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Matrices 8 - Cálculo de la Matriz inversa por Gauss-Jordan - Contenido educativo

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Subido el 12 de julio de 2018 por Manuel D.

511 visualizaciones

Se explica cómo calcular la inversa de una matriz usando el método de Gauss Jordan

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de Matemáticas II en el bloque de matrices, 00:00:02
segundo vídeo que dedicamos a la matriz inversa. 00:00:12
El método de Gauss-Jordan sirve para calcular la matriz inversa de la siguiente forma. 00:00:15
Colocamos al lado de la matriz la matriz identidad y después, mediante transformaciones de filas, 00:00:22
hay que conseguir que a la izquierda pase la matriz de identidad, de modo que a la derecha nos quedará la matriz inversa. 00:00:27
¿Cómo hacemos esto con una matriz 3x3? 00:00:37
Sencillo, en tres pasos, columna a columna. 00:00:39
Primer término que cambiamos es el a11 y lo tenemos que transformar en un 1. 00:00:43
Después transformaremos los dos de abajo en ceros. 00:00:48
De esa forma habremos acabado con la primera columna. 00:00:52
Siguiente término, el a sub 2, 2 y después los ceros arriba y abajo, de manera que la segunda columna estaría concluida. 00:00:54
Al término de este paso, empezaríamos con la tercera columna, transformaríamos el elemento a 3, 3 en un 1 y después ceros arriba. 00:01:05
La matriz que nos haya quedado a la derecha será la matriz inversa. 00:01:15
Comencemos con un ejercicio en el que hay que utilizar la matriz inversa. 00:01:20
Este ejercicio apareció en la EBAU de Madrid de 2018. 00:01:24
En el segundo apartado necesita calcular la matriz A a la menos 1. 00:01:28
Ahora, en este problema lo que nos piden es calcular dos productos A por B y A a la menos 1 por B, 00:01:32
siendo A una matriz 3 por 3 y B una matriz columna 3 por 1. 00:01:40
La primera cuestión es muy sencilla. 00:01:45
la segunda requiere del cálculo de la inversa. 00:01:48
Comencemos calculando el más sencillo, que es A por B. 00:01:52
Para calcular A por B no hay más que multiplicar, 00:01:55
teniendo en cuenta que nos dan que la M vale 0. 00:01:59
Multiplicamos. 00:02:03
Lo más importante es no equivocarnos con el resultado, 00:02:09
qué dimensión ha de tener. 00:02:12
La dimensión del producto será una matriz 3 por 1. 00:02:15
Y listo. Muy sencillo. 00:02:22
Vamos ahora con la segunda cuestión para la que tenemos que calcular a la menos 1. 00:02:24
Eso llevará más trabajo. 00:02:28
Vamos con el segundo apartado, a calcular a la menos 1 por b. 00:02:30
Para ello primero calculemos a la menos 1. 00:02:36
La inversa de una matriz se puede calcular por determinantes con una fórmula que veremos en el siguiente bloque, 00:02:38
pero también se puede utilizar la forma de Jordan. 00:02:44
De esta forma consiste en coger la matriz A, adjuntarle la matriz identidad y mediante operaciones entre filas conseguir pasar la matriz identidad de la derecha a la izquierda. 00:02:47
De forma que lo que vamos a obtener aquí, a la derecha, será la matriz A a la menos 1. 00:03:02
Comenzamos. Para ello tenemos que conseguir en primer lugar ahí un 1. 00:03:11
Para conseguir un 1 tendremos que, por ejemplo, mediante operaciones de filas, a la fila 1 le sumamos la mitad de la fila 2. 00:03:15
Y quedará, las otras filas se dejan iguales. 00:03:32
Perdón, aquí tenemos que poner un menos para que fila 1 menos menos 2 por un medio, 1. 00:03:43
Correcto. 00:03:55
Ahora, siguiente paso. Tenemos que convertir esos en ceros. Este ya lo tenemos. Para convertir este en un cero, le podemos sumar el doble de la fila 1. 00:03:56
Siempre vamos a partir del 1 que hemos construido como pivote, como elemento en pivote. Es decir, la fila 2 le vamos a sumar el doble de la fila 1. 00:04:08
esta tercera fila la dejamos igual porque hay un 0 ya 00:04:21
y la primera fila se queda igual porque es la fila con la que jugamos 00:04:27
la fila pivote 00:04:32
y ahora vamos a hacer esta operación de aquí 00:04:34
muy bien, ya hemos acabado la tercera parte del ejercicio 00:04:43
porque tenemos aquí 1 0 0 que es la primera columna de la identidad 00:04:56
necesitamos aquí convertir las dos siguientes columnas 00:05:01
Siguiente paso, pues lo que tenemos que hacer es, ahí tenemos que obtener un 1 y en las casillas de los extremos, ceros. 00:05:05
Y ese será el segundo tercio del ejercicio de calcular la inversa. Vamos con ello. 00:05:16
Las filas con las que no operamos se dejan iguales, que son la primera y la tercera. 00:05:22
Para obtener aquí un 1, podemos sumar fila 2 más fila 3 y obtendremos ahí un 1. 00:05:27
Bien, y ahora lo que tenemos que hacer es conseguir en estas dos casillas ceros. 00:05:51
Para ello, operaciones de filas. 00:05:58
La fila de medio se deja quieta y sustituimos las extremas. 00:06:00
Ahora, para obtener ahí un 0, sumamos fila 1 más doble de fila 2. Y ahora aquí podemos restar fila 2 menos fila 3. Y ahí obtendremos un 0. 00:06:05
Hemos acabado ya con el paso 2, vamos al paso 3 00:06:34
Necesitamos otra vez aquí convertir un 1 y después hacer ceros aquí 00:06:43
Fácil, dividimos la fila 3 entre 4 00:06:48
Ya tengo el 1 que es el elemento digamos pivote 00:06:54
Y ahora con ese elemento tengo que hacer ceros aquí y aquí 00:07:04
Con lo cual a esta fila le restaré el triple de esta y a esta fila el 8 veces la tercera 00:07:10
Ya he obtenido aquí la identidad. En definitiva, he concluido que esta es la matriz identidad. Esto acaba el cálculo, veis que es un tanto largo y sobre todo es muy fácil equivocarse en uno de los pasos y que ya esta inversa esté mal. 00:07:18
Por eso va a ser conveniente calcular la inversa por determinantes. En cualquier caso, lo tenemos calculado ya, con lo que ahora terminaremos el ejercicio calculando a a menos 1 por b. 00:07:53
Y esto concluiría el ejercicio. 00:08:17
Espero que os haya gustado. Nos vemos en el siguiente vídeo. 00:08:20
¡Hasta luego! 00:08:23
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
511
Fecha:
12 de julio de 2018 - 11:59
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
08′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
200.94 MBytes

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