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ejercicio 1 parcial 3 ev bach1 CCSS - Contenido educativo - Contenido educativo

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Subido el 21 de mayo de 2024 por Rafael O.

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En este ejercicio nos dan una función y nos piden calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, 00:00:00

o lo que es lo mismo, la monotonía, y también calcular los máximos y mínimos relativos si los tiene. 00:00:08

Entonces, vamos a empezar. Para empezar, lo primero que tenemos que ver es posibles asíntotas verticales, 00:00:14

o el dominio de la función, ¿vale? Entonces, miramos para ver el dominio de la función, 00:00:20

donde no existe esta función, pues lo que hacemos es, como es una fracción algebraica, 00:00:25

Mirad donde el denominador x cuadrado menos 1 es igual a 0. 00:00:29

Entonces eso sale x cuadrado igual a 1, x es igual a más menos la raíz de 1, es decir, más 1 y menos 1. 00:00:41

Esos valores no pertenecen al dominio. 00:00:53

Por tanto, los tenemos que tener en cuenta para el estudio del crecimiento y el decrecimiento. 00:01:01

Como si sustituimos, es 1 al cuadrado partido por 0 y menos 1 al cuadrado partido por 0, son los dos, 00:01:07

vemos que son asíndotas verticales. 00:01:14

Podríamos decir que son asíndotas verticales, aunque en este caso no nos lo piden. 00:01:16

Una vez que ya tenemos que estos dos valores, x cuadrado más 1, x igual a más 1 y x igual a menos 1, 00:01:21

no pertenecen al dominio, pasamos a hacer la derivada de la función 00:01:29

para poder estudiar el crecimiento. 00:01:34

De crecimiento, los máximos y los mínimos. 00:01:40

Entonces, ¿qué hacemos? La derivada de la función. 00:01:42

Como es una función, que es una fracción algebraica, 00:01:44

hacemos la regla del cociente, el denominador lo elevamos al cuadrado 00:01:48

y arriba hacemos derivada de lo de arriba por lo de abajo sin derivar, menos lo de arriba sin derivar por la derivada de lo de abajo. 00:01:52

Operando, tenemos 2x cubo menos 2x menos 2x cubo partido por x cuadrado menos 1 al cuadrado. 00:02:07

Y eso es igual a menos 2x partido por x cuadrado menos 1 al cuadrado. 00:02:18

A ver, ahora, una vez que hayamos hecho la derivada, tenemos la derivada, igualamos la derivada a 0 para encontrar los posibles máximos o mínimos. 00:02:26

f' de x es igual a 0 cuando menos 2x partido por x cuadrado menos 1 al cuadrado es igual a 0 00:02:35

o lo que es lo mismo cuando menos 2x es igual a 0 o lo que es lo mismo cuando la x vale 0. 00:02:44

Entonces este es el posible máximo o mínimo relativo. 00:02:52

Una vez que ya tenemos esto, que es el posible máximo o mínimo relativo, 00:03:01

nos vamos a hacer la tabla con los tres valores que hemos obtenido. 00:03:08

Vamos a hacer una tabla donde vamos a poner el menos uno, el cero y el uno. 00:03:11

Y vamos a rellenar con desde menos infinito hasta el menos uno, 00:03:21

desde el menos uno hasta el cero, 00:03:27

desde el cero hasta el uno, 00:03:30

desde el uno hasta el infinito. 00:03:32

y vamos a ir viendo que si no tiene la derivada de la función. 00:03:34

Bueno, la forma de ver la derivada de la función es sustituyendo. 00:03:41

Voy a hacer solamente para uno de ellos y el resto lo voy a explicar de otra forma. 00:03:48

Por ejemplo, si queremos para ver para este intervalo de menos infinito hasta el menos uno, 00:03:53

Elegimos un valor para la f' que esté en ese intervalo, por ejemplo el menos 2 00:03:58

Y sustituimos en f' de x 00:04:04

Es decir, ponemos menos 2 por menos 2 partido por menos 2 al cuadrado 00:04:09

Menos 1, todo ello al cuadrado 00:04:16

Lo de arriba, menos 2 por menos 2 son más 4 00:04:19

Lo de abajo es 4 menos 1, 3, partido por 2, elevado a 2, perdón, 9 00:04:22

Lo que nos interesa es que esto es mayor que 0, es decir, que esto es positivo 00:04:29

Podríamos hacer eso con todos 00:04:34

O podríamos darnos cuenta que, por ejemplo, el denominador x cuadrado menos 1 al cuadrado 00:04:37

Como está elevado al cuadrado, es siempre mayor que 0 00:04:43

Y ahora solamente nos tenemos que fijar en el numerador, menos 2x 00:04:48

Como x es más pequeño que 0, no va a salir también positivo entre menos 1 y el 0. 00:04:52

Entre 0 y 1, la x es positiva, negativo por positivo, negativo, negativo por positivo, negativo. 00:04:59

Entonces ya tenemos de esta forma. 00:05:07

Tenemos que en este intervalo la función crece, también crece, aquí decrece, decrece. 00:05:10

Con esto, pues ya tenemos la respuesta a las dos preguntas. 00:05:18

aquí, eso era una asíntota vertical en el menos 1, otra asíntota vertical en el 1, 00:05:26

y en el 0 era como hace, como la función crece y luego decrece, eso es un máximo negativo. 00:05:35

Entonces vamos a decir ahora, la solución crece desde el menos infinito hasta el menos 1, 00:05:43

y desde el menos 1 al 0. 00:05:51

Decrece desde el 0 hasta el 1 00:05:55

y desde el 1 hasta el infinito. 00:06:01

Y esa es la solución del apartado A. 00:06:05

En el apartado B nos dice que calculemos los máximos y los mínimos. 00:06:07

Sabemos que hay un máximo en x igual a 0. 00:06:11

Eso sería el apartado A. 00:06:14

Para el apartado B sabemos que hay un máximo en x igual a 0. 00:06:15

Pero para decir el máximo tenemos que decir el punto. 00:06:22

Entonces tenemos que ver cuánto vale f de 0. Como la función es x cuadrado, 0 al cuadrado, partido por 0 al cuadrado, menos 1, pues eso vale 0. 00:06:25

Por tanto, el máximo es el punto 0, 0. Y aquí tenemos la solución al ejercicio 1. 00:06:39