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3ª Sesión T2.- Números Racionales 30-10-2025 - Contenido educativo

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Subido el 31 de octubre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas nivel 2 del día 30 de octubre. 00:00:00
El último día estuvimos viendo cómo se sumaban y restaban fracciones o números racionales. 00:00:07
Hoy vamos a seguir viendo las siguientes operaciones, que son la multiplicación y división y las potencias. 00:00:15
para luego terminar viendo cómo se opera cuando tenemos todas juntas 00:00:23
que sería con la misma lógica de razonamiento 00:00:29
que hacíamos las operaciones combinadas en números enteros, en números naturales, en todos 00:00:33
o sea, el proceso es el mismo 00:00:38
pero empezamos viendo estas operaciones individuales de forma más sencillita 00:00:40
Empezamos con el producto 00:00:47
¿Cómo se multiplican fracciones? 00:00:50
Pues, cuando yo quiero multiplicar dos fracciones, a partido b por c partido de d, lo que hago es multiplicar por un lado sus numeradores y por otro lado sus denominadores. 00:00:53
O sea, que lo que hacemos es multiplicar en línea, ¿vale? 00:01:07
Pues nos lo vamos a apuntar aquí, le decimos, multiplicamos, 00:01:12
¡ay! este es muy gordo, perdón, que cambiamos el lápiz, 00:01:19
multiplico, ¡ay! en línea, ¿vale? 00:01:34
Ejemplo, 5 cuartos por 2 tercios, pues 5 por 2, 4 por 3, 00:01:53
que me va a dar 10 doceavos 00:01:59
¿puedo simplificarlo esto? 00:02:02
pues sí, el 10 se puede dividir entre 2 00:02:04
y el 12 se puede dividir entre 2 00:02:07
entonces el resultado que yo quiero 00:02:09
la fracción es reducible 5 sextos 00:02:11
¿hace falta que llegue aquí para poder hacer la simplificación? 00:02:13
pues yo os recomiendo que no lleguéis hasta ahí 00:02:18
sino que cuando escribís 00:02:20
qué números son los que hay que multiplicar 00:02:22
el numerador y denominador por separado 00:02:24
digáis, ¿hay algún número de los de arriba 00:02:27
que se pueda simplificar con alguno de los de abajo? 00:02:31
Pues hombre, claramente tengo que el 2 00:02:35
perdonad que no sé por qué la tableta hoy está un poco rebelde 00:02:38
el 2 le podría simplificar con el 4 00:02:43
¿por qué me mueves? 00:02:48
perdón, ¿por qué se está descalibrando? 00:02:53
a ver, lo que quiero es 00:02:57
que veáis que yo podría haber visto 00:03:01
esa simplificación aquí, S2 00:03:05
con S4, dividiendo los dos entre dos 00:03:08
luego lo escribiré en el programa de la tableta porque aquí parece 00:03:14
que hoy está rebelde y no me deja, hago ahí la simplificación 00:03:18
y me quedaría el 5 arriba porque el 2 desaparece 00:03:24
el 4 se convierte en un 2 que por 3 me da el 6 00:03:28
o sea que yo puedo hacer la simplificación 00:03:31
antes de multiplicar o después como lo veáis mejor 00:03:33
imaginaos que quiero hacer ahora esta otra operación 00:03:38
5 tercio lo quiero multiplicar por menos 9 décimos 00:03:41
pues como siempre 00:03:45
lo primero que tengo que controlar son los signos 00:03:47
y digo positivo por negativo 00:03:50
me va a dar negativo 00:03:54
entonces es lo primero que ajusto ese negativo 00:03:56
y ahora ya hago 5 por 9, 3 por 10 00:04:00
en ese 5 por 9 y 3 por 10 si echo un ojito 00:04:03
podríamos ver que el 5 se puede simplificar con el 10 00:04:07
y el 9 con el 3 00:04:11
si no me doy cuenta de la simplificación no pasa nada 00:04:13
hago la multiplicación 5 por 9, 45 00:04:18
3 por 10, 30 y ahora tendría que pensarlas aquí 00:04:20
entre que puedo dividir al 45 y al 30 00:04:25
pues a los dos entre cinco, pues lo mismo que habría podido hacer aquí 00:04:28
con el cinco y el diez, ¿entre qué puedo dividir también? entre tres 00:04:32
pues lo mismo que podría haber hecho aquí con el tres y con el nueve, o sea que 00:04:36
las que no vea aquí, las voy a tener que hacer aquí 00:04:40
cada uno como mejor le parezca, yo creo que se ven 00:04:43
mejor aquí con números pequeños que cuando los números son grandes 00:04:48
bueno, pues ya tenemos la multiplicación, que es multiplicar 00:04:51
en línea, numerador por numerador, denominador por denominador 00:04:56
¿qué pasa si vamos a la división de fracciones? 00:05:00
pues que dividir 00:05:05
es lo mismo que multiplicar por el inverso 00:05:07
y el inverso de una fracción es darle a la vuelta 00:05:11
a efectos finales, ¿qué ocurriría si yo diese la vuelta 00:05:14
a una de las dos fracciones? pues que quedaría que 00:05:20
la división se haría haciendo 00:05:24
numerador de la primera por denominador de la segunda 00:05:28
iría al numerador, denominador de la primera por numerador de la segunda 00:05:32
iría al denominador, o sea que lo que voy a hacer es el producto 00:05:36
pero en cruz, primero 00:05:39
con último término, segundo con tercer término 00:05:43
ejemplos, menos cinco cuartos lo quiero dividir 00:05:48
entre menos 2 tercios. Lo primero de siempre, controlar los signos. Divido negativo entre 00:05:52
negativo, que me da el resultado positivo, o sea, el signo desaparece. Y ahora tendríamos 00:05:59
el 5 de la primera, lo multiplico por el 3 de la segunda, el 4 de la primera lo multiplico 00:06:05
por el 2 de la segunda. La primera multiplicación va al numerador, la segunda al denominador. 00:06:12
Pues fijaos que si lo escribimos, lo que estoy viendo es lo que os decía antes, 00:06:17
que la primera fracción se queda como está y la segunda se da la vuelta. 00:06:22
Lo que estaba abajo va arriba, lo que estaba arriba va abajo. 00:06:28
O sea que estoy haciendo una multiplicación por la fracción inversa, 00:06:32
que es la que queda al dar la vuelta a los números. 00:06:37
Resultado final, pues 15 octavos. 00:06:41
¿Hay algún número que divida el 15 y el 8 a la vez? 00:06:44
No. ¿Por qué? Pues porque tampoco había ningún número que dividiese ni al 5 ni al 3 a la vez que al 4 o al 2. 00:06:46
Entonces, si no podía simplificar con los números pequeñitos, tampoco voy a poder hacerlo con los grandes. 00:06:54
Segundo ejemplo. 8 menos 8 quintos entre 3 décimos. 00:07:02
Por lo primero, regla de signos. El menos 8 dividido entre el más 3, menos entre más, me da menos, por resultado negativo. 00:07:06
Ahora, 8 por 10 al numerador, 5 por 3 al denominador. 00:07:24
¿Podríamos simplificar algo? Pues sí, podría simplificar el 10 con el 5 dividiendo entre 5. 00:07:32
y me quedaría arriba un 2 y abajo un 1, entonces me quedaría 00:07:38
8 por 2, 16, 1 por 3, 3, iría directamente 00:07:42
a la del final, si no me he dado cuenta de eso, pues nada 00:07:46
yo hago la multiplicación y digo 8 por 10, 80, y 5 por 3, 15 00:07:49
¿qué número hay que dividir al 80 y al 15 a la vez? 00:07:54
pues un 5, 80 entre 5, 16 00:07:58
15 entre 5, 3, o sea que lo que no haga 00:08:01
antes, lo voy a tener que hacer después sí o sí. 00:08:05
Consejo hacerlo antes con números pequeños 00:08:11
que después con números grandes. Pero vuelvo a repetir, cada uno 00:08:13
como mejor se apañe y como mejor se entere. 00:08:17
Y ahora vamos a ir a las potencias. 00:08:24
Y en las potencias, acordaos que os dije en el tema de números enteros 00:08:27
que la tablita 00:08:31
que nos hicimos le faltaba una propiedad 00:08:35
pues esa propiedad es la que aparece aquí ahora, todas las demás 00:08:39
se mantienen, las 9 propiedades que vimos en los números enteros, aquí vuelven a 00:08:43
valer todas, ¿de qué forma? 00:08:47
pues si yo quiero hacer una potencia de una fracción 00:08:51
lo que tengo que tener en cuenta es que como hay por la definición 00:08:54
de potencia, me estaría diciendo que multiplique a partido de d 00:08:59
por a partido de b, por a partido de b, por a partido de b, n veces 00:09:03
al final si pensamos como se multiplican fracciones 00:09:06
lo que estoy haciendo es multiplicar n veces el numerador 00:09:11
y n veces el denominador, luego ya teníamos 00:09:15
en las propiedades de las potencias en los números enteros 00:09:19
que la potencia de un cociente era 00:09:23
potencia del numerador entre potencia del denominador 00:09:27
entonces es lo que vamos a hacer aquí 00:09:30
multiplicar n veces el numerador 00:09:33
y n veces el denominador por separado 00:09:37
con lo cual el efecto final es que me queda 00:09:40
una potencia en el numerador que es 00:09:44
el numerador elevado a n 00:09:46
otra potencia en el denominador que es el denominador elevado a n 00:09:48
o sea que ese exponente que tenía en conjunto 00:09:52
va a ser común para los dos 00:09:55
ejemplos, tres quintos elevado al cubo 00:09:58
pues es lo mismo que tres elevado a tres 00:10:02
dividido entre cinco elevado a tres 00:10:04
y el tres elevado a tres me da veintisiete 00:10:06
y el cinco elevado a tres me da ciento veinticinco 00:10:09
si la fracción hubiese sido negativa 00:10:11
lo primero que tengo que controlar es la regla de los signos 00:10:15
digo, índice par de un número negativo 00:10:18
perdón, exponente par de una base negativa 00:10:22
pues resultado positivo, ahora ya calculo los números 00:10:26
1 elevado a 2 me va a dar 1, 4 elevado a 2 00:10:31
me da 16, que sería lo mismo que si hubiese ido multiplicando 00:10:35
1 a 1, ese 1 cuarto por el otro 1 cuarto 00:10:39
claro, si la potencia es grande, pues no voy a estar haciendo esas multiplicaciones 1 a 1 00:10:42
es más fácil aplicar la propiedad 00:10:46
y por último, la última propiedad 00:10:50
que vamos a tener en nuestra lista de potencias, 00:10:54
puesto que no vamos a ver radicales, es esta, 00:10:58
que me dice que si yo tengo una fracción elevada a un exponente negativo, 00:11:01
ese negativo del exponente lo que me quiere decir es que la fracción está al revés, 00:11:08
que la tengo que dar la vuelta, 00:11:14
que lo que estaba en el numerador debería estar en el denominador 00:11:16
y lo que estaba en el denominador debería estar en el numerador. 00:11:19
pues hago eso, doy la vuelta a la fracción y el exponente se queda ya positivo 00:11:23
y ahora aplico la propiedad anterior, la definición de la potencia del inconsciente 00:11:28
potencia del numerador por un lado, potencia del denominador por otro 00:11:33
si lo que me ocurre es que tengo un número entero 00:11:38
ya no es una fracción elevada a un exponente negativo 00:11:43
como cualquier número entero se podía poner en forma de fracción 00:11:48
dividiendo entre 1, que eso ya lo utilizamos cuando sumamos 00:11:54
y restábamos fracciones, pues haciendo esa misma 00:11:58
idea y con lo que hemos dicho 00:12:01
de la propiedad anterior, lo que ocurriría es que ese 1 que aquí 00:12:05
abajo no se ve, pero que en realidad sí que está, va a ir al numerador 00:12:09
y la potencia va a ir al denominador 00:12:13
pero ya con signo positivo 00:12:18
ejemplos 00:12:21
3 quintos elevado a menos 3 00:12:23
lo primero que hago es arreglar el signo 00:12:28
como cuando hacíamos multiplicaciones y divisiones 00:12:31
lo primero siempre es controlar el signo 00:12:33
como tengo signo negativo tengo que dar la vuelta a la fracción 00:12:35
el 3 baja al denominador 00:12:40
el 5 sube al numerador 00:12:42
y ya mi exponente se vuelve positivo 00:12:44
y después ya hago esa potencia del cociente 00:12:47
diciendo potencia del numerador por un lado 00:12:52
potencia del denominador por otro 00:12:54
y por último si es que me hiciese falta 00:12:56
hago la cuenta 00:12:59
voy a ver ejercicios en los que me pidan que haga la cuenta hasta el final 00:13:00
y otros en los que me dice que lo deje en forma de potencia 00:13:03
pues si me piden que haga la cuenta hasta el final 00:13:07
diría 5 por 5, 25 00:13:10
y por otro 5, 125 00:13:12
y abajo tendríamos 3 por 3, 9 00:13:15
y por otro 3, 27 00:13:18
si el exponente es negativo 00:13:21
y la base es un cuarto 00:13:25
¿qué ocurre? 00:13:28
al dar la vuelta a la fracción 00:13:30
el 4 sube arriba, el 1 baja abajo 00:13:31
y 4 entre 1 es 4 00:13:34
entonces al poder hacer la división exacta 00:13:36
pues puedo quitar la fracción 00:13:40
y decir que el resultado que me queda aquí es 4 elevado a 2 00:13:43
ya en positivo, que me da un 16 00:13:47
si tengo potencia de exponente 00:13:50
negativo de un número entero, como decíamos antes, ¿qué hacemos? 00:13:55
al dar la vuelta a la fracción, el 1 que aquí no poníamos 00:13:59
debajo del 5, sí que aparece, pero en el numerador 00:14:03
y en el denominador, ese 5 elevado a 3, pero ya en positivo 00:14:07
por el resultado final, 1 partido de 125 00:14:11
y ahora, lo que peor me puede 00:14:15
aparecer, que es que tenga negativos en el numerador 00:14:19
y negativos en el denominador, como cada uno tiene 00:14:23
su significado, no los puedo hacer los dos a la vez, voy a ir 00:14:27
por pasos, y el primer paso que os recomiendo 00:14:31
hacer primero siempre es ajustar el signo del numerador 00:14:35
¿Cómo le ajustamos? Dando la vuelta a la fracción 00:14:39
El 2 que estaba arriba, baja abajo 00:14:43
El 3 que estaba abajo, sube arriba 00:14:46
Pero la fracción sigue siendo negativa como era antes 00:14:48
Lo único que ha cambiado es el signo del exponente 00:14:51
Porque he invertido la fracción 00:14:54
Cuando he hecho eso, ya me preocupo del signo de la base 00:14:57
¿Cómo me preocupo de él? 00:15:02
Pues aplicando la regla de los signos 00:15:05
Si tengo una potencia de exponente par de una base negativa, ¿qué ocurría con el signo? 00:15:07
Que al ser par se volvía positivo y desaparecía. 00:15:17
Ahora ya hago la potencia. 00:15:22
3 al cuadrado, 9. 00:15:23
2 al cuadrado, 4. 00:15:26
O sea que siempre, al igual que hacíamos en números enteros, lo primero que tengo que controlar son los signos. 00:15:28
y después ya hago la operación con los números 00:15:34
y no tengo que confundir lo que significa un menos el exponente 00:15:37
con lo que significa un menos en la base 00:15:46
y desde luego que a nadie se le ocurra decir negativo por negativo positivo 00:15:48
porque eso ya sí que es una barbaridad 00:15:53
bueno, vistas estas propiedades 00:15:55
que en realidad una salía directamente de la definición de potencia 00:16:02
y realmente propiedad nueva solo era esta 00:16:06
vuelvo a repetiros lo de antes 00:16:10
todas las demás propiedades, todas 00:16:13
reglas de signos 00:16:15
potencia de exponente 0, potencia de exponente 1 00:16:18
producto de potencia de la misma base 00:16:22
todas son exactamente iguales 00:16:25
que en los números enteros 00:16:29
nada más que aquí los números que voy a tener que operar son fracciones 00:16:31
pero todas son iguales, entonces ahí las tenéis, las echáis un ojo a los ejemplos 00:16:34
que no vamos a repetirlas ni vamos a hacer una tabla nueva 00:16:39
porque solo nos faltaba completar con estas dos últimas propiedades 00:16:43
la que ya teníamos de números enteros 00:16:47
lo que vamos a hacer es irnos a hacer ejercicios 00:16:49
que es más práctico 00:16:54
entonces me voy a mi hojita de ejercicios 00:16:57
y vamos a ver, en el ejercicio 5 00:17:02
que me dice que calcule el valor 00:17:06
de las siguientes potencias hasta el final 00:17:10
tengo, lo voy a haceros, la mitad 00:17:13
acordaos que este ejercicio era de los que había que entregar, entonces 00:17:17
viendo lo que yo os haga ahora, ya tenéis la mitad hechos 00:17:21
replicáis los demás, digo, quiero el primero 00:17:26
se me ha ido la tableta 00:17:30
perdón, un segundito, que me ha borrado la tableta 00:17:32
a ver, casi nos quedamos sin clase 00:17:39
perdón, las prisas no son buenas para nada 00:18:20
bueno, pues ya tenemos aquí nuestra tableta 00:18:26
ese apartado A del ejercicio 5 00:18:30
me dice que calcule cuánto vale 2 a la menos 3 00:18:33
pues lo primero que digo es eso, como tengo exponente negativo 00:18:38
la propiedad que acabamos de ver hoy me dice que tengo que dar la vuelta 00:18:43
la fracción, como aquí la fracción no se veía 00:18:48
pero sí que estaba, que era que ese 2 estaba dividido entre 1 00:18:52
pues la fracción que me aparece ahora es 00:18:57
un medio y todo ello lo tengo que elevar 00:19:00
al mismo exponente pero en positivo 00:19:05
la propiedad de potencia de una fracción 00:19:07
me decía que hiciese potencia del numerador por un lado 00:19:11
y del denominador por otro 00:19:14
la propiedad de 1 elevado a n 00:19:17
me decía que 1 elevado a cualquier número 00:19:22
me seguía dando 1 00:19:25
por eso en los ejemplos no me pone este paso previo 00:19:26
sino que directamente me pone ya un 1 00:19:30
vosotros podéis hacer lo mismo sin ningún temor 00:19:32
Y ahora digo, ¿cuánto es 2 elevado a 3? Pues 2 elevado a 3 es un 8. Entonces, ese 2 elevado a menos 3 vale un octavo, que es lo que me estaban pidiendo que calculase, el valor de la potencia. 00:19:35
ahora tengo menos tres séptimos al cuadrado 00:19:53
menos tres séptimos 00:19:57
me lo pone solo al cuadrado, nosotros lo vamos a hacer un poco más difícil 00:20:00
vamos a poner a la menor dos 00:20:04
para que así tengamos las dos posibilidades 00:20:06
que se me pueden dar con los negativos, que estén en el exponente 00:20:12
o que estén en la base, y decíamos primero controlo el exponente 00:20:16
primero exponente 00:20:20
entonces lo que me dice el menos del exponente 00:20:24
es que la fracción se tiene que dar la vuelta 00:20:29
y cuando doy la vuelta a la fracción el exponente se vuelve positivo 00:20:34
y ahora, segundo, pues la regla 00:20:37
de signos, para controlar ese 00:20:42
signo de la base, ese menos, y digo en este caso 00:20:50
Como el exponente es par, esa base negativa se va a convertir en positiva y a la vez puedo decir que ya hacemos las potencias del combinador y del denominador por separado. 00:20:54
7 al cuadrado me va a dar 49, 3 al cuadrado me da 9, pues esa es la fracción resultante de hacer esta potencia. 00:21:11
Ahora me dicen, por ejemplo, que calcule menos 3 elevado a menos 2. 00:21:21
Pues otra vez, lo primero, controlo el exponente. 00:21:37
El exponente me dice que ese menos 3 se tiene que convertir en un tercio, porque doy la vuelta a la fracción. 00:21:43
Y cuando hago eso, el exponente se vuelve positivo. 00:21:52
lo segundo, que controle los signos de la base 00:21:55
vuelvo a la misma de antes, como el exponente es par 00:21:59
el signo desaparece, y me queda solo 1 al cuadrado 00:22:03
que es 1, entre 3 al cuadrado, pues me queda 00:22:07
un noveno, ahora, ¿qué pasaría 00:22:11
si yo tuviese 00:22:17
algo parecido a eso, pero no igual? 00:22:19
y me explico que pasaría si me ponen menos 3 elevado a menos 2 00:22:24
y no hay paréntesis, o sea, no tengo el paréntesis que había antes en el ejemplo anterior. 00:22:34
Pues lo que ocurre aquí es que ahora el exponente solo afecta al 3, no al negativo. 00:22:41
como no hay paréntesis, el menos 2 del exponente 00:22:50
no afecta al menos, entonces 00:22:55
¿qué va a pasar? que ese menos se va arrastrando 00:22:59
y yo solo hago la cuenta 00:23:03
con el 3, el menos 00:23:07
se va arrastrando y yo hago la cuenta con el 1 tercio 00:23:13
y lo que me queda ahora es menos 1 noveno 00:23:18
O sea que, ojito con estos casos para no confundirlos, ¿vale? 00:23:22
Aquí, vamos a poner aquí, importante, que esto nos genera muchos problemas. 00:23:29
Confundimos eso con eso y son totalmente distintos. 00:23:37
En uno tengo que ir involucrando el signo en las operaciones, en el otro el signo se va arrastrando todo el rato. 00:23:43
con lo cual no va a cambiar 00:23:51
bueno, vamos a ver algún ejemplo más de estos 00:23:55
porque esto nos suele dar bastantes dolores de cabeza 00:24:00
yo tengo ahora 00:24:05
menos dos quintos 00:24:07
elevado a menos tres 00:24:12
ya hemos visto dos ejemplos antes 00:24:16
con negativo en la base y negativo en el exponente 00:24:20
pero en los dos ejemplos teníamos un exponente par, vamos a ver que pasa 00:24:23
si tengo un exponente impar, pues la historia 00:24:27
de siempre, primero controlamos 00:24:31
el exponente, entonces ese me dice que la 00:24:35
fracción se dé la vuelta y ya el exponente 00:24:41
se vuelve positivo y ahora lo segundo 00:24:45
controlamos el signo de la base, o sea que regla 00:24:49
de signos, pues vamos a por ella, digo 00:24:53
exponente impar de un número negativo 00:24:59
¿qué va a ocurrir? que el resultado va a seguir siendo negativo 00:25:04
y ahora ya hago la potencia, cuando he controlado el signo 00:25:08
ya hago la potencia, digo menos 00:25:12
125, que es 5 al cubo, perdón 00:25:15
2 al cubo aquí, entre 8 y ese sería 00:25:20
mi resultado. ¿Vale? Entonces, los ejercicios 00:25:26
los apartados del ejercicio 5 00:25:31
son todos la misma historia. Que vayamos 00:25:34
mirando qué propiedad puedo aplicar de las potencias 00:25:38
de estas dos últimas propiedades que hemos visto. 00:25:42
Vamos a ver otra cosa que acabo de darme cuenta ahora que 00:25:47
nos da también muchos problemas y no he comentado. Y es esta 00:25:51
diferencia. Digo, si tengo menos tres elevado a cero, ¿qué va a ocurrir? Teníamos una 00:25:55
propiedad que nos decía que cualquier número, en este caso un número negativo elevado a 00:26:09
cero, cualquier número elevado a cero daba como resultado uno. Pero, ¿y si yo pongo 00:26:14
lo de antes, ese 0 pero sin paréntesis 00:26:23
¿qué va a ocurrir? pues lo mismo de antes 00:26:27
que ese 0 ahora solo va a afectar al 5 00:26:31
no afecta al signo, entonces 00:26:35
¿qué va a ocurrir en el resultado? que el signo lo tengo que arrastrar 00:26:39
y ahora el 5 al 0 es un 1, o sea que 00:26:43
volvemos a poner lo de antes 00:26:47
importante no confundirlos 00:26:50
¿vale? porque tendemos a que 00:26:54
cuando veo un 0 en el exponente ya arraso y pongo un 1 sin fijarme 00:26:58
que signo tenía la base y acabamos de ver que es importante 00:27:02
controlar el signo de la base primero 00:27:07
bueno, vamos a ver ahora en el ejercicio 6 00:27:09
como me pueden aparecer más 00:27:13
propiedades mezcladas aquí en las fracciones y yo lo único que tengo que hacer es 00:27:18
ir resolviendo las pasa-posa como hicimos en los números enteros. 00:27:22
¿Vale? Pues ejercicio 6 00:27:27
o ejemplos parecidos al ejercicio 6. 00:27:30
Me dicen, tienes 2 tercios 00:27:35
elevado a menos 2 por 00:27:39
2 tercios elevado a 00:27:43
5. ¿Qué hay que hacer aquí? 00:27:47
Pues yo miro despacito y miro 00:27:52
y digo, de las propiedades que yo conozco 00:27:54
resulta que aquí aparecen dos distintas. Producto de potencias 00:27:58
de la misma base y distintos exponentes o 00:28:03
potencia de exponente negativo. 00:28:06
¿Y cuál hago? Pues fijaos, vosotros solitos vais a ver 00:28:11
la respuesta, si yo hiciese primero 00:28:14
la de potencia de exponente negativo, me ocurría 00:28:18
lo siguiente, que el 2 tercios se convertiría 00:28:22
en 3 medios, elevado a 2 positivo 00:28:26
por 2 tercios elevado a 5 00:28:29
y ya no sé seguir con las propiedades de las potencias 00:28:33
porque ahora me he encontrado con dos potencias de distinta base y distinto 00:28:39
exponente, ¿qué hago? no me quedaría más remedio que hacer las 00:28:44
cuentas, y no queremos, porque el ejercicio 6 me pide 00:28:48
que no haga las cuentas, solo que utilice las propiedades, y encima el hacer 00:28:52
las cuentas me supone que me van a salir números muy grandes que no me interesan 00:28:56
¿qué hago en este caso? pues de esas dos propiedades que yo 00:28:59
podía aplicar, digo, uy, por esa 00:29:04
me he ido a un camino sin salida 00:29:08
vamos a ver que pasaría si hubiese hecho la otra 00:29:11
digo producto de potencia de la misma base 00:29:14
dejábamos la base 00:29:17
y sumábamos los exponentes 00:29:20
esta la teníamos ya en los números enteros 00:29:24
cuando hago eso 00:29:27
si puedo seguir 00:29:29
y si puedo llegar a un resultado 00:29:31
en forma de una única potencia 00:29:33
que me decía el ejercicio 6 00:29:36
con lo cual 00:29:38
aunque puedo aplicar varias propiedades 00:29:40
hay algunas que con las condiciones que me pidan 00:29:45
no se pueden utilizar, como es este caso 00:29:49
esta primera opción, ¿vale? 00:29:53
bueno, pues este ejercicio 6 lo que pretende es eso 00:29:57
que deis vueltas a vuestras cabecitas 00:30:01
mirando esas tablas de potencias 00:30:06
para que os las vayáis aprendiendo 00:30:09
y a la vez veáis que 00:30:11
aunque pueda haber varios caminos 00:30:15
siempre va a haber unos más cortos que otros 00:30:18
y lo que tenemos que intentar es coger su altura 00:30:21
para reconocer esos caminos cortos 00:30:24
y no hacer trabajo a lo tonto 00:30:26
vamos a ver otro ejercicio 00:30:29
me dice que tengo ahora 00:30:32
menos 5 elevado a 7 00:30:33
dividido entre menos 3 00:30:38
ay perdón, no quiero esto, no quiero división 00:30:43
ahora quería multiplicación, por menos 3 elevado a 7 00:30:47
¿qué propiedad puedo aplicar aquí? aquí no hay menos más 00:30:50
que en las bases, en el exponente no hay menos, pues me voy a la propiedad 00:30:57
de producto de potencia de distinta base pero igual 00:31:01
exponente, que me decía que en ese caso 00:31:05
conservase el exponente y multiplicase 00:31:08
las bases, ¿vale? ya las habíamos de números enteros 00:31:13
cuando hago esta multiplicación de dos números negativos se convierte en un número 00:31:19
positivo y el elevado a 7 y no sigo 00:31:23
porque me decía que lo dejase en forma de potencia 00:31:27
ahora, ¿qué hubiera ocurrido si me hubiesen 00:31:29
dicho esto otro? y me dicen 00:31:35
menos 5 elevado a menos 7 00:31:38
por menos 3 elevado a menos 7 00:31:42
¿qué me hubiera interesado hacer? 00:31:46
primero el exponente y luego las bases 00:31:51
o al revés, pues si intento hacer primero el exponente 00:31:54
y luego las bases 00:31:58
voy a tener que operar con fracciones desde un primer paso 00:32:00
si hago lo mismo que antes, decir bueno pues 00:32:06
exponentes iguales, se mantiene el exponente 00:32:10
multiplico las bases, pues lo mismo 00:32:15
que antes, ese menos 3 por menos 5 me va a dar un 15 00:32:21
pero ahora elevado a menos 7, ¿y la digo determinado o no? porque puedo aplicar 00:32:24
otra propiedad, ¿cuál sería? la de 00:32:29
exponente negativo, que me dice 00:32:32
que ese 15 se convierte en un quinceavo 00:32:36
todo ello elevado a 7 00:32:40
porque el exponente vuelve a ser positivo 00:32:43
entonces el 1 elevado a 7 va a ser 1 00:32:46
el 15 elevado a 7 no le calculo 00:32:50
¿vale? 00:32:55
o sea que si hago la misma propiedad que antes 00:32:56
llevo un buen resultado 00:32:59
y si hubiese hecho la otra opción 00:33:00
de hacer primero el signo del exponente y luego ya el de la base 00:33:03
¿qué habría ocurrido? pues vamos a hacerlo 00:33:07
el menos 7 me dice que ese menos 5 se tiene que convertir 00:33:09
en menos un quinto elevado a 7 00:33:16
y que el menos 3 elevado a 7 00:33:19
se tiene que convertir en menos un tercio elevado a 7 00:33:23
los dos exponentes positivos 00:33:28
Ahora, vuelvo a tener dos potencias de distinta base con el mismo exponente. ¿Qué voy a tener que hacer? Juntarlas. Menos un quinceavo por menos un treceavo, todo ello elevado a siete. 00:33:30
Pues cuando multiplique estas dos fracciones, tendré lo primero negativo por negativo positivo, 1 por 1, 1, 15 por 15, que parece que he puesto un 13, pues, o digo, 15, ay, perdón, que es que he puesto el resultado. 00:33:50
esto era un 5 y un 3 00:34:11
pues 5 por 1 por 1, 1, 5 por 3, 15 00:34:14
todo elevado a 7, pues llego 00:34:22
al mismo sitio, pero ¿qué me vuelve a pasar? 00:34:26
pues lo mismo que os dije antes, que yendo al mismo sitio 00:34:32
por aquí el proceso ha sido más largo, entonces lo que tengo que 00:34:35
intentar es que cuando tengo varias propiedades que puedo aplicar 00:34:40
hacer siempre primero la más simple 00:34:44
y la más simple fue la que 00:34:47
primero aprendí, o sea, la más simple 00:34:49
siempre es la que apareció ya en números 00:34:51
enteros antes de aparecer en 00:34:53
números racionales, ¿de acuerdo? 00:34:55
y así os costará 00:34:57
menos e iréis siempre por el camino corto 00:34:59
bueno, vamos a seguir practicando 00:35:01
porque hoy 00:35:06
lo quiero 00:35:06
aplicar para que más o menos esto quede 00:35:08
claro antes de meternos a operaciones combinadas 00:35:11
me dicen ahora 00:35:13
que tengo lo siguiente 00:35:15
menos 3 elevado a menos 2 00:35:18
y el resultado elevado a 5 00:35:23
con lo que os acabo de decir 00:35:27
la propiedad que primero tendría que aplicar es 00:35:31
la que primero vi que fue la de potencia de otra potencia 00:35:36
que era que dejábamos la base 00:35:40
y multiplicábamos los exponentes 00:35:43
menos 2 por 5 00:35:46
aquí me ha salido un menos 3 elevado a menos 10 00:35:49
y ahora ya aplico la que hemos aprendido última 00:35:54
la de potencia de exponente negativo 00:35:57
que me diría que ese 3 00:36:01
se convierte en un tercio y que entonces el exponente 00:36:05
pasa a positivo y lo último que haría es 00:36:09
controlar el signo de la base diciendo que como el 10 es un número par 00:36:13
el menos desaparece y me queda 00:36:17
1 elevado a 10 que va a ser 1 00:36:20
entre 3 elevado a 10 00:36:25
este es el camino más corto, si yo hubiese hecho primero 00:36:27
lo de invertir la fracción aquí, volver ese exponente 00:36:33
negativo y luego la potencia a una potencia, ya me empiezo a liar 00:36:37
entre donde tengo que poner el exponente sin la base 00:36:41
sin el denominador, sin el numerador, sin los dos 00:36:43
y me pierdo, si lo hago así 00:36:47
de menos a más en cuanto a cuando vimos 00:36:50
esas propiedades, pues 00:36:54
no me pierdo, entonces 00:36:56
cuidadito y pensad bien 00:36:58
que propiedades me interesa aplicar 00:37:02
primero para que no os metáis en 00:37:05
callejones sin salida 00:37:08
ahora, si me meto en ese callejón sin salida y empiezo a liarme 00:37:10
pues retrocedo para atrás y digo, por este camino voy mal 00:37:15
voy a ver la otra opción, y así poco a poco os iréis dando cuenta 00:37:18
y a simple vista ya iréis cogiendo la picardía 00:37:23
de cuál os interesa usar en cada caso 00:37:27
vamos a ver el ejercicio L, que es un poco raro 00:37:30
4 tercios elevado a menos 3, dividido entre 5 elevado a menos 3 y todo elevado a menos 4 00:37:34
¿qué me has hecho? pues 4 tercios 00:37:38
elevado a la menos 3 00:37:46
dividido entre 8 a la menos 3 00:37:50
y todo elevado a 4 00:37:54
entonces, madre mía, menuda movida hay aquí 00:37:56
pues nada, sin asustarse 00:38:00
digo, ¿qué propiedad es la más simple y más fácil que yo veo aquí? 00:38:03
pues división de potencias de distinta base 00:38:08
pero con el mismo exponente, ¿qué hacíamos en ese caso? 00:38:13
pues decíamos, divido las bases 00:38:18
ahí, 8 no, divido las bases 00:38:21
y dejo el exponente ese común 00:38:27
y ya parece que se ha compactado un poco 00:38:32
bueno, pues vamos a hacer esa división de las bases 00:38:35
y tengo 4 tercios dividido entre 8 00:38:39
pues era 4 por 1 00:38:43
tengo que hacer el producto en cruz entre 3 00:38:47
por 8, lo que me salga de aquí lo tengo que elevar 00:38:50
a menos 3 y lo que me salga de ahí lo tengo que elevar 00:38:55
a 4, pues vale, pues he avanzado 00:38:59
un poquito y aquí fijaos que os decía yo 00:39:03
si por el camino de las operaciones veo alguna simplificación, hacedla 00:39:07
no dejéis que los números crezcan, entonces yo digo, hay algún número del numerador 00:39:12
el 4 o el 1, que se pueda simplificar con 00:39:16
alguno del denominador, el 3 o el 8, pues mira 00:39:20
el 4 y el 8, resulta que sin que me digan nada 00:39:23
yo sé que lo voy a poder definir entre 4 a los 2 00:39:28
pues vamos a hacer esa división antes de seguir haciendo operaciones, voy a hacer esa simplificación 00:39:30
antes de que los números crezcan, digo, ¿entre qué puedo ir? 00:39:36
entre 4, pues 4 entre 4 me da 1 00:39:40
y el 1 que no había tocado de antes, el 3 se queda como está y ahora 00:39:42
8 entre 4 me va a dar 2, el menos 3 00:39:47
de la potencia y el 4 de la potencia, que todavía no he hecho nada con ellos 00:39:52
se quedan como están, ahora lo que hago es terminar 00:39:56
de hacer esa división que habíamos empezado, pues 1 por 1 es 1 00:40:01
3 por 2, 6. O sea que ese 4 octavos 00:40:05
perdón, 4 tercios entre 8 ha terminado siendo 00:40:10
un sexto. Un sexto que está elevado 00:40:13
a menos 3 y que está elevado a 4. ¿Cuál sería 00:40:17
la siguiente propiedad que yo vi 00:40:21
de las que puedo aplicar aquí? Pues la siguiente propiedad que yo vi fue 00:40:25
la de potencia de otra potencia. Pues vamos a 00:40:29
hacerla esa, la primera. Y cuando hacíamos potencia 00:40:33
otra potencia, la base se quedaba igual y se multiplicaban 00:40:37
los exponentes. Pues tengo menos 3 por 4 00:40:41
menos 12. Y ahora ya por último 00:40:45
digo, pues voy a aplicar la última propiedad que he visto, que es 00:40:49
la de potencia con exponente negativo 00:40:53
que me dice que de la vuelta a la fracción, con lo cual 00:40:57
el 1 sexto se convierte en un 6 y que cambie el signo del exponente 00:41:01
pues resulta que este número 00:41:06
tan feo que teníamos aquí al principio ha terminado siendo 00:41:09
un 6 elevado a 12, como habéis visto lo que tengo que hacer 00:41:13
es ir pasito a pasito, no asustarme, no agobiarme 00:41:19
cada paso que vaya haciendo voy a ir avanzando 00:41:23
y se van a ir simplificando las cosas y 00:41:27
Y sí, tener muy en cuenta que si voy haciendo las operaciones, perdón, las propiedades en el orden igual al que las vimos en su día, las cuentas que me van saliendo van saliendo de la forma más corta posible y más fácil. 00:41:31
Si yo cambio el orden de esas propiedades, pues la cuenta me termina saliendo igual, pero va a ser más largo y más complicado. Me voy a liar más. 00:41:48
Seguid las cosas en orden 00:41:59
Vamos a ver 00:42:04
Cuál más tenemos aquí 00:42:06
Puede ser un poco rara 00:42:07
Esto mismo 00:42:08
Tenemos 00:42:24
Menos un tercio 00:42:25
Elevado a menos dos 00:42:29
Y todo elevado a cinco 00:42:31
¿Qué hago lo primero? 00:42:34
Lo primero que hago es 00:42:38
potencia de una potencia. Entonces dejo el menos un tercio 00:42:41
como está y multiplico 00:42:47
los exponentes. Cuando multiplique los exponentes 00:42:51
menos dos por cinco me va a dar un menos 00:42:55
diez. ¿Qué hago después de esto? 00:42:59
Pues la siguiente propiedad que voy a hacer 00:43:04
cuando tengamos negativos en el exponente y negativos en la base 00:43:07
dijimos que lo que me interesaba era controlar primero los del exponente 00:43:11
entonces digo, para controlar los del exponente y que se vuelva positivo 00:43:14
lo que tengo que hacer es dar la vuelta a la fracción 00:43:19
y cuando un tercio le dé la vuelta se me va a quedar 3 partido de 1 00:43:22
que es lo mismo que 3, y por último 00:43:26
regla de los signos, como la base es negativa 00:43:30
y el exponente es un número par, ¿qué va a ocurrir con el signo? 00:43:34
que va a desaparecer, entonces me queda un 3 positivo 00:43:38
elevado a 10, hemos terminado 00:43:41
bueno, pues este sería el rollo 00:43:46
en este ejercicio 6, que os he dicho que le hagáis 00:43:50
prácticamente entero, os he ido poniendo 00:43:54
para que practiquéis una propiedad de cada uno, si lo hacéis todas 00:43:58
pues mejor, ya habríamos terminado 00:44:02
con las operaciones individuales, porque lo siguiente que nos aparece en la hoja de ejercicio 00:44:05
ya es operaciones combinadas 00:44:10
pues recordamos como se hacían esas operaciones 00:44:14
combinadas, que era primero 00:44:18
paréntesis, después tal, pero aquí me encuentro una cosa nueva 00:44:21
que quiero comentaros ya hoy para que podáis ir practicando, y es que 00:44:26
me han combinado números decimales 00:44:30
con fracciones y con números enteros, pues voy a 00:44:34
hacer un paso previo a lo que ya sabemos de las fracciones combinadas con números enteros 00:44:38
que es que cada número decimal que aparezca 00:44:42
le voy a sustituir por su fracción generatriz 00:44:46
cuando ya tengo todo con fracciones, ya sé que hago el orden ese de paréntesis 00:44:49
corchetes, potencias, multiplicaciones y divisiones 00:44:55
sumas y restas, ahí lo dejo 00:44:59
El próximo día lo volveremos a repasar y le dedicaremos por completo a hacer ejercicios de esto, pero quiero que lo vayáis pensando por vuestra cuenta, que con este ejemplo que os pongo aquí intentéis hacer alguno más, aunque lo vayamos a hacer el próximo día, 00:45:02
Pero intentadlo para que vosotros mismos veáis con qué dificultades os topáis y que luego os deis cuenta de que no eran tales, que solo es miedo que me meten con esta notación tan enrevesada que me hace nada de mezclarme todo. 00:45:21
Pero nada más, que sabemos hacerlo perfectamente si vamos poquito a poco. 00:45:39
Bueno, pues aquí lo dejamos. Que tengáis buena tarde. El próximo día un poquito más. 00:45:45
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Angel Luis Sanchez Sanchez
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31 de octubre de 2025 - 12:35
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