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Ecuaciones algebraicas más complicadas (3ºESO) - Contenido educativo

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Subido el 9 de julio de 2024 por Jesús Pascual M.

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Ecuaciones algebraicas más complicadas (3ºESO)

Más información Transcripción

Vamos a ver ahora unas ecuaciones que engloban todo lo que hemos dado. 00:00:00
Tenemos una ecuación que engloba fracciones, igualdades notables y además es una ecuación de segundo grado. 00:00:03
Podemos empezar con la igualdad notable. 00:00:12
Recordamos que a menos b al cuadrado es a cuadrado menos 2ab más b al cuadrado. 00:00:16
Ecuación que hay que saberse de memoria. 00:00:23
Bien, pues tendríamos que x menos 2 al cuadrado sería x al cuadrado menos 2 veces x por 2 más 2 al cuadrado 00:00:25
Y eso es igual a x al cuadrado menos 4x más 4 00:00:35
Lo suyo es pasar directamente de aquí a aquí, haciendo esto de cabeza 00:00:40
x al cuadrado menos 2 por 2 por x menos 4 por x más 4 al cuadrado 00:00:46
Bien, pues pasamos ahí los números, x cuadrado menos 4x más 4 entre 3, y no hay nada más que calcular de productos, etc., pues directamente copiamos. 00:00:51
Lo siguiente, pues nada, ya sabemos que el mínimo común múltiplo de 3 y de 2 es 6, pues nada, pasamos todas las fracciones con 6. 00:01:07
Y ahora, pues nada, ¿por qué número he multiplicado al 3 para obtener 6? 00:01:24
Por 2, pues todo lo de arriba también por 2. 00:01:34
Y tendríamos 2x cuadrado menos 8x más 8. 00:01:38
¿Por qué número he multiplicado al 2 para obtener 6? 00:01:47
Por 3, pues todo lo de arriba también por 3. 00:01:52
Y tendríamos entonces, pues 3x más 3. 00:01:57
y aquí pues había un 1 invisible que hemos multiplicado por 6 00:02:01
y lo de arriba pues también se modulica por 6 00:02:07
y tendríamos 6x al cuadrado más 12 00:02:09
el siguiente paso es muy importante 00:02:14
y es donde suelen cometerse 00:02:18
pues los errores la mayor parte de las veces que he visto 00:02:19
antes de hablar de él voy a borrar lo que está en verde 00:02:24
entonces cuando tengamos un menos 00:02:27
aquí 00:02:31
ponemos ahora un paréntesis de 3 00:02:33
con un menos y aquí 00:02:35
una suma o una resta 00:02:37
de varios términos, ¿de acuerdo? 00:02:38
porque ahora vamos a tachar 00:02:45
los denominadores que son iguales 00:02:46
hemos multiplicado todo la igualdad entera por 6 00:02:50
y es la forma de que se vayan 00:02:52
bien, entonces 00:02:54
ya tenemos otra expresión que vale lo mismo 00:02:56
y operamos 00:03:00
tenemos 2x cuadrado 00:03:04
menos 8x más 8, y ahora operamos este menos con estos paréntesis, obteniendo menos 3x menos 3, y eso es igual a 6x al cuadrado más 12. 00:03:07
el siguiente podemos pasar todo a un solo lado 00:03:24
lo que está sumando pasa restando 00:03:28
2x cuadrado menos 8x más 8 00:03:31
menos 3x menos 3 00:03:34
menos 6x cuadrado 00:03:36
menos 12 es igual a 0 00:03:38
y ahora pasamos todo a un solo lado 00:03:41
perdón, y ahora operamos todo lo que está aquí 00:03:44
y tenemos pues 00:03:46
2x cuadrado menos 6x cuadrado 00:03:48
que nos da menos 4x cuadrado 00:03:52
después pues menos 8x menos 3x 00:03:55
que nos da menos 11x 00:04:00
y por último tenemos 8 menos 3 es 5 00:04:05
5 menos 12 es menos 7 00:04:10
y ya tenemos una ecuación de segundo grado 00:04:14
cuando tenemos una ecuación de segundo grado 00:04:18
es muy conveniente 00:04:21
perdón, donde empieza por aquí 00:04:23
que empieza por menos 00:04:27
y la a es negativa 00:04:29
es muy común editar el signo 00:04:30
y multiplicar todo por menos 1 00:04:33
porque todo se significa mucho 00:04:34
así que 00:04:38
multiplicamos todo por menos 1 00:04:39
y obtenemos 00:04:40
4x cuadrado más 11x 00:04:43
más 7 igual a 0 00:04:46
y ahora resolvemos 00:04:47
x es igual a 00:04:49
menos 11 más menos raíz cuadrada 00:04:51
de b cuadrado 00:04:53
11 al cuadrado es 121 00:04:54
menos 4ac 00:04:58
4 por 7 es 28 00:04:59
por 4 es 112 00:05:01
entre 2a que es 2 por 4 que es 8 00:05:05
esto sería menos 11 más menos 00:05:08
la raíz cuadrada de 9 00:05:11
entre 8 00:05:12
menos 11 más menos 3 partido por 8 00:05:13
tenemos menos 11 menos 3 00:05:17
entre 8 que es menos 00:05:20
14 octavos que es menos 4 séptimos 00:05:22
y por otra parte 00:05:26
menos 11 más 3 entre 8 00:05:28
que es menos 8 entre 8 00:05:31
que es menos 1 00:05:33
por tanto las soluciones son 00:05:36
x igual a menos 4 séptimos 00:05:39
y x es igual a menos 1 00:05:43
esta ecuación es de grado 3 00:05:45
y tiene fracciones 00:05:51
bueno pues empecemos 00:05:53
quitando los denominadores 00:05:54
Para ello, observamos que el mínimo común múltiplo de los denominadores es 6, e igualamos denominadores. 00:05:56
Tenemos partido por 6, partido por 6, en el caso de x al cubo tenemos un denominador invisible que es el 1, 00:06:05
lo hemos multiplicado por 6, pues el numerador también por 6. Aquí hay un 6 que dejamos igual, pues arriba también lo dejamos igual. 00:06:16
igual. ¿Por qué número hemos multiplicado al 3 para que nos dé 6? Por 2, pues el numerador 00:06:27
también por 2. Y este 1, que es lo mismo que 6 sextos. 1 partido por 1 es multiplicar 00:06:38
todo por 6, 6 sextos. El siguiente paso muy importante es observar cuando tenemos menos 00:06:45
y luego varios términos. Entonces en este caso, pues lo tenemos aquí y ponemos un paréntesis 00:06:54
cuando tengamos eso, para poder realizar el siguiente paso. Y ahora quitamos pues todos los 00:07:04
6. Lo que hemos hecho es multiplicar toda la ecuación por 6. Bien. Y ahora pues nada, 00:07:12
operamos. Tenemos 6x al cubo. Ahora este menos afecta a todo esto. Esa es la razón por la 00:07:23
cual hemos puesto el paréntesis para que siguiera siendo cierta la igualdad o sea 00:07:32
sigue siendo equivalente y nada pues tenemos menos 5x cuadrado 00:07:37
más 7 y eso es igual a 2x más 6 pasamos ahora todo a un solo lado de la 00:07:42
ecuación tenemos 6x cuadrado menos perdón 00:07:47
6x al cubo menos 5x cuadrado más 7 y ahora lo que hace es un humano pasar a 00:07:54
estando, menos 2x menos 6 igual a 0. Pues operamos esto y tenemos 6x cubo menos 5x cuadrado menos 2x 00:08:01
más 1 igual a 0. Tenemos una ecuación de grado 3 y las ecuaciones de grado 3 se resuelven hallando 00:08:13
las raíces del polinomio. Entonces para ello hacemos Fuffini y tenemos, pues ponemos los 00:08:25
coeficientes, 6, menos 5, menos 2 y 1. Y ahora empezamos a probar los números, los divisores 00:08:33
de 1 hasta que nos dé. Empezaríamos con el 1, podemos hacer un atajo y es sumar los 00:08:42
coeficientes y la suma de 6 menos 5 es 1, 1 menos 2 es menos 1, más 1 es 0, la suma 00:08:47
es 0, luego el 1 es raíz, entonces el 1 nos vale. Así pues ponemos el 1, tenemos 00:08:53
6, 6, 1, 1, menos 1, menos 1 y 0. 00:09:00
Y ahora tenemos tres términos y hacemos con ello pues una ecuación de segundo grado. 00:09:07
x es igual a menos 1 más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c entre 2a. 00:09:21
Esto es menos 1 más menos raíz de 25 entre 12, menos 1 más menos 5 entre 12, que por una parte es menos 1 más 5 entre 12, que es 4 entre 12, que es un tercio, y por otra es menos 1 menos 5 entre 12, que es menos 6 entre 12, que es menos un medio. 00:09:33
Así pues, las tres soluciones son x igual a 1, x es igual a un tercio y x es igual a menos un medio. 00:09:57
Bien, ahora os propongo esos tres ejercicios. El último es ligeramente más difícil, pero se hacen igual todos. 00:10:16
bien podéis 00:10:29
hacerlos ahora y luego ver la corrección de los tres 00:10:33
o bien ir haciendo uno 00:10:36
ver su corrección y ir haciendo el siguiente ver su corrección 00:10:39
etcétera, haced lo que veáis mejor 00:10:42
empezamos a corregir primero, si habéis decidido hacerlos uno por uno 00:10:44
viendo la corrección después, pues podéis ver la grabación y hacerlo 00:10:55
y vamos a corregirlo 00:10:58
bien, pues corregimos 00:11:01
tenemos por una parte cuadrados, por otra parte fracciones 00:11:05
y además es una ecuación de grados, porque luego habrá aquí un x al cuadrado 00:11:09
bueno, pues tenemos que 00:11:13
x menos 3 al cuadrado, utilizando la igualdad notable 00:11:17
sería x al cuadrado menos 2 por x por 3 00:11:20
más 3 al cuadrado, lo que nos da x al cuadrado menos 6x más 9 00:11:29
que lo suyo es haber hecho directamente esto 00:11:33
Bien, pues tendríamos x cuadrado menos 6x más 9 entre 3 más 3 es igual a x menos 2 tercios. 00:11:38
Los dos denominadores son 3, de modo que el mínimo común múltiplo es 3. 00:11:49
Así que igualamos denominadores, tenemos partido por 3 más partido por 3 igual a partido por 3 menos partido por 3. 00:11:55
pues aquí hay un 3 00:12:03
el numerador se deja igual 00:12:06
ya que el denominador es igual 00:12:09
x cuadrado menos 6x más 9 00:12:11
ahora el denominador que es 1 se ha multiplicado por 3 00:12:14
numerador también 00:12:17
denominador que es 1, un 1 invisible se ha multiplicado por 3 00:12:18
numerador también 00:12:24
y aquí el denominador se queda igual 00:12:25
pues el numerador se queda igual 00:12:29
aquí tenemos un menos 00:12:31
pero aquí no tenemos una suma 00:12:34
de modo que el menos se afecta solamente al 2 00:12:37
y no hace falta poner paréntesis 00:12:39
así que directamente quitamos 00:12:41
denominadores 00:12:43
y nos queda esta ecuación que ya está simplificada 00:12:44
no hay que poner ningún menos 00:12:52
así que ya en el siguiente paso 00:12:54
podemos pasar todo a la derecha 00:12:56
o sea la ecuación 00:12:59
no hace falta, lo voy a poner 00:13:00
por cuestiones pedagógicas 00:13:02
pero se podría hacer directamente el siguiente paso 00:13:04
pasamos el siguiente paso 00:13:06
pasamos todo a la izquierda 00:13:13
Tenemos x cuadrado menos 6x más 9 más 9 menos 3x más 2. 00:13:14
Y ahora pues nada, resolvemos. 00:13:23
Bueno, simplificamos primero. 00:13:25
x cuadrado menos 9x más 20 es igual a 0. 00:13:27
Resolvemos la ecuación. 00:13:34
x es igual a 9 más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c entre 2a que es 2. 00:13:36
9 más menos 1 partido por 2, tenemos que aquí es 9 más 1 entre 2, que es 10 entre 2, que es 5, 00:13:47
y 9 menos 1 entre 2, que es 8 entre 2, que es 4. 00:13:58
Por lo tanto, las dos soluciones son x igual a 5 y x igual a 4. 00:14:05
Tenemos una ecuación de grado 3, que emplea fracciones y desarrollos algebraicos. 00:14:15
Bueno, pues podemos empezar con la igualdad notable. 00:14:19
Recordamos que a más b al cuadrado es a al cuadrado más 2ab más b al cuadrado. 00:14:25
De modo que x más 1 al cuadrado es x al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más 1 al cuadrado, que es 1. 00:14:32
Y esto nos da x al cuadrado más 2x más 1. 00:14:42
Lo suyo es poner directamente esto 00:14:46
Bien, pues lo ponemos aquí 00:14:49
x al cubo más 11 es igual a x al cuadrado más 2x más 1 00:14:54
Podemos quitar denominadores 00:15:01
Por ejemplo, igualando 00:15:03
Y tendríamos x al cubo más 11 es igual a x al cuadrado 00:15:05
Bueno, tenemos un 1 invisible que vamos a multiplicar por 3 00:15:10
El numerador se multiplica por 3 00:15:16
es igual a 3x cuadrado más 6x más 3 00:15:17
y por último quitamos denominadoras 00:15:21
no hay ningún signo menos que estorbe, etc. 00:15:24
pues directamente hacemos esto 00:15:27
y nos hemos quedado en la ecuación 00:15:28
x al cubo más 11 es igual a 3x cuadrado más 6x más 3 00:15:30
esto no hace falta escribirlo 00:15:36
porque ya está escrito aquí de forma clara 00:15:38
bueno, una pequeña observación 00:15:42
es que realmente hay más modos de hacerlo 00:15:46
por ejemplo tenemos un 3 aquí dividiendo 00:15:49
que se puede pasar multiplicando 00:15:53
y tendríamos que x al cubo más 11 es igual a 3 por x más 1 al cuadrado 00:15:56
podemos desarrollar después el cuadrado 00:16:02
x al cubo más 11 es igual a 3 por x cuadrado más 2x más 1 00:16:05
y luego pues nada, quita de paréntesis 00:16:11
Y esto nos da 3x al cuadrado más 6x más 3. Hubiéramos obtenido lo mismo. 00:16:14
Bueno, seguimos. Pasamos todo a un solo lado. Tenemos que x al cubo más 11 menos 3x al cuadrado menos 6x menos 3 es igual a 0. 00:16:26
Pues nada, x al cubo menos 3x al cuadrado menos 6x y 11 menos 3 es 8 más 8 es igual a 0 00:16:41
Y ahora resolvemos esta ecuación 00:16:49
¿Cómo se resuelve una ecuación de tercer grado? Pues haciendo las raíces 00:16:52
Tenemos 1, menos 3, menos 6 y 8 00:16:58
Pues las raíces, bueno, primero vamos a sumar los coeficientes a ver si da 0 00:17:03
Y la suma efectivamente es 6 y 3 es 9, que es menos 9, 8 más 1 es 9, la suma es 0 00:17:09
Entonces el 1 a raíz, el 1 a raíz no nos vale 00:17:15
Así que tenemos el 1, pues 1, 1, menos 2, menos 2, menos 8, menos 8 y 0 00:17:18
Y nos quedan tres términos con los cuales escribimos la ecuación de segundo grado 00:17:30
x cuadrado menos 2x menos 8 igual a 0 00:17:34
Luego x es igual a 2 más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c como hay un menos o un más 00:17:38
4 por 82 partido por 2 00:17:46
Esto es 2 más menos raíz cuadrada de 36 entre 2 00:17:49
2 más menos 6 entre 2 00:17:53
Tenemos 2 más 6 entre 2 que es 8 medios que es 4 00:17:56
Y 2 menos 6 entre 2 que es menos 4 medios que es menos 2 00:18:00
De modo que tenemos tres soluciones, por una parte la que hemos obtenido con Ruffini, que es x igual a 1, la primera de la ecuación de segundo grado y la segunda de la ecuación de segundo grado. 00:18:09
Y ya hemos terminado. 00:18:22
Esta ecuación es de segundo grado y engloba tanto fracciones como un desarrollo de igualdad notable como un producto. 00:18:27
Podemos empezar con la parte algebraica, que es la igualdad notable y el producto. 00:18:36
La igualdad notable es a más b al cuadrado, que es a al cuadrado más 2ab más b al cuadrado. 00:18:42
De modo que x más 2 al cuadrado sería x al cuadrado más 2 por x por 2 más 2 al cuadrado. 00:18:51
Esto es x al cuadrado más 4x más 4. 00:18:57
Recuerdo que lo suyo es hacer directamente esto. 00:19:01
Bien, la segunda parte, bueno, vamos a ponerlo. 00:19:08
Tenemos aquí partido por 3, 2 veces x cuadrado más 4x más 4. 00:19:12
Bien, lo segundo sería, por ejemplo, hacer este producto. 00:19:21
Tenemos x menos 1, x menos 2, pues operamos, menos 2x más 2, x cuadrado menos x, y nos da x cuadrado menos 3x más 2. 00:19:26
Pues eso es igual a x cuadrado menos 3x más 2 entre 2 menos 7 tercios 00:19:40
Todavía no nos han quedado fracciones simples 00:19:47
Aquí tenemos un 2 00:19:50
En realidad podríamos saltarnos algún paso y hacer ya lo siguiente 00:19:53
Pero bueno, por cuestiones pedagógicas voy a desarrollar primero esto 00:19:57
¿De acuerdo? Tendríamos 2x cuadrado más 8x más 8 entre 3 y eso es igual a x cuadrado menos 3x más 2 entre 2 menos 7 tercios. 00:20:02
Ahora igualamos denominadores, observamos que el mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6 00:20:19
Y nada, dejamos todo con 6 00:20:26
6 es igual a 6 menos 6 00:20:29
¿Por qué número he multiplicado el 3 para que me dé 6? 00:20:35
Por 2, pues arriba también por 2 00:20:39
Tendríamos esto por 2 00:20:41
Tendríamos 4x cuadrado más 16x más 16 00:20:47
El segundo que está dividido entre 2 00:20:55
Pues hemos multiplicado el denominador por 3 00:20:59
El denominador lo multiplicamos también por 3 00:21:02
3x cuadrado menos 9x más 6 00:21:05
Y ahora este denominador lo hemos multiplicado por 2 00:21:08
Pues el numerador también por 2 00:21:13
Menos 14 00:21:14
A ver, nos podemos haber borrado un paso, porque si sabíamos que esto se iba a multiplicar luego por 2, entonces podemos haber multiplicado directamente esto, y aquí lo hemos multiplicado por 2, pues podemos haber multiplicado directamente esto por 4 aquí, y haber hecho pues 4x cuadrado más 16x más 16, bueno, borro esto último y continuamos. 00:21:15
continuamos. El siguiente paso sería quitar denominadores y para ello tenemos que ver 00:21:42
los menos que hay, a ver si hay que poner paréntesis. Aquí hay un menos, pero no me 00:21:49
falta poner ningún paréntesis porque este menos ya engloba al 14, entonces no hay más 00:21:52
términos en los que tengamos que fijarnos después de más o menos que vayan a ser afectados 00:21:59
por ese menos. Así que lo dejamos igual. Quitamos denominadores y realmente, como no 00:22:05
ningún paréntesis lo podemos dejar así y ya tenemos la ecuación. La voy a escribir por cuestiones 00:22:17
pedagógicas pero eso podría dejar así. Tendríamos 4x cuadrado más 16x más 16 es igual a 3x cuadrado 00:22:21
menos 9x más 6 menos 14. Pasamos todo a un solo lado. 4x cuadrado más 16x más 16 menos 3x cuadrado 00:22:32
más 9x menos 6 más 14 es igual a 0 00:22:46
y ahora operamos 00:22:51
operamos, pues 4x cuadrado menos 3x cuadrado 00:22:52
nos daría x al cuadrado 00:23:02
16x más 9x es más 25x 00:23:06
y después, pues 16 menos 6 es 10 00:23:14
más 14 es 24 00:23:20
y esto nos da 0 00:23:22
pues si ahora es resolver la ecuación del segundo grado 00:23:25
x es igual a menos b 00:23:27
que es menos 25 más menos 00:23:29
raíz cuadrada de b cuadrado 00:23:31
sería 25 al cuadrado que es 00:23:33
625 00:23:35
ahora menos 24 00:23:36
4c, 24 por 4 es 96 00:23:39
entre 2a 00:23:41
que es 2 00:23:43
esto es 25 más menos 00:23:44
la raíz cuadrada de 529 00:23:47
entre 2 00:23:49
y podemos ver 00:23:51
que la vez cuadrada de 529 es 23, de modo que tendríamos una parte 25 más 23 entre 2, que sería menos 2 medios, que es menos 1, 00:23:52
y menos 25 menos 23 entre 2, que sería menos 48 entre 2, que sería menos 24. 00:24:12
De modo que hay dos soluciones 00:24:20
x es igual a menos 1 00:24:22
y x es igual a menos 24 00:24:25
Y ya hemos terminado 00:24:27
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
2
Fecha:
9 de julio de 2024 - 17:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Duración:
24′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
153.44 MBytes

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