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TEOREMA DEL RESTO - Contenido educativo
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En este vídeo vamos a explicar el teorema del resto.
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El teorema del resto dice lo siguiente, el valor numérico de un polinomio p de x para x igual a a, es decir, cuando hacemos p de a,
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coincide con el resto de la división de p de x entre x menos a.
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Ahora, de forma más simplificada, podemos decir que el teorema del resto dice que si hacemos P de A, es decir, el valor numérico de un polinomio P de X en X igual a A, me va a salir R.
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donde r va a ser igual al resto de la división del polinomio p de x entre el binomio x menos a.
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Veamos un ejemplo. Supongamos que nos dan este polinomio, ¿vale? p de x igual a x al cuadrado menos 3x más 2
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y que me pidieran calcular el resto de la división de p de x, de este polinomio que me han dado, entre x menos 1 pero sin efectuar la división, ¿vale?
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O sea, nos piden el resto de esa división pero sin hacerla.
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Ahora, para poder hacer entonces este ejercicio, tenemos que aplicar el teorema del resto, que nos dice que si hacemos el valor numérico del polinomio que me dan en, en este caso, x igual a 1, ¿vale?
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Porque tenemos x menos 1, pues lo que me va a dar es el resto de esa división.
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Lo calculamos, diríamos, bueno, pues p de 1 va a ser igual a 1 al cuadrado menos 3 por 1 más 2, que eso es igual a 1 menos 3 más 2.
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Es decir, eso es igual a uno menos tres es menos dos, menos dos más dos, cero.
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Es decir, el resto de la división va a ser cero.
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Vamos a comprobarlo.
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Vamos a hacer ahora esta división, ¿vale?
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La de mi polinomio x al cuadrado menos tres x más dos, dividido entre x menos uno.
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vamos a hacer esa división y veamos que me va a salir resto 0
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para hacer esa división como es entre x menos 1 podemos aplicar la regla de Ruffini
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la regla de Ruffini escribíamos los coeficientes de mi polinomio
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que en este caso son 1, menos 3 y 2
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hacíamos la cajita y si dividíamos entre x menos 1 poníamos aquí un 1
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bajamos del 1, 1 por 1, 1, menos 3 más 1, menos 2, 1 por menos 2, menos 2, sumamos 0
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y este numerito de aquí coincidía con el resto de la división
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como veis nos ha salido que el resto de la división es 0
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Y aquí lo mismo, al hacer el valor numérico del polinomio en x igual a 1, me sale que el resto es 0.
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Pero de esta manera no efectuamos la división.
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Vamos a ver ahora varias observaciones sobre el teorema del resto.
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Si me pidieran, por ejemplo, calcular el resto de la división de un polinomio entre x menos 2,
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tendría que aplicar el teorema del resto y sustituir la x por 2
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con el signo contrario al que aparece ahí
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y si me pidieran calcular el resto de la división de un polinomio entre x más 2
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tendría que aplicar el teorema del resto sustituyendo la x por menos 2
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el signo contrario en el que aparece ahí
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igual que cuando hacíamos Ruffini, ¿de acuerdo?
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Veamos otro ejemplo, imaginar que nos dan este polinomio p de x igual a x al cubo menos x cuadrado más 2x menos 2
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y me piden calcular el resto de la división de ese polinomio, este que me han dado, entre x más 1
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sin efectuar la división, es decir, sin hacer la regla de Ruffini ni la división normal con caja.
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entonces tendremos que aplicar el teorema del resto
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para aplicarlo tendremos que hacer el valor numérico de mi polinomio en p de menos 1
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¿vale? como estoy dividiendo entre x más 1 pues tengo que hacer el valor numérico en p de menos 1
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¿vale? signo contrario al que aparece ahí
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Lo hacemos, p menos 1 será igual, como tengo x al cubo, pues tendré que hacer menos 1 al cubo, menos x al cuadrado, es decir, menos 1 al cuadrado, más 2 por menos 1, menos 2.
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Cuidado con los signos, ¿vale? Menos 1 al cubo, base negativa elevada a exponente impar, resultado negativo, menos 1, menos, menos 1 al cuadrado, base negativa con exponente par, resultado positivo, más 1.
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Ahora, más 2 por menos 1, más por menos, menos 2 y menos 2.
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Igual a menos 1, menos con más, menos 1, menos 2, menos 2, menos 1, menos 1, menos 2, menos 2, menos 4, menos 2, menos 6.
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Pues el resto de esa división es menos 6.
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aunque no hace falta, vamos a ver la comprobación para que veáis que sale
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para hacer la división de x al cubo menos x al cuadrado más 2x menos 2 entre x más 1
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como estamos dividiendo entre x más 1 podemos aplicar la regla de Ruffini
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entonces ponemos los coeficientes de mi polinomio
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1, menos 1, 2 y menos 2, hacemos la cajita, como estamos dividiendo entre x más 1, aquí poníamos menos 1, bajamos el 1, menos 1 por 1, menos 1, menos 1, menos 1, menos 2, menos 1 por menos 2, 2, 2 más 2, 4, menos 1 por 4, menos 4 y menos 2, menos 4, menos 6.
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Y como veis, el resto de la división, que era ese último número, coincide con el valor que nos ha salido aquí,
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con el valor numérico del polinomio en x igual a menos 1.
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Vamos a ver ahora otro tipo de ejercicios en los que podemos aplicar el teorema del resto.
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En este ejercicio me piden que calcule el valor de m para que el resto de la división de este polinomio donde me aparece aquí este coeficiente m que no sé cuál es, ¿vale?
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El que va acompañando a x al cubo, va a ser un número que no sé cuál es.
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Entonces me piden que calcule ese valor para que la división de este polinomio entre x más 1, ¿vale?
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El resto me salga menos 11.
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Recordamos que el teorema del resto me decía que si yo hago el valor numérico de un polinomio, ¿vale?
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en x igual a a, el valor numérico del polinomio en un número, me va a salir el resto de la división del polinomio entre x menos a.
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En nuestro caso la división es la siguiente, queremos hacer la división del polinomio que me dan p de x entre el binomio x más 1
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Y queremos que esa división me salga el resto menos 11, ¿de acuerdo? Que me lo dice.
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Entonces, si aplico el teorema del resto, sé que si hago el valor numérico del polinomio en x igual a menos 1, ¿vale?
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El valor numérico del polinomio en x igual a menos 1, porque estoy dividiendo entre x más 1, me va a salir de resto menos 11, ¿vale?
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Entonces, lo único que tengo que hacer es ese valor numérico del polinomio en menos 1.
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Recordamos, voy a escribir aquí, mi polinomio era menos 3x a la cuarta más mx al cubo más 5x menos 1.
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Vamos a hacer entonces p de menos 1.
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p de menos 1 sería menos 3 por menos 1 a la cuarta más m, que no lo conozco, es lo que me piden calcular,
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por menos 1 al cubo, más 5 por menos 1, menos 1, vamos a calcular esto que es, sería menos 3 por menos 1 a la cuarta base negativa elevada a exponente par,
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resultado positivo sería más 1 más m por ahora menos 1 al cubo base negativa elevada a exponente
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impar resultado negativo menos 1 ahora más 5 por menos 1 más por menos menos 5 y luego el menos 1
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Vale, entonces me va a quedar menos 3 por más 1 es menos 3, más m por menos 1 es menos m, menos 5, menos 1, junto aquí todo lo que pueda, el m no lo puedo sumar ni restar,
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entonces menos 3 menos 5 es menos 8 y menos 8 menos 1 es menos 9, entonces me va a quedar menos m menos 9.
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Ahora ya tenemos calculado que p de menos 1 es menos m menos 9, pero por el teodema del resto sabemos que p de menos 1 tiene que ser igual a menos 11,
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Con lo cual, solo tenemos que igualar menos 11 con menos m menos 9, ¿de acuerdo?
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Porque p de menos 1, que es lo que acabo de calcular ahora, tiene que ser igual a menos 11.
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Entonces, decimos, pues menos m menos 9 tiene que ser igual a menos 11.
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es una ecuación muy sencillita de primer grado
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donde tengo que calcular cuánto tiene que valer ese m
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para que eso se verifique
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pasamos la m al lado derecho de la igualdad
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me va a quedar entonces menos 9
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donde está el menos 11
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lo voy a pasar al lado izquierdo
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como está restando pasa sumando
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igual y la m como está en el lado izquierdo
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la voy a pasar al otro lado sumando, es decir, más m, menos 9 más 11 es igual a 2, 2 tiene que ser igual a m,
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es decir, la m tiene que valer 2 para que se cumpla lo que nos dice en el enunciado,
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para que la división del polinomio que me dan, ¿vale?, en función de m, que no lo sé,
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Al dividirlo entre x más 1, sea el resto igual a menos 11.
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Veamos ahora otro ejemplo.
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Ahora me preguntan, ¿cuánto tiene que valer m?
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Otra vez me preguntan por un coeficiente que no voy a saber, ¿vale? del polinomio.
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¿Cuánto tiene que valer m para que el binomio x menos 3
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sea divisor del polinomio p de x igual a x al cubo más mx cuadrado menos x más 3.
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Lo primero que me tengo que preguntar es qué significa que el binomio x menos 3 sea divisor de p de x.
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Ser divisor significa que al hacer la división del polinomio entre el binomio x menos 3,
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el resto de esa división va a ser 0.
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¿De acuerdo? Recordamos que ser divisor, ¿vale? Significa eso, que al hacer la división del polinomio entre x menos 3, el resto me tiene que salir 0.
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Entonces, vamos a volver a aplicar el teorema del resto, ¿vale? En este ejercicio.
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¿qué me decía el teorema del resto?
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me decía, pues que si yo hago el valor numérico del polinomio
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ahora en este caso en x igual a 3
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recuerdo, lo hago en x igual a 3
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porque el binomio entre el que divido es x menos 3
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entonces tengo que hacer valor numérico en 3
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entonces si hago el valor numérico en x igual a 3
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me va a salir el resto de la división, pero hemos dicho que el resto de la división tiene que ser cero
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para que se cumpla que x menos 3 sea divisor de este polinomio, ¿de acuerdo?
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Entonces esto es lo que me dice el teorema del resto si lo aplico.
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Pues nada, voy a ello. Primero tengo que calcular quién es p de 3.
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Tengo aquí mi polinomio, ¿vale? Tengo que sustituir la x por 3, entonces me va a quedar que esto es 3 al cubo más m por 3 al cuadrado menos 3 más 3.
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esto va a ser igual a 3 al cubo es 27 más m por 3 al cuadrado
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3 al cuadrado es 9 esto va a ser 9m y luego menos 3 más 3
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pero menos 3 más 3 es 0 entonces esto me queda que es igual a 27 más 9m
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Ya tenemos calculado quién es p de 3, 27 más 9m y sabíamos por el teorema del resto que p de 3, esto que hemos calculado aquí, nos tiene que salir igual a 0 para que este binomio sea divisor de este otro polinomio.
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Entonces lo único que tenemos que hacer es hacer igualar el p de 3 que nos ha salido, 27 más 9m igualarlo a 0 y despejar de aquí m.
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Entonces me va a quedar 9m igual a menos 27, m entonces tiene que ser igual a menos 27 partido de 9, es decir, m tiene que ser igual menos entre más menos 27 entre 9, 3.
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Pues la m tiene que valer menos 3 para que se cumpla que este binomio sea divisor de este polinomio.
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Por último voy a hacer una serie de observaciones que pueden salir en algunos ejercicios donde tenemos que aplicar el teorema del resto.
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Me pueden preguntar cómo en este ejercicio que un binomio sea divisor de un polinomio.
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Entonces, que por ejemplo x menos 3 sea divisor de un polinomio p de x es lo mismo que si me preguntasen o me dijesen que x menos 3 sea factor de p de x.
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O sea, que sea divisor y que sea factor va a significar lo mismo, ¿vale?
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Es decir, que el resto de la división va a tener que ser cero, ¿de acuerdo?
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Ambas cosas va a significar que el resto de la división va a tener que ser cero.
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Por consiguiente, también se desprende que si x menos 3 es divisor de un polinomio p de x
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o que x menos 3 es factor de un polinomio p de x, ¿vale?
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Se va a cumplir también que 3 va a ser raíz de mi polinomio p de x, porque si el resto tiene que ser 0, se va a cumplir que el valor numérico del polinomio en 3 es igual a 0 y esto era también la definición de raíz de un polinomio, ¿vale?
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Os aconsejo que os volváis a ver, si no os acordáis de esto, que os volváis a ver los vídeos anteriores de la factorización de un polinomio y de las raíces de un polinomio.
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- Autor/es:
- Mª de la Peña Orera Aylón
- Subido por:
- M De La Peña O.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 69
- Fecha:
- 7 de abril de 2024 - 20:31
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CP INF-PRI VILLA DE COBEÑA
- Duración:
- 19′ 02″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 1440x1080 píxeles
- Tamaño:
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