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Tema 6.- Progresiones 1ª Sesión 01-04-2025 - Contenido educativo

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Subido el 7 de abril de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase del día 1 de abril de matemáticas. 00:00:00
Hoy comenzamos tema nuevo de esta última evaluación 00:00:05
y este tema es el tema de progresiones y sucesiones. 00:00:10
Lo que vamos a ver en este tema van a ser las sucesiones aritméticas y geométricas 00:00:15
y luego veremos aplicaciones de ellas, como la intercalación de números en una serie 00:00:22
o cómo se calcula el interés compuesto 00:00:30
que sería una progresión geométrica 00:00:34
y su aplicación luego finalmente a problemas 00:00:36
vamos a comenzar 00:00:39
viendo qué es una sucesión 00:00:42
hay una pequeña introducción aquí 00:00:46
con juegos que nos encontramos muchas veces 00:00:48
en las oposiciones de cualquier tipo 00:00:50
el ser capaz de seguir unas series 00:00:55
numéricas, o en este caso, como ponía aquí en el dibujito 00:00:58
pues, serie de fichas de dominó 00:01:03
Bueno, pues vamos a ver un poco cómo funciona esto 00:01:05
cuando estemos hablando de sucesiones aritméticas 00:01:09
o progresiones geométricas 00:01:13
Lo primero que vamos a ver es 00:01:15
¿Qué es esto de una sucesión? 00:01:18
Bueno, pues una sucesión, como nos dice aquí 00:01:21
es un conjunto ordenado de números 00:01:23
Para saber ese orden, la nomenclatura que utilizamos es estas aes con un subíndice que me indica en qué posición está ese número 00:01:26
Pues a sub 1 porque sería el primero, a sub 2 sería el segundo, a sub 3 el tercero y así sucesivamente 00:01:38
O sea, cada uno de estos numeritos que hay en la sucesión vamos a llamarles términos 00:01:46
¿Vale? Y hemos dicho eso, que para localizar en qué posición está, nos fijaremos en el subíndice. 00:01:53
Estos términos de la sucesión vamos a poder determinarlos a partir de ciertos criterios de formación de la sucesión, 00:02:02
que es lo que llamaremos reglas de formación. 00:02:11
¿Vale? Y llamaremos término general de una sucesión al término que ocupe cualquier posición n, 00:02:13
¿vale? o sea, le llamaremos a su n 00:02:24
y que hay veces que tendremos una formulita para encontrarle 00:02:27
y otras utilizaremos lo que se llama una regla de recurrencia 00:02:32
entonces, esas formulitas que me van a dar 00:02:35
ese término general de la sucesión, tendrán asociada una expresión algebraica 00:02:40
que es la que al resolverla poniendo 00:02:44
la posición que quiero calcular, me dará que número 00:02:47
se ocupa esa posición. O sea, que sabremos el número en función de la posición n que 00:02:52
ocupe. Y en otros casos, los términos los sacaremos a través de los términos anteriores 00:02:58
a ellos. Y en ese caso lo que hacemos es hacer unas reglas de recurrencia que se llaman 00:03:05
esas. También son expresiones algebraicas que me dicen cuál va a ser el término n 00:03:10
en función de los términos que hay anteriores a él. Vamos a ver un ejemplo de cada cosa. 00:03:15
Lo tengo esta sucesión de números, el 4, el 7, el 10, el 13. ¿Qué te parece, Yolanda, que han hecho aquí para saltar de un numerito a otro? ¿Qué haces para pasar de 4 a 7? 00:03:22
¿Sumar? 00:03:40
¿Sumar? ¿Cuánto estás sumando? 00:03:41
3. ¿Y para pasar de 7 a 10? 00:03:45
Otros 3. 00:03:48
¿Y para pasar de 10 a 13? 00:03:49
O sea que te has dado cuenta de que estoy sumando y encima estoy sumando siempre el mismo número. Pues esta sería una progresión aritmética, porque lo que hago para pasar de un término a otro es sumar siempre una cantidad fija, que luego diremos que esta cantidad se le llama diferencia, cuando veamos cómo se calcula ese término general que hemos dicho, ¿vale? 00:03:52
O sea, que cada término le obtengo sumando 3 a la anterior, ¿vale? En estos casos me tienen que dar dónde comienza la sucesión, me tienen que decir cuál es el primer término, porque si no, no puedo arrancar. 00:04:15
Ahora, si me fijo en esta otra, digo 4, luego el 8, luego el 12, luego el 16. ¿Qué crees que está haciendo aquí? 00:04:29
De 4, de 4 en 4. 00:04:40
sumar 4, o también podríamos pensarlo como que está haciendo la tabla del 4, 4 por 1, 4 por 2, 4 por 3, 4 por 4, 00:04:43
o sea que lo puedo pensar como una sucesión aritmética como antes, pensando que empiezo en el 4 y voy sumando de 4 en 4, 00:04:52
o lo puedo pensar como una progresión geométrica diciendo que estoy multiplicando a cada posición, 00:05:00
a la posición 1 por 4, a la posición 2 por 4 00:05:08
a la posición 3 por 4, o sea que en definitiva en este caso estoy haciendo la tabla 00:05:12
de multiplicar del 4, ¿vale? Pues estos serían 00:05:16
dos casos de sucesiones en las que 00:05:20
puedo encontrar su término general en uno 00:05:24
como sucesión aritmética y en otro como progresión geométrica 00:05:27
Bueno, en este tema que os he puesto esta vez 00:05:32
Me ha gustado, lo he encontrado por ahí en internet y me ha gustado mucho porque trae ejercicios resueltos para que podáis ver varios ejemplos y luego trae ejercicios propuestos que tendremos que resolver, pero que al final del tema me dice las soluciones de esos ejercicios, el numerito final que me tiene que salir. 00:05:35
En este caso la sucesión o el término que me estén mandando calcular, con lo cual podéis ver si los ejercicios os están saliendo bien. Entonces, creo que os puede ser más útil y más práctico a la hora de estudiar el poder ver estos ejercicios resueltos, practicar con ellos y luego ya hacer los propuestos, lo que yo os diga, de los del final. 00:05:54
Bueno, pues tendríamos aquí varios tipos de ejercicios de estas dos sucesiones. 00:06:19
Por ejemplo, me pueden pedir el ejercicio de otra manera, como este ejercicio 4. 00:06:27
Me dicen, calcula los cuatro primeros términos de una sucesión donde me dicen cuál es la formulita del término general. 00:06:31
Donde yo quiero que cada término a su n salga de dividir n entre n más 1. 00:06:39
¿Qué hago si me lo preguntan así? 00:06:47
Pues nada, ir cambiando la n por el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, hasta el término que me digan. 00:06:49
Por ejemplo, el a sub 1, el primer término de esa sucesión, ¿quién va a ser? 00:06:57
Pues 1 dividido entre 1 más 1, pues va a ser un medio, mi primer término. 00:07:02
Mi segundo término, el a sub 2, pues será 2 dividido entre 1 más 2, pues la fracción 2 tercios. 00:07:09
Mi tercer término, 3 dividido entre 1 más 3, 3 cuartos. O sea que voy aplicando la formulita que me han dicho para distintos valores de la n. Como en este caso me darían los 4 primeros términos, pues yo hago esa cuenta tomando índices de 1 hasta 4 para que me salgan esos 4 primeros términos. 00:07:15
¿Vale? Otras veces la regla me la dan expresada con palabras, me dicen, en el ejercicio 5. Escribe 5 términos de una sucesión cuya regla de formación sea la siguiente. Que cada término sea la suma de los dos anteriores. 00:07:38
Bueno, pues me dicen que los dos primeros términos son el 3 y el 7 00:07:56
Lógicamente, si la regla depende de esos dos primeros términos, me los tienen que decir 00:08:03
Porque no sé cómo averiguarlos yo solo 00:08:09
Pero una vez que ya me los han dicho, yo hago la cuenta que me están diciendo 00:08:12
Que es que los vaya sumando 00:08:17
Bueno, pues entonces mi tercer término será sumar los dos anteriores 00:08:20
Los anteriores eran 3 y 7. Pues al sumar 3 más 7 me da 10. Mi cuarto término, ¿cuál sería? Sumar el 10 que me salió en el tercer término más el 7 que me salió en el segundo término, que son los dos inmediatamente anteriores al término 4. Pues 7 más 10, 17. 00:08:24
mi término 5, ¿qué será? 00:08:43
Yolanda 00:08:46
¿qué tendré que hacer para calcular el término 5? 00:08:47
7 más 10 00:08:52
ah, no 00:08:54
10 más 17 00:08:55
más 10 del término tercero 00:08:59
pues ya está, yo hago la cuenta 00:09:00
que me están diciendo 00:09:02
no hay más, ¿de acuerdo? 00:09:03
entonces, hemos visto 00:09:06
tres formas distintas 00:09:08
de pedirme que construya 00:09:09
esas sucesiones que vamos a querer estudiar. 00:09:12
Dos, que eran las progresiones aritméticas o geométricas, 00:09:16
en las que sumaba siempre lo mismo o multiplicaba siempre por el mismo número, 00:09:20
y estas otras en las que me dan esa relación o razón de recurrencia 00:09:25
en la que me están diciendo cómo se construye cada término en función de los anteriores. 00:09:30
Bueno, nosotros principalmente nos vamos a centrar en esas progresiones aritméticas y geométricas 00:09:37
En las sucesiones aritméticas y las progresiones geométricas 00:09:47
Aunque parece que estoy diciendo distinto nombre, es lo mismo 00:09:51
Nada más que cuando hablo de sumas le llamo sucesión 00:09:54
Y cuando hablo de multiplicaciones le llamo progresión 00:09:57
Para que así como que sepa en cada momento qué cuentas le voy a tener que hacer 00:10:00
Si una suma o una multiplicación 00:10:05
pero en realidad todas son en conjunto progresiones, ¿vale? 00:10:07
que es como se llamaba el tema 00:10:11
bueno, pues vamos a empezar con esas sucesiones o progresiones aritméticas 00:10:12
vamos a ver cómo se construye 00:10:23
voy a decir que tengo una progresión aritmética 00:10:26
si tengo una sucesión de números 00:10:29
en la cual cada término menos el primero 00:10:32
que me lo van a tener que decir siempre 00:10:36
se obtiene sumando al término anterior 00:10:38
una cantidad fija. 00:10:42
O sea, siempre voy a sumar el mismo número 00:10:45
para saber 00:10:46
y cuando me refiero a esa cantidad fija 00:10:49
la vamos a llamar diferencia. 00:10:53
¿Por qué la llamo diferencia? 00:10:55
Porque sería el resultado de restar dos números consecutivos 00:10:57
de esta sucesión. 00:11:01
Si yo resto dos números consecutivos 00:11:02
sé qué números es que está sumando 00:11:04
para pasar de uno a otro. 00:11:06
Es lo que has hecho en el primer ejemplo que te pregunté, ¿no? Entonces, tengo, por ejemplo, este 2, 4, 6, 8 que decíamos antes. ¿Cuál es la diferencia en esta sucesión? Pues 2, que sería la diferencia entre 4 menos 2, o entre 6 menos 2, menos 4, perdón, 8 menos 6. 00:11:07
O sea, que ya me doy cuenta que como están a la misma distancia todos en esta sucesión, pues lo que estoy haciendo es sumar todo el rato 2. 00:11:24
¿Qué más información me da esta diferencia, este numerito? Pues la información que me da es que si ese numerito es un número positivo, la sucesión va a ser creciente. 00:11:36
Voy a ir aumentando. Cada número va a ser mayor que el anterior. En este caso, dos unidades mayor. Y si esa diferencia fue un número negativo, como en este caso, la sucesión va a ser decreciente. Voy a ir disminuyendo. Cada número va a ser más pequeño que el anterior. 00:11:48
porque cuando la sucesión es decreciente y la diferencia es negativa 00:12:06
pues la suma que hacíamos antes se convertía en una resta 00:12:10
aquí para pasar del 7 al 5 hemos restado 2 00:12:14
para pasar del 5 al 3 he restado 2 00:12:17
para pasar del 3 al 1 he restado 2 00:12:19
¿cuál sería el siguiente número que aparezca en esta sucesión? 00:12:22
Yolanda, dándonos cuenta que lo que estoy haciendo es restar ese 2 00:12:25
¿cuál sería el siguiente? 00:12:29
menos 2 menos 00:12:33
Si estoy en el 1 y le resto 2 00:12:33
¿Cuál me saldría ahora a continuación? 00:12:37
Si al 1 le restas 2 00:12:42
Menos 2 00:12:43
Menos 1 00:12:44
Acuérdate que nos queda el 0 ahí entre medias 00:12:46
1, 0 y menos 1 00:12:50
O sea que menos 1 sería mi siguiente 00:12:53
Bueno 00:12:56
Pues ya hemos visto que si estoy en la progresión 00:12:57
Aritmética 00:13:00
Lo que voy haciendo es siempre sumar 00:13:01
O restar 00:13:04
si es que la diferencia es negativa 00:13:05
sumar o restar siempre el mismo número 00:13:08
¿cómo podré encontrar esa formulita que decíamos antes 00:13:11
que me calcula ese término general 00:13:16
que es capaz de darme cualquier término 00:13:18
el valor de cualquier término 00:13:22
sabiendo la posición que ocupa 00:13:25
pues vamos a verlo ahora mismo 00:13:26
como en una progresión aritmética 00:13:28
cada término viene de sumar a la anterior 00:13:31
la diferencia, entonces el término 2 sería 00:13:34
sumarle a A1 esa diferencia. Al término 3 00:13:38
sería sumarle a A2 la diferencia, pero habíamos dicho que el A2 00:13:43
era A1 más la diferencia, pues 00:13:46
entonces en realidad el A3 le podría sacar de sumar al A1 00:13:50
dos veces la diferencia, hacer dos saltitos en esta sucesión 00:13:54
y el término 4 sería de sumar al A1 tres veces 00:13:58
esa diferencia, o sea que es multiplicar la diferencia por el saltito que tengo desde 00:14:02
ese primer término a la posición a la que quiero llegar. Por ejemplo, aquí mi primer 00:14:09
término era el 3, la diferencia veo que es el 2, si yo quisiese saltar directamente 00:14:15
hasta el 11, lo que diría es que a ese 3 le sumo 4 veces 2, que son los saltitos que 00:14:20
doy 1, 2, 3 y 4 para llegar de esa posición 1 a esa posición 5, de ese a sub 1 a ese 00:14:28
a sub 5. Bueno, pues eso me valdría para cualquier término esa misma regla. Entonces, 00:14:38
si yo quiero llegar a un término general n saliendo del término 1, lo que hago es 00:14:45
sumar n menos 1 00:14:52
a veces, la diferencia 00:14:54
o sea que lo que voy a dar 00:14:56
es n menos 1 00:14:58
saltitos, siempre un salto 00:15:00
menos de la posición a la que quiero llegar 00:15:02
porque como no estoy saliendo de 0 00:15:04
sino que estoy saliendo de la posición 1 00:15:06
pues los saltos que doy es 1 menos 00:15:08
del número de la posición 00:15:10
a la que quiero llegar 00:15:12
con lo cual en este caso 00:15:13
el 11 que era la posición 5 00:15:15
pues saldría 00:15:18
de a1 más 00:15:19
5 menos 1, 4 veces 00:15:21
la diferencia queda 2 00:15:24
si yo a 3 00:15:26
le somo esas 4 veces 2 00:15:27
llego al 11 que queríamos 00:15:30
¿se ve Yolanda? 00:15:32
Sí 00:15:36
o escribimos un ejemplo que me vayas 00:15:36
diciendo tú que hago 00:15:38
por favor 00:15:40
es una pregunta trampa 00:15:42
porque te estoy diciendo lo que te voy a mandar 00:15:44
hacer ahora 00:15:46
imagínate 00:15:47
Que tengo esta sucesión, ¿vale? Que es tres, seis, nueve, doce, quince. ¿Qué te parece que estamos haciendo aquí? 00:15:50
Sumando de tres en tres. 00:16:06
Entonces tú dices, yo creo que aquí lo que estoy haciendo es una progresión aritmética 00:16:09
donde esa diferencia que hemos dicho es el 3, porque estoy sumando de 3 en 3 todo el rato. 00:16:17
Ahora, si mi primer término era el 3, o sea, si el a sub 1 vale 3, 00:16:29
y yo te preguntase cuánto va a valer el a sub 7 00:16:36
¿qué haríamos según la formulita del término general que hemos dicho? 00:16:40
Pues diré, voy a coger el a sub 1 00:16:45
más 7 menos 1 a veces 00:16:47
esa diferencia 00:16:52
o sea que el a sub 7 va a salir de sumarle a 3 00:16:54
6 veces 3 00:17:00
¿por qué? porque para llegar de la posición 1 a la 7 00:17:03
doy 6 saltitos 00:17:07
¿vale? puesto que el primero no le cuento nunca 00:17:09
la primera posición ya la tengo 00:17:12
tengo que hacer las otras 6 hasta llegar a 7 00:17:14
¿vale? o sea que siempre va a ser 00:17:17
un saltito menos que la posición a la que quiero llegar 00:17:20
¿vale? ¿Yolanda? 00:17:24
si yo hago esa cuenta 00:17:26
el número que está en la posición 7 va a ser 00:17:28
el 6 más 18 00:17:32
el 21 00:17:35
que podríamos comprobarlo 00:17:37
fácilmente, digo, esta era 00:17:39
el a sub 1 00:17:41
este es el a sub 2 00:17:42
este el 3, este el 4 00:17:44
este el 5 00:17:47
el a sub 6 00:17:49
¿quién sería? 00:17:51
si sigo sumando 3 sería el 18 00:17:52
y el a sub 7 ¿quién sería? 00:17:54
el 21 que acabamos de averiguar 00:17:57
¿vale? 00:17:59
Pero no me hace falta hacer toda la suficiencia entera. Si yo utilizo la formulita esta del término general, que me la tengo que aprender, diciendo que cualquier término que ocupe la posición n va a salir de que al primero que me dan le sume n-1 a veces la diferencia, pues puedo encontrar el término que a mí me dé la gana. 00:18:00
¿Vale? Sin necesidad 00:18:25
de saber los términos que hay entre medias 00:18:28
ni ir sumando de uno en uno 00:18:30
¿Vale? 00:18:31
¿Entendido, Yolanda? 00:18:34
Sí. Bueno, pues ahora yo te 00:18:36
pregunto, ¿quién sería el término 00:18:38
de esta progresión aritmética? 00:18:41
El término 16 00:18:46
¿Qué harías para calcular el término 16? 00:18:47
Para llegar al 16 00:18:55
Fíjate que tenemos que aplicar esta fórmula, ¿vale? 00:18:57
ahora la n es 16 00:18:59
¿qué pongo en la primera 00:19:01
como primer valor? 00:19:03
ay, que nunca me acuerdo que no veis el puntero 00:19:08
si no muevo yo con el ratón 00:19:10
sí, sí, ahora sí se ve 00:19:11
el término 16, ahora la n 00:19:13
que quiero es un 16 00:19:16
pues me vengo y aplico 00:19:18
esta fórmula, digo ¿quién era 00:19:20
el primer término? ¿quién era el 00:19:22
término a1? 00:19:24
el 3, ¿no? 00:19:28
el 3, sí 00:19:29
al 3, que era mi primer término 00:19:30
le tengo que sumar 00:19:34
¿qué? 00:19:35
n menos 1 veces 00:19:37
la diferencia 00:19:39
más 16 menos 1 00:19:40
efectivamente 00:19:42
16 menos 1 00:19:43
veces ¿qué? 00:19:46
es lo que le sumaba 16 menos 1 00:19:48
¿quién era la diferencia? 00:19:50
¿qué número era el que usabas tú 00:19:54
para saltar de una posición a otra? 00:19:56
tengo que buscar 00:19:59
el número que llega 00:20:00
ya me tenías que buscar 00:20:02
el 3 00:20:03
El 3, porque dijiste que iba saltando de 3 en 3, ¿no? Pues entonces tengo que sumar el 3, esas 16 menos 1 a veces. 00:20:05
Entonces, digamos, el 3 más 16 menos 1, que es 15, por el 3 ese que estoy sumando, pues tengo 3 más 3 por 5, 15. 00:20:16
una es 3 y una 4 00:20:28
3 más 45 00:20:30
el número que estaría 00:20:32
en la posición 16 00:20:34
sería el 48 00:20:36
y no me ha hecho falta 00:20:38
saber los anteriores 00:20:40
solo he tenido que utilizar 00:20:41
esta regla de recurrencia 00:20:43
que me da el término general 00:20:46
de la progresión aritmética 00:20:47
que siempre se va a cumplir 00:20:49
¿vale? 00:20:52
lo único que tendré que saber es 00:20:53
¿qué diferencia 00:20:55
es la que tengo que ir sumando 00:20:57
y hasta qué número quiero llegar 00:20:59
para saber cuántas veces tengo que sumar esa diferencia 00:21:01
y el primer término que me le van a dar 100 00:21:04
¿vale? 00:21:06
sí 00:21:08
¿entendido? 00:21:09
estas son las versiones aritméticas 00:21:10
¿eh? 00:21:11
aquí sí 00:21:14
aquí sí 00:21:15
me tengo que aprender la fórmula 00:21:16
sí, la fórmula te la tienes que saber 00:21:17
o acordarte de hacer la relación esta 00:21:19
que es la que te lleva a cómo sale la fórmula 00:21:22
¿vale? 00:21:25
esto es de los que 00:21:25
es la fórmula muy facilita 00:21:27
pero es que el razonamiento también es muy facilito 00:21:29
por lo cual, pues 00:21:31
si se te olvidan en un momento dado 00:21:33
tú te construyes una sucesión con los números que a ti te 00:21:35
de la gana, sabiendo 00:21:37
qué suma estás haciendo para saltar de uno a otro 00:21:39
y luego te calculas 00:21:41
ese término general pensando que es lo que ha pasado 00:21:43
¿vale? bueno 00:21:45
otra formulita que te tienes que aprender 00:21:47
porque te voy a enseñar el truco de 00:21:49
de dónde sale, ¿vale? y es 00:21:51
cómo se calcula la suma de los n primeros términos de esa progresión aritmética, ¿vale? 00:21:52
Y mira, te voy a contar una historia que es real, que es de quién descubrió esta formulita y cómo lo hizo. 00:22:01
Estaba un matemático que se llamaba Gauss en el cole, de pequeñito, tenía solo 10 años, ¿eh? 00:22:12
Fíjate, si iba a ser fácil que lo descubriera un niño con 10 años. 00:22:19
Y la profe, para que estuviesen los niños entretenidos y ya pudiesen hacer sus cosas, 00:22:24
les iba poniendo deberes y le decía, venga, a ver, sumadme todos los números del 1 hasta el 10. 00:22:29
Claro, los niños empezaban 1, más 2, 3, más 3, 6, más 4, 10. 00:22:39
Y Gauss nada más de decir eso decía 55 señorita. Bueno, hacían la suma y efectivamente salía 55. Bueno, ahora sumadme todos los números del 1 al 20. 00:22:46
Y los niños otra vez, uno más dos, tres, más tres, seis, más cuatro, diez, más cinco, quince, y tal. Y Gaul llegaba y decía, 210 señorita, pero sin copiar casi ni los números. Y la señorita pues estaba un poco alucinada, dijo, a ver, tú, niño repipi, ¿qué estás haciendo para hacerlo tan deprisa? 00:23:01
Sabos que esto ya lo has hecho en tu casa con tus padres. 00:23:26
Y el señorito este le dijo a su profe, no, mira, señorita, es muy fácil, 00:23:30
porque si hacemos lo siguiente, que es que yo sume el primer término con el último, 00:23:36
¿qué me va a dar? 11. 00:23:46
Pero si sumo 2 con el penúltimo, que es el 9, ¿qué me va a dar? 11 también. 00:23:49
Pero es que si sumo el 3 con el siguiente, con el 8, también me da 11. 00:23:56
Y si sumo 4 con el 7, también me da 11. 00:24:03
Y si sumo 5 con el 6, también me da 11. 00:24:08
Entonces solo tengo que contar cuántos 11 me han salido. 00:24:12
¿Qué te parece la idea de este buen hombre? 00:24:16
Buenísima, ¿verdad? 00:24:20
Sí, sí, sí. 00:24:21
Pues entonces, lo que dijo es este señor, si al primer término, a la su1, en este ejemplo es el 2, le sumo el último, en este ejemplo es el 12, y lo divido entre 2, y lo que me salga lo multiplico por el número de términos que yo quería sumar, me sale el resultado de la suma de toda la serie entera, de toda la sucesión. 00:24:22
pues una idea maravillosa 00:24:48
porque funciona siempre 00:24:51
y no tengo que ir sumando uno a uno 00:24:53
solo tengo que hacer dos sumas 00:24:55
y una división y una multiplicación 00:24:57
porque como siempre van a sumar 00:24:59
lo mismo, esas parejas que haga 00:25:03
y el número de parejas que voy a poder hacer será 00:25:05
la mitad de los números que tengo 00:25:08
porque como cada dos se convierten en una pareja 00:25:12
pues al final tengo que hacer 00:25:15
n medios sumas, ¿vale? 00:25:17
¿Lo ves? 00:25:20
O así, así. 00:25:23
Este, lo... Bueno, he entendido que 00:25:27
hay que multiplicar por los 00:25:30
términos que hay, ¿no? 00:25:33
Por la mitad de los términos que hay. 00:25:35
Tienes que sumar el primer término y el último 00:25:39
y multiplicarlo por el número que te salga 00:25:42
al hacer la mitad de los términos que tienes. 00:25:46
porque cada dos términos forman una pareja 00:25:47
entonces tendrás la mitad de parejas que de términos 00:25:52
si tú en una fiesta tienes 40 personas 00:25:55
¿cuántas parejas puedes hacer? 20 00:25:58
si tienes 30 personas puedes hacer 15 00:26:01
siempre la mitad de parejas que de personas 00:26:03
la mitad de parejas que de números tenga la solución 00:26:06
y esa mitad se la tienes que multiplicar 00:26:09
a lo que te salga de sumar el primer término más el último 00:26:14
siempre, ¿vale? 00:26:17
O sea, que la formulita que nos queda es esta 00:26:19
que te pone aquí. 00:26:20
Aquí en vez de una S, a mí me gusta poner 00:26:22
ese N para saber que estoy sumando los N 00:26:24
en primeros términos. Pero bueno, solo es 00:26:26
notación, o sea, como la pone aquí arriba, ¿vale? 00:26:28
Con una N pequeñita debajo 00:26:31
para saber que así estoy sumando del término 00:26:32
1 hasta el N, ¿de acuerdo? 00:26:34
Vale, vale. Vamos a ver 00:26:37
un ejemplo para que veas que sí 00:26:38
que lo sabes. 00:26:40
Yo te digo, en nuestra sucesión de antes, tengo los siguientes números. Acuérdate que teníamos la sucesión que era 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ¿vale? 00:26:41
Pues yo te digo, a ver, Yolanda, ¿cuál sería la suma de los siete primeros términos de esta sucesión? 00:27:05
¿Qué me dirías tú? 00:27:23
Bueno, pues es el primer término más el término siete, porque es hasta donde quiero llegar, ¿vale? 00:27:24
dividido entre 2 y multiplicado por 7 00:27:32
que es el término que quería llegar, la n a la que quiero llegar 00:27:37
bueno, pues como el a sub 1 vale 3 00:27:40
y el a sub 7 valía 21 00:27:43
pues la suma de esos términos que me has dicho 00:27:47
es 3 más 21, 24 00:27:52
dividido entre 2 por 7, siguiendo el orden de las operaciones 00:27:56
para poder hacer la división necesito saber qué número tengo 00:28:01
en el numerador, ¿no? Tengo que hacer la suma primero 00:28:04
y luego ya la división. Cuando ya he hecho esa suma 00:28:07
puedo decir 24 entre 2 00:28:10
es 12. O sea, que me está diciendo 00:28:13
que tengo que 00:28:16
sumar 7 veces ese 12 00:28:19
que eran las 7 parejas que me 00:28:21
las parejas que me salían, ¿vale? Pues digo 00:28:24
7 por 12, ¿cuánto va a ser? 00:28:27
pero si yo viniese aquí a mi externo 00:28:31
le digo 3 y 6, 9 00:28:33
y 9, 18 00:28:34
y 12, 30 00:28:39
y 15, 45 00:28:40
y 18, 55 00:28:44
63 y 21, 84 00:28:48
pero ha sido mucho más fácil 00:28:51
hacer la cuenta con la formulita, ¿no? 00:28:53
Sí. Y ir sumando uno a uno 00:28:55
porque imagínate que en vez de 00:28:57
mandarte que sumes los 7 primeros términos 00:28:59
te digo que sumes los 100 primeros 00:29:01
pues como vayas sumando 00:29:03
uno a uno, te quedas sin tiempo 00:29:05
en el examen, ¿no? 00:29:07
aunque te dejes la calculadora, te tiras 3 días ahí 00:29:08
dándole a la tecla 00:29:11
¿vale? mientras que así 00:29:13
solo me quedo con que tengo que coger 00:29:15
el primero y el último 00:29:17
y luego el número de posiciones 00:29:18
que me han mandado sumar 00:29:21
y dividir entre 2 00:29:22
a esa multiplicación y ya está 00:29:24
¿vale? siempre lo mismo 00:29:26
siempre esta 00:29:28
formulita que hemos dicho antes 00:29:30
¿de acuerdo? 00:29:32
¿sí? 00:29:34
sí, sí 00:29:37
pues entonces 00:29:37
las progresiones aritméticas 00:29:40
las tenemos controladas 00:29:42
somos ya capaces de encontrar 00:29:44
ese término general 00:29:46
que era esta formulita 00:29:48
y ahora encima soy capaz de sumar 00:29:49
los términos que me digan 00:29:52
¿no? 00:29:54
sí 00:29:56
O sea, estas dos formulitas, como bien has dicho antes, no las tenemos que saber o tengo que saber razonarlas para volverlas a recordar, ¿vale? Bueno, pues con otras dos formulitas más vamos a tener el tema controlado, ¿vale? 00:29:56
Entonces, todos estos ejercicios que hay aquí resueltos se referirían a distintas formas de preguntarme esto, del término general, la suma de términos, tal, tal, para que les puedas echar un ojito, ¿vale? 00:30:13
Porque hoy te voy a contar toda la teoría de este tema para que luego de hoy al martes que viene pienses tú los ejercicios y el martes que viene le vamos a dedicar a hacer ejercicios, ¿vale? Pero que te hayas hecho por lo menos estos resueltos y si intentas hacer lo que proponga, pues mejor, ¿vale? 00:30:26
que por cierto, se me ha ido la pinta y me parece que no os he puesto en el tema 00:30:45
cuáles son las que tenéis que hacer 00:30:49
a ver si no se me olvida luego, que antes cuando he entrado digo ahí va, si no los he escrito 00:30:52
bueno, pues vamos a ver qué pasaría en las progresiones geométricas 00:30:55
que va a ser una cosa pues bastante parecida a esta 00:31:01
nada más que ahora en vez de con sumas voy a ir haciendo multiplicaciones 00:31:04
¿vale? bueno, pues la definición de una progresión geométrica 00:31:09
es que es una sucesión en la que cada término menos el primero, que me van a tener que dar, 00:31:13
se va a obtener multiplicando el anterior por un número fijo siempre. Y a ese número 00:31:22
fijo le vamos a llamar ahora razón de la progresión. En las progresiones aritméticas 00:31:29
le llamábamos diferencia y aquí le llamamos razón. En las progresiones aritméticas le 00:31:35
llamamos diferencia, porque para encontrar ese número lo que hacíamos era 00:31:41
restar dos números consecutivos y aquí le llamamos razón 00:31:45
porque para encontrar ese número, por lo que estoy multiplicando, lo que hago es dividir 00:31:49
dos números consecutivos, ¿vale? Por eso 00:31:53
cada uno de los nombres, porque me ayuda a saber qué operación es la que 00:31:57
tengo que hacer para calcularlo. Bueno, pues tengo esta progresión 00:32:01
que dice, tengo el primer número el 3, luego el 6 00:32:05
luego el 12, luego el 24 00:32:09
luego el 48 00:32:11
¿qué está ocurriendo aquí? 00:32:13
¿cómo salto de un número a otro, Yolanda? 00:32:15
¿de 4 en 4? 00:32:19
¿segura? 00:32:21
de 3 a 6 no hay 4, hay 3 00:32:22
y de 6 a 2 no hay 4, hay 6 00:32:24
y de 12 a 24 hay 12 00:32:26
o sea que no va con una cantidad 00:32:28
sumada 00:32:31
¿qué te parece si digo que 00:32:32
si multiplico el 3 por 2 00:32:35
me da 6 00:32:37
Si multiplico el 6 por 2 me da 12. Si multiplico el 12 por 2 me da 24. El 24 por 2 me da 48. O sea que entonces me doy cuenta que ahora lo que estoy haciendo no es sumar, sino que lo que estoy haciendo es multiplicar. 00:32:39
Y multiplico siempre por el mismo número. ¿Quién es ese número? ¿Quién es esa razón? Voy a dividir dos términos consecutivos. ¿Cuánto me da si divido 6 entre 3? 2. ¿Cuánto me daría si dividiese 12 entre 6? 2. ¿Cuánto me daría si dividiese 24 entre 12? 2. 00:32:55
O sea, que estoy viendo que el número que yo quería es el 2, es el número por el que yo quiero ir multiplicando para que se vaya duplicando el resultado, ¿vale? 00:33:15
Sí. 00:33:26
Entonces, como ya sé que estoy multiplicando por 2, voy a ver si consigo averiguar cómo se calcularía el término general. 00:33:26
¿Cómo conseguiría sacar ese término n sabiendo solo el primero y la razón? 00:33:36
Bueno, el término primero me lo tienen que dar 00:33:42
Y ahora el segundo sale de multiplicar al término primero por esa r 00:33:46
El término tercero saldría de multiplicar al término segundo por esa r 00:33:51
Pero como el término segundo era ya a su 1 por r 00:33:56
¿Qué me queda? Mira, te lo voy a escribir 00:34:01
Aquí mejor 00:34:04
Que decírtelo porque si no es más difícil 00:34:05
Digo, el primer término me le dan a sub 1. 00:34:09
Ahora sé que el término 2 es multiplicar a sub 1 por r. 00:34:14
Que el término 3 es multiplicar a sub 2 por r. 00:34:20
Pero, si yo meto esto aquí, como a sub 2 era lo mismo que a sub 1 por r, 00:34:25
si ahora multiplico por otra r, que sería esta, 00:34:32
es lo mismo que si hubiese multiplicado 00:34:34
al a sub 1 por r al cuadrado 00:34:37
que es dos veces r 00:34:40
el a sub 4 sería multiplicar 00:34:42
a sub 3 por r 00:34:46
pero es que a sub 3 era 00:34:48
lo mismo que a sub 1 por r al cuadrado 00:34:52
o sea que en vez de poner a sub 3 pongo 00:34:55
a sub 1 por r al cuadrado 00:34:57
y por esta otra r 00:35:00
¿a qué me lleva? 00:35:02
a que sería como si hubiese multiplicado al a sub 1 00:35:05
por r al cubo 00:35:07
¿lo ves? 00:35:09
sí 00:35:11
bueno, si yo siguiese ese razonamiento 00:35:12
hasta el término n 00:35:15
me diría que el término n 00:35:18
sale de multiplicar al a sub 1 00:35:21
por r elevado a n menos 1 00:35:23
porque siempre he multiplicado por una r menos 00:35:26
que la posición a la que quería llegar 00:35:30
cuando quería llegar a la posición 4 00:35:33
yo multiplicaba por r al cubo 00:35:36
cuando quería llegar a la posición 3 00:35:38
por r al cuadrado 00:35:40
cuando quería llegar a la posición 2 00:35:42
por r elevado a 1 00:35:44
pues cuando quiera llegar a la posición r 00:35:45
por r elevado a n-1 00:35:48
pues esta formulita es mi término general 00:35:49
es la que me está diciendo 00:35:53
esa recurrencia que se cumple 00:35:55
para encontrar cualquier término 00:35:57
de esa progresión geométrica 00:35:59
¿vale? ¿lo ves? 00:36:01
sí, sí, sí 00:36:03
entonces, en nuestro ejemplo 00:36:05
para que lo veas con 00:36:07
nuestro ejemplo me decía que teníamos 00:36:08
a ver, era 00:36:11
el 1, el 3 00:36:12
el 9 00:36:15
el 27 00:36:16
el 81 00:36:19
¿vale? ¿de acuerdo? 00:36:21
en la que estoy viendo que estoy multiplicando 00:36:24
por 3 todo el rato 00:36:25
Pues digo, si quiero llegar al término 20 00:36:27
¿Quién sería ese término 20? 00:36:31
Pues sería el a1 por la razón elevado a n-1 00:36:35
Pero ahora sé que el a1 es el 1 00:36:42
Que es donde ha empezado mi progresión 00:36:47
Y sé que la r es 3 00:36:50
Porque es el número porque lo voy multiplicando todo el rato 00:36:54
y sé que la posición en la que quiero llegar es la posición 20, pues si cambio todos esos valores por lo que tengo aquí en la fórmula, 00:36:57
diríamos que tengo que el a sub 20 es 1, que valía ese a sub 1, por el 3 que vale la razón, elevado a 20 menos 1, 00:37:06
pues sería 00:37:19
1 por 3 00:37:21
elevado a 19 00:37:24
y 3 elevado a 19 00:37:25
o con lo que me diga la calculadora 00:37:27
pues haré un número gigantesco 00:37:29
¿vale? ese ya le haría con la calculadora 00:37:31
¿de acuerdo? 00:37:34
pero no voy tecleando 1 a 1 00:37:35
sino que en mi calculadora 00:37:36
por ejemplo las que tenemos aquí que te las dejaré 00:37:38
para hacer una potencia lo que hago es 00:37:41
poner un simbolito así que se llama galón 00:37:43
digo el número de la base 00:37:45
pongo el galoncito 00:37:48
y el número del exponente 00:37:49
y a la calculadora me hace 00:37:50
y me saca el número que quiero 00:37:52
¿de acuerdo? 00:37:54
hay otras calculadoras 00:37:58
que te ponen x elevado a y 00:37:59
y tienes que decir 00:38:02
tienes la x 00:38:03
dar a esa tecla de x elevado a y 00:38:04
luego al 19 00:38:07
ya te saca otras calculadoras 00:38:08
que te ponen x 00:38:11
y un cuadradito así en blanco 00:38:12
pues tienes que hacer lo mismo 00:38:14
3 por esa 00:38:16
tecla de X con el cuadradito 00:38:18
y el 19 y te saca ya 00:38:21
el número que sea, ¿vale? 00:38:23
El día del examen, como yo dejaré la calculadora, 00:38:25
pues si no traes ninguna que sepas 00:38:27
manejar, pues yo con una que te deje 00:38:29
te diré cómo se hace, ¿vale? 00:38:31
¿De acuerdo? ¿Sí? 00:38:33
Lo que quiero ahora es que te aprendas 00:38:35
esta formulita, ¿vale? 00:38:37
El próximo día. O sea, que ya 00:38:39
llevamos tres fórmulas que te tienes que sacar. 00:38:41
Vamos a por una cuarta para 00:38:44
redondear, que siempre es mejor 00:38:45
dos parejas que una, ¿no? 00:38:47
Bueno, pues voy a ver ahora, igual que hicimos antes, cómo puedo sumar n términos de una progresión geométrica. 00:38:48
Ahora, ¿qué haría? Y aquí el razonamiento es uno que ya hicimos en cómo se calculaba la fracción generatriz de un número periódico puro, ¿vale? 00:38:59
te voy a decirlo, porque aquí no he hecho el cálculo 00:39:12
directamente poniendo las formulitas 00:39:15
que me vale cualquiera de estas dos fórmulas 00:39:17
¿vale? el a sub n por r menos 1 00:39:19
entre r menos 1 00:39:22
o a sub 1, que a mí me gusta más esta 00:39:23
porque solo tengo que saber quién es el primer 00:39:25
término, no me hace falta saber el último 00:39:28
¿vale? pero te voy a decir 00:39:29
cómo se calcula, luego 00:39:31
para que no nos confundamos 00:39:33
la suma de los infinitos términos, esta no hace 00:39:35
falta que la sepas 00:39:37
ni la del producto 00:39:40
Solo quiero que sepáis, término general y suma de n términos, tanto en progresión aritmética como en geométrica. No os voy a poner ejercicios ni en los de los deberes ni en el examen distintos a eso, porque estas ya son más complicadas, se usan menos y en lo que pretendemos de los problemas de cálculo de interés compuesto y de interpolación de números no nos hacen falta ni esta ni esta de aquí abajo. 00:39:41
Entonces, como son más complicadas de entender y encima no las vamos a usar, pues os las perdono, ¿vale? 00:40:09
Sí, bueno. 00:40:19
Bueno, pues ahora te voy a contar cómo se saca esta y con eso tendríamos la clase de hoy muy aprovechada, si lo has entendido todo, ¿vale? 00:40:21
Y si no, como tiene los ejercicios eso para practicar, pues esta semana practica y la semana que viene le damos la propia a los ejercicios, ¿vale? 00:40:31
Venga, vamos a por ello. 00:40:38
Entonces, quiero hacer la suma de los n primeros términos en una progresión geométrica. 00:40:47
Yo digo que mi término... 00:41:03
A ver... 00:41:09
Perdón, el borrador se me ha ido ahora. 00:41:10
Imagínate, lo vamos a escribir así. 00:41:19
Y si yo dijese que quiero sumar los n primeros términos, podría decir que sume el a sub 1 más el a sub 2 más el a sub 3, ¿no? 00:41:20
Más a sub n, ¿sí o no? 00:41:31
Sí. 00:41:34
¿Vale? Pero imagínate que digo, bueno, y si a esa suma la multiplico por r, ¿qué pasa? 00:41:35
Pues pasaría lo siguiente, que si yo al a sub 1 le multiplico por r, me da el a sub 2. 00:41:42
porque decíamos que cada término 00:41:49
era multiplicar el anterior por R, ¿no? 00:41:52
¿Sí o no? 00:41:55
Y si multiplico a la sub 2 por R 00:41:56
me daría la sub 3, ¿no? 00:41:59
Pues si hago eso sucesivamente 00:42:02
resulta que cuando llego a la sub n 00:42:04
y le multiplico por R 00:42:06
me da el a sub n más 1, ¿vale? 00:42:07
¿Sí? 00:42:12
¿Ya me acuerdo conmigo? 00:42:14
Bueno, acuérdate que esto lo hicimos ya 00:42:15
en las progresiones, digo, en los términos generales de los números periódicos. 00:42:18
Digo, bueno, si yo ahora cogiese y a este número, que es más grande que este, 00:42:26
le quitase ese primero, si yo a r por sn le restase la suma de los n primeros términos, 00:42:36
¿qué pasaría? Pues pasaría lo siguiente, que a este a sub 2 le estoy quitando ese a sub 2, 00:42:46
a este a sub 3 le estaría quitando ese a sub 3, al a sub n que estaría por aquí le estaría 00:42:56
quitando ese a sub n. ¿Quién me quedaría solo después de hacer esa resta? Pues me 00:43:01
Me quedaría el a sub n más 1 menos el a sub 1. 00:43:07
El término más grande menos el más chiquito de la primera suma. 00:43:13
Bueno, pero es que yo no quería saber quién era esta resta. 00:43:18
Yo lo que quería saber era quién era la sn sola. 00:43:22
Bueno, pues si saco factor común aquí a sn, 00:43:25
digo, si quito sn de este primer término, me quedaría solo la r. 00:43:31
Y si quito ese n de este segundo término, me quedaría un menos 1. 00:43:36
¿Vale? ¿Lo has visto esto? 00:43:42
Y eso me quedaría que es igual a a sub n más 1 menos a sub 1. 00:43:45
Bueno, pues entonces la sn que estoy buscando es todo esto que está multiplicando, me lo llevo al otro lado dividiendo. 00:43:50
saldría de que al término n más 1 00:43:57
le quite el primer término 00:44:01
y lo que me quede de resultado lo divida entre r menos 1 00:44:05
¿vale? pero, y esta sería mi primera 00:44:09
fórmula, esta es mi primera forma de encontrar la suma 00:44:13
de los n primeros términos, yo digo bueno, es que yo podría 00:44:17
hacer esta fórmula pero solo utilizando el primer 00:44:21
Término. Porque yo sé que el término a su n más 1, ¿vale? El término a su n más 1, dijimos aquí, que salía de a su n por r, ¿no? 00:44:25
Sí. 00:44:40
Yo puedo decir que eso es a su n por r, y menos a su 1 partido de r menos 1. 00:44:41
Pero, además, yo sabía de la fórmula del término general que el término a su n era el a su 1 por r elevado a n menos 1 a veces. 00:44:49
¿Sí? 00:45:01
Esta era la fórmula del término general de una progresión geométrica. 00:45:03
Si cambio ese a sub n por esto, ¿qué me queda? a sub 1 por r elevado a n menos 1 por otra r y menos a sub 1 entre r menos 1. 00:45:07
Bueno, pero es que todavía puedo realizar más el rizo y simplificar cosas, porque este r menos 1, si lo multiplico por otra r, me da r elevado a n. 00:45:21
O sea que me queda a sub 1 por r elevado a n menos a sub 1 entre r menos 1. 00:45:35
Anda leche, pero es que todavía puedo hacer más. 00:45:45
Porque visto así, podríamos hacerlo de antes, sacar factor común al a sub 1. 00:45:48
Porque se está repitiendo en los dos términos del numerador. 00:45:54
Saco factor común al a sub 1 y cuando quito a sub 1 de este primer término, 00:45:59
que me queda r a la n, y cuando quito a su 1 del segundo término, que me queda un 1, 00:46:04
pues tengo esta otra forma de ver la suma de los n primeros términos con esta otra fórmula, ¿vale? 00:46:14
En la que solo tengo que conocer quién es el primer término, cuánto vale la razón y a qué término quiero llegar. 00:46:22
en el fondo esa es la misma que esta otra 00:46:31
pero aquí necesitaría saber el primer término 00:46:34
el término de más uno y la razón 00:46:38
o sea que dependiendo de la sucesión que tenga 00:46:40
de los datos que me den 00:46:43
pues uso una o uso la otra 00:46:45
porque en el fondo son la misma pero de distinta manera 00:46:48
¿vale? 00:46:52
pues esas son las dos formulitas que me pone aquí 00:46:54
la de a su n por r menos uno 00:46:57
y a su 1 por la otra, ¿vale? 00:47:01
¿De acuerdo? Esta está mal. Aquí no es un 1, aquí es un a su 1, ¿vale? 00:47:05
Que aquí, ¿ves lo que te estoy diciendo? 00:47:10
Mira, esta saldría de a su n 00:47:12
por r menos a su 1. Y aquí han puesto 00:47:16
a su n por r menos 1, en vez de menos a su 1. 00:47:20
Por eso te decía que yo usaba mejor esta otra, porque se parece más 00:47:24
en la suma de las progresiones aritméticas 00:47:28
pues todo eso depende del primer término, ¿vale? 00:47:32
porque encima aquí la han escrito mal 00:47:35
¿vale? si la miras desde aquí 00:47:37
luego lo corriges y te has imprimido esto 00:47:41
pues acuérdate luego de cambiar eso 00:47:43
en la fórmula, ¿vale? si vas a usar esta 00:47:46
acuérdate que aquí hay una columna 00:47:50
no es un 1 solo, ¿vale? 00:47:52
o subrayarte esta otra 00:47:54
y aprenderte esta otra sola, no las dos 00:47:58
yo te aconsejaría eso, que aprendieses esta segunda 00:48:01
y esta primera, no te olvides de ella, esta última 00:48:06
es la que es más fácil de recordar, creo yo 00:48:09
¿de acuerdo? 00:48:13
muy bien, bueno pues hasta aquí hemos llegado 00:48:17
hoy. Ahora te voy a poner 00:48:21
qué ejercicios hay que hacer de los 00:48:23
del final, pero prefiero 00:48:25
que sí que te mires estos resueltos que 00:48:27
vienen aquí en las zonas estas grises. 00:48:29
¿De acuerdo? El próximo día 00:48:31
veremos aplicaciones de ello 00:48:33
y qué es esto de la interpolación interés 00:48:35
compuesto, que tardaremos un segundo 00:48:37
en verlo y luego ya nos dedicamos a los ejercicios 00:48:39
y las dudas que tú quieras, porque este tema 00:48:41
es muy cortito, ya, se acaba aquí. 00:48:43
¿Vale? Bueno. 00:48:45
Aquí vuelve a haber ejercicios 00:48:47
mezclados ya de todo, todos los que 00:48:49
tienen sombreado gris están resueltos 00:48:51
los que os voy a poner ahora 00:48:53
para que podáis practicar 00:48:54
son estos que están en blanco 00:48:56
que como te digo 00:48:58
o como digo a todos los que luego estén 00:48:59
vean, tenéis las soluciones 00:49:02
aquí al final 00:49:05
esto que viene aquí en gris 00:49:06
serían las soluciones de los ejercicios que hay arriba en blanco 00:49:08
de los que pone que son para practicar 00:49:11
¿vale? 00:49:13
y luego por último, en este tema 00:49:14
trae una cosa también muy curiosa 00:49:17
que es como una especie de samencillo 00:49:18
para ver si más o menos me he enterado de las cosas 00:49:20
pues también las soluciones 00:49:23
de ese examen 00:49:25
están al final del todo 00:49:26
en lo que pone aquí soluciones de la autoevaluación 00:49:28
aquí tenéis para 00:49:33
practicar y poder comprobar si se ha salido 00:49:35
bien un montón de ejercicios 00:49:37
¿vale? ahora mismo 00:49:38
lo que empiezo la siguiente clase 00:49:41
voy a poner un segundo 00:49:42
los que hay que hacer 00:49:43
los que tiendan a entregar evaluación continua 00:49:47
Si tú misma quieres hacer evaluación continua a esta evaluación, porque a veces te van saliendo y te da tiempo, pues los que tenéis que entregar, ¿vale? 00:49:49
Bueno. 00:49:58
¿De acuerdo? 00:49:59
Bueno, pues aquí lo dejamos. 00:50:00
Que tengas buena tarde, buen fin de semana y el lunes que viene un poquito más de química para rematar la temporada de química, ¿vale? 00:50:02
Sí, muy bien. 00:50:10
Buena tarde. 00:50:12
Gracias, hasta luego. 00:50:13
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Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
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Angel Luis S.
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Fecha:
7 de abril de 2025 - 10:21
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
50′ 15″
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1.78:1
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