Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

18. NIVEL II_Suma y resta de polinomios - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 26 de enero de 2023 por M. Yolanda B.

33 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bien, vamos a realizar operaciones de suma y resta con polinomios. 00:00:00
Bien, empezamos con el ejercicio 6A. 00:00:08
Bueno, y para hacer estos ejercicios de suma y resta con polinomios 00:00:13
se puede hacer de dos maneras, en línea, que es lo primero que vamos a hacer, 00:00:18
y luego en columna, uno debajo del otro. 00:00:22
¿Vale? Entonces empezamos. Primero, vemos en este ejercicio, en el 6A, que son un binomio sumado a un trinomio y este que suma a un polinomio, ¿vale? 00:00:25
En definitiva, son expresiones algebraicas. 00:00:39
Como todo lo que hay en las operaciones que hay son de suma, ¿vale? 00:00:42
Pues no hay ningún problema en quitar los paréntesis, porque este signo de suma no va a cambiar el signo que tenemos dentro del paréntesis. 00:00:47
Esto es como los números enteros, más por menos me va a quedar menos, más por menos menos, más por más más, es decir, puedo quitar perfectamente los paréntesis. 00:00:55
Con lo cual, lo que voy a hacer es copiar los polinomios sin los paréntesis de momento. 00:01:04
lo que hago es quitar el paréntesis 00:01:13
menos 2x cuadrado, menos 3x más 1 00:01:22
más 2x cubo, porque el 2x cubo es positivo 00:01:26
le tengo que poner el más 00:01:30
más x menos 2 00:01:32
¿Qué hacemos ahora? Para sumar y restar 00:01:35
en álgebra 00:01:40
es prioritario y eso me tiene que quedar muy claro 00:01:42
que las partes literales tienen que ser iguales 00:01:47
es decir, la letra y el exponente que tiene esa letra 00:01:50
tiene que ser el mismo 00:01:54
es decir, yo no puedo sumar un 2x cubo con un 2x cuadrado 00:01:55
porque si no esto de aquí se hubiera podido hacer 00:01:59
sin embargo ha separado ¿por qué? 00:02:01
porque este es un monomio que no es equivalente a este 00:02:03
¿por qué? porque no tiene la misma parte literal 00:02:08
entonces tenemos que sumar, podemos sumar y restar términos que tienen la misma parte literal 00:02:10
y entonces para que quede ordenado ya la expresión algebraica que voy a obtener al final 00:02:18
lo que voy a empezar es por el término que tiene grado más alto, que sería este 00:02:25
como este es el único monomio o término que tiene grado 3 00:02:29
pues entonces es el que tenemos, 2x cubo simplemente 00:02:33
simplemente es copiar el primero, que sería 2x cubo. 00:02:37
Después tenemos, para sumar y restar, los que tienen grado 2. 00:02:50
Después de grado 3 viene el grado 2. 00:02:57
Tenemos el grado 2, este también el grado 2 y este también. 00:02:58
Bien, en el primer término, este de aquí, el coeficiente, es decir, el número que acompaña la parte literal, 00:03:04
aunque no aparece nada aquí, este es un 1, ¿vale? 00:03:10
Con lo cual, nunca se pone, pero para que nos quede claro ahora la primera vez, pues esto tenemos un 1, ¿vale? 00:03:13
Aquí tenemos 1, entonces, menos 2 y menos 2, ¿vale? 00:03:21
Que eso si lo queréis lo ponemos aparte, entonces los de grado 2, ¿qué coeficiente son? 00:03:27
1, menos 2 y menos 2, entonces esto me queda 00:03:31
1 menos 4 que me da menos 3, ¿vale? entonces aquí me quedaría 00:03:35
menos 3x cuadrado, ¿de acuerdo? 00:03:39
menos 3x cuadrado, ahora tenemos que hacer 00:03:43
después del grado 2, ¿quién viene al grado 1? grado 1 que tenemos, ¿quién? 00:03:47
pues tenemos aquí menos 1, menos 3 00:03:51
y más 1, ¿vale? 00:03:55
Este lo podemos tachar porque ya lo hemos cogido 00:03:58
Entonces tenemos menos 1, menos 3 y el 1 00:04:01
Y lo ponemos porque este también es un 1 de coeficiente 00:04:06
Entonces tenemos menos 1, este es un menos 1 00:04:09
Este terminó primero de aquí, este es un menos 1 00:04:12
Menos 1, menos 3 y luego de aquí más 1 00:04:16
Con lo cual esto me da menos 4 más 1 00:04:23
menos 3, menos 3x 00:04:28
y ahora tenemos términos independientes que sería más 1 00:04:31
menos 2 y más 1 menos 2 00:04:35
me da menos 1, ¿de acuerdo? y esa sería nuestra expresión 00:04:39
algebraica final que ya no puedo simplificar más 00:04:46
¿por qué? porque yo ya como hemos dicho antes no puedo hacer nada 00:04:49
de sumas y restas cuando las partes literales son diferentes 00:04:53
¿De acuerdo? Vamos a ver cómo haríamos este ejercicio, haciéndolo uno encima del otro. 00:04:58
Esto sería un poquito más, tal vez para este, a veces es más fácil, a veces es más difícil, depende. 00:05:07
Entonces tenemos, mirad, lo primero que nos tenemos que fijar para poner uno encima de otro, 00:05:15
en el tutorial tenéis hechos ejercicios 00:05:21
de las dos maneras, entonces tenemos 00:05:26
este binomio de aquí tiene grado 2 00:05:29
tiene grado 1 y no tiene término independiente 00:05:33
¿vale? entonces lo que se hace es 00:05:37
poner lo que es 00:05:41
la expresión algebraica completa y si no 00:05:45
está completa, se añaden ceros. Quiere decir, si vamos a ver, voy a ponerme aquí a este 00:05:50
lado, tenemos esta primera parte, que es x cuadrado menos x, ¿vale? Tenemos x cuadrado 00:05:55
menos x, x cuadrado menos x y el término independiente que no lo tengo le pongo un 00:06:04
cero, ¿vale? El siguiente tenemos, como es una suma, lo pongo debajo, menos 2x cuadrado 00:06:13
menos 3x más 1 y lo pongo cada término debajo de su equivalente 00:06:20
el que tenga el mismo, la misma parte de la itera 00:06:24
entonces tenemos menos 2x cuadrado, pues lo pongo debajo del x cuadrado 00:06:27
menos 2x cuadrado menos 3x más 1 00:06:31
y luego tenemos 2x cubo que iría aquí, ¿verdad? 00:06:35
2x cubo menos 2x cuadrado más x menos 2 00:06:41
y todo esto se suma, aquí es como si hubiera un 0 00:06:46
aquí es como si tuviéramos para esta expresión 00:06:50
aquí un 0 y aquí un 0, entonces el primero sería 2x³ 00:06:54
y ahora tenemos aquí 1, el siguiente 00:06:58
1x², recordad que si no tienen un coeficiente delante 00:07:05
es un 1, le vamos a poner los unos, y así lo veis más claro 00:07:08
tenemos 1, menos 2 y menos 2, menos 2 y menos 2 son menos 4 00:07:12
menos 4 más 1 menos 3x cuadrado 00:07:17
¿vale? el siguiente sería menos 1 y 1 00:07:21
estos dos se pueden tachar ¿verdad? porque tienen signos contrarios 00:07:28
pues lo anulamos y me queda menos 3x 00:07:31
o también podemos decir que menos 1 menos 3 o menos 4 menos 4 00:07:36
más 1 menos 3, o sea que daría igual, y aquí en este me queda 00:07:41
1 menos 2 menos 1 00:07:45
1 menos 2 menos 1, que si os dais cuenta 00:07:47
pues es, nos da exactamente lo mismo que teníamos 00:07:50
antes, 2x cubo menos 3x cuadrado más 3x, ¿vale? 00:07:55
es hecho en columna o hecho en fila, ¿de acuerdo? 00:07:58
entonces, bien, vamos a pasar al siguiente, a este de aquí 00:08:03
¿de acuerdo? este de aquí, que es 00:08:07
aquí tenemos una resta, ¿vale? un signo negativo delante de un 00:08:10
paréntesis, lo que hace un signo negativo delante de un paréntesis 00:08:15
es cambiarle el signo a todo lo que tiene el paréntesis 00:08:18
el más no cambiaría el signo 00:08:22
de lo que hay dentro del paréntesis y este menos sí que 00:08:27
cambiaría el signo de lo que hay dentro de este paréntesis 00:08:31
bien, entonces lo que vamos a hacer es ir quitando paréntesis 00:08:34
aquí tenemos menos x a la cuarta y ahora como hemos dicho 00:08:39
este signo negativo va a cambiar el signo de todo lo que tengo dentro del paréntesis 00:08:43
por tanto me va a quedar menos x cubo menos 2x más 3 00:08:49
ahora viene un signo positivo delante del paréntesis 00:08:59
con lo cual lo único que tengo que hacer es copiar lo que hay dentro 00:09:03
no cambia el signo de lo que hay dentro 00:09:06
entonces me queda menos 3x cuadrado menos 5x más 4 00:09:08
y ahora cambiamos el signo del siguiente paréntesis 00:09:15
porque hay un negativo delante del paréntesis 00:09:18
menos 2x cubo más x menos 5 00:09:20
y ahora pues igual que antes agrupamos 00:09:24
agrupamos los términos que son equivalentes 00:09:29
es decir que tienen el mismo grado 00:09:36
Empezamos con el grado más alto, el grado más alto es el x a la cuarta 00:09:38
Con lo cual, como es el único que hay, pues es el que ponemos, el primero 00:09:42
Menos x a la cuarta 00:09:46
Ahora tenemos grado 3, tenemos aquí menos 1 y menos 2 00:09:49
Menos 1, menos 2, menos 3x cubo 00:09:54
Siguiente, grado 2, grado 2 tenemos menos 3, solamente está eso, menos 3x cuadrado 00:09:57
Grado 1, grado 1 tenemos menos 2, menos 2, menos 2, menos 5, menos 7, menos 7 más 1, menos 6. 00:10:04
Y ahora términos independientes tenemos el 3, el 4 positivo y el menos 5. 00:10:19
Entonces tenemos 3 y 4, 7 menos 5, 2. 00:10:27
¿De acuerdo? 00:10:31
Vamos a hacer este mismo de arriba abajo, es decir, en columna. 00:10:34
Vamos a copiar primero. 00:10:42
Entonces tenemos, mirad, menos x a la cuarta, solamente está ese término, ¿verdad? 00:10:44
Pues ponemos menos x a la cuarta. 00:10:49
Y completamos con ceros hasta el término independiente. 00:10:52
0x cubo, 0x2, 0x y 0. 00:10:56
siguiente, este de aquí que te voy a poner aquí debajo 00:11:02
va a ir cambiado de signo, es decir, porque tengo 00:11:07
todo esto que hay en el paréntesis va a ir cambiado de signo porque tengo un negativo delante 00:11:11
entonces va a ser menos x cubo, lo pongo debajo del x cubo 00:11:15
menos x cubo, ¿vale? 00:11:20
luego tendré menos 2x y más 3, lo tengo que cambiar de signo 00:11:23
¿vale? menos 2x 00:11:27
y más 3, y ese hueco que queda pongo un 0x cuadrado 00:11:29
¿vale? seguimos, como tengo aquí el positivo 00:11:35
este no cambia, lo pongo debajo de donde corresponde, menos 3x cuadrado 00:11:38
menos 5x más 4 00:11:43
y el último que va cambiado de signo será menos 2x cubo 00:11:50
más x, más x 00:11:54
más 5, ¿vale? y completo con ceros 00:11:59
pues todo lo que no hay, aquí también sería cero, cero, cero 00:12:04
bueno, hacemos la suma, vamos a ver 00:12:09
ahora, son todos sumas 00:12:12
entonces tenemos aquí 00:12:15
este que era un, a ver si no lo veo bien 00:12:22
es un más tres 00:12:28
a ver 00:12:30
este es un menos 5, perdón, aquí me he confundido en el último 00:12:33
y me parecía muy raro, daros cuenta que he puesto aquí más 5 00:12:45
y tiene que ser menos 5 porque cambia de signo, ¿vale? este es un menos 5 00:12:49
entonces aquí voy a poner menos 00:12:53
¿vale? entonces aquí tenemos 3 más 4 00:12:57
7, 7 menos 5, 2, 2 positivo 00:13:01
Aquí tenemos el grado 1, menos 2, menos 5, menos 7, menos 7, más 1, menos 6, menos 6, x 00:13:05
Grado 2, solamente tenemos el menos 3x cuadrado, pues menos 3x cuadrado 00:13:16
¿Vale? 00:13:22
Grado 3, tenemos menos 1 y menos 2 00:13:26
¿Qué me daría? 00:13:30
Menos 1, menos 2, menos 3x cubo 00:13:31
Y de grado 4 solamente tengo 1 00:13:33
Y ya está 00:13:36
Si os dais cuenta, me da lo mismo hacerlo de una manera que hacerlo de otra 00:13:37
Yo creo que es mucho más fácil hacerlo en línea 00:13:40
Hay gente que le gusta más hacerlo así 00:13:43
Me parece un poquito más complicado 00:13:44
Porque tienes que andar rellenando ceros, en fin 00:13:46
Y colocándolos, ¿vale? 00:13:48
Pero cada uno que lo haga como considere 00:13:50
Bien, seguimos 00:13:52
Dice, escribe el polinomio opuesto de cada uno de los siguientes polinomios 00:13:54
Daros cuenta que aquí, este de aquí 00:13:59
Lo que tengo que hacer, si lo que quiero hacer es el opuesto 00:14:02
¿Qué es lo único que hay que hacer? 00:14:05
Pues ponerle un negativo delante, ¿vale? 00:14:07
De todo el polinomio 00:14:12
Con lo cual ahí tendríamos el opuesto 00:14:14
¿Qué es? Pues cambiarle de signo todo ese polinomio 00:14:16
Donde hay un más es un menos, donde hay un menos es un más 00:14:19
¿Vale? 00:14:22
simplemente, 7x opuesto a 7x 00:14:24
pues menos 7x, y el opuesto de este pues sería x a la cuarta 00:14:28
menos 3x cuadrado, es muy sencillo, que es lo mismo prácticamente 00:14:31
que hemos hecho, bueno prácticamente no, en estas ocasiones 00:14:36
en estos trinomios o polinomios, como queráis, donde el menos 00:14:39
cambia de signo todo lo que hay dentro del paréntesis, ¿de acuerdo? 00:14:44
bien, seguimos con el siguiente, dice 00:14:48
considera los polinomios P y Q 00:14:51
y calcula la suma. ¿De acuerdo? Vamos a hacerlo primero 00:14:56
el primer punto. ¿De acuerdo? P y Q. 00:15:01
Bien. El polinomio P 00:15:05
voy a poner aquí. O sea, me piden 00:15:08
que haga, perdón, que calcule la 00:15:12
suma, ¿vale? Por eso lo llama S, la suma de P más Q 00:15:16
del polinomio P más Q. Ahora, lo ponemos aparte. 00:15:20
Tenemos que P es igual a menos X al cubo menos 5X 00:15:24
más 2. ¿Vale? Es esto de aquí. 00:15:29
¿De acuerdo? Y ahora más 00:15:34
este otro de aquí. Más Q que es 00:15:36
3X cuadrado más 3X 00:15:43
más 1. Realmente, esto 00:15:46
como es una suma, si le quito los paréntesis 00:15:50
pues no pasa nada, vale, si hubiera sido una resta 00:15:55
que hubiera tenido que hacer, pues cambiar el signo del segundo 00:16:00
de este de aquí, vale, entonces 00:16:04
agrupamos términos que tengan la misma parte literal 00:16:08
grado 3 solamente tengo ese, pues es menos x cubo 00:16:13
grado 2 solamente tengo este, con lo cual más 3x2 00:16:16
Grado 1, tenemos menos 5 y más 3 00:16:21
Menos 5 más 3, menos 2x 00:16:27
Y término independiente es 2 más 1, 3 00:16:30
¿De acuerdo? 00:16:36
Entonces, bueno, pues tenemos, este es el resultado 00:16:39
¿Vale? ¿De acuerdo? 00:16:42
Aquí nos quedamos el otro, ya 00:16:44
bien, vamos a hacer 00:16:48
otro ejercicio 00:16:52
de sumas y restas para que nos quede claro 00:16:57
vamos a hacer de las dos maneras, aunque yo considero que es más sencillo 00:16:59
el líneas, pero bueno, vamos a ver, tenemos 00:17:05
me piden, quedados estos dos polinomios, p y q 00:17:08
p de x y q de x, que se lee así 00:17:12
es simplemente que es una expresión, un polinomio 00:17:16
cuya variable es la x, y aquí otro polinomio cuya variable es la x 00:17:20
me piden hallar la suma de los dos polinomios 00:17:24
y luego a continuación la diferencia o resta, ¿de acuerdo? 00:17:28
entonces vamos a hacer primero la suma, tenemos 00:17:32
queremos hacer p de x más q de x, con lo cual tenemos que es 00:17:34
como es suma, pues no voy a poner ni siquiera paréntesis, lo voy a poner todo seguido 00:17:40
porque el paréntesis no me va a hacer falta 00:17:44
más x5 más 6x4 menos 4x cubo menos x más 7 00:17:47
y ahora tenemos, empezamos con el grado más alto 00:17:55
que es quien, el 5, grado 5 tenemos aquí uno 00:17:58
y aquí otro, tenemos 2 más 1, 3x5 00:18:01
¿Vale? Grado 4, tenemos menos 3 más 6, más 3, menos 3 más 6, más 3x4. 00:18:05
¿Vale? Ahora, grado 2, tenemos aquí, a ver, ¿por qué no me...? 00:18:17
Entonces, 3x cuadrado, que es el único que hay, pues se queda más 3x cuadrado. 00:18:29
Luego tenemos término independiente, que tenemos solamente este, o sea, perdón, grado 1, perdón, 00:18:41
menos x y el término independiente, que sería menos 5 más 7 más 2. 00:18:47
¿De acuerdo? 00:18:54
Bien, hacemos ahora de la otra manera, que era un encima del otro. 00:18:55
Entonces hacemos 2x5, que es el p, ¿vale? 00:19:00
Y además lo tenemos que hacer en el orden que nos pide. 00:19:04
Primero p y luego q, ¿de acuerdo? 00:19:08
2x5, cuando es una suma no es tan importante, pero en una resta sí. 00:19:10
No es lo mismo p menos q que q menos p, ¿vale? 00:19:14
Luego lo hacemos. 00:19:19
Bien, seguimos. 00:19:20
2x5 menos 3x4. 00:19:22
el grado 3 no existe, con lo cual 0x cubo más 3x cuadrado, el grado 1 no existe, pongo un 0, menos 5. 00:19:25
Ahora el cubo. Tenemos x5 más 6x4 menos 4x cubo más 0x cuadrado, porque no está, menos x más 7. 00:19:36
¿De acuerdo? Vale, entonces tenemos 00:19:51
Menos 5 más 7, 2 00:19:54
Positivo 00:19:58
Aquí tenemos un 1, ¿vale? Entonces tenemos 0 menos 1 00:20:00
Menos una x, no te falta poner ese 1, ¿no? 00:20:05
3 más x, estamos en el grado 2 00:20:10
3 más 0, 3, 3x cuadrado 00:20:13
0 menos 4, menos 4x1 00:20:15
menos 3 más 6, más 3x a la cuarta 00:20:19
y 2 más 1, 3x a la 5 00:20:23
y nos da exactamente lo mismo que teníamos antes 00:20:26
¿de acuerdo? 00:20:30
vamos con la resta 00:20:32
lo hacemos primero en línea 00:20:35
lo que nos dicen es 00:20:37
p de x menos q de x 00:20:38
Es decir, P que sería 2X a la quinta, vamos a por el paréntesis, menos 3X a la cuarta, más 3X cuadrado, menos 5, menos la Q que es X5, más 6X4, menos 4X cubo, un poquito más para allá, menos X, más 7. 00:20:45
Aquí, este signo negativo que tenemos aquí delante de este paréntesis, lo que hace es cambiarme de signo todo ese paréntesis, ¿de acuerdo? 00:21:18
El primero que se queda como está, quito paréntesis, si no lo hubiera puesto tampoco hubiera pasado nada desde el principio, ¿eh? 00:21:25
Y ahora cambiamos de signo todo lo que hay dentro del paréntesis, hacemos el contrario, el opuesto, ¿vale? 00:21:35
Y ahora sumamos monomios o términos equivalentes. 00:21:45
Tenemos este de aquí, o semejantes, ¿de acuerdo? 00:21:51
Este de aquí y este de aquí. 00:21:55
No equivalentes, semejantes, perdón. 00:21:56
2 menos 1 es 1x5. 00:21:59
Grado 4. 00:22:02
Menos 3, menos 6, menos 9. 00:22:04
Grado 3. 00:22:11
4x cubo es el único que hay. 00:22:12
Grado 2, 3, solamente ese. 00:22:15
Grado 1, más x, y términos independientes tenemos el menos 5 y el menos 7. 00:22:21
Menos 5, menos 7, menos 12. 00:22:27
¿Vale? 00:22:31
Menos 12. 00:22:33
Vamos a hacerlo uno encima del otro. 00:22:34
¿Vale? 00:22:37
El primero es el minuendo, que sería el 2x a la quinta, 00:22:37
menos 3 a la cuarta, o sea, el primero que ponemos. 00:22:42
En definitiva, 3x, a ver, perdón, 4, este sería grado 2 que no existe, con lo cual 0x cuadrado, perdón, 0x cubo, más 3x cuadrado, más 0x, menos 5. 00:22:45
Y el siguiente ya lo voy a colocar debajo cambiado de signo, ¿de acuerdo? 00:23:01
Entonces, x5 que sería menos x5, menos 6x4, grado 3 más 4x cubo, grado 2 no existe, 00:23:04
grado 1 le cambio el signo y término independiente le cambio el signo. 00:23:20
¿De acuerdo? Y ahora ya pues hacemos como siempre una suma. 00:23:25
Menos 5, empezamos con los términos independientes, menos 5 menos 7 menos 12. 00:23:29
grado 1, tenemos 0 y 1, pues 1, una X 00:23:33
grado 2, tenemos 3 y 0, pues 3 00:23:38
grado 3, tenemos 0 y 4, pues solamente 4 00:23:42
grado 4, menos 3 menos 6, menos 9 00:23:46
y grado 5, tenemos 2 menos 1, pues 1 00:23:51
y lo dejamos así, ¿de acuerdo? 00:23:54
y nos da lo mismo en este caso 00:23:56
¿vale? que es igual, lo vemos, que en este de aquí 00:24:01
aquí falta un más, un positivo, ¿vale? 00:24:05
es exactamente lo mismo, de una manera o de otra, cada uno que elija 00:24:08
¿de acuerdo? tenéis 00:24:12
ejercicios en el aula virtual 00:24:15
¿vale? vamos a ir un momentito a ver, aquí 00:24:19
bueno, este no es, no este lo que puede hacer es 00:24:24
mirar, tenéis aquí este enlace 00:24:29
que podéis ver aquí ejercicios 00:24:35
porque tienen las soluciones además, para que los podáis ir haciendo 00:24:39
lo que pasa es que hay algunos que no hemos visto y entonces a lo mejor 00:24:43
lo que ocurre es que os lleva a error, yo os voy a llevar 00:24:46
a lo mejor se hace lío, os voy a llevar al tutorial 00:24:51
vamos a ver 00:24:56
Vamos a ver aquí. Y en el tutorial tenéis todo lo que hemos venido haciendo de momento hasta ahora. Lenguaje algebraico, lo que es la traducción, lo que es el cálculo del valor numérico, los términos de una expresión algebraica y suma de polinomios. 00:24:58
lo veis que lo tenéis tanto en línea como uno encima del otro 00:25:27
y ya para el próximo día veremos las multiplicaciones 00:25:33
en la próxima sesión, multiplicaciones y divisiones 00:25:38
seguiremos haciendo ejercicios 00:25:41
Autor/es:
Yolanda Bernal
Subido por:
M. Yolanda B.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
33
Fecha:
26 de enero de 2023 - 12:17
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
25′ 44″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
640x480 píxeles
Tamaño:
61.38 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid