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Producto escalar de vectores - Contenido educativo

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Subido el 31 de octubre de 2025 por Roberto A.

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Venga, buenos días, 31 de octubre. ¡Feliz Halloween! 00:00:01
¿No te acuerdas? ¡Oh, buenísimo! Tened cuidadito esta noche. 00:00:09
Venga, vamos a hacer este ejercicio para que veáis, chavales, que no es complicado, ¿vale? 00:00:15
¡Oh! Justo me disteis ustedes con el examen. 00:00:20
Bueno, chavales, tenemos tres vectores, ¿vale? 00:00:24
El u, el v y si os fijáis, w es un parámetro que es k, ¿no? 00:00:27
Y lo primero que me pide es hallar el producto escalar de u y v. 00:00:32
Al marcha, ¿qué te pasa? 00:00:38
Venga, vamos. 00:00:41
Y ya. 00:00:42
Venga. 00:00:44
Entonces, chavales, si yo tengo que hacer el producto escalar de u por v, 00:00:45
os acordáis que había una fórmula, ¿verdad? 00:00:49
Que el módulo de A por el módulo de, perdón, el módulo de U por el módulo de V, ¿os acordáis? Módulo de U por el módulo de V por el coseno del ángulo que forman U y V. 00:00:52
Pero ¿qué ocurre, chavales? Que yo aquí, el módulo de U lo puedo hallar sin problema, ¿verdad? 00:01:06
Yo el módulo de u, que no nos lo piden, lo voy allá para que da bien, ¿vale? 00:01:11
Es la raíz, ¿vale? 00:01:16
De 3 al cuadrado más, ten cuidado con los signos, menos 1 al cuadrado más 5 al cuadrado. 00:01:17
Y esto, si no me equivoco, es la raíz de 35, ¿vale? 00:01:26
Corregirme si me equivoco. 00:01:33
Y si yo tengo que hallar el módulo de v, pues igual, es la raíz cuadrada de cada uno de sus componentes, ¿no? 00:01:34
4 al cuadrado más 5 al cuadrado más 11 al cuadrado. 00:01:41
Y esto es una jartada, porque esto es 16, 25 y 121, ¿no? 00:01:46
121, 16, 25 son 39 y 121, 160 puede ser, no lo sé. 00:01:53
No sé si alguien me puede ayudar con el calculador. 00:02:03
Pero, ¿qué ocurre? 00:02:06
Yo venga, yo aplico la fórmula, yo hallo el módulo de U sin problema, hallo el módulo de V sin problema, pero sabemos cuánto es el ángulo que forma un U y V, natillas. 00:02:07
Entonces, ¿puedo aplicar esta fórmula? No. 00:02:20
Entonces, me refiero porque esto es una forma en la que muchos de ustedes vayan a proceder si yo pido este tipo de ejercicio. 00:02:23
¿Qué es lo que ocurre? Que como aquí me dicen que está respecto a una base ortonormal, ¿qué era una base ortonormal? Son varias cosas, ¿vale? Si es una base, por simple hecho de ser una base, son tres vectores, son tres vectores porque estamos en el espacio, ¿de acuerdo? Son tres vectores que son linealmente independientes. 00:02:29
Es decir, 162. Gracias, madre. 162. ¿Y la otra sí está bien, guía? Vale. Entonces, lo único, chavales, es, si es una base, es que son linealmente independientes. Es decir, no son coplanarios. 00:02:52
Si es ortogonal es que son perpendiculares entre sí 00:03:11
Si ya es ortonormal es que además de ser perpendiculares entre sí 00:03:15
Cada uno de esos vectores son unitarios 00:03:20
Entonces ahí cuando yo estoy en una base ortonormal 00:03:22
Lo que me permite hacer el producto exclar entre u y v 00:03:26
Es simplemente la multiplicación de las coordenadas 00:03:30
¿De acuerdo? 00:03:34
Entonces fijaros que fácil 00:03:35
Es 3 por 4 la primera coordenada 00:03:36
es menos 1 por 5 00:03:40
y es 5 por 11 00:03:42
es decir, cojo las componentes 00:03:44
digamos x, las multiplico 00:03:46
entre sí y se queda la componente 00:03:48
x, cojo las componentes y 00:03:50
las multiplico entre sí y se queda 00:03:52
en el lado y y multiplico 00:03:54
las componentes z 00:03:57
¿vale? entonces esto es 12 00:03:58
menos 5 y 55 00:04:00
¿de acuerdo? 00:04:03
entonces todo lo que he hecho del 00:04:04
módulo de u, módulo de v 00:04:06
La verdad es que no me sirve absolutamente para nada. 00:04:08
El truco aquí es saber la base ortonormal, ¿vale? 00:04:11
Entonces, esto de aquí únicamente se cumple cuando estamos en una base ortonormal. 00:04:16
Y fijaros qué fácil. 00:04:22
¿Lo veis? 00:04:24
Dime. 00:04:24
Ah, sí, sí, sí, se me ha ido la olla. 00:04:28
Perdón. 00:04:30
Se me ha ido la olla, perdón. 00:04:31
Estoy equivocado con el vectorial. 00:04:33
Especialmente, perdona, esto es 3x4. 00:04:35
Se me ha ido la olla. 00:04:38
Y el producto escalar, precisamente, 00:04:39
eso, lo he hecho para ver si estabais atentos. 00:04:41
El producto escalar, fijaros una cosa, 00:04:43
los otros, que además está mal hecho, 00:04:46
el producto vectorial se hace de otra forma. 00:04:48
Esto realmente, el producto escalar, 00:04:50
me da un número, ¿vale? 00:04:52
Se me ha ido la olla al máximo, perdonadme. 00:04:53
Más menos 1 por 5, 00:04:56
más 5 por 11, ¿vale? 00:04:59
Esto es 12 menos 5, que es 7, 00:05:01
más 55, 62, si no me equivoco. 00:05:05
¿Vale chavales? Se me ha ido la olla, perdonadme. El producto escalar es al final un escalar, un número, ¿vale? Y mide 62. ¿Qué es lo que ocurre chavales? Que aquí no me lo piden, pero yo ahora os puedo pedir, dime el ángulo que forman U y V. 00:05:09
Yo ahora sí lo puedo hallar, ¿verdad? 00:05:28
¿Sí o no? 00:05:31
Entonces, ¿qué ocurre? 00:05:32
Pues que a mí, si me piden el ángulo alfa, 00:05:33
que es el ángulo entre U y V, ¿vale? 00:05:37
Yo despejo precisamente, ahora sí, de esta fórmula, fijaros. 00:05:45
Yo sé el producto escalar de U y V. 00:05:49
Sí, ¿verdad? 00:05:52
Que es 62. 00:05:53
¿Sé cuánto más mide el módulo de U? 00:05:54
Sí, porque he tenido el detalle de hallarlo. 00:05:56
La raíz de 35. 00:05:58
El módulo de v, 162, con lo cual yo lo que me piden es, o puedo hallar a través de esta fórmula, despejando el coseno, ¿verdad? El coseno de u y v, la casita que es igual al producto escalar de u por v partido de módulo de u por módulo de v. 00:05:59
y esto que era 62 partido la raíz de 35 partido de la raíz de 162 de acuerdo y entonces ocurre 00:06:20
que ahora ya el arfa entre u y v es igual al arco coseno de enumerar o este de aquí 00:06:32
¿Vale? Que chavales 00:06:41
una cosa os digo 00:06:43
en las calculators 00:06:44
más que nada 00:06:47
para que no perdáis que el otro 00:06:49
día por ejemplo hubo una diferencia en lo que me dijiste 00:06:51
¿Sabéis la 00:06:54
tecla ans? ¿La tecla ans 00:06:55
la conocéis? Sí, ¿no? 00:06:57
Bueno, pues la tecla ans 00:06:59
¿Sabéis de qué viene la palabra ans? 00:07:01
The answer, ¿vale? 00:07:04
Como mi apellido 00:07:06
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:07:07
Que tú puedes 00:07:10
hacer chavales, puedes hacer esta operación 00:07:11
y aquí tened cuidado, aquí tened mucho 00:07:13
cuidado porque hay gente que la lía 00:07:15
yo de ustedes haría 00:07:16
primero el denominador 00:07:19
yo primero hago el denominador 00:07:21
¿vale? 00:07:23
le doy a la multiplicación 00:07:25
tengo un numeraco y ahora 00:07:27
escribo 62 entre 00:07:29
ans, ¿vale? 00:07:31
62 entre ans, es que mucha gente cuando 00:07:33
me hace esto de aquí, estas 00:07:35
operaciones, o bien 00:07:37
o ponéis un paréntesis 00:07:39
entre la raíz y al final de la raíz abajo 00:07:40
para que 62 divida todo 00:07:45
pero hay mucha gente aquí que lo que me hace realmente 00:07:48
es 62 partido de 35 00:07:51
y luego en vez de dividirlo entre 162 lo multiplica 00:07:55
no sé si me estoy explicando 00:07:59
entonces tened aquí mucho cuidado 00:08:01
haced primero la raíz de 35 00:08:05
lo multiplicáis por la raíz de 162 00:08:06
me da un numeraco, entonces luego le doy a 62 00:08:09
partido de ans, ans se queda, la respuesta anterior 00:08:13
que es la operación que tú has hecho, me va a dar otro numeraco 00:08:17
ese número tiene que estar entre menos 1 y 1 00:08:21
¿de acuerdo? y luego ya hago el arco coseno, igual, el arco coseno 00:08:25
de ans otra vez, ¿vale? y entonces ya me da 00:08:29
el valor correcto, si alguien me ayuda y me dice 00:08:33
34,6 grados 00:08:37
¿Vale? Pero fijaros 00:08:42
Como lo tenéis que hacer 00:08:43
¿Si o no? Y si no también podéis 00:08:45
Usar las teclas de esto 00:08:47
Que es storage 00:08:49
Y lo vais almacenando 00:08:51
¿A que no te da eso? 00:08:53
Déjame la calculadora 00:08:55
A ver que es lo que has hecho 00:08:56
A ver Gorrión 00:08:58
La raíz de 35 00:09:00
Por la raíz de 162 00:09:04
¿Vale? Y le das al igual 00:09:06
Ahora haces 62 entre ans 00:09:08
Y le das al igual 00:09:12
Vale, y ahora haces el arcoseno de ans 00:09:20
No, no, no, ¿qué te da? 00:09:23
¿Qué te da? 00:09:31
0,6 00:09:31
¿0,6? 00:09:33
Es que lo tengo en... 00:09:35
¿En qué? ¿En radianes? 00:09:37
No lo sé 00:09:39
¿Lo tienes en radianes? 00:09:40
Seguro 00:09:42
dos pi radianes son 360 00:09:43
o pi radianes 180 00:09:53
esto es x 00:09:57
x está por 180 00:09:59
¿dónde tienes aquí el número pi? 00:10:01
¿y yo? 00:10:05
dale para atrás 00:10:07
vale, quita el menos este 00:10:08
34,57 00:10:11
¿Vale? 00:10:20
Cambia lo de radianes 00:10:21
Porque si no te va a dar 00:10:23
Tener también mucho cuidado 00:10:24
Esta operación 00:10:26
Hacerle a vuestro hogar 00:10:28
Y os tiene que dar esto de aquí 00:10:30
A él, por ejemplo, al tenerlo en radianes 00:10:32
Le da 0,6 00:10:34
No sé si me entendéis 00:10:35
Él tiene ahora mismo 00:10:38
configurar la calculadora 00:10:40
para que le den radianes, entonces le da aquí 00:10:42
0,6 y le tiene que dar 00:10:44
34,60, a mala 00:10:46
¿cómo se pasa de radianes a grados? 00:10:48
chavales, una regla de 3 00:10:50
radianes, ¿cuántos 00:10:52
grados son? 00:10:54
180, y lo que me dé 00:10:56
aquí, imaginaos que me da aquí algo 00:10:58
pues X, hago una regla de 3 y ya está 00:11:00
¿vale? pero tenéis mucho cuidado 00:11:02
venga 00:11:04
vamos a hacer chavales 00:11:06
el apartado B, ¿vale? 00:11:07
El apartado B era 00:11:09
A y K 00:11:11
radianes y luego brazalas. 00:11:11
Vale, lo puedes pasar fácil, ¿no? 00:11:15
Venga. 00:11:18
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:11:20
Que ahora lo que me dicen es 00:11:22
A y K para que 00:11:23
U y V sean perpendiculares. 00:11:25
¿Cómo es el 00:11:28
producto escalar de dos 00:11:29
vectores perpendiculares? 00:11:31
Eso es. 00:11:34
El producto escalar 00:11:35
el producto escalar 00:11:37
de dos vectores 00:11:41
perpendiculares 00:11:44
y por qué 00:11:49
¿quién me lo sabe responder? 00:11:53
efectivamente, muy bien 00:11:59
Madre 00:12:00
precisamente, ¿por qué? 00:12:00
porque si 00:12:03
el ángulo que forman 00:12:04
u y v 00:12:08
es igual a 90 grados que son 00:12:08
perpendiculares, resulta que el coseno 00:12:11
de u 00:12:14
con V, es igual al coseno de 90 grados, que es un terapio. 00:12:15
¿Vale? 00:12:23
¿Sí? 00:12:23
Jesús. 00:12:24
Entonces, ¿qué ocurre? 00:12:25
Que si yo tengo mi V, que es 4, 5, 11, y tengo mi W, que es menos 2K3, 00:12:26
si yo hago el producto escalar de U por W, esto que es 4 por menos 2, 00:12:37
más 5 por k, más 11 por 3, ¿verdad? 00:12:45
Esto es menos 8, más 5k, más 33. 00:12:50
Esto es 5k, más 25, ¿verdad? 00:12:57
Como son perpendiculares, al ser perpendiculares, 00:13:01
resulta que v por w es 0. 00:13:07
Por lo tanto, ¿qué os ocurre? Que 5x más 25 es igual a 0, ¿qué es? Menos 25 quinto, ¿verdad? Que es menos 5, con premio y todo. 00:13:15
¿Lo veis, chavales? ¿Sí? ¿Así? Venga, fácil. 00:13:28
Venga, chavales. 00:13:35
Aquí tenéis varias cosas de teoría, lo probamos, ¿vale? 00:13:40
Y entonces, una cosa que sí que es muy importante, fijaros, no sé si os acordáis cuando estábamos en el espacio, cuando estábamos en el espacio, en el espacio, no, perdona, en el plano, volviendo al plano, ¿vale? 00:13:44
Ahora estamos en R2 00:14:00
Ahora estamos en R2 00:14:03
Que se representa así 00:14:08
No me diga 00:14:10
El plano 00:14:11
Si yo tengo un vector 00:14:13
Por ejemplo 00:14:16
Venga Leo 00:14:17
Dos números que te gusten 00:14:18
¿Alguien me sabe 00:14:24
Decir cómo se hallaba 00:14:26
Un vector perpendicular 00:14:28
A este 00:14:30
¿Os acordáis? 00:14:31
¿Eh? 00:14:36
Muy bien 00:14:37
¿La habéis escuchado al gallo? 00:14:40
¿Sí? 00:14:45
¿Y por qué se hace eso, gallito? 00:14:45
I don't know 00:14:51
¿Está correcto? 00:14:52
¿Está correcto lo que él me dice? 00:14:54
No sé si la habéis escuchado 00:14:55
Él lo que me dice 00:14:57
Que un vector perpendicular 00:14:58
¿Vale? 00:15:00
Vamos a poner Jesús 00:15:01
Es que yo le cambio el orden, ¿vale? 00:15:02
Le pongo primero el 4 y luego le pongo el 7. 00:15:08
A uno de los dos, a uno de los dos, le cambio el signo. 00:15:11
¿A cuál? A you want. 00:15:15
¿Vale? Por ejemplo, le cambiamos al 4 menos 7. 00:15:17
Es más, yo con este truquito, yo puedo hallar dos vectores perpendiculares del tirón, ¿verdad? 00:15:21
Uno es, vamos a poner este de tapia, ¿vale? Es el menos 4, 7, ¿verdad? Pues yo le cambio el orden y a uno de ellos le cambio el signo si ya tengo aquí dos vectores perpendiculares a L de Leo. ¿Lo entendéis? 00:15:29
tendrían diferentes sentidos 00:15:47
entre ellos 00:15:50
porque 00:15:53
tienen el mismo módulo 00:15:55
tienen el mismo módulo 00:15:57
tienen la misma dirección 00:16:00
porque son proporcionales 00:16:01
y tienen el mismo sentido 00:16:04
no, uno de ellos precisamente 00:16:05
es el otro por menos uno 00:16:08
entonces cuando tú 00:16:10
multiplicas un vector por menos uno 00:16:12
le mantienes 00:16:14
Mantiene su módulo, mantiene su dirección, pero le cambias el sentido, ¿vale? 00:16:15
Entonces, chavales, este truco que ha dicho el gallo, pero ¿sabéis por qué realmente funciona? 00:16:22
El producto escalar, ¿vale? 00:16:30
Si yo hago el producto escalar de L por G, aquí que tengo 7 por 4, ¿verdad? 00:16:32
Más 4 por menos 7. 00:16:40
¿Y esto qué es? 28 menos 28, ¿vale? Que es 0. 00:16:42
Todo el mundo, ¿sí? 00:16:48
Igual pasa con LT, ¿vale? 00:16:51
Si yo hago el producto escalar de L por T, ahora lo que tengo es 7 por menos 4 más 4 por 7, ¿verdad? 00:16:55
Y eso es menos 28 más 28 es 0. 00:17:04
Por lo tanto, L es perpendicular a G y L también es perpendicular a T. 00:17:08
Fijaros que esto en el plano es fácil, ¿no? 00:17:16
Si yo tengo, por ejemplo, mi L es así, pues ¿cómo son mi G y mi T? 00:17:18
Pues una será así y la otra es la misma, pero para abajo. 00:17:28
¿Vale? Esto está peor dibujado que lo que dijimos 00:17:35
Pero vamos, esta por ejemplo es la L 00:17:38
Esto es G, por ejemplo 00:17:41
Y esto es T 00:17:43
¿Lo veis, chavales? 00:17:44
Esto estamos en R2, en el plano 00:17:46
En el plano 00:17:49
Entonces, ¿cómo puedo yo ahora en el espacio? 00:17:50
En el espacio 00:17:54
Esto realmente es R3 00:17:54
Que se escribe así 00:17:58
¿Vale? 00:17:59
Entonces, ¿cómo puedo hacer yo un vector perpendicular a V? 00:18:00
chavales, mi V 00:18:04
en este caso es 3 00:18:06
menos 1 y premio 00:18:08
¿vale? 00:18:10
¿cómo puedo yo hallar un vector 00:18:12
perpendicular a este? 00:18:15
efectivamente 00:18:22
¿lo has leído? 00:18:23
es falso el tío 00:18:24
¿ahen? muy bien, realmente es eso 00:18:25
aplicamos la misma teoría 00:18:29
que hacemos en R2 00:18:31
y a una componente, la que no cambio, 00:18:33
¿vale? La que no cambio, le pongo 00:18:36
un serapio. ¿Vale? 00:18:37
¿Sí? ¿Cuántos vectores 00:18:39
perpendiculares 00:18:41
a v hay en el espacio? 00:18:45
¿Cuántos vectores? 00:19:06
Por ejemplo. 00:19:08
Realmente hay infinitos 00:19:15
y aquí también hay infinitos. ¿Por qué aquí hay 00:19:16
infinitos, chavales? Porque yo luego aquí 00:19:18
puedo hacer 00:19:20
todos los de... ¿Cuántos vectores 00:19:22
hay en esta dirección de aquí? ¿Cuántos vectores hay? 00:19:25
En el plano. Si yo tengo aquí la dirección esta, ¿cuántos 00:19:28
vectores hay ahí? Hay infinitos. Pasa que hay dos, digamos, principales. 00:19:32
¿Vale? Aquí unitarios, aquí también hay infinitos. 00:19:37
Yo sería combinar un poco de tres elementos. Cogemos 00:19:41
dos, ¿de acuerdo? Y a otro le ponemos cero. Entonces, por ejemplo, 00:19:44
el vector a, si yo cojo 00:19:50
el 3 y el menos 1, pues le pongo 00:19:53
menos 1 menos 3, ¿verdad? 00:19:55
Ese es válido, pero es que 00:20:01
el b, por ejemplo, yo cojo 00:20:03
el menos 1 y el 3 y en vez de 00:20:05
cambiarle el signo al menos 3, lo cambio al menos 1. 00:20:09
¿Vale? Y si te das cuenta, estos 00:20:13
¿cómo son? Son iguales 00:20:15
en módulo, iguales en dirección 00:20:19
pero de sentido contrario. 00:20:22
Otro de aquí, el C, pues si cojo el 3 y el 5, pues yo cojo el 5, aquí le planto un 0 y aquí un menos 3, ¿vale? 00:20:24
Y el D, ¿qué sería? El menos 5, 0 y 3, ¿lo veis? Y así cualquiera más, ¿vale? Si cojo el menos 1 y el 5 00:20:33
Paula, es decir, cojo dos componentes, las que tú quieras, cojo dos componentes, le cambio el orden a una de ellas, le cambio el signo, es muy importante, solamente a una de ellas, porque si se la cambio a los dos, no se cumple, ¿vale? 00:20:44
Y luego a la tercera le pongo un cerápico. 00:21:01
¿Sí? ¿Todo el mundo? 00:21:05
¿Sí? 00:21:07
Venga. 00:21:08
¿Puedo pasar? 00:21:11
Venga, pasamos. 00:21:12
Aquí he explicado. 00:21:14
Entonces, vamos a ver esto de aquí. 00:21:15
Bueno, aquí tenéis varios ejercicios. 00:21:20
Respecto a una base ortonormal, tenemos dos vectores. 00:21:21
Me piden el producto estar, que como es ortonormal, lo hago como siempre, multiplicando las componentes y sumándolas. 00:21:24
El módulo de u aplico definición, módulo de v aplico definición, el coseno es aplicando de aquí y vamos a hallar tanto, vamos a hallar mejor la proyección de u sobre v. 00:21:33
Venga, bueno, venga, hacemos el ejercicio completo. 00:21:43
Vamos a hacer el ejercicio completo, pero vamos, es súper fácil. 00:21:47
Al ser una base ortonormal, chavales, era una base ortonormal. 00:21:51
En este caso, al estar en R3, ¿verdad? Una base ortonormal está formada por tres vectores linealmente independientes. 00:21:56
Que sean linealmente independientes significa que no son coplanarios, ¿vale? 00:22:04
Al marchar, ¿todo bien? ¿Dejas de leer eso? ¿No te importa? 00:22:09
Vale. Y a los que están haciendo otra asignatura, ¿no os importa dejarla? 00:22:17
entonces al ser ortonormal son 00:22:22
estando en R3 son tres vectores 00:22:28
linealmente independientes, no son coplanarios 00:22:30
son perpendiculares entre sí 00:22:32
y además son de módulo 1, son unitarios 00:22:34
entonces como me piden el producto escalar de U y V 00:22:38
al ser ortonormal 00:22:42
yo lo que puedo hacer directamente 00:22:44
es la multiplicación de las componentes 00:22:46
es decir, multiplico 3 por 5 00:22:48
le sumo más menos 4 por menos 2 00:22:51
y le sumo 12 por menos 6. 00:22:55
¿Hasta ahí todo el mundo? 00:22:59
Y esto es 15 más 8 menos 72. 00:23:01
Esto es 23 menos 72. 00:23:05
Si fuese 22, esto, si no me equivoco, es menos 49. 00:23:10
¿Vale? No sé si me lo podéis confirmar. 00:23:14
Vale, perfecto. 00:23:17
Módulo de U. 00:23:19
Muy fácil, ¿no? Módulo de u es la raíz cuadrada de la componente x al cuadrado más la componente y al cuadrado 00:23:21
más la tercera componente más que yz. Y esto es igual a la raíz de 9 más 16 más 144. 00:23:31
esto es 160 00:23:43
mira que erótico 00:23:47
169 creo que es 00:23:47
y esto es 13 ¿no? 00:23:49
con rima y todo 00:23:52
venga, módulo de V 00:23:53
módulo de V 00:23:55
la raíz de 5 al cuadrado 00:23:56
más, tened mucho cuidado 00:24:00
porque cada componente se eleva al cuadrado 00:24:01
las negativos 00:24:03
todos al cuadrado 00:24:05
y entonces esto es 00:24:06
la raíz de 25 00:24:08
más 4 00:24:11
más 36 00:24:13
esto es la raíz de 65 00:24:15
si no me equivoco 00:24:18
¿es correcto? 00:24:19
entonces si me voy al 00:24:22
C, dicen el ángulo 00:24:23
V ¿verdad? 00:24:25
V el ángulo 00:24:27
esto que es el arco 00:24:28
coseno 00:24:31
¿de qué? del producto escalar 00:24:32
de U por V 00:24:35
ya he despejado ¿vale chavales? 00:24:36
de U por V 00:24:39
¿todo el mundo? 00:24:41
Y esto es el arco coseno de menos 49 partido de 13 por raíz de 65. 00:24:43
Y si alguien me lo dice... 00:24:56
117. 00:25:00
117. Fijaros cómo es este ángulo, chavales. 00:25:02
Aparte de súper divertido. ¿Cómo es este ángulo? 00:25:07
Ostuso 00:25:09
¿Cómo es el argumento del arcoseno, chavales? 00:25:10
Negativo 00:25:14
Entonces, cuando yo tengo 00:25:15
El argumento del arcoseno 00:25:18
O el coseno del ángulo 00:25:22
Es negativo 00:25:24
Significa que el ángulo que forman los dos 00:25:24
Es ostuso 00:25:27
Cuando yo tengo 00:25:28
Un argumento del coseno positivo 00:25:30
El ángulo que forman los dos 00:25:34
Es agudo 00:25:36
Entonces, ¿cómo se hallaba la proyección de U sobre V, chavales? 00:25:37
¿Os acordáis? 00:25:45
¿El producto de qué? 00:25:50
¿Ceno? 00:25:58
Yo nunca me acuerdo de la fórmula. 00:26:01
¿Producto vectorial? 00:26:03
¿Producto vectorial no? 00:26:05
Si para mí esto 00:26:06
Vamos a ver 00:26:11
Chavales 00:26:14
Si yo 00:26:16
Decido que esto es U y esto es V 00:26:18
¿Vale? Bueno, en este caso 00:26:20
Vamos a dibujarlo bien 00:26:22
Venga, chavales 00:26:23
Esto es U, ¿no? 00:26:27
Me voy a hacer bien 00:26:29
Vamos a hacer una cosilla, chavales 00:26:30
Si yo decido 00:26:34
Que esto sea U y esto sea V 00:26:36
esto es U 00:26:39
y esto es V, ¿vale? 00:26:42
¿Esto puede ser así el dibujo? 00:26:47
¿Por qué? 00:26:49
¿Eh? 00:26:53
¿Que tiene que ser aquí la V 00:26:55
y aquí la U? 00:26:57
¿Sí? ¿Solamente eso? 00:26:59
Eh... 00:27:08
¿Qué me ha dicho? 00:27:08
Eh... 00:27:10
Estupendo, ¿vale? 00:27:10
Entonces, ¿qué ocurre? 00:27:14
¿Qué ocurre? Pues que vamos a ser coherentes, ¿vale? 00:27:15
Nosotros tenemos aquí, es 1 sobre V, ¿verdad? 00:27:20
117 más o menos. 00:27:27
Esto es orgánico, ¿eh? 00:27:32
Bueno, así más o menos. 00:27:35
Gracias. 00:27:41
Oh, vámonos. 00:27:43
Un bless you o algo, ¿no? 00:27:45
Esto es de U sobre V 00:27:51
Entonces, chavales 00:27:52
Fijaros 00:27:53
Fijaros una cosa 00:27:56
Yo tengo aquí mi V, ¿verdad? 00:27:57
Y tengo aquí mi U 00:28:00
Y lo he dibujado mal, ¿a que sí? 00:28:01
¿Por qué lo he dibujado mal? 00:28:06
¿Por qué lo he dibujado mal? 00:28:11
¿Por qué lo mueve? 00:28:20
la raíz 00:28:22
fijarse 00:28:27
esto es la raíz de 169 00:28:28
y esto es la raíz de 65 00:28:31
aún no sabiendo 00:28:33
cuándo va de la raíz de 65 00:28:34
evidentemente es más grande 00:28:36
¿vale? 00:28:38
porque me lo dice aquí Maribel 00:28:42
venga, te queremos 00:28:43
¿sí o no? 00:28:46
¿vale Guilla? 00:28:49
El argumento. ¿Qué le pasa al argumento del coseno? El argumento del coseno es todo esto, ¿no? Este es el argumento del arcocoseno. Perdona, Jesús. ¿Te pongo la fórmula original? 00:28:49
entonces chavales 00:29:11
esto es mi V, ahora sí 00:29:15
y esto es mi U 00:29:17
¿cuál es la proyección? 00:29:18
venga aquí ya, por favor 00:29:21
¿cuál es la proyección de U sobre V? 00:29:22
pues yo 00:29:25
sobre la dirección 00:29:26
de V 00:29:28
¿vale? sobre la dirección de V 00:29:30
yo voy a proyectar 00:29:32
mi vector U 00:29:34
sobre esa dirección 00:29:35
¿de acuerdo? es decir 00:29:38
Y cojo una perpendicular, ¿de acuerdo? 00:29:40
Si yo hago una perpendicular, una recta perpendicular a esta, ¿vale, chavales? 00:29:43
¿Dónde corta, dónde finaliza el U? 00:29:53
Aquí, ¿lo veis? 00:29:56
¿Sí o no? 00:29:58
Entonces, mi vector, mi vector proyector, no, eso es otra cosa. 00:29:59
mi proyección 00:30:07
de u sobre v 00:30:10
es esto de aquí 00:30:12
¿lo veis todo? ¿qué es esto? 00:30:14
¿todo el mundo 00:30:17
ve que es este cachillo de aquí? 00:30:18
¿sí? y entonces 00:30:20
cuando calculamos 00:30:22
yo, cuando calculamos 00:30:24
la proyección 00:30:27
es lo que yo quiero que veáis, cuando 00:30:28
calculamos la proyección 00:30:29
de u sobre v o de un vector 00:30:31
sobre otro, realmente que 00:30:34
estamos obteniendo, chavales 00:30:36
¿Qué estamos obteniendo? 00:30:37
¡Wow! Una superficie en dos dimensiones 00:30:43
¿Pero qué estamos obteniendo? 00:30:45
No, no estamos obteniendo un vector 00:30:48
Ese es el vector proyector 00:30:50
¿Vale? 00:30:52
Estamos obteniendo el módulo 00:30:53
¿Os acordáis del Fx y el Fi de las fuerzas físicas? 00:30:56
Estamos obteniendo cuánto mide este módulo 00:31:03
¿Vale? 00:31:05
Eso es lo que estamos obteniendo 00:31:07
con la proyección 00:31:09
de U sobre V 00:31:10
si luego me piden chavales 00:31:12
fijarse una cosa, si luego me piden 00:31:14
el vector proyección 00:31:17
si luego me piden 00:31:19
el vector proyección 00:31:21
fijaros una cosa, esto es lo que 00:31:22
mide ¿verdad? y si 00:31:25
quiero saber el vector 00:31:26
proyección de U sobre 00:31:29
V, al final ¿qué ocurre? 00:31:31
si yo chavales tengo 00:31:33
sobre esta recta colorada 00:31:35
yo tengo un vector unitario 00:31:36
Si yo tengo un vector unitario, ¿puedo poner cualquier vector de esta recta como la multiplicación de su módulo por ese vector unitario? 00:31:39
¿Sí o no? 00:31:50
¿Sí? 00:31:52
Pues entonces, la proyección como tal es únicamente algo que mide, es un escalar también. 00:31:53
¿Vale? 00:31:59
Es decir, yo mido esto con la regla en edad, yo qué sé, un centímetro. 00:31:59
Pues esa es la proyección de U sobre V. 00:32:04
¿De acuerdo? Ahora, si me piden el vector proyector de u sobre v, es, hallo ese módulo, hallo ese módulo, 00:32:08
y luego lo multiplico por un vector unitario en la dirección de v. 00:32:17
¿Cómo hallo un vector unitario en la dirección de v? 00:32:22
¿Claro? ¿Cómo lo hago, Maribel? 00:32:34
¿Cómo lo hago? ¿Eh? 00:32:35
Cojo el vector V 00:32:37
Y lo divido por su módulo 00:32:40
¿Lo veis? 00:32:42
Y entonces ya, si yo tengo un vector 00:32:44
Que imagínate 00:32:47
Mide 3 00:32:48
Y yo lo divido por 3 00:32:50
Al final el vector unitario 00:32:52
Mide 1, ¿vale? 00:32:55
Entonces lo que es la proyección como tal 00:32:56
Es hallar, chavales 00:32:58
Esto de aquí 00:33:00
¿Vale? ¿Lo veis o no? 00:33:02
Gallito 00:33:06
¿Qué te pasa? ¿Qué ha pasado? 00:33:07
¡La vida! 00:33:10
Entonces, chavales, ¿cómo hallo yo esta proyección de aquí? 00:33:14
¿Cómo hallo yo esta proyección? Porque esto es alfa, ¿no? 00:33:22
Esto es alfa. 00:33:31
¿Sí o no? 00:33:33
Y entonces, ¿cómo proyecto sobre V, chavales? 00:33:35
Si esto es alfa, por cierto, ¿esto cuánto mide? 00:33:40
Muy bien, tío. 00:33:44
falle, ¿eh? Yo no me sé 00:33:46
la fórmula, ¿eh? Pero si no 00:33:53
me la sé, si alguien se la sabe, para adelante. 00:33:55
Yo no me la sé, pero lo puedo razonar. 00:33:57
¿Cómo proyecto esto sobre 00:33:59
esto? Si sé precisamente 00:34:01
el ángulo. ¿Hay alguien aquí 00:34:03
en física? 00:34:09
¡Oh! 00:34:11
¡Juster! 00:34:12
¡Juster! 00:34:14
¡Juster! 00:34:16
¡Juster! 00:34:17
¡Juster! 00:34:18
La dirección es el módulo 00:34:21
por el coseno 00:34:23
del ángulo 00:34:24
V y U 00:34:26
¿ya? 00:34:27
¿sí? 00:34:32
y luego ya pones 00:34:33
la V del módulo 00:34:35
sacas el producto a la 00:34:36
y lo divides entre el módulo de V 00:34:38
y el producto a la lo conocemos 00:34:40
ahora que 00:34:44
ahora que 00:34:46
venga dímelo 00:34:51
sería 00:34:53
la proyección 00:34:53
de u 00:34:59
sobre v 00:35:00
es igual a 00:35:02
el módulo de u 00:35:04
por el coseno 00:35:07
de u y v 00:35:07
ahora 00:35:11
yo pongo v 00:35:15
es el módulo de v por la proyección 00:35:18
de v sobre u 00:35:20
yo pongo el módulo 00:35:22
o sea, voy a ir 00:35:25
a ver 00:35:26
yo pongo 00:35:27
por módulo de 00:35:33
y luego lo pongo al otro lado 00:35:34
para parar y luego paso en la 00:35:36
pero esto está bien 00:35:38
esto está bien para ti 00:35:41
esto para ti está bien 00:35:42
y entonces 00:35:46
si ya tienes esto 00:35:48
y ya tienes esto 00:35:50
¿qué te pasa? 00:35:52
¿Para qué utilizas la V? 00:35:54
Para sacar el producto escalar. 00:35:57
Ah, bueno, claro, ya tienes eso, ya lo puedes hacer, pero porque lo has calculado antes. 00:35:59
Claro, claro. 00:36:02
Sí, sí. 00:36:03
Pero, venga, vale, porque ya lo tengo, pero ya lo tengo. 00:36:04
Si no lo tuviera... 00:36:07
Claro, si no lo tuviera, tendrías que multiplicar por el módulo de V en ambos términos. 00:36:08
En la derecha te saldría el producto escalar. 00:36:13
Luego, pasas dividiendo el módulo de V y te quedaría el producto escalar partido de la módula de V. 00:36:15
Pero, pero porque tú lo que quieres allá es realmente el coseno, ¿no? 00:36:21
No, porque estoy como suponiendo que no tengo eso, que ya lo tienes 00:36:31
Que no tienes el coseno, pero tienes el módulo, claro, claro, claro 00:36:35
Vale, que me estaba acojonando 00:36:39
Realmente tú, efectivamente, esto es módulo de u y yo ahora aplico la fórmula de coseno de u 00:36:41
A ver, chavales, por favor 00:36:48
Chavales 00:36:49
chavales 00:36:51
esto sería u por v 00:36:55
entre módulo de u 00:36:59
entre módulo de v 00:37:01
me estás hablando 00:37:02
y ahora este hasta luego maricarme 00:37:04
y te queda esto de aquí 00:37:06
claro y como lo haces tú 00:37:07
que todavía no me he enterado 00:37:14
a ver chavales me están hablando 00:37:15
estás al lado mío y no me entero 00:37:17
Pongo el módulo de V en las dos partes 00:37:19
Espérate un momento 00:37:22
Espérate que a mí esto me fa 00:37:26
Un momento impizolín 00:37:28
Porque 00:37:29
I'm nervous now 00:37:31
Venga 00:37:33
A ver 00:37:36
Dime 00:37:39
Yo tengo la proyección 00:37:49
De U sobre V 00:37:51
Es el módulo de U 00:37:54
Eso lo sabe todo el mundo 00:37:56
chavales, la proyección 00:37:57
los de física sobre todo 00:37:59
Claudia, mira aquí mi arma 00:38:01
en vez de lo que estás haciendo, por favor 00:38:03
y si no, vete a la biblioteca 00:38:05
venga, ahora pongo 00:38:07
el módulo de V en los dos lados 00:38:09
porque te hace ilusión, ¿no? 00:38:11
venga, no te lo voy a quitar yo 00:38:13
claro, ¿qué ocurre? 00:38:15
si tú multiplicas en ambos lados 00:38:17
¡ah! 00:38:19
oh yeah, you are a good person 00:38:21
bueno, al final es lo mismo 00:38:23
claro, esto de aquí es el producto 00:38:27
a escalar. 00:38:29
¡Oh! 00:38:30
¡Marvelous! 00:38:31
¡Oh, my God! 00:38:33
Vale, vale. 00:38:37
Ya decía yo. 00:38:39
Empieza a fumar el yux. 00:38:39
¡Qué tío! 00:38:41
Y ahora pasa dividiendo, ¿verdad? 00:38:43
Vale. 00:38:46
Very good. 00:38:49
Vale, esto es lo mismo. 00:38:51
Pero, claro, yo porque me sé la fórmula, evidentemente. 00:38:55
¿Vale? 00:38:58
Chavales, me gusta más la del yux. 00:39:00
No es que me guste más 00:39:02
Si os sabéis la fórmula 00:39:04
Si os sabéis la fórmula, pa'lante 00:39:06
Si os sabéis la fórmula, pa'lante 00:39:08
Si no sabéis la fórmula 00:39:11
Si no sabéis la fórmula 00:39:13
Bueno, este sería un detalle que la supierais 00:39:14
Porque si no, malagueña 00:39:16
Si no, malagueña 00:39:18
Entonces, ¿qué es lo que hace? 00:39:20
Él aplica el concepto 00:39:23
El concepto 00:39:25
De la descomposición 00:39:26
De un vector en dos ejes 00:39:28
¿Vale? 00:39:30
Carla, cállate ya, mi arma. 00:39:32
¿Vale? Yo tengo esto de aquí y tengo esto de aquí. 00:39:36
Entonces, la proyección, y esto es alfa, la proyección, esto era u, ¿verdad? 00:39:39
Y esto era v. 00:39:45
La proyección de u sobre, la de v sobre u es esto de aquí, ¿de acuerdo? 00:39:46
Es esta proyección, porque esta es la dirección, este cachito. 00:39:53
Y entonces, ¿qué es siempre? Es el módulo de V por el coseno del ángulo que forma. ¿Vale? El coseno del ángulo que forma. ¿Sí? 00:39:56
Entonces, ¿qué es lo que hace? Pues fijaros que de esta parte de la derecha solamente me falta el módulo de V para que sea el producto escalado. 00:40:08
Entonces, multiplico a ambos lados por el módulo de V y aquí ya que tengo el producto escalado. Como yo lo que quiero es la proyección, pues este módulo de V pasa dividiendo. ¿De acuerdo? Entonces, yo digo, yo soy antifórmula. Quien se sepa la fórmula, para adelante, porque no tiene que hacer toda esta pensada, pero que no es complicado. ¿Vale? 00:40:17
entonces chavales, una cosilla solo 00:40:40
para hacerlo, vamos fatal de tiempo 00:40:43
como siempre, que raro 00:40:45
necesito que me hagáis ejercicios 00:40:47
de aquí, de la página 139 00:40:50
un momentillo 00:40:52
de la página 139 00:40:55
y que os leyáis 00:40:57
producto vectorial 00:40:59
y producto mixto, ¿vale? 00:41:01
porque tenemos que acabar el tema 00:41:03
ya con eso 00:41:05
Hombre 00:41:06
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
31 de octubre de 2025 - 12:23
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
41′ 19″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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