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Distancia entre dos rectas y perpendicular común

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Subido el 4 de noviembre de 2019 por Manuel D.

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Se demuestra la fórmula para el cálculo de la distancia entre rectas que se cruzan, se aplica a un ejemplo y se determina la perpendicular común a ambas.

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos a este nuevo vídeo de mi canal. En él vamos a estudiar cómo calcular 00:00:02
la distancia entre dos rectas. La distancia entre una recta R y una recta S se puede entender como 00:00:12
la menor de las distancias posibles entre un punto de R y un punto de S. Vamos a ver que esta distancia 00:00:19
dependerá de la posición relativa de las rectas. 00:00:27
Si las rectas son paralelas, en realidad nos basta con calcular la distancia que hay 00:00:29
de un punto de una de ellas a la otra. 00:00:35
Y esto lo hemos visto en el cálculo de la distancia de un punto a una recta 00:00:38
que tenemos un vídeo para ello en este canal. 00:00:41
Si las dos rectas, en cambio, se cortan, pues la distancia va a ser cero. 00:00:44
Así que, en realidad, nos vamos a dedicar solo al caso en el que las dos rectas se cruzan. 00:00:50
¿Quieres saber cómo se calcula esta distancia? Pues adelante. 00:00:56
Bueno, vamos a ver cómo determinar la distancia entre dos rectas en el espacio que se cruzan. 00:01:00
Para ello, consideremos una primera recta dada por un vector director U y un punto posición A, 00:01:04
y una segunda recta S, que vamos a llamar a su vector director V y a su punto posición B. 00:01:09
A partir de estos dos puntos posición, nosotros podemos determinar un tercer vector, 00:01:16
que es el que une los puntos posición al vector AB, que vamos a llamar W. 00:01:19
Los dos vectores, si nos fijamos, los dos vectores directores determinan un paralelogramo, si las dos rectas se cruzan, y los tres vectores u, v y w, un paralelopípedo. 00:01:23
¿Qué relación hay entre este paralelopípedo y la distancia buscada? 00:01:35
Bueno, pues si nos fijamos en la figura, la altura de este paralelopípedo coincide con esta distancia. 00:01:38
Entonces lo que tenemos que buscar es esta altura del paralelopípedo. 00:01:44
Para ello, recordemos que el volumen de un paralelopípedo se puede calcular como la altura de ese paralelopípedo multiplicada por el área de la base. 00:01:47
Entonces, si dividimos despejando, resultará que la altura buscada será el volumen partido por el área de la base. 00:01:56
Y ahora recordemos cómo se puede calcular el volumen del paralelopípedo mediante el producto mixto, es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores. 00:02:03
Y, además, el área de la base es el módulo del producto vectorial de los vectores directores, porque es un paralogramo. 00:02:11
Entonces, con esto en cuenta, podemos calcular la distancia mediante esa fórmula, 00:02:25
dividiendo el producto mixto en valor absoluto partido por el producto vectorial en módulo de los vectores directores de las dos rectas. 00:02:30
Vamos a ver cómo utilizar esta fórmula en un ejemplo. 00:02:39
Veis que es muy sencillo. 00:02:42
Supongamos que tenemos esas dos rectas de ahí que están dadas en forma continua 00:02:43
y para ello, bueno, pues lo primero de todo es extraer los datos, la información de cada una de las dos rectas. 00:02:47
El vector director será el 2, 4, 1, los denominadores de esas ecuaciones, 00:02:53
y el punto de posición, en este caso, el 1, menos 3, 0. 00:02:58
Esos son los datos de la recta R. 00:03:01
Y de la recta S, bueno, pues vamos a tener un vector director que será el menos 1, 3, 2 00:03:02
y un punto de posición en el menos 1, 2, menos 4. 00:03:06
Vamos a calcular de momento, primero vamos a empezar calculando el denominador de la fórmula de la distancia. 00:03:09
Para ello, calculemos el producto vectorial de los vectores y directores u por v. 00:03:14
Mediante ese determinante, el producto vectorial quedaría 5 menos 5, 10. 00:03:20
El módulo de este vector nos va a resultar raíz de 150 y ese va a ser el denominador de la distancia de la fórmula. 00:03:24
Ahora vamos a calcular el numerador, es decir, el producto mixto. 00:03:32
Para ello calculamos primero el vector que une los puntos posición, en nuestro caso, restando las coordenadas de B menos las de A, tendríamos menos 2, 5 menos 4. 00:03:35
Y ahora, calculando ese determinante, obtendríamos menos 75, es el producto mixto. 00:03:45
Con lo cual, dada la fórmula, pues tendremos que sustituir simplemente y obtendremos que la distancia entre las dos rectas será valor absoluto de menos 75 partido por raíz de 150. 00:03:51
50, simplificando nos queda 15 partido por raíz de 6, es decir, aproximadamente 6 con 12. 00:04:01
Bueno, y esta fórmula solo se puede utilizar cuando las dos rectas no son paralelas, porque si las dos 00:04:08
rectas son paralelas el producto vectorial es 0 y estaríamos dividiendo por 0. En este caso lo único 00:04:13
que tenemos que hacer es coger un punto de una de las dos rectas y calcular la distancia de ese punto 00:04:19
a la otra recta. Tenéis algún vídeo en el canal sobre el cálculo de la distancia de un punto a 00:04:23
una recta. Así que se tendría que hacer de esa otra forma. Y una vez que tenemos la 00:04:28
fórmula para determinar la distancia entre las dos rectas, puede que nos pidan calcular 00:04:36
estos dos puntos, los puntos cuya distancia es precisamente la de las dos rectas. Para 00:04:40
ello tendremos que calcular la recta perpendicular común a ambas rectas. ¿Quieres saber cómo? 00:04:45
Pues lo vamos a ver en un ejemplo. Bueno, hemos visto que la distancia es 6,12 entre 00:04:50
estas dos rectas, pero ¿cómo calcularíamos los dos puntos de las dos rectas que están 00:04:59
exactamente a esa distancia, 6,12. Es decir, cómo calculamos la recta perpendicular común 00:05:03
a estas dos rectas, a nuestras dos rectas R y S, de manera que calculando la intersección 00:05:09
con cada una de ellas, calcularíamos estos dos puntos. Bueno, vamos a hacerlo con un 00:05:14
ejemplo, con el ejemplo nuestro, el ejemplo de antes. Vamos a coger la recta R, la dibujamos 00:05:17
y la recta S, la dibujamos. Y entonces, nuestro objetivo es buscar una recta T que corte perpendicularmente 00:05:23
a la vez a r y a s. ¿Qué vector director va a tener esta recta? Fácil, va a ser el 00:05:30
producto vectorial de los vectores directores de r y s porque va a ser perpendicular a la 00:05:36
vez, es decir, producto vectorial w. Pero eso es tan sencillo como coger los vectores 00:05:40
directores de las dos rectas, calcular el producto vectorial, nos da 5 menos 5, 10 y 00:05:46
bueno, pues podemos coger este vector o podemos coger uno proporcional al suyo que sea más 00:05:51
sencillas luego las cuentas. El vector 1 menos 1, 2 nos valdría. Bueno, muy bien, tenemos el vector 00:05:56
director W de esta recta T, pero ¿cuál va a ser el punto posición? Bueno, pues tenemos un problema. 00:06:01
No podemos calcular de forma sencilla el punto posición porque no sabemos dónde corta la recta 00:06:08
R y a la recta S. No tenemos ni idea de dónde están estos dos puntos. Entonces, ¿qué hacer? Bueno, pues 00:06:13
podemos dar la recta T de otra forma. ¿Cómo? Pues intersección de dos planos que la contengan. 00:06:17
Entonces vamos a buscar dos planos que contienen a la recta T. 00:06:23
El primero de ellos va a ser el plano que contiene a la recta R y también a la dirección W. 00:06:26
¿Por qué este plano contiene a la recta T? 00:06:32
Bueno, pues porque contiene a un punto, el punto de intersección de R con T, que no sabemos dónde está, 00:06:34
y contiene a su vector director al W. 00:06:39
Entonces vamos a calcular este plano, que es muy sencillo de calcular. 00:06:42
¿Cómo? Pues ese plano que tenéis ahí dibujado se calculará de la siguiente forma la ecuación. 00:06:44
Cogemos el vector director de la recta R, ese vector va a ser un vector director del plano, cogemos el vector W y el punto posición de la recta R nos vale como punto posición del plano, el 1, menos 3, 0. 00:06:49
Desarrollándose el determinante tendremos la ecuación del plano, muy fácil, 3X menos Y menos 2Z menos 6 igual a 0. 00:07:04
Ese sería el primero de los dos planos. 00:07:10
¿Qué vamos a calcular ahora? ¿Cuál va a ser el otro? 00:07:13
Bueno, pues lo simétrico, pero respecto de S. Es decir, vamos a calcular el plano que contiene a S y a la dirección W. 00:07:14
De nuevo, cogemos el vector director de S, menos 1, 3, 2, y el vector W, el 1, menos 1, 2. 00:07:22
Esos van a ser nuestros vectores directores. Y ahora, el punto de posición de S, que sería el menos 1, 2, menos 4. 00:07:28
Y ahora, desarrollando ese determinante, obtendremos la ecuación de nuestro segundo plano, pi sub S. 00:07:37
simplificando queda 4x más 2y menos z menos 4 igual a 0. Ya tenemos las dos ecuaciones y por 00:07:40
tanto nuestra recta t está ya calculada, es la intersección de estos dos planos. Si lo que 00:07:47
queremos es calcular la intersección entre la recta t y las dos rectas r y s porque nos interesa 00:07:52
saber qué puntos están a la mínima distancia entre la recta r y la recta s tendremos que hacer 00:07:59
unas pocas cuentas porque habrá que calcular primero la intersección de la recta r con la 00:08:04
recta T. Calculando, resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones, resulta que ese 00:08:09
punto es 9 quintos menos 7 quintos, 2 quintos. Lo podéis comprobar. Luego habría que calcular 00:08:13
la otra intersección, S con T, que nos da ese otro punto. Y después, por último, para 00:08:18
comprobar que efectivamente esta distancia coincide con la distancia entre las dos rectas, 00:08:23
calcularemos la distancia entre los dos puntos y justo nos da 6 con 12. Bueno, esto solo 00:08:27
hace falta calcularlo si nos lo piden explícitamente normalmente para calcular la distancia entre 00:08:32
las dos rectas con aplicar la fórmula es suficiente. Bueno y esto ha sido todo. Espero 00:08:36
que os haya gustado. Tenéis más contenidos como este en la página web matesatulado.com. Hasta la próxima. 00:08:42
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Materias:
Matemáticas
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
257
Fecha:
4 de noviembre de 2019 - 18:27
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
08′ 52″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
50.49 MBytes

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