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Lógica: tablas de verdad - Contenido educativo

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Subido el 29 de agosto de 2023 por M Montserrat S.

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Hola, buenos días. En este vídeo os voy a hacer una explicación sobre algunos elementos 00:00:00
de la lógica para ayudaros a entenderlo. En este primero hablaremos de las tablas 00:00:08
de verdad. Posteriormente grabaremos otros dos vídeos para explicar los problemas de 00:00:13
lógica proposicional, en primer lugar los de resolución directa y luego después haremos 00:00:19
un tercer vídeo para explicar los problemas con supuestos. Bien, para realizar una tabla 00:00:24
de verdad, como cualquier otra tabla, lo que tenemos que hacer es formar una tabla con 00:00:32
determinadas filas y columnas. Lo primero entonces será intentar determinar el cálculo 00:00:38
de estas filas con la fórmula 2 elevado a n, donde n es el número de proposiciones 00:00:44
que tenemos en nuestra fórmula simbolizadas. Así, de este modo, si en un ejemplo tuviésemos 00:00:52
dos proposiciones, pues su número de filas sería 2 elevado a 2 y por tanto 4 filas 00:01:01
en total, mientras que si en lugar de dos proposiciones tenemos 3, 2 elevado a 3 nos 00:01:11
daría una tabla de 8 filas o también solemos hacer ejercicios con 4 proposiciones que 00:01:20
darían una tabla de 16 filas. En cuanto al número de columnas, siempre necesitaremos 00:01:31
una columna para cada proposición y para cada uno de los conectores que aparecen en 00:01:38
la fórmula, de manera que, por ejemplo, en el ejemplo p y no q tendríamos dos proposiciones 00:01:46
y dos conectores, por tanto, necesitaríamos necesariamente cuatro columnas en total para 00:01:54
resolver el ejemplo de fórmula que os hemos puesto. Dos para las proposiciones, otra columna 00:02:04
para resolver la negación de q y otra última columna para resolver la conjunción de p 00:02:11
y no q. Siempre en la última de estas columnas va a aparecer necesariamente la fórmula completa 00:02:20
y por tanto será esta la que tengamos que resolver. Bien, ahora vamos a ver cómo opera 00:02:30
cada uno de estos conectores lógicos y por tanto cómo tenemos que realizar la conexión 00:02:34
de dos proposiciones según el conector que las relaciona. En el caso de la conjunción, 00:02:43
que serían las proposiciones con el término y, va a ser verdadera sólo cuando todo lo 00:02:50
que se nos dice sea verdad y, por tanto, cuando ambas proposiciones tengan la verdad 00:02:58
como valor. En este caso, la conjunción es verdadera. En todos los demás casos donde 00:03:05
al menos hay una proposición falsa, la conjunción será necesariamente falsa también. En cuanto 00:03:11
a la disyunción que representamos con la o y que nos da elegir entre dos opciones, 00:03:19
funciona un poco de forma inversa, de manera que la disyunción sólo será falsa cuando 00:03:26
ninguna de las opciones que se nos han dado en esa relación entre proposiciones sea verdadera, 00:03:32
es decir, cuando ambas proposiciones son falsas, la disyunción da como resultado la falsedad. 00:03:39
En todos los demás casos en los que al menos hay una opción verdadera, la disyunción 00:03:48
es verdadera también. En cuanto a la relación de implicación o condicional, estas relaciones 00:03:54
lo que nos establecen a través de la expresión si y entonces es que, dada una condición, 00:04:00
se debe también dar su consecuencia. En este caso, la única manera de falsar esta relación 00:04:08
condicional sería, por tanto, que la condición se cumpla y, por tanto, sea de valor de verdad 00:04:16
verdadera y, sin embargo, esa consecuencia que debería ir asociada a esta condición, 00:04:25
a la presencia de esta condición, no se da y, por tanto, su valor es de falsedad. En estos 00:04:35
casos, en esta estructura V implica F, la relación condicional es necesariamente falsa, 00:04:43
mientras que en todas las demás combinaciones de valores la relación condicional será 00:04:50
necesariamente verdadera. Bien, para explicar el siguiente nexo, el nexo monádico de la negación, 00:04:56
lo que vamos a establecer, a tener en cuenta, es que siempre que el NO acompaña a una proposición, 00:05:10
lo que hace es cambiar el valor de verdad de esta proposición a su contrario. Así que, 00:05:20
NO P es lo contrario de P y, por tanto, cuando P es verdadera, NO P será necesariamente falsa, 00:05:27
mientras que cuando P es falsa, NO P será necesariamente verdadera. 00:05:35
En cuanto a la implicación, la coimplicación o esa relación de condicionalidad que establecemos 00:05:42
con la expresión sí y solo sí, lo que nos quiere decir es que ambas proposiciones deben 00:05:51
darse a la vez. Por tanto, la coimplicación mantendrá su valor de verdad siempre que ambas 00:06:00
proposiciones sean verdaderas o que ambas proposiciones sean falsas. De manera que, 00:06:08
si tienen el mismo valor de verdad, la coimplicación será siempre verdadera. Por el 00:06:16
contrario, si estos valores de verdad no son los mismos, sino que una proposición es verdadera y 00:06:27
la otra es falsa, o al revés, la coimplicación será necesariamente falsa, ya que no se cumple 00:06:34
esto que establece esa relación de que ambas proposiciones tengan que aparecer a la vez. 00:06:40
Bueno, una vez que hemos visto cómo operan los distintos conectores lógicos, vamos a ver la 00:06:48
aplicación de estos en algunos ejemplos. El primero que os propongo, la vida con coronavirus 00:06:56
es íntima, familiar y aburrida, es una relación de conjunción, de coordinación, entonces, 00:07:02
entre tres proposiciones. La vida con coronavirus es íntima, sería P. La vida con coronavirus es 00:07:13
familiar, sería Q. La vida con coronavirus es aburrida, sería R. Tenemos entonces tres 00:07:20
proposiciones, un nexo explícito al final, que es esta conjunción OI, y lo que tenemos que hacer 00:07:28
es determinar qué va entonces como nexo de relación de P y Q. Es necesariamente una relación de 00:07:35
conjunción también, ya que al no aparecer ningún sí condicional, esa coma no podría esconder el 00:07:43
término entonces. No hay aquí relación de condicionalidad, lo que hay es una relación 00:07:51
de conjunción entre más de una proposición. En este tipo de estructuras semánticas, la I se va 00:07:57
ocultando para no ser reiterativa y sólo aparece al final. Bueno, lo primero que haremos será 00:08:06
asignar los valores de verdad de P, Q y R. Como esta es una tabla de tres proposiciones, tendremos 00:08:12
ocho filas. Empezamos siempre asignando los valores de verdad a la mitad de las filas totales de la 00:08:20
tabla, así que en la columna P tendríamos que empezar asignando la mitad de 8, es decir, asignando 00:08:27
los valores de verdad 4 a 4, de manera que en primer lugar encontraríamos 4 valores de verdad 00:08:36
y luego 4 valores de falsedad. La columna Q la desarrollamos a la mitad de la anterior, por tanto 00:08:45
la mitad de 4 es 2, así que en Q vamos a asignar los valores 2 a 2, 2 V seguidas de 2 F y así en el 00:08:55
conjunto de la columna. Para la última de las proposiciones, la R, lo que hacemos es dividir 2 00:09:03
a la mitad y, por tanto, sus valores de verdad quedarían alternantes, es decir, se establecen 1 a 1 00:09:12
alternando entonces los valores de verdadero y falso, de manera que queda siempre esta última 00:09:19
columna de asignación de valores a las proposiciones con esta forma de VF, VF, VF, así hasta completar 00:09:26
todas las filas de esa columna. La fórmula entonces con la que representamos este tipo de estructura 00:09:35
sería PIQIR. Aquí no es necesario poner paréntesis y lo que vamos a hacer para resolver este tipo de 00:09:45
tablas es ir resolviendo los elementos, resolviendo primero la primera conjunción entre P y Q para 00:09:52
después añadirle la segunda conjunción que nos permite asociar a P y Q la proposición R. Para 00:10:01
realizar la conjunción de P y Q tomaremos como referencia ambas columnas, la P y la Q, y como 00:10:10
estamos operando con un nexo de conjunción lo que haremos será buscar en cuáles de esas filas de 00:10:18
estas columnas P y Q se da que ambas son verdaderas. En estos casos, que son en este ejemplo la primera 00:10:26
y la segunda fila, la conjunción de P y Q es verdad, mientras que en el resto de las filas de esa columna 00:10:33
al no darse esa condición de que ambos valores son verdaderos el resultado tendría que ser siempre 00:10:41
falso. Una vez que tenemos resuelto la conjunción entre P y Q lo que hacemos es a esta conjunción 00:10:49
que hemos resuelto y por tanto operando sobre esta columna que acabamos de determinar añadirle 00:10:59
la columna R también mediante una relación de conjunción. Para hacer esto entonces tenemos 00:11:05
en cuenta los valores de la columna P y Q que acabamos de resolver y los valores de la columna 00:11:14
R y de nuevo buscamos en qué filas de estas dos columnas se da el requisito de la conjunción que 00:11:19
es que ambas sean verdaderas para mantener su valor de verdad. Esto lo observamos en la primera 00:11:27
de las filas y por tanto el valor de esta primera fila sería verdadero mientras que el resto de las 00:11:34
filas ya no cumplen esta condición de que ambas sean verdad alternándose en ellas valores de 00:11:43
verdad y falsedad y por tanto su valor de verdad total sería necesariamente falso al no cumplirse 00:11:49
esta condición de que ambas sean verdaderas. Un segundo ejemplo con el que vamos a trabajar 00:11:57
sería por ejemplo no es cierto que estudiar bachillerato sea fácil y divertido. Habréis 00:12:05
entendido perfectamente que ese no es cierto que está negando ambas proposiciones ya que estudiar 00:12:13
bachillerato no es fácil y estudiar bachillerato tampoco es divertido. Esa expresión no es cierto 00:12:20
que la utilizamos entonces para poder negar más de una cosa y por tanto esa negación está afectando 00:12:28
al conjunto de las proposiciones y no sólo a una. Cuando queremos que un símbolo afecte a más de una 00:12:35
proposición necesitaremos obligatoriamente utilizar un paréntesis por tanto la expresión 00:12:44
de este tipo de oraciones pues la simbolización se realizaría poniendo esa negación abriendo 00:12:51
un paréntesis e incluyendo dentro del paréntesis todo lo que está negado. En este caso que estudiar 00:13:01
sea fácil, que estudiar bachillerato sea fácil y que estudiar bachillerato sea divertido. 00:13:09
Igual que en matemáticas cuando resolvemos este tipo de estructuras tendremos que prestar atención primero 00:13:18
al interior del paréntesis. Asignamos inicialmente los valores al haber dos proposiciones es una tabla 00:13:26
de cuatro filas la mitad de 4 es 2 de manera que P empezará con dos valores de verdad y dos valores 00:13:33
de falsedad yendo entonces 2 a 2. La columna Q iría a la mitad de 2 que es 1 y por tanto quedarían 00:13:41
como siempre alternantes esos valores VF, VF en la última de las proposiciones a las que asignamos 00:13:49
valor. Una vez tenemos los valores de P y Q establecidos vamos a resolver el interior del paréntesis y por 00:13:58
tanto vamos a conjuntar P con Q. Tomaremos como referencia las columnas donde tenemos estos valores 00:14:06
asignados y buscaremos en qué fila se produce que ambas sean verdaderas. En esta primera fila donde 00:14:14
se da esta condición la conjunción será verdadera mientras que en el resto de las filas donde no se 00:14:23
da esta condición la conjunción será falsa. Una vez que tenemos calculado la conjunción P y Q, 00:14:30
los valores de verdad de P y Q ya estamos preparados para negar esa conjunción y por 00:14:38
tanto en la última de las columnas copiaremos la fórmula completa y procederemos a negar P y Q. 00:14:46
¿Cómo haremos esto? Tomando como referencia la columna P y Q donde ya hemos resuelto esta 00:14:53
conjunción y aplicando la negación a sus valores. Como recordamos la negación cambia el valor de 00:14:59
verdad a su contrario y por tanto cuando P y Q es verdadera no P y Q será falsa mientras que 00:15:07
cuando P y Q es falsa no P y Q será verdadera. Bien, con el siguiente ejemplo vamos a ver un 00:15:15
poco cómo funciona la implicación, cómo funciona, cómo se opera con la relación condicional. Os 00:15:25
pongo como ejemplo una proposición en la que tenemos una condición y dos consecuencias. Si 00:15:32
no eres una persona responsable sería la condición y entonces aquí el entonces está omitido pero 00:15:40
debería ir tras esa coma se producirán dos consecuencias distintas que los demás no contarán 00:15:48
contigo y que te excluirán de sus actividades. En este ejemplo entonces ahí donde debería ir el 00:15:57
entonces pondremos la flecha y lo que vamos a hacer es determinar los demás conectores que 00:16:07
sería esa primera negación que está negando a la proposición P y la segunda negación que está 00:16:14
negando a la proposición Q. De manera que la fórmula completa para realizar este ejemplo pues 00:16:21
sería determinar que P es una persona responsable, Q serían los demás contarán contigo y R te 00:16:32
excluirán de sus actividades quedando entonces no P implica no Q y R como fórmula completa. Al 00:16:42
tener una condición y dos consecuencias lo que agrupamos bajo el paréntesis son las consecuencias 00:16:53
también podría darse una relación condicional con más de una condición es decir más de una 00:17:00
proposición antes de la flecha y en este caso pues también podríamos agrupar esas condiciones con un 00:17:06
paréntesis. Bueno para realizar esta tabla lo primero que tendremos que hacer es asignar los 00:17:14
valores de verdad a las proposiciones P, Q y R como son tres proposiciones tendremos una tabla de 00:17:21
ocho filas así que empezaremos 4 a 4 la mitad de 8 asignando cuatro valores de verdad y cuatro 00:17:28
valores de falsedad a la columna P. La mitad de 4 es 2 por tanto los valores de verdad de Q los 00:17:37
asignaremos de 2 en 2 mientras que la mitad de 2 es 1 y por tanto la columna R que es la última 00:17:44
nos quedará siempre alternando esos valores de verdad 1 a 1 y por tanto con esa forma VF, VF, VF, VF. 00:17:53
Bien para resolver esta implicación tendremos primero que calcular lo que hay a un lado de 00:18:02
la flecha, calcular después lo que hay al otro lado de la flecha y por último implicar. Empezamos 00:18:10
antes de la flecha con la condición que tiene la estructura NO P de manera que tomaremos los 00:18:17
valores de P como referencia y le aplicaremos la negación cambiándolos a su contrario de manera 00:18:23
que NO P tendrá ahora cuatro F y cuatro V, justo lo contrario de la columna P. Una vez tenemos esto 00:18:30
resuelto pasamos a intentar calcular lo que hay al otro lado de la implicación de la flecha, lo que 00:18:39
tenemos dentro de ese paréntesis. Para poder realizar la conjunción de NO Q y R necesito saber 00:18:47
sus valores. Los valores de R ya los tengo asignados sin embargo tengo que calcular los 00:18:54
valores de NO Q. Para esto en la siguiente columna pondremos NO Q y para resolverlo tomaremos como 00:19:00
referencia la columna Q y al aplicar la negación cambiaremos de nuevo sus valores de verdad por 00:19:10
los contrarios, de manera que siendo con una columna VVFF pues NO Q sería al revés FFVV y 00:19:17
así hasta completar los valores de esa columna. Ahora que ya conocemos los valores de NO Q y ya 00:19:26
sabíamos los valores de R estamos preparados para conjuntarlos. Tomaremos entonces como referencia 00:19:34
estas dos columnas NO Q y R y de nuevo iremos buscando en sus filas en cual desde estas filas 00:19:41
se da la coincidencia de que ambos valores son verdaderos que es como opera ese nexo de conjunción. 00:19:49
En todos estos casos en los que ambas valores son verdad la conjunción es verdad y por tanto 00:19:57
en esas celdas pondremos verdad como valor mientras que en los demás casos en las demás filas no 00:20:05
será esta condición de la conjunción de que ambas sean verdaderas sino que será una combinación 00:20:15
de valores y por tanto su resultado será necesariamente falso. Por último en la última 00:20:20
columna siempre se pone la fórmula completa y resolvemos el nexo más importante, el conector 00:20:28
más importante de la fórmula que en este caso es la implicación. Ahora que ya tenemos resuelto lo 00:20:36
que hay antes de la flecha y lo que hay después estamos preparados para poder implicar entre ello. 00:20:44
Tomaremos como referencia esa columna NO P que ya hemos calculado y el cálculo de NO Q y R que 00:20:52
hemos establecido en la última columna de resolución y para resolver entre estas dos 00:21:01
columnas de forma condicional tendremos en cuenta que la única manera posible de falsar 00:21:08
una relación condicional será que se dé la condición por tanto NO P sea verdadera nuestro 00:21:16
ejemplo y en cambio no la consecuencia y por tanto NO Q y R sea falsa. En estas filas en las que 00:21:22
será esa combinación de valores V implica F nuestra implicación será necesariamente falsa 00:21:30
mientras que en las demás donde no se da esta relación de valores V implica F el resultado 00:21:38
de la implicación será siempre verdadero. Así resolveríamos este tipo de estructuras o cualquier 00:21:44
relación de condicionalidad e implicación. Para acabar un último ejemplo de cuatro proposiciones 00:21:53
en las que también estamos obligados a utilizar los paréntesis para ordenar esa fórmula. En este 00:22:02
ejemplo tenemos como proposición inicial aprobar el curso que sería P, me iré de vacaciones sería 00:22:10
Q, estudiaré ahora sería R, tendré que repetir curso sería S. En cuanto a los conectores que 00:22:16
la relacionan pues tenemos una relación de conjunción entre las dos primeras, una relación 00:22:26
de disyunción, una negación que afecta sólo a R ya que no es cierto que siempre que es un NO 00:22:31
afecta a una única proposición y va pegado a ella y una última conjunción que relaciona también 00:22:37
la R y la S. Como podéis ver por el propio significado de la frase hay dos opciones que 00:22:43
van es una disyunción de dos opciones compuestas en la primera opción tendríamos dos proposiciones 00:22:52
asociadas de forma conjuntiva P y Q, apruebo el curso y me puedo ir de vacaciones. En la segunda 00:23:00
de las opciones tenemos de nuevo dos proposiciones conjuntadas no estudiar ahora y tener que repetir 00:23:07
curso. Esa negación afecta sólo a R y por tanto va dentro del paréntesis y no fuera como nos 00:23:15
sucede con las oraciones que utilizan el no es cierto que. Bien como tenemos cuatro proposiciones 00:23:24
tendremos 16 filas así que lo primero que hacemos es asignar, asignamos valores a estas proposiciones 00:23:31
como tenemos 16 filas como decíamos empezamos 8 a 8 con 8 valores de verdad y 8 valores de 00:23:42
falsedad así asignamos los valores de la columna P mientras que en la columna siguiente que sería 00:23:53
la Q pues estableceríamos los valores de verdad a la mitad de 8 y por tanto Q quedaría en sus 00:24:05
valores asignados de forma de 4 en 4, alternándose 4 valores de verdad, 4 de falsedad, 4 valores de 00:24:16
verdad, 4 de falsedad. Para adjudicar valores a la columna R lo haríamos a partir de la mitad de 4 00:24:26
que es 2 y por tanto en esta columna vamos a ir asignando los valores de 2 en 2 planteando 00:24:36
entonces sus valores como 2V, 2F, 2V, 2F y así hasta completar la columna. Por último la columna S 00:24:43
quedaría a la mitad de 2 que es 1 y sus valores de verdad serían alternantes quedando como siempre 00:24:53
esta columna con la forma VF, VF, VF. Bien para realizar esta fórmula lo que tendremos que hacer 00:25:00
es resolver primero el interior de cada paréntesis, la relación disyuntiva separa por tanto la aprobar 00:25:10
el curso e irse de vacaciones por un lado y no estudiar y tener que repetir curso lo resolveremos 00:25:18
por otro. Para resolver esta conjunción de P y Q como tenemos los valores asignados de estas dos 00:25:26
proposiciones elementales pues lo que haremos será aplicar entre esas dos columnas la condición de 00:25:32
la conjunción que es el nexo con el que estamos operando de que ambas tienen que ser verdad para 00:25:41
que esa conjunción sea verdadera. Esto se produce en las primeras cuatro filas donde su solución 00:25:46
sería verdad mientras que en todas las demás hay una combinación de verdad y falsedad no dándose 00:25:52
entonces esta condición de que ambas proposiciones sean verdaderas y por tanto su solución sería en 00:25:59
todas ellas de falsedad. Así que completamos la columna añadiendo esos valores de falsedad. 00:26:07
Para resolver el otro paréntesis el que tenemos al otro lado de la relación disyuntiva tendríamos 00:26:16
que conjuntar no R y S. Los valores de S como veis ya están asignados en el principio pero 00:26:24
tendríamos que calcular los valores de no R antes de poder realizar esa conjunción con S. Para resolver 00:26:33
la columna no R tomaremos como referencia la columna R que ya había sido asignada y le 00:26:43
aplicaremos la negación transformando su valor de verdad en su contrario. Si R era una columna 00:26:50
VVFF la columna no R la iremos asignando con la estructura entonces contraria FFVV es decir 00:26:58
donde R es verdad no R es falsa y donde R es falsa no R es verdad. Una vez que ya tenemos 00:27:08
calculados estos valores ya podemos conjuntar no R con S. Tomaremos ahora como referencia la 00:27:15
columna no R que acabamos de calcular y la columna S que ya teníamos asignada y como estamos 00:27:22
conjuntando buscaremos las filas en las que no R y S son ambas verdaderas. Compartan entonces 00:27:31
este valor de verdad. En esas filas la conjunción será verdadera mientras que en todas las demás 00:27:40
filas donde no se da esta condición de que tanto no R como S sean verdad el resultado de la 00:27:49
conjunción será necesariamente falso. Así que en las filas en las que hemos encontrado esa 00:27:58
coincidencia de valores verdaderos ponemos verdad como resultado y en el resto de las filas donde 00:28:06
no se da esta condición pondremos falsedad como resultado completando así todas las celdas de 00:28:14
esta columna. Una vez que tenemos resuelta esta última columna estamos ya preparados para operar 00:28:25
con la disyunción. Hemos resuelto por tanto el primer paréntesis, hemos resuelto también el 00:28:34
segundo paréntesis y ahora ya podemos disyuntar entre estos valores. Tomamos como referencia para 00:28:40
resolver esta última columna la columna donde resolvimos el interior de estos paréntesis, 00:28:47
la columna donde hemos resuelto el valor de P y Q y la columna donde acabamos de resolver los 00:28:53
valores de verdad de no R y S. Y tendremos en cuenta que ahora estamos disyuntando y por tanto 00:29:00
aplicaremos ese criterio de la disyunción por el cual una disyunción sólo es falsa cuando ninguna 00:29:08
opción se cumple, cuando ambas opciones son falsas. Buscando ahora entonces en estas columnas con las 00:29:15
que estamos operando todas las filas donde se da esta coincidencia de que ambos valores de verdad 00:29:22
son falsos y en todas ellas podremos determinar que el valor de verdad de la disyunción es en esos 00:29:29
casos necesariamente falsa. Mientras que en todas las celdas donde no se da este requisito de que 00:29:38
ambos valores de verdad sean verdaderas, sean falsos, perdón, y por tanto hay al menos un 00:29:47
valor de verdad verdadero, la disyunción tendrá como resultado la verdad. Con esto quedaría 00:29:54
explicado también este último ejemplo y finalizamos el vídeo no sin recomendaros la práctica de 00:30:03
ejercicios para asimilar esta información y remitiros a mi correo electrónico Aula Virtual 00:30:13
de Monse ante cualquier duda que pudierais tener o que se haya suscitado esta explicación. 00:30:20
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M Montserrat S.
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Fecha:
29 de agosto de 2023 - 13:43
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES SAN AGUSTIN DE GUADALIX
Duración:
30′ 28″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
63.55 MBytes

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