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15_Ecuaciones de la recta en R3_01_vectorial paramétricas continuas - Contenido educativo
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Para describir una de las infinitas rectas del espacio tridimensional R3
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basta con elegir un punto, un punto perteneciente a nuestra recta y un
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vector que llamaremos vector director porque nos indicará la dirección. Hay
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una única recta R que pasa por ese punto con ese vector directo. La ecuación de
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dicha recta será aquella que nos permita caracterizar cuando un punto Q del
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espacio está o no en nuestra recta y la condición vectorial en este caso es que
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el vector que une nuestro punto base P con el punto Q, este vector tiene que ser
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un múltiplo del vector original, es decir, lambda veces el vector original. Si
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lambda es un número cualquiera, ese vector original dilatado lambda veces
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irá teniendo por extremo los diferentes puntos de nuestra recta R.
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Ahora bien, las coordenadas de este vector PQ se obtienen restando las
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coordenadas de Q de las de P, por lo que esta ecuación
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suele escribirse de la siguiente manera Q, que es un punto de la recta, se podrá
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escribir siempre como P más lambda veces V, que en coordenadas queda expresado de
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esta forma, que es la llamada ecuación vectorial de la recta. En nuestro ejemplo
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en el que la recta R pasa por el punto P de
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coordenadas 4, 2, 3 con vector director V de coordenadas menos 1, 2, 1, la ecuación
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vectorial de la recta sería esta de aquí, en la que pueden leerse directamente las
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coordenadas del punto y las del vector director utilizados. Si escribimos por
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separado la ecuación correspondiente a cada una de las tres coordenadas de la
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ecuación vectorial obtenemos estas ecuaciones llamadas ecuaciones
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paramétricas de la recta, que quedarían así en nuestro ejemplo.
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Recordemos que estas ecuaciones lo que hacen es darnos para cada valor de lambda
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que queramos asignar un punto Q de la recta, si asignamos lambda igual a 0 pues
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obtendremos el punto base Q igual a P, si asignamos lambda igual a 1 pues
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obtendremos un punto Q de la recta, pues de coordenadas en este caso con lambda
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igual a 1 nos sale 3, 4, 4. Para lambda igual a 2 pues nos sale un
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segundo punto de la recta o un tercer punto de la recta que sería el 2, 6, 5
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etcétera etcétera etcétera. De manera inversa también podemos utilizar las
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ecuaciones paramétricas para determinar si un punto cualquiera, por ejemplo el 1, 8,
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9 pertenece o no pertenece a la recta. Se trataría de sustituir las coordenadas
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del punto por las de x y z y comprobar si los valores de lambda necesarios para
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obtenerlo coinciden. En este caso pues tendríamos que lambda sería 1 menos 4
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partido menos 1, en este caso para que se cumpla la ecuación pues nos haría
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falta que lambda fuese 8 menos 2 partido 2 y en este caso para que se cumpla la
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ecuación nos haría falta que lambda fuese 9 menos 3 si queremos partido por 1.
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Bueno pues el primer valor de lambda sería 3, el segundo valor de lambda
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también sería 3 pero el tercer valor de lambda sería 6. Al no coincidir estos
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valores de lambda es imposible que podamos obtener este punto, no hay ningún
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valor de lambda que haga que estas ecuaciones produzcan estas coordenadas.
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Y por tanto concluimos que h no es un punto de R.
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Si queremos generalizar este procedimiento para saber si un punto de
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coordenadas x y z está o no en la recta pues calcularíamos los valores de
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lambda necesarios para obtener x y z y que no serían otros que estos. El punto
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q de coordenadas x y z estará en la recta si estos tres valores de lambda son
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iguales, es decir si son iguales los valores de
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estas tres fracciones. Hemos obtenido así esta triple igualdad o igualdad de
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tres fracciones que recibe el nombre de ecuación continua, aunque mejor deberían
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llamarse ecuaciones continuas porque esta triple igualdad esconde en realidad
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tres ecuaciones. La primera que dice que la primera y segunda fracción deben ser
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iguales, otra sería ésta que dice que la segunda y tercera fracción deben ser
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iguales y faltaría una tercera que dice que la primera y tercera fracción
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también deben ser iguales. Con los datos de nuestro ejemplo las
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ecuaciones continuas quedarían así, sin más que despejar lambda de cada una de
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las tres e igualar. Nos fijamos que aquí aparecen de nuevo las coordenadas del
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punto totalmente reconocibles y aquí como denominadores las coordenadas del
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vector v totalmente reconocibles. Estas son las tres ecuaciones de la recta que
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se pueden escribir a partir de los datos y en las cuales podemos leer siempre
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directamente en uno u otro lugar los datos originales de la recta, los datos
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geométricos.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Guerrero López, Jaime
- Subido por:
- Jaime G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 5
- Fecha:
- 28 de agosto de 2023 - 9:13
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
- Duración:
- 05′ 46″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 1152x720 píxeles
- Tamaño:
- 13.61 MBytes