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Ecuaciones del plano en el espacio - Contenido educativo

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Subido el 31 de octubre de 2018 por Manuel D.

376 visualizaciones

Se estudian las distintas ecuaciones del plano en el espacio: paramétrica y vectorial, cartesiana y segmentaria. Se resuelven un par de problemas sencillos.

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En este vídeo vamos a estudiar las distintas ecuaciones de un plano en el espacio tridimensional. 00:00:02
Los datos que determinan un plano pueden ser un punto posición y dos vectores directores. 00:00:13
Para que un punto genérico P, X y Z esté en el plano, es necesario que el vector que lo une con el punto posición, 00:00:18
es decir, el vector AP, esté en el plano 00:00:26
y para ello es necesario que se pueda escribir como combinación lineal 00:00:29
de los vectores generadores del plano U y V. 00:00:32
Este hecho se traduce en la ecuación vectorial. 00:00:36
Si sustituimos ahora las coordenadas de los vectores y del punto 00:00:39
obtenemos un sistema de tres ecuaciones que depende de dos parámetros. 00:00:43
Estas son las ecuaciones paramétricas. 00:00:47
Pero el hecho de que haya dos parámetros hace que estas ecuaciones 00:00:50
sean mucho más incómodas que las paramétricas de la recta. 00:00:52
conviene eliminar la lambda y la no. Obtendremos así la ecuación implícita o cartesiana. 00:00:56
Pero para poder obtener esta ecuación conviene proceder de otra forma completamente distinta, será más sencilla. 00:01:02
Como tenemos tres vectores linealmente dependientes, los dos vectores u y v y el vector ap, 00:01:09
resulta que el rango de la matriz formada por sus coordenadas será 2 00:01:15
y eso implica que el determinante de la matriz 3x3 ha de ser 0. 00:01:18
calculando y simplificando esta determinante igualado a 0 obtendremos la ecuación cartesiana 00:01:22
puede que los datos que nos den no sean dos vectores independientes y un punto 00:01:29
sino tres puntos no alineados 00:01:36
en ese caso primero deberemos calcular dos vectores directores con los tres puntos 00:01:38
bueno pues vamos a ver un ejemplo de plano que pasa por tres puntos 00:01:44
tenemos aquí tres puntos, a, 1, 0, menos 1, b, 0, 1, 1 y c, 2, 1, menos 1 y tenemos que calcular la ecuación del plano que pasa por ellos tres. 00:01:50
Recuerdo que la ecuación del plano que pasa por tres puntos es esta, donde a, 1, b, 1, c, 1, a, 2, b, 2, c, 2 serán los vectores directores. 00:02:01
Como no tenemos vectores directores, lo primero es calcular estos vectores directores. ¿Cómo? Pues calculando los vectores que pasan por dos puntos. 00:02:10
Recuerdo que hay que calcular las coordenadas del final menos las del principio 00:02:18
Es decir, sería, este es el vector u 00:02:22
Calculamos ahora el vector ac de la misma forma 00:02:34
Y este es el segundo vector director 00:02:38
Ahora solo hace falta sustituir en la ecuación 00:02:52
Primera fila, x menos las coordenadas del punto posición 00:02:54
Segunda fila, primer vector director 00:02:58
Tercera fila, segundo vector director 00:03:00
Determinante igualado a cero 00:03:03
Sustituimos 00:03:04
Y ahora solo hace falta simplificar. Y ahora simplificando, dividiendo entre menos 2, terminamos con el plano que pasa por ABC. Y esta es la ecuación pedida, x menos y más z igual a 0. 00:03:05
vamos a interpretar ahora geométricamente los coeficientes de la ecuación cartesiana de nuestro 00:03:52
plano fijaos que la ecuación se puede escribir como el producto escalar igualado a cero del 00:03:59
vector abc por el vector genérico del plano x menos x 0 y menos y 0 z menos z 0 cuando introduzcamos 00:04:05
el producto escalar veremos que dos vectores cuyo producto escalar es cero son perpendiculares por 00:04:13
tanto, el vector ABC es perpendicular a todos los vectores del plano, es decir, ABC es el 00:04:18
vector normal al plano. Por ejemplo, el plano X más Y menos 2Z igual a 0 tiene por vector 00:04:24
normal el 1, 1 menos 2. La ecuación cartesiana de un plano se calcula muy bien si tenemos 00:04:31
como datos la dirección perpendicular del mismo y un punto posición. Veamos un ejemplo. 00:04:37
En este ejercicio nos piden calcular la ecuación de un plano que pasa por este punto y que 00:04:43
que es perpendicular a esta recta. 00:04:48
Recuerdo que cuando nos dan la dirección perpendicular a un plano, 00:04:50
debemos utilizar esta ecuación, la ecuación cartesiana, 00:04:54
porque las coeficientes a, b y c son el vector normal a la recta. 00:04:57
Entonces va a ser muy sencillo. ¿Por qué? 00:05:02
Porque vamos a tener que el vector normal va a ser abc 00:05:04
y ese vector va a coincidir con el vector director de la recta, 00:05:10
que es el 2, 1, 3. Ahora solo hace falta sustituir x0, y0, z0 por a, a, b, c, por las coordenadas del vector m, que es 2, 1, 3. Y ya está. 00:05:17
Cuidado con los dobles signos. Ahora solo hay que simplificar esta ecuación y se acabó. Y esta es la ecuación del plano buscado. 00:05:44
para concluir vamos a introducir una última ecuación que se usa cuando los datos de partida 00:05:58
son los puntos de intersección del plano con los ejes si el plano corta los ejes en unos segmentos 00:06:04
de longitudes a b y c la ecuación del plano se puede escribir como x partido por a más y partido 00:06:10
por b más z partido por c igual a 1 a esta ecuación se le llama ecuación segmental y esto 00:06:15
ha sido todo nos vemos en futuros vídeos un saludo hasta luego 00:06:23
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
376
Fecha:
31 de octubre de 2018 - 7:15
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
06′ 30″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
99.56 MBytes

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