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(2) Crecimiento-Decrecimiento-MÁX-MÍN de una función - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2020 por Esteban S.

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Hola, ¿qué tal? Otra vez, chicas y chicos de segundo bachillerato, vamos a hacer otro problema 00:00:03
que nos piden de nuevo estudiar el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos de una función. 00:00:12
Como ya habéis visto en el vídeo anterior, pues este vamos a hacerlo un poquito más rápido. 00:00:20
Bueno, en este caso la función es f de x igual a x cubo por e elevado a x. 00:00:26
Ya sé que os molesta mucho que haya elevado a x, que haya exponenciales, pero las exponenciales aparecen muchísimas veces y hay que estudiarlas. 00:00:31
Y no son tan horribles como puede parecer. 00:00:39
Bien, pues empezamos rápidamente. 00:00:43
El dominio de la función, pues es r, evidentemente, es r. 00:00:48
¿Por qué? Porque esto es x al cubo multiplicado por una exponencial, pues no hay ningún problema, el dominio es r. 00:00:52
Mejor para nosotros, muy bien. 00:00:59
entonces para estudiar el crecimiento y decrecimiento ya sabemos que tenemos que hacer la derivada 00:01:00
esto es un producto, ahí está, pues entonces la derivada 00:01:06
la derivada del primero por el segundo sin derivar 00:01:12
más el primero por derivada del segundo 00:01:17
muy bien, esto lo escribimos bien y vemos que aquí podemos sacar factor común justamente esto de aquí 00:01:21
x cuadrado por elevado a x, aquí hay x al cubo pero bueno x cuadrado por elevado a x, entonces sacando x cuadrado por elevado a x, factor común de 3 más x, factorizar las expresiones ya sabéis que es lo mejor que podéis hacer, porque va a ser facilísimo resolverlas, muy bien. 00:01:27
El siguiente paso era estudiar para qué valores de x la derivada se hace 0. 00:01:51
Pues ahí está, muy bien. 00:02:02
Entonces, esto significa que nuestra derivada, que ya la tenemos factorizada, 00:02:03
para qué valores esto vale 0. 00:02:12
Muy bien, pues veamos. 00:02:14
Como son tres factores, el producto de factores es 0 si alguno de sus factores es 0. 00:02:15
El primer factor x igual a 0 significa que x tiene que ser 0. 00:02:21
Ya tengo una solución aquí, el siguiente factor elevado a x es igual a 0, y esto nunca, una exponencial elevada a lo que sea, nunca puede ser 0. 00:02:26
Y el tercer factor, 3x más x es igual a 0, entonces esto indica que la x es menos 3. 00:02:39
Bueno, pues ya tengo mis dos valores críticos, entonces ahora tengo que hacer la tabla. 00:02:48
Acordaros, la tablita, ¿cómo se hacía? Me cabe aquí perfectamente. 00:02:53
así que aquí me pongo mi recta real 00:02:56
que esto es x y aquí tengo que señalar los valores que han anulado la derivada 00:03:02
menos 3 y 0 y además no se me olvida 00:03:07
los agujeros del dominio o en el caso de que el dominio sea un intervalo 00:03:12
los extremos del intervalo, como en este caso es r, pues no hay ningún problema 00:03:16
muy bien, ¿qué tenemos que estudiar aquí? tenemos que estudiar el signo de la derivada 00:03:19
el signo de f' de x 00:03:24
y sabiendo el signo de f' de x voy a saber 00:03:28
el comportamiento de f de x 00:03:32
muy bien, hago aquí mis separaciones 00:03:38
mis separaciones y ya empiezo, vamos a rellenar 00:03:43
voy a rellenar lo de la derivada en azul y lo trago, lo único que sé hasta ahora 00:03:47
es que la derivada en 3 vale 0 y la derivada 00:03:51
en 0 vale 0, son las opciones, esta 00:03:55
y ya está, muy bien 00:03:59
ahora tengo mi sustituyo, mirad que ya 00:04:02
uy, ha quedado feo, pero bueno, uy que feo 00:04:08
espera un momento, perdonadme 00:04:11
voy a sustituir 00:04:15
aquí, que ya lo tengo factorizado, muy bien 00:04:21
entonces empiezo en el primer tramo, este de aquí, cojo un valor menor que menos 3 00:04:24
Pues el menos 10 00:04:29
Y fijaros lo que hago 00:04:31
En este factor no hago nada 00:04:33
Porque x al cuadrado siempre es positivo 00:04:36
Así que no me despreocupo 00:04:38
El siguiente factor de la derivada 00:04:40
Elevada a x siempre es positivo 00:04:42
Me despreocupo de él 00:04:44
Luego el único que me va a interesar 00:04:45
Es este de aquí 00:04:48
Este es el que va a hacer 00:04:49
Entonces decimos, cojo un valor menos 3 00:04:50
El menos 20 00:04:53
3 menos 20 negativo 00:04:54
Los otros eran positivos 00:04:55
pues esto es negativo, entre menos 3 y 0 00:04:59
pues cojo el menos 1, 3 menos 1 positivo 00:05:03
positivo, mayor que 0 el 80 pues positivo 00:05:06
muy bien, vale pues ahora ya puedo 00:05:11
contestar que hace la función, lo que sé es que 00:05:15
en este primer tramo negativo la función decrece 00:05:19
en el segundo tramo la función crece y en el último tramo 00:05:22
en el tercer tramo la función crece, muy bien 00:05:27
¿qué tenemos pues? ¿qué sabemos aquí? pues sabemos lo siguiente 00:05:30
muy bien, sabemos que 00:05:35
este punto de aquí, el punto A menos 3 00:05:39
lo que sea, ya sabéis que esto es F de 3 00:05:43
es un mínimo 00:05:45
mínimo relativo, muy bien 00:05:50
Y este punto de aquí, que es el b, 0, f de 0, esto sería f de menos 3 y esto f de 0. 00:05:57
Bueno, f de 0 es 0, lo podría poner, lo voy a poner, venga, f de 0 es 0. 00:06:08
Venga, ale, venga, voy a hacer f de menos 3, que si no nos quedáis tranquilos. 00:06:14
F de menos 3 sería menos 3 elevado a 3 menos 27 partido por elevado a 3. 00:06:17
menos 27, entre elevado a 3, o sea, un valor negativo y muy pequeño, no sé, pequeño o lo que sea. 00:06:22
Bien, bueno, lo que digo, que el punto B, este es un punto muy importante, 00:06:31
porque es un punto que no es ni máximo ni mínimo, porque pasa de crecer a crecer, 00:06:37
sigue creciendo, luego no es ni máximo ni mínimo, no es ni máximo ni mínimo. 00:06:43
Es muy importante recalcar esto, que un punto cuya derivada valga cero no significa obligatoriamente que vaya a ser máximo o mínimo, como aquí lo podéis ver. 00:06:52
Este punto, lo que va a hacer aquí la gráfica, ya lo sabéis, es que la dibuja aquí va creciendo, se tumba y sigue creciendo. 00:07:05
Esto de aquí no es ni máximo ni mínimo. 00:07:16
bien, y lo otro que quiero explicar 00:07:19
porque ya voy a dibujar la gráfica 00:07:21
lo otro que quiero explicar es 00:07:23
vamos a ver si este mínimo relativo 00:07:24
es también absoluto 00:07:26
pues aquí se ve muy fácilmente que es absoluto 00:07:29
¿por qué? 00:07:32
porque mirad, la función aquí decrece 00:07:33
en este primer tramo 00:07:35
y luego a partir de él 00:07:38
ya crece y crece 00:07:40
luego es una cosa que primero decrece 00:07:42
y luego ya crece y crece 00:07:45
Pues está claro que este punto de aquí es un mínimo absoluto, es un mínimo relativo, que también es absoluto. 00:07:47
Fijaros que aquí para justificar que este mínimo es absoluto no necesitamos hacer los límites en menos infinito, pero podríamos hacerlo, podríamos hacerlo. 00:08:01
De hecho, conviene hacerlo porque si hallamos el límite en menos infinito, 00:08:13
nos va a salir que el límite en menos infinito de esa función es cero. 00:08:16
O sea que hay una asíntota horizontal hacia menos infinito que es el eje x. 00:08:20
Bueno, pues con estos datos ya puedo dibujar mi eje x, dibujo mi eje y, y ahora mirad que facilito es. 00:08:26
en el menos 3 aquí, por aquí hay un 00:08:38
mínimo 00:08:40
y aquí hay un 00:08:42
punto, el b, este es el a 00:08:43
y este es el b 00:08:46
y hemos dicho que el menos infinito 00:08:48
es así, entonces esto viene por aquí 00:08:50
baja ahí 00:08:52
mínimo, relativo y absoluto 00:08:54
se tumba y sube 00:08:56
¿de acuerdo? 00:08:58
así que esta sería la función 00:09:01
que creo que es bastante bonita 00:09:03
aunque aquí me ha quedado un poco regular 00:09:05
acordaros que tenéis una herramienta muy potente 00:09:07
que se llama el GeoGebra 00:09:10
que sirve para representar esto 00:09:12
bueno, pues este es otro ejemplo 00:09:14
que queríamos poneros 00:09:16
de otro estudio de una función 00:09:18
muy bien 00:09:20
muchas gracias por habernos escuchado 00:09:22
adiós 00:09:24
Subido por:
Esteban S.
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Fecha:
7 de noviembre de 2020 - 22:50
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
09′ 27″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
357.01 MBytes

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