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Cálculo del punto de intersección de dos rectas secantes en el espacio - Contenido educativo

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Subido el 30 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Cálculo del punto de intersección de dos rectas secantes en el espacio

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Para explicar la intersección de dos rectas utilizaremos este ejemplo. 00:00:06
Tenemos la recta R expresada de esta forma y la recta S expresada de esta otra forma. 00:00:10
En primer lugar tenemos que demostrar que son secantes y una vez que lo hayamos hecho, calcular el punto de intersección. 00:00:16
Empezamos poniendo R y S de la forma útil en la recta R. 00:00:25
Entonces cogemos un punto P1 de R que va a ser el punto menos 2, 0, 4 00:00:28
Defendiente de R, tomado de aquí 00:00:34
Y el vector V1 que es el 3, menos 1, 0, tomado de aquí 00:00:37
Vector, vector de R 00:00:44
En cuanto a S, tomamos el punto P2 00:00:50
que sería el 00:00:53
menos 3, 1, 2 00:00:55
tomado de aquí 00:00:58
referencia entre S y el vector V2 00:00:59
que es el vector 00:01:03
vector 00:01:05
de S 00:01:07
pero antes de hacer nada voy a hacer 00:01:09
una breve observación, y es que si tengo aquí 00:01:11
5 menos 2, pero aquí no tengo nada 00:01:13
aquí 00:01:15
lo que hay es un 1 00:01:17
no lo ponemos porque no se va a ponerlo 00:01:20
pero hay que saber que cuando 00:01:23
vayamos a poner el vector, tenemos aquí un 5, menos 2 y 1. Lo digo porque algunos han puesto 0 y eso obviamente está mal. 00:01:25
Si en vez de eso tuviéramos, por ejemplo, un menos z más 7, hay que observar que esto es igual a menos z, perdón, 00:01:39
que eso es igual a Z menos 7, cambiando del signo, dividido entre menos 1, 00:01:49
en cuyo caso tendríamos un menos 1. 00:01:58
Bueno, borro todo esto y sigo. 00:02:01
Empecemos con la pareja de 1. 00:02:04
Lo primero que tenemos que hacer es calcular el vector P1P2 menos P1, 00:02:06
Es decir, menos menos 1, 2, menos menos 2, menos 4, menos menos 2, menos 1, 1, menos 2. 00:02:13
En segundo lugar, tenemos que tomar las matrices V1, V2 y V2, calculando su rango, y V1, V2, calculando su rango. 00:02:27
Calculamos dichos rangos, ponemos la matriz en un determinante, tenemos v1, v2, v1, v2, y por otra parte podemos llamar, por ejemplo, este menor es por 2, lo que vamos a observar es la matriz v1, v2. 00:02:46
Entonces, S menor es menos 1, 0, menos 2, 1, que es menos 1, distinto de 0. 00:03:20
Y ya tenemos con eso que el rango de V1, V2 es 2. 00:03:30
Bueno, calculamos este determinante, que nos da 0, más 12, más 1, menos 0, menos 10, menos 2. 00:03:35
Esto es 0. 00:03:44
Y aquí tenemos que el rango de esta matriz es mayor o igual que 2, y el de la matriz es menor o igual que 2. 00:03:46
Por lo tanto, es 2. Y con esta información, ya tenemos que R y S son secundarios. 00:03:54
Podemos recuadrar todo esto, ¿eh? Y así se ve el argumento entero. 00:04:06
Aunque también podemos recuadrar solo esto, y sería correcto. Por ejemplo, poniendo A. 00:04:12
Bueno, vamos a realizar el apartado B. Antes de eso, necesito hacer una explicación. 00:04:25
Vamos a tomar el vector r, el vector q, y vamos a tomar el punto c1 y el vector v1 de r, y el punto c2 y el vector v2 de s2, y el punto c1 de s3. 00:04:36
Puesto que el punto Q pertenece a R, tenemos que es igual a V1 más V lambda por V1. 00:05:12
Y puesto que Q pertenece a S, tenemos que Q es un punto P2 más un número mu por V2. 00:05:34
Pregunta, ¿por qué hemos puesto lambda y mu en el caso? 00:05:43
La razón es que para llegar a Q es posible que, por ejemplo, lambda sea igual a 2, 00:05:48
porque sumaríamos otra vez 3 por 2 y, sin embargo, para llegar a Q tendríamos que modulizar 3 por 6. 00:05:57
En este caso, las mínimas son distintas. Podemos tener muchos números, un negativo, otro positivo, incluso un cero, etc. 00:06:12
La cuestión es que generalmente van a ser distintos. 00:06:20
Entonces, como lambda y mu son números fijos, entonces hemos de poner distintos porque son distintos. 00:06:23
¿Vale? No estamos hablando de lambda en abstracto, hablando de una recta. 00:06:33
Porque si pusiéramos en esta recta aquí como un lambda y aquí otra recta definida como otro lambda, 00:06:39
en la definición estamos haciendo cosas independientes, separadas. 00:06:45
Pero aquí estamos haciendo un sistema de ecuaciones que vamos a ver después, y estamos tomando un resultado global. 00:06:51
Entonces, ahí ya no podemos decir que son el mismo valor, las mismas. Entonces, por eso, tomamos veces diferentes. 00:06:58
Entonces, lo que tenemos es que Q es igual a P1 más el ángulo de 1, y a la vez es P2 más el ángulo de 2. 00:07:08
Y ahora ya, pues ponemos ya la información 00:07:21
Deja de ser teoría, la pongo ya dentro de azul 00:07:24
Podemos poner que sea Q el punto de intersección de R y S 00:07:29
También se le puede poner, por cierto, Q igual R intersección de S 00:07:38
Pero bueno, sea Q el punto de intersección de S 00:07:43
Lo pongo en paréntesis 00:07:46
Y ahora, pues ponemos que u es igual a v1, que es menos 2, 0, 4, más lambda, por v1, que es 3, menos 1, 0, 00:07:48
y es igual a 2, que es menos 3, 1, 2, más mu, por 5, menos 2, 1. 00:08:04
Por lo tanto, Q es igual a menos 2, menos 2 más 3 lambda, menos lambda, 4, y también es igual a menos 3 más 5 mu, 1 menos 2 mu, y 2 más 2. 00:08:13
Obviamente esto es igual a esto. 00:08:40
Bien, para hallar la memo igualemos coordenada a coordenada. 00:08:45
Tenemos que menos 2 más 3 lambda es igual a menos 3 más 5 mu, que menos lambda es igual a 1 menos 2 mu, y que 4 es igual a 2 más mu. 00:08:48
Tenemos entonces un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas. 00:09:08
Aún así va a ser un sistema compatible y determinado. 00:09:14
La razón de ello es toda la argumentación geométrica que hemos utilizado y el hecho de que este determinante sea cero y que el rango de esta matriz sea 2. 00:09:16
Bueno, todo esto. 00:09:26
La segunda observación es para conseguir Q, que es lo que estamos buscando. 00:09:30
No nos va a llevar a calcular tanto lambda como mu, nos va a llevar a calcular una de las dos variables. 00:09:36
Si conocemos lambda, pues tener esto ya conocemos Q. 00:09:42
Y si conocemos solo mu, ya que q es igual a esto, también tenemos q 00:09:45
Con lo cual, la primera variable que encontremos es la que más vale 00:09:50
En este caso lo más fácil es despejar aquí 00:09:55
Tenemos que mu es igual a 4 menos 2, que es 2 00:09:58
Por lo tanto, tenemos que q, sustituyendo aquí 00:10:03
Es igual a menos 3 más 5 por 2 00:10:09
1 menos 2 por 2 00:10:14
Y 2 más 2 00:10:20
Y esto nos da 00:10:22
7 menos 3 y 4 00:10:25
De modo que el punto buscado 00:10:28
El punto de intersección 00:10:30
De R y S 00:10:36
Es el 7 menos 3 y 4 00:10:41
Y esa sería la solución al apartado A 00:10:46
Con esto ya habríamos terminado 00:10:49
No habría que hacer nada más 00:10:55
Fin. No obstante, voy a hacer algunas observaciones para aclarar lo que dije antes. 00:10:56
Hemos afirmado por una parte que este sistema es compatriot determinado, 00:11:05
y además hemos dicho que si calculamos la DIMO, pues esto es igual a esto. 00:11:10
Bueno, eso es evidente porque si no es así, pues lo es. 00:11:17
Pero vamos a comprobar, no obstante, todo eso. 00:11:20
Voy a disminuir la pantalla para poder hacer más cálculos. 00:11:26
Empecemos resolviendo el sistema. 00:11:30
En esta ecuación hemos deducido que mu es igual a 2. 00:11:34
Veamos cuál es el valor de lambda. 00:11:37
Menos lambda es igual a 1 menos 2 mu, que es 1 menos 2 por 2, que es menos 3. 00:11:41
Por lo tanto, lambda es igual a 3. 00:11:47
Y ahora veamos que lambda igual a 3 y mu igual a 2 contienen la primera ecuación. 00:11:50
Habría que ver que menos 2 más 3 lambda es igual a menos 3 más 5 por 2 00:11:57
Es decir, que menos 2 más 3 por 3 es igual a menos 3 más 5 por 2 00:12:03
Y efectivamente menos 7, perdón, más 7 es igual a más 7 00:12:12
Así que, como se cumple, es un sistema compatible determinado 00:12:16
Bueno, hemos obtenido lambda igual a 3 no igual a 2, que es lo contrario que teníamos aquí, pero no importa 00:12:27
Ya por último, habría que comprobar, aunque es evidente, si esto es igual a esto. 00:12:32
Tenemos también Q con nuestra lambda. Vamos a verlo. 00:12:40
Q tendría que ser menos 2 más 3 lambda, menos lambda y 4, 00:12:44
menos 3, menos 2 más 3 por 3, menos 3 y 4, y menos lambda y menos 4. 00:12:50
Justo lo que vamos a tener. Se cumple lo que decíamos. 00:13:00
Bueno, pues ahora ya sí que podemos decir que hemos terminado el turno. 00:13:05
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
47
Fecha:
30 de mayo de 2024 - 23:25
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Cálculo del punto de intersección de dos rectas secantes en el espacio
Duración:
13′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
140.50 MBytes

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