00:33:02
pues al tener dos puntos volvemos a tener también dos vectores directores, o un vector director por un k, ¿no? 00:33:07
Aquí hemos dicho que era menos 5 menos 2 y b a, perdón, a ver, b a menos 5 menos 2 o b a, que es el mismo vector directo pero multiplicado por menos 1, es 5, 2. 00:33:19
Y entonces, ¿qué quiere decir? Y esto es muy importante para saber lo que es la pendiente. Si nuestra recta tiene un vector director, un vector director, que es 5, 2, eso significa que por cada 5 veces que aumenta la x, la x, todo esto es 5, pues aumenta 2 la y, ¿verdad? 00:33:36
Por cada 5 que aumenta la X, es decir, por cada 5 pasos que demos en la X, hay 2 de la Y, ¿vale? 00:34:06
Entonces aquí, si os fijáis, podemos aplicar tales para ver precisamente cuánto incrementa cuando X vale 1. 00:34:18
Bueno, aquí hacemos una regla de 3, o aplicamos tales, lo que ustedes queráis, es que si a 5, por cada 5 que aumenta x, aumenta 2y, ¿cuánto aumenta? Para 1, ¿vale? Vamos a llamarle m, que es la pendiente. 00:34:29
Entonces vemos que M es igual a 2 por 1 partido de 5 es 2 quintos, que es lo que nosotros ya habíamos calculado aquí la pendiente. 00:34:48
Me refiero que son artimañas a saber si tenemos dos puntos, ya tenemos el vector directo o si nos dan directamente el vector directo, 00:35:01
pues sabiendo qué es el significado de una pendiente, podemos hallar la pendiente de la recta implícita. 00:35:09
De igual modo, si nosotros, por ejemplo, tuviéramos, lo voy a hacer en colorado, si yo tuviera la recta, por ejemplo, 2x más 5, pues evidentemente yo dos puntos lo puedo obtener dándole distintos valores a él, 00:35:21
y puedo obtener dos puntos de la recta y con ese también el vector director, 00:35:40
o saber que el vector director de la recta siempre va a ser 1, m. 00:35:45
En este caso, el vector director va a ser 1, 2. 00:35:52
Con lo cual, yo un punto de la recta, por ejemplo, sé que es el 0, 5. 00:35:58
Si yo a x le doy 0, pues y vale 5. 00:36:04
Y ya tengo aquí un punto, ya tengo aquí el vector directo, pues yo ya puedo hallar la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica, la ecuación continua, ¿vale? A través de la explícita. Haremos también ejercicio para verlo, ¿vale? 00:36:07
Vamos a ir a la última forma, lo voy a poner en azul, por ejemplo, que es la implícita. La implícita, ya os comento que lo hemos dicho en los sistemas de ecuaciones lineales cuando teníamos, por ejemplo, sistemas que nos decían 2x más 3y igual a menos 4 00:36:26
y, no sé, por ejemplo, menos x más 2y igual a 10, ¿vale? 00:36:55
Aquí, lo que siempre hemos visto como sistemas de ecuaciones lineales, 00:37:03
pues son precisamente, esto de aquí se puede expresar, 00:37:09
el menos 4 se va al primer miembro y lo igualamos a 0, 00:37:13
el 10 pasa como menos 10 al primer miembro y lo igualamos a 0, 00:37:17
y lo que tenemos ya es la forma implícita de una recta, ¿vale? 00:37:21
Entonces no quiero que confundáis A y B con los puntos A y B, ¿vale? Pero sí que es muy importante que sepáis que el valor de A y el valor de B forman lo que es un vector normal a la recta. 00:37:25
¿Y qué es un vector normal? Pues un vector que es perpendicular a la recta, ¿vale? 00:37:42
Entonces, nosotros teníamos los puntos 4, 2 y el punto B, que era menos 1, 0. 00:37:49
¿Cómo obtenemos la forma implícita, la ecuación implícita o general de la recta? 00:37:59
Pues volvemos, ahí vaya rollo, volvemos aquí a que AB era menos 5 menos 2, o podemos utilizar sin ningún problema BA, que es igual a 5, 2. 00:38:09
Los dos son vectores directores de la recta, ¿vale? Uno en un sentido y otro en otro. 00:38:28
¿De acuerdo? Entonces, si recordamos, habíamos hallado que la forma explícita era igual a mx más n, en nuestro caso, y es igual a dos quintos de x más dos quintos. 00:38:34
¿Vale? Lo digo porque pasar de la forma explícita, ¿vale? Explícita e implícita es muy fácil. ¿Vale? Nosotros aquí, si vemos, yo tengo que y es igual a, por ejemplo, 2 quintos, aquí saco factor común, 2 quintos que multiplica a x más 1. 00:38:55
¿Esto a qué es igual? Pues que 5y es igual a 2 por x más 1 00:39:19
Si yo la distribuyo, tengo que 5y es igual a 2x más 2 00:39:25
Y como la forma implícita lo tengo que dejar todo igualado a 0 00:39:30
Pues yo tengo 2x menos 5y más 2 es igual a 0 00:39:36
Esta es la ecuación, la ecuación implícita de la recta, ¿vale? Implícita. ¿Qué hemos dicho de A y de B? Pues en este caso, AB, ¿vale? 2 menos 5, y este no es un vector director, sino que es un vector normal, un vector normal de la recta. 00:39:42
¿Cómo podemos un vector normal que quiere decir? Es que si yo tengo mi punto A y mi punto B y yo los uno, este es mi vector director, pues resulta que el vector normal es uno que forma 90 grados con mi vector director, ¿vale? 00:40:07
Este es el normal, que es perpendicular. Y el otro es el vector director, ¿vale? O el vector dirección. 00:40:30
¿Qué ocurre? Que cuando yo tengo un vector, un vector, recordemos que si yo tengo un vector a b, pues los perpendiculares, los normales, son b menos a, 00:40:43
es decir, invierto la componente X con la componente Y y le cambio el signo a uno de ellos, o bien menos BA. 00:40:53
Aquí podemos ver que precisamente nuestro vector normal es 2 menos 5, con lo cual, ¿qué ocurre? 00:41:01
Que los vectores directores, los vectores directores que son normal de la recta, van a ser los que son perpendiculares a 2 menos 5. 00:41:12
¿Y cuál sería? Pues yo donde invierto la x con la y, con lo cual sería donde haya 5, 2 y a uno de ellos le cambio el signo, con lo cual tengo, por ejemplo, el 5, 2, que es lo que yo ya sabía. 00:41:21
O bien, pongo el menos 5, 2 y a uno de ellos le cambio el signo. En este caso se lo cambio al 2, que ya tengo el menos 5, menos 2, que yo ya lo conocía. 00:41:41
Con lo cual, si yo ya tengo la ecuación implícita, yo puedo obtener el vector normal a la recta del tirón, con el vector normal yo hallo un vector director de la recta y luego dándole valores, por ejemplo, x igual a 0. 00:41:55
Si x es igual a 0, ¿vale? Pues la y vale 2 quintos, ¿verdad? Con x igual a 0, la y vale 2 quintos. Entonces, yo ya tendría un nuevo punto de la recta, que es el 0, 2 quintos, y yo ya tendría también un vector director. 00:42:16
Con lo cual yo ya podría hallar la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica y continua, etc. 00:42:35
¿Vale? Vamos a ver cómo nosotros podemos, si tenemos dos puntos bien a través de la ecuación explícita, la hemos visto ya, o si no, hallar directamente la ecuación implícita. 00:42:46
¿Vale? Perdona, el vídeo es un poco largo, pero bueno, yo tengo el 4, 2 y el punto B, 1, menos 1, 0. ¿Verdad? Entonces, yo de aquí tengo el vector director, que hemos dicho que puede ser menos 5, menos 2, o bien, vea que es 5, 2. 00:43:05
¿Cuál es un vector normal de aquí? Pues un vector normal, es decir, que forma 90 grados con él, puede ser fácilmente el 2 menos 5 o también puede ser el menos 2, 5. 00:43:29
¿Vale? De aquí dos vectores normales, pues tenemos el 2 menos 5 y el menos 2, 5. Al final vemos que son los mismos. 00:43:51
entonces como yo ya tengo ax más bi más c igual a 0 00:44:03
yo ya tengo el valor de a, yo ya tengo el valor de b 00:44:11
que puedo elegir cualquiera de estos dos 00:44:15
pues por ejemplo elijo 2x menos 5y más c igual a 0 00:44:17
y ahora como a yo la c, pues dándole por ejemplo 00:44:24
que pase por cualquiera de uno de los dos puntos 00:44:27
Voy a irme al más fácil, que es el b, menos 1, 0. Sustituyo la x por menos 1, 2 por menos 1, menos la y la sustituyo por 0, más c, es igual a 0. 00:44:30
Yo tengo aquí que esto es menos 2, esto es un 0, más c es igual a 0, veo que c es igual a 2. 00:44:45
Con lo cual yo ya tengo que una de mis ecuaciones es 2x menos 5y más 2 igual a 0. 00:44:52
Si yo lo hago con el otro vector perpendicular veo que es menos 2x, ¿vale? 00:45:06
Con este de aquí, menos 2x más 5y más c igual a 0, ¿vale? 00:45:12
Pues igual hago que pase, hago que pase por el punto menos 1, 0 00:45:19
y que tengo menos 2 por menos 1 más 5 por 0 más c es igual a 0. 00:45:25
Esto es 2, esto es c, esto es igual a 0, c es igual a menos 2. 00:45:34
Pues evidentemente es menos 2x más 5y menos 2 igual a 0, que no es más que esta de aquí multiplicada por menos 1. 00:45:39
Entonces hemos visto, aunque ha sido un vídeo largo, hemos visto cómo obteniendo dos puntos o un punto y el vector director, 00:45:51
yo puedo hallar todas las ecuaciones de la recta. 00:45:59
Cualquier duda, pregúntame. 00:46:04
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
134
Fecha:
15 de febrero de 2022 - 22:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Descripción ampliada:
Vídeo explicativo de las diferentes ecuaciones de una recta, correspondiente al tema de Geometría analítica.
Duración:
46′ 06″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
384.51 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid