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Esferas de Dandelin - Contenido educativo

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Subido el 2 de mayo de 2018 por Manuel D.

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Teorema de Dandelín para la elipse: se demuestra la construcción geométrica de los focos sobre el plano que al seccionar el cono determina la elipse

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¿Qué tal chicos? Hoy os vengo a presentar a continuación un teorema sorprendente que 00:00:16
relaciona dos formas de ver las cónicas. Por un lado, podemos pensar una cónica como 00:00:22
la curva que genera un plano al cortar un cono. Sabemos que hay distintas maneras en 00:00:29
las que un plano puede cortar a un cono. Puede cortar a las dos hojas del cono y entonces 00:00:37
Entonces genera una curva de dos hojas llamada hipérbola. 00:00:43
Puede cortar a una de las dos hojas del cono, a una de las dos mitades, y puede ser oblicuo a la generatriz, no paralelo a esta. 00:00:49
Entonces lo que se genera es una curva cerrada conocida como elipse. 00:01:00
Sin embargo, si el plano es paralelo a la generatriz del cono, el cono es cortado en una curva abierta de una sola hoja que se llama parábola. 00:01:05
Aquí tenemos nuestro cono. Está representado en gris. 00:01:18
Vamos a seccionarlo mediante un plano. 00:01:22
Aquí tenéis el plano. 00:01:26
En función de la inclinación del plano respecto de la horizontal, es decir, este ángulo beta, 00:01:28
vamos a determinar una curva de corte que puede ser o bien una elipse como la que tenéis aquí, ¿veis? 00:01:33
Una elipse. 00:01:40
Cortando de manera paralela al cono tendríamos una parábola. 00:01:46
Aquí tenéis la parábola. 00:01:51
O bien, si la inclinación es tal que corta a las dos ramas, obtendríamos una hiperbola. 00:01:55
Aquí tenéis las dos ramas de la hiperbola. 00:02:05
Por otro lado, tenemos la expresión de las cónicas como lugares geométricos del plano, 00:02:07
aquellos puntos en el plano que vienen definidos por una propiedad dada. 00:02:15
Por ejemplo, la elipse, el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. 00:02:20
Pues bien, un matemático francés en el siglo XIX, en 1822, demostró un teorema sorprendente 00:02:29
que relaciona de una manera muy sencilla estas dos maneras de ver las conas. 00:02:38
Vamos a ver esto a continuación, demostrando este maravilloso teorema. 00:02:43
Bien, vamos al caso que nos ocupa, que es el de la elipse. 00:02:49
Tenemos nuestra elipse. 00:02:54
Vamos a inscribir dos esferas tangentes al cono y al plano simultáneamente. 00:02:55
Cada una de las esferas va a estar en lados contrarios del plano. 00:03:03
Una de ellas va a quedar por encima y otra de ellas, la segunda, va a quedar por debajo. 00:03:09
Cada una de las esferas es tangente al cono en un círculo, 00:03:15
vertical al eje y va a ser tangente al plano en un punto. 00:03:20
Tomemos ahora un punto de la elipse. 00:03:31
Un punto cualquiera de la elipse, aquí lo tenemos. 00:03:34
Vamos a calcular la distancia de ese punto a los dos focos de dos maneras distintas. 00:03:40
Una de ellas es como aparece en la figura, uniéndolos directamente con los focos. 00:03:45
Tenemos el segmento naranja y el segmento rojo. 00:03:50
Estos dos segmentos están contenidos en el plano de sección, así que son tangentes a las esferas. 00:03:54
de forma que si yo trazo las otras tangentes exteriores a las esferas 00:04:00
consigo dos segmentos que son de igual longitud 00:04:06
y podéis ver estos segmentos a los que me refiero 00:04:10
pintados del color correspondiente 00:04:14
los dos segmentos rojos son segmentos tangentes a la esfera pequeña 00:04:17
por un punto exterior, por tanto son de igual longitud 00:04:24
Para entender esto yo puedo pensar en un helado de cucurucho. 00:04:28
La distancia que hay desde el pico del cucurucho hasta la bola del helado es la misma desde cualquier segmento del cucurucho que yo elija. 00:04:32
Lo mismo ocurre con la esfera superior y los segmentos naranjas. 00:04:48
Por ello podemos deducir que la suma de distancias desde un punto de la elipse cualquiera a los dos focos coincide con la distancia que hay entre los dos círculos de tangencia medida sobre una de las generatrices del cono. 00:04:52
Y como los círculos están situados sobre planos paralelos, esta distancia va a ser constante. 00:05:14
Todo lo visto hasta ahora se puede resumir de la siguiente manera. 00:05:23
Si cortamos un cono con un plano que sea oblicuo tanto a la generatriz como a su eje, se genera una curva cerrada llamada elipse. 00:05:27
La suma de las distancias entre cada punto de la elipse y dos puntos fijos, llamados focos, es constante. 00:05:37
Estos dos puntos fijos se encuentran en los puntos de tangencia que determinan las esferas inscritas al cono y al plano de sección. 00:05:44
Bueno, chicos, hasta aquí ha llegado la demostración del teorema de Dandelion. 00:05:54
Espero que os haya gustado. 00:05:59
Esta es la manera más sencilla de demostrar la conexión entre cónica como sección del cono y cónica como lugar genético. 00:06:01
Hasta el siglo XIX no se conocía una demostración más sencilla. 00:06:11
Bueno, nos vemos en otra ocasión. Espero que os haya gustado el vídeo. 00:06:16
Un saludo. Hasta luego. 00:06:20
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
333
Fecha:
2 de mayo de 2018 - 22:13
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 04″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
445.27 MBytes

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