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Distancia de punto a recta, proyección y simétrico

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Subido el 16 de octubre de 2019 por Manuel D.

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Se demuestra la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta en el espacio. Se calcula también la proyección y el simétrico del punto a la recta

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a mi canal. 00:00:02
En este vídeo vamos a demostrar la fórmula que nos permite calcular la distancia de un punto a una recta en el espacio euclidio. 00:00:10
Después lo aplicaremos en un ejemplo, veréis que es muy sencillo. ¡Adelante! 00:00:17
Pues vamos a empezar demostrando la fórmula de la distancia de un punto a una recta y aplicándola a un ejemplo. 00:00:21
En primer lugar, suponemos que tenemos una recta R y un punto P exterior a ella. 00:00:28
Para calcular la distancia entre P y R, tendremos que calcular la distancia que hay entre P y H, 00:00:32
siendo H la intersección de la recta R con la recta perpendicular a R, que pasa por P. 00:00:37
Bueno, pues, ¿cómo calculamos esta distancia? 00:00:43
Supongamos que fijamos un punto A de la recta R y determinamos el vector AP, el vector que une A con nuestro punto P. 00:00:46
Por trigonometría, la distancia que está punteada, la distancia entre P y H, será igual a módulo de AP por el seno del ángulo que forman el vector y el vector director de la recta. 00:00:54
Y bueno, ahora podemos multiplicar y dividir por el módulo del vector U, del vector director de la recta. 00:01:05
Y ahora nos fijamos en el numerador. 00:01:12
Recordemos la fórmula que hay del módulo del producto vectorial. 00:01:14
El producto vectorial de dos vectores en módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman. 00:01:18
Por tanto, el numerador de esa expresión coincide con el módulo del producto vectorial del vector AP con el vector O. 00:01:24
Y esta es nuestra fórmula para calcular la distancia entre P y R. 00:01:33
Si nos fijamos, esta fórmula es bastante lógica en realidad. 00:01:38
Recordad que el producto vectorial en módulo coincide con el área del paralelogramo que forman los dos vectores. 00:01:41
Y recordad también que el área de un paralelogramo es base por altura, con lo que si despejamos altura será área del paralelogramo partido por base. 00:01:51
Eso es precisamente lo que dice la fórmula, nuestra fórmula de la distancia de P a R. 00:01:59
Vamos a aplicarla con el siguiente ejemplo. Supongamos que P es el punto , y que tenemos esa recta. 00:02:03
x más 1 partido por menos 2, igual a y partido por 1, igual a z más 2 partido por 2. 00:02:09
Para calcular la distancia necesitamos fijar un punto, nos vale con el punto A, el punto de posición de la recta, menos 1, 0, menos 2. 00:02:15
Calculamos el vector que une A con nuestro punto P, en nuestro caso sería el menos 1, 3, menos 2. 00:02:24
Y ahora, ¿qué tenemos que hacer? Pues calcular el producto vectorial de AP por U. 00:02:29
en nuestro caso siendo u el vector director de la recta 00:02:35
en nuestro caso sería desarrollar ese determinante 00:02:39
ese determinante nos da el vector 8, 6, 5 00:02:42
y ahora la distancia será tan sencilla como 00:02:45
calcular el módulo del vector 8, 6, 5 00:02:48
y dividido por el módulo del vector director 00:02:51
que es el módulo del vector menos 2, 1, 2 00:02:53
total que hacemos la cuenta y nos da la distancia del punto P a la recta R 00:02:56
bueno y una vez que hemos visto cómo aplicar la fórmula 00:03:01
Véis que es muy sencillo. Vamos a determinar cuál es exactamente el punto de la recta que está a esa distancia del punto exterior dado. 00:03:05
Este punto se llama pie de la perpendicular. Vamos a construirlo. 00:03:12
Ahora vamos a ver la manera de construir el pie de la perpendicular H de una forma geométrica. 00:03:17
Lo que vamos a hacer es, dado un punto P y la recta R, vamos a construir el plano perpendicular a la recta que pasa por P. 00:03:25
Ahí lo tenemos. Después lo que vamos a hacer es calcular la intersección de este plano con nuestra recta R. 00:03:32
Tendremos el punto H. Si quisiésemos ahora calcular la distancia, podríamos directamente calcular la distancia entre el punto P y H. 00:03:39
Y esa es la distancia entre el punto y la recta. Vamos a hacerlo con el ejemplo anterior. 00:03:48
Recordad que teníamos el punto , y esa recta que tenéis ahí. 00:03:53
Ahora, lo que vamos a hacer es coger el vector normal del plano, que va a ser el menos 2, 1, 2. 00:03:57
¿Por qué? Porque este es el vector director de la recta y la recta y el plano son perpendiculares. 00:04:03
Teniendo el vector normal, que es justo los coeficientes del vector director de la recta, 00:04:09
tenemos ahora el punto posición del plano, que es el punto P. 00:04:14
Pues ahora, utilizando la expresión del plano que pasa por un punto y que es perpendicular a un vector, 00:04:19
obtendremos esa expresión y simplificándola un poquillo 00:04:25
tendremos la ecuación del plano. Bien, ya tenemos nuestro plano 00:04:29
perpendicular a la recta que pasa por el punto. Ahora, ¿qué tenemos que hacer? 00:04:34
Pues ahora lo que tenemos que hacer es la intersección entre el plano pi y la recta r. 00:04:37
¿Cómo? Pues resolviendo ese sistema de ecuaciones. El sistema del plano 00:04:41
y la recta. Como hemos visto en algún vídeo anterior del canal 00:04:45
para calcular la intersección entre una recta y un plano conviene 00:04:49
pasar las ecuaciones de la recta a paramétricas. Entonces lo que hacemos es considerar en lugar de 00:04:53
la ecuación cartesiana las ecuaciones paramétricas de la recta. Y ahora ¿qué tenemos? Pues tenemos 00:04:59
un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas donde hay un parámetro en la t. 00:05:04
Entonces para resolver este sistema lo más sencillo es sustituir la x y z por sus valores 00:05:09
con el parámetro en la ecuación del plano, simplificar y ya está. Tendremos el valor de t. 00:05:14
Ese valor de t en nuestro caso nos ha dado un noveno, lo sustituimos, ese un noveno, en los valores de la recta. 00:05:21
Sustituyendo el valor de t en x y z obtendremos los valores concretos de las coordenadas del punto h. 00:05:30
Es decir, que nuestro punto h será menos 11 partido por 9, un noveno, menos 16 novenos. 00:05:38
Ese es el pie de la perpendicular. 00:05:44
Muy bien, ya hemos calculado la proyección del punto a la recta. 00:05:47
Ahora, ¿qué tenemos que hacer si quisiésemos comprobar la distancia entre P y R? 00:05:51
Bueno, pues calcular la distancia entre P y H. 00:05:56
Si hacemos la distancia entre estos dos puntos, pues utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, 00:05:58
simplificando esta expresión, obtendremos precisamente que la distancia coincide con la que habíamos calculado anteriormente, 00:06:04
5 raíz de 5 partido por 3. 00:06:11
Y una posible aplicación de la construcción de esta piedra perpendicular es calcular el punto simétrico respecto de la recta dada 00:06:13
del punto exterior a ella. Es decir, calcular un punto P' de manera que P' el punto medio sea justo 00:06:20
el pie de la perpendicular en la recta. Vamos a ver cómo lo calculamos. El simétrico de un punto 00:06:26
sobre una recta se calcula a partir de la proyección. ¿Qué nos están pidiendo si nos piden calcular el 00:06:33
simétrico de un punto respecto a una recta? Pues lo que nos están pidiendo es que primero calculemos 00:06:38
el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto P. Después tenemos que calcular la 00:06:42
intersección entre este plano y la recta R. Este sería el punto proyección H. Y después lo que 00:06:47
necesitamos es calcular aquí el punto P' de forma que P'P sea un segmento cuyo punto medio sea 00:06:53
precisamente el punto H. Vamos a hacerlo con el ejemplo que teníamos anteriormente. El punto H, 00:07:00
ya lo hemos calculado, la proyección la habíamos calculado anteriormente, es el punto menos 11 00:07:05
novenos, un noveno menos 16 novenos. Imaginemos que queremos calcular el punto P'X y Z de forma 00:07:10
que el punto H sea su punto medio. ¿Esto qué significa? Bueno, pues que tendremos 00:07:17
estas ecuaciones. La media aritmética entre las coordenadas de P' y P 00:07:20
tienen que ser justo las de H. Despejando de aquí X y Z 00:07:24
obtendremos las coordenadas de nuestro punto P', así de fácil. En este caso 00:07:28
menos 4 no menos, menos 25 no menos, 4 no menos. 00:07:33
Este sería el punto simétrico y con eso hemos resuelto el problema. 00:07:36
Bueno, y esto ha sido todo. Espero que os haya gustado. Nos vemos en próximos vídeos. ¡Hasta luego! 00:07:40
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
264
Fecha:
16 de octubre de 2019 - 7:45
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 45″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
52.02 MBytes

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