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Sistemas de Ecuaciones: Sustitución - Contenido educativo
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Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones.
Método de Sustitución
Método de Sustitución
Sistemas de ecuaciones analíticamente. Vamos a recordar que todo sistema matemático lo
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podemos resolver gráficamente y lo podemos resolver analíticamente.
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Analíticamente cuatro métodos. Método de sustitución, método de igualación, método
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de reducción y método de Gauss. En este vídeo vamos a ver el método de sustitución.
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Muy sencillo. Pasamos a la siguiente lámina y el procedimiento consiste en lo siguiente.
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Primer paso, despeja una incógnita de una ecuación y una nota, la más fácil y la
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recuadras. Repetimos, despejamos una incógnita de una ecuación. Segundo paso, sustituye
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esa incógnita en las otras ecuaciones. De ahí el nombre de sustitución. Sustituye
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esa incógnita en las otras ecuaciones. Y tercero y último paso, resuelve el sistema
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y acostúmbrate a comprobar las soluciones. Repetimos, a partir de ahora es conveniente
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que te acostumbres a comprobar las soluciones cuando resuelves una ecuación o un sistema.
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Empezamos con un ejemplo de un sistema muy sencillito. Sistema formado por dos ecuaciones,
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ecuación de primer grado, ecuaciones lineales, seguimos los pasos que hemos comentado anteriormente.
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Despejamos una incógnita, la más sencilla. La más sencilla de despejar es la i en esa
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expresión. Despejamos la i y nos quedaría 5 menos 2x. Vamos a recuadrar porque este
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dato va a ser necesario al final del ejercicio. Segundo paso, sustituyo en las otras ecuaciones.
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En este caso solo hay otra. Es decir, donde pone i en esta ecuación ponemos 5 menos 2x.
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En esa ecuación, repetimos, nos quedaría 3x menos 2 multiplicado por i que sustituyo
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por su valor, 5 menos 2x igual a 4. Ecuación de primer grado muy sencilla que vamos a resolver.
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Multiplicamos, quedaría 3x menos 2 por 5 menos 10 menos 2 por menos 2x más 4x igual
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a 4. Opero la expresión, 3x más 4x es 7x y menos 10 igual a 4. Despejamos la x. Paso
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a paso, 7x igual a 4 y más 10. Seguimos operando, 7x igual a 14, de donde x pasamos el 7 dividiendo
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igual a 2. Valor de x en el sistema, la x toma el valor 2. Y vamos a recordar que debemos
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hallar el valor de i. Tenemos nuestro recuadro preparado para hallar el valor de i. i es
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igual a 5 menos 2 veces el valor de x. Valor de x igual a 2, de donde i, en este caso operamos
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preferencia el producto, 2 por 2, 4, 5 menos 4, i igual a 1. Soluciones del sistema, x
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igual a 2, i igual a 1, vamos a comprobar. Valor de x2, i, 1, 2 por 2, 4 más 1, 5. 3
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por 2, 6, menos 2 por 1, 2, 6 menos 2 igual a 4. Sistema que si tiene solución. Compatible
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determinado. Pasamos a la siguiente lámina. Nos mandan resolver el sistema formado por
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esas dos ecuaciones. Mismo razonamiento. Despejo una incógnita, la que nos apetezca donde
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nos apetezca. Nuevamente voy a despejar esa i, que es la más sencillita. Despejamos la
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i, quedaría 7 menos 3x. Recuadramos la expresión porque nos va a ser útil al final. Pasamos
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a esta ecuación y sustituyo el valor de i. De ahí el nombre del método sustitución.
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6x más 2 que multiplica i, cuyo valor es 7 menos 3x, igual a 14. Ecuación muy sencilla.
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Pasamos a resolver. 6x, preferencia al producto, más 14, 2 por menos 3x, menos 6x, igual a
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14. Opero la expresión. 6x menos 6x se va, quedaría 0x más 14 igual 14. Fijaros en
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un detalle. Yo no he tachado las x. Se podrían haber ido de la expresión. Es preferible
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expresarlo 0x. Sigo el desarrollo. 0x igual 14. Voy a despejar la x. Pasamos el 14, menos
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14. 0x, 14 menos 14, igual a 0. Si despejásemos la x, quedaría 0 entre 0. Y os adelanto,
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aunque no es de este nivel, 0 entre 0 es una indeterminación matemática. Repito, 0 entre
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0 no da 1. Es una indeterminación matemática que vamos a ver en cursos posteriores. Pero
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me voy a quedar en este paso. Mirad. 0x igual a 0. ¿Y ahora qué hacemos? Si despejo la
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x, da 0 entre 0. Repito, es indeterminación matemática. Quiere decir que no sabemos lo
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que da. Pero mirad un razonamiento sencillo. En realidad, si a la x le doy el valor 1,
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0 por 1 es 0. Es decir, satisface la ecuación. Si a la x le doy el valor 2, 0 por 2 igual a 0,
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también sirve. Si a la x le diera el valor 3, 0 por 3 igual a 0, también sirve. Es decir,
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tiene infinitas soluciones. Repito, estamos ante un sistema que tiene infinitas soluciones. Los que
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habéis visto el vídeo de resolución de sistemas gráficamente, debéis entender que esas ecuaciones,
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al representarlas, nos daría un caso de rectas coincidentes. Con lo cual, las soluciones de
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esta ecuación y las soluciones de esa ecuación son las mismas. Tiene infinitas soluciones. Y
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debéis saber interpretar que llegamos a expresiones de este tipo. Si a resolver un sistema llegáis
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a expresiones de este tipo, infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado. Quien
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tenga dificultad para resolver el sistema, os aconsejo vídeo de resolución de sistemas
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gráficamente. Las soluciones de ese sistema, repetimos, son infinitas. Deberíamos representarlo
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gráficamente y las dos rectas que van a coincidir, cada punto de esas rectas es solución del sistema.
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Pasamos a la siguiente lámina y nos encontramos con otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
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Mismo razonamiento. Voy a despejar una incógnita. Sigue siendo la más facilita despejar esa i.
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Pero para cambiar el rollo voy a despejar la x. Repito, debería despejar la i porque es más fácil.
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Pero despejo la x. Pasito a paso, menos x igual 4 menos i. Efectúo un cambio de signo para dejar la
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x sola. Multiplico por menos uno todos los términos de la expresión. X igual menos 4 más i.
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Y en este momento he conseguido dejar la x debidamente ordenada. Pasamos a la otra ecuación
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donde pone x ahora, ponemos esa expresión. Menos 2 por el valor de x que es menos 4 más i
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y más 2i igual a 3. Llegamos a una ecuación sencilla. Resolvemos la ecuación. Menos 2 por
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menos 4 es 8. Menos 2 por i es menos 2i. Más 2i igual a 3. Atención, no debemos eliminar las i.
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10 menos 2i más 2i daría 0. 8 menos 0i igual a 3. Y en este momento, mirad una cosa curiosa, porque
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si eliminamos este término, es evidente que al multiplicar 0 por i, siempre ese valor me va a dar 0.
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Y me queda que 8 es igual a 3. Repito, me va a quedar que 8 es igual a 3 si eliminamos el valor
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del término. Podría hacerlo de otra manera. Voy a despejar la i como hicimos antes. Menos 0i igual 8
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que pasa restando 3 menos 8 menos 5. Cambio todos los signos. No es conveniente que la incógnita esté
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negativa. Y dejamos en esa expresión. Curiosidad matemática, vamos a interpretar el resultado. Resuelvo el sistema, método de
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sustitución, sigo pasos matemáticos ordenados y llego a una estupidez matemática. Esto es una estupidez. Y es evidente
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que si en un proceso matemático parto de algo y mediante razonamientos matemáticos llego a una estupidez, es porque he partido de otra estupidez.
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Y es que intentar resolver este sistema es una tontería, porque las rectas que obtendría al representar esas ecuaciones van a ser rectas
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estrictamente paralelas. Y vamos a recordar que resolver un sistema es hallar la intersección, las soluciones que tienen en común. Si las rectas no se
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cortan, no tiene nada en común, no tiene solución el sistema. Sistema incompatible. Estoy cometiendo la tontería de intentar ver que tienen en
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común las soluciones de esas dos ecuaciones. Llego a estupideces matemáticas, que 8 es igual a 3, o que 0 multiplicado por un número me da 5. Estupidez matemática.
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Repetimos conclusión a esta lámina. Si al intentar resolver un sistema llegáis a una estupidez, el sistema es incompatible, no tiene solución. Resumen al contenido de este
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episodio. Resolución analítica de sistemas. Método de sustitución muy sencillo. Simplemente debéis saber interpretar los resultados del sistema. Lo más normal es que el sistema, si
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tenga solución, es decir, sea compatible determinado. Pero repito, hay infinitos sistemas que al intentar resolverlos nos llevan a situaciones particulares. Un sistema puede ser
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compatible determinado, tiene un número de soluciones concreto, una solución, dos soluciones, tres. Puede ser compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Y puede ser incompatible, no intentéis resolverlo porque no lo vais a conseguir. No tiene soluciones en común las ecuaciones.
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Damos el tema por concluido y haremos ejercicios de resolución de sistemas por sustitución.
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- Materias:
- Matemáticas
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- Primer Curso
- Autor/es:
- Fernando Martín. Profesor: www.cibermatex.com
- Subido por:
- EducaMadrid
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 7956
- Fecha:
- 23 de enero de 2008 - 17:49
- Visibilidad:
- Público
- Enlace Relacionado:
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- Duración:
- 13′ 53″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 320x240 píxeles
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