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EJEMPLO DE ESTUDIO DE LA CURVATURA - Contenido educativo

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Subido el 29 de octubre de 2020 por Gonzalo T.

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Vamos a hacer este ejemplo, estudiar la monotonía y extremos y la curvatura y puntos de inflexión de la función siguiente. 00:00:11
Realmente, en el tema siguiente, añadiendo prácticamente el estudio de las asíntotas y las simetrías, 00:00:17
y la periodicidad, en caso de que lo hubiera, es lo que vamos a hacer en el tema siguiente. 00:00:22
Y ya completar el estudio y representar las funciones. 00:00:27
Con lo cual, esta parte es muy importante para que luego el tema siguiente fluya. 00:00:30
Bien, vamos a ir siguiendo los pasos que tenemos en los apuntes. 00:00:34
El primer paso sería el dominio de la función, será el conjunto de números reales tales que el denominador es distinto de 0, que sería ese conjunto, todos los reales salvo el menos raíz de 3 y el raíz de 3 que son las raíces del denominador, x al cuadrado menos 3 se anula para menos raíz de 3 y más raíz de 3. 00:00:37
siguiente paso, hacer la primera y la segunda derivada 00:00:59
vale, ahí tenemos la primera derivada 00:01:03
derivamos la función 00:01:05
habrá que derivar el numerador por el denominador sin derivar 00:01:07
menos el numerador por la derivada del denominador 00:01:10
y dividido entre el denominador al cuadrado 00:01:14
es una función racional 00:01:15
derivamos de esta manera 00:01:17
bien, desarrollando esto 00:01:19
la primera derivada, la derivada esta 00:01:20
será 3x al cuadrado más 2x menos 2 más 0 00:01:24
y la derivada de esta otra será 2x más 0 00:01:28
bien, esto ya nos queda una operación de polinomios que desarrollamos 00:01:32
y aquí ahora podemos ir simplificando 00:01:36
vale, ahí tenemos, pues nada, hemos ido agrupando por colores, por grado 00:01:39
y tachando en rojo lo que se elimina 00:01:44
y bueno, nos queda simplemente el numerador que es x a la cuarta 00:01:48
menos 7x al cuadrado más 6 partido por x al cuadrado menos 3 00:01:51
todo ello al cuadrado. Esta es la derivada de f de x. Ahí tenemos f'. Ahora, la segunda 00:01:56
derivada, que la vamos a necesitar para el estudio de la curvatura. Con lo cual, lo que 00:02:03
vamos a hacer ahora es derivar esta función. Ahí tenemos, igual que antes, una función 00:02:07
racional, derivada del numerador, que está por el denominador sin derivar, menos denominador 00:02:11
por derivada del numerador. Una cosa importante, fijaos que aquí, en la primera derivada, 00:02:18
el denominador no lo he desarrollado, lo he dejado elevado al cuadrado, eso me va a facilitar 00:02:24
hacer la segunda derivada y simplificar, otra cosa que 00:02:28
es importante es que sepamos que cuando tengo una función racional en la que el denominador 00:02:32
es una expresión, un polinomio, una expresión elevada al cuadrado 00:02:37
al derivar esta función 00:02:40
el siguiente denominador que me aparezca en la siguiente derivada tiene que ser elevado al cubo 00:02:44
si fuera elevado al cubo, elevado a la cuarta, es decir, el grado del denominador aumenta 00:02:48
en 1. Eso porque voy a poder simplificar. Entonces yo espero obtener un grado 3 y aquí 00:02:52
lo tengo. Derivamos esto, 4x al cubo menos 14x y derivamos esto y al derivar esto, 2 00:02:59
por x al cuadrado menos 3 por la derivada de x al cuadrado menos 3 que es 2x, pues vemos 00:03:07
que me aparece aquí el x al cuadrado menos 3, aquí lo tenía al cuadrado y aquí lo 00:03:12
tengo a la cuarta, con lo cual puedo simplificarlo ya que podría sacar el factor común y luego 00:03:16
simplificar, lo puedo hacer directamente, de aquí se va una vez, de aquí también 00:03:21
y de aquí también, bueno, desarrollando esto, obtenemos ahí 00:03:25
esa expresión y ahora, pues igual que antes, podemos 00:03:29
ir agrupando y simplificando lo que se anula, ahí tenemos 00:03:33
el 4 que es la quinta que se va, y nos queda 2x al cubo 00:03:37
más 18x partido por x al cuadrado menos 3 00:03:41
al cubo, y esta es la expresión de la segunda derivada 00:03:45
Muy bien, continuamos 00:03:48
¿Y qué tenemos? Pues tenemos aquí 00:03:50
Lo que tenemos hasta ahora, ¿no? 00:03:52
Hemos calculado la función, tenemos aquí el dominio 00:03:54
Tenemos la primera derivada y segunda derivada 00:03:57
La tenemos aquí organizadito y vamos a continuar 00:03:58
Siguiente paso es 00:04:00
Estudiar la monotonía 00:04:02
Para ello, primer punto 00:04:06
Dentro del estudio de la monotonía 00:04:07
Resolver la ecuación f'x igual a 0 00:04:09
Esta derivada que tengo aquí 00:04:11
Tengo que igualarla a 0 para calcular 00:04:13
Los puntos críticos 00:04:15
es una ecuación bicuadrada porque lo único que tenemos que igualar a 0 es el numerador 00:04:16
hacemos el cambio de variable, t al cuadrado 00:04:21
t al cuadrado igual a x a la cuarta, x al cuadrado igual a t 00:04:24
y nos da la solución 1 y 6 para t y haciendo las raíces 00:04:28
pues más 1 y menos 1 y más raíz de 6 y menos raíz de 6 00:04:33
4 puntos críticos, ahí los tenemos, siguiente paso 00:04:36
calcular el signo de la derivada, ahora lo que tenemos que hacer es 00:04:40
partir el dominio con los puntos críticos 00:04:45
recordad, os recuerdo que el dominio ya tenía dos puntos que no eran del 00:04:49
dominio que eran raíz de 3 y menos raíz de 3 luego esto ya está partido en tres 00:04:52
intervalos hay que partirlo además con todos estos puntos críticos con lo cual 00:04:57
nos quedará lo siguiente la primera derivada vale la pongo factorizada 00:05:02
también para que veamos luego para ver el signo es más fácil de tener factorizado 00:05:07
Simplemente tengo estas cuatro raíces factorizadas de esta manera. 00:05:11
Y ahora vamos a hacer lo siguiente. 00:05:16
Vamos a colocar aquí, desde menos infinito hasta más infinito, 00:05:20
por un lado los puntos que no son del dominio, que son menos raíz de 3 y raíz de 3, 00:05:24
y por otro lado los puntos críticos en orden. 00:05:29
Fijaos que me ha quedado dividido en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 intervalos. 00:05:31
Y aquí colocamos los factores que son susceptibles de cambiar de signo, 00:05:36
que son los del numerador y también los del denominador 00:05:40
¿por qué en este caso no he puesto los del denominador aquí? 00:05:43
porque al estar elevado al cuadrado esto siempre es positivo 00:05:47
con lo cual no hace falta que lo ponga 00:05:49
igual que si aquí arriba tuviera un factor elevado al cuadrado 00:05:53
yo sé que eso siempre es positivo 00:05:56
entonces para el estudio del signo no me aporta nada 00:05:57
entonces son estos cuatro factores 00:06:00
y vamos a ver el signo que tiene cada uno 00:06:03
vale, bueno, hemos señalado 00:06:06
en verde 00:06:09
los que son puntos críticos y en rojo 00:06:11
los que no son del dominio, esto es interesante 00:06:12
también para a la hora de 00:06:14
hacernos una idea de lo que pasa 00:06:16
en cada uno de esos puntos 00:06:18
por ejemplo, si me saliera 00:06:19
que menos raíz de 3 00:06:23
pasa de creciente a decreciente, no puedo concluir 00:06:24
que es un máximo, ¿por qué? porque lo tengo aquí marcado en rojo 00:06:26
porque es un punto en el que no está definida 00:06:28
lo que va a ver en estos dos puntos rojos es una asíntota 00:06:30
bien 00:06:33
Bien, damos valores o simplemente observamos que como está la raíz asociada a x más raíz de 6 es menos raíz de 6, 00:06:34
pues el cambio de signo está aquí, entonces de menos y todo lo demás es más. 00:06:42
Para el x más 1 sería el menos 1, entonces a la izquierda menos, a la derecha más. 00:06:46
Para el x menos 1 sería el 1, a la izquierda menos, a la derecha más. 00:06:51
Para el x menos raíz de 6 sería raíz de 6, todo a la izquierda menos, a la derecha más. 00:06:55
Bueno, ahora lo siguiente sería hacer esta multiplicación de signos o directamente contar 00:06:59
Si el número de signos menos es par será positivo, si el número de signos menos es impar será negativo 00:07:05
Realizamos esto y nos queda aquí más, aquí menos, aquí menos, más, menos, menos y más 00:07:11
Y eso es el signo de la primera derivada 00:07:17
Y ahora eso lo utilizamos para concluir el crecimiento 00:07:20
entonces en la última fila 00:07:24
rellenamos con una flechita indicando si es creciente 00:07:26
cuando es positivo y si es decreciente cuando es negativo 00:07:28
esto de las flechitas 00:07:30
en realidad no haría falta ponerlo 00:07:32
porque ahora ya podemos concluir directamente viendo el signo 00:07:33
de la primera derivada, pero 00:07:36
a mí esto me parece interesante porque 00:07:38
aquí enseguida vemos la idea 00:07:40
de cuando hay un máximo, cuando hay un mínimo 00:07:42
me va a ayudar 00:07:44
a visualizarlo, entonces yo recomiendo 00:07:46
que hagamos esto de las flechitas 00:07:48
por último ahora damos una conclusión 00:07:49
al estudio de la monotonía 00:07:52
entonces mirando simplemente aquí este cuadro pues ya concluimos 00:07:54
creciente, pues donde la flecha apunta para arriba 00:07:59
de menos infinito a menos raíz de 6 00:08:03
de menos 1 a 1 y de raíz de 6 a infinito 00:08:04
decreciente, de menos raíz de 6 a menos raíz de 3 00:08:08
de menos raíz de 3 a menos 1 00:08:12
cuidado que esto no lo podemos juntar en el mismo intervalo 00:08:14
porque esto está en rojo 00:08:16
y eso significa que este menos raíz de 3 no es del dominio 00:08:17
Entonces no podemos decir que es decreciente entre menos raíz de 6 y menos 1 porque estaríamos cogiendo el menos raíz de 3. 00:08:22
Por lo tanto, es de menos raíz de 6 a menos raíz de 3, unión de menos raíz de 3 a menos 1 y luego igual lo mismo aquí, de 1 a raíz de 3 y de raíz de 3 a raíz de 6. 00:08:29
Lo siguiente serían los extremos. 00:08:38
Vamos a ver los extremos y para eso nos ayuda mucho mirar aquí. 00:08:41
Yo he señalado aquí en azul los que yo veo identificados como máximos y en morado los que identifico como mínimos. 00:08:45
Pero cuidado, no basta solo con que yo vea aquí que se produce este efecto de cambio de crecimiento. 00:08:53
Tengo que asegurarme que son valores que sí que son del dominio. 00:08:58
Este sí que es del dominio, este también, este también y este también. 00:09:03
Porque podría ocurrir que hay un cambio de crecimiento en uno de estos valores. 00:09:07
Y entonces no serían un extremo, sería simplemente una asíntota de ramas convergentes. 00:09:10
vale, es decir, aquí los máximos los tengo en el menos raíz de 6 y en el 1 00:09:15
y hay que calcular sus imágenes, ahora las calculamos 00:09:20
y los mínimos en el menos 1 y raíz de 6 00:09:23
menos 1 y raíz de 6 00:09:28
y hay que calcular sus imágenes 00:09:30
vale, entonces calculamos sus imágenes 00:09:32
que sería venir aquí arriba a donde está la función 00:09:34
y sustituir la x por esos valores 00:09:38
la raíz de 6 es 2,45 aproximadamente 00:09:41
bueno, aquí lo que hacemos es aproximar 00:09:47
y obtenemos estos puntos 00:09:48
el menos 2,45 que sería menos raíz de 6 00:09:50
y su imagen es menos 2,27 00:09:54
eso es un máximo 00:09:56
en el 1 la imagen me da 1,5 00:09:57
y ese es otro máximo 00:10:00
y mínimo tengo 2 00:10:01
el menos 1 su imagen me da 0,5 00:10:02
y en el raíz de 6 me da 2,45 00:10:05
como digo, estos puntos yo los he obtenido 00:10:08
y vosotros tenéis que hacer lo mismo, sustituyendo aquí en la función x por el valor donde me ha dado el máximo 00:10:11
o donde me haya dado el mínimo, y calculo la y, que corresponde a cada punto. 00:10:19
Bien, continuamos, ¿y qué tenemos ahora? Pues vamos a tener aquí lo que tenemos resumido hasta ahora. 00:10:23
Tenemos el dominio, tenemos la derivada, la segunda derivada, tenemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento, 00:10:29
los máximos, los mínimos, y vamos a estudiar ahora la curvatura. 00:10:35
Para ello, el primer punto es calcular los candidatos a punto de inflexión 00:10:39
Es decir, resolver la ecuación f' de x, que es esta función de aquí, igual a 0 00:10:45
Entonces, resolvemos esa ecuación 00:10:51
Igual que antes, solo tengo que igualar a 0 el numerador 00:10:55
Y resuelvo 00:10:58
En este caso se puede factorizar 00:10:59
Sale 2x, un factor, y otro x al cuadrado más 9 00:11:02
x al cuadrado más 9 no se anula, no tiene solución 00:11:05
saldría la raíz cuadrada de menos 9 que no es real 00:11:08
y x se anula en x igual a 0 00:11:10
luego solo hay un candidato a punto de inflexión 00:11:12
solo hay un punto que anula la segunda derivada 00:11:14
con ese punto lo que hacemos ahora es analizar el signo de f segunda de x 00:11:17
para ello lo escribimos factorizado al máximo 00:11:21
el numerador ya está y el denominador se puede factorizar algo más 00:11:25
¿por qué antes no lo factoricé con el crecimiento? 00:11:29
porque estaba al cuadrado y me daba igual el signo 00:11:32
pero ahora al estar al cubo esto sí que va a cambiar de signo 00:11:34
Entonces, si lo factorizo, lo recuerdo que las raíces del denominador eran raíz de 3 y menos raíz de 3, 00:11:38
pues este x al cuadrado menos 3 se factoriza como x menos raíz de 3 por x más raíz de 3. 00:11:44
Y luego, como está el cubo, pues pongo al cubo, aunque para el signo realmente lo único que me importa es que sea impar. 00:11:49
Con lo cual, ahí tengo el x al cuadrado más 9, es un factor que no necesito colocar, 00:11:54
y tengo ahora la misma tablita que hice antes. 00:11:59
El dominio era de menos infinito a menos raíz de 3, de menos raíz de 3 a raíz de 3 y de raíz de 3 a infinito, 00:12:02
y le añado, aquí le corto además por un único valor, que es la única solución que he obtenido. 00:12:07
Los factores que tengo que analizar su signo son 2x, x menos raíz de 3 y x más raíz de 3, 00:12:12
porque este x al cuadrado más 9 es siempre positivo. 00:12:18
Bien, pues ahora ya igual que antes, 2x va a ser negativo a la izquierda de 0 y positivo a la derecha de 0, 00:12:22
x menos raíz de 3 va a ser negativo a la izquierda de raíz de 3 y positivo a la derecha, 00:12:30
y x más raíz de 3 va a ser negativo 00:12:34
a la izquierda de menos raíz de 3 00:12:36
y positivo a la derecha 00:12:38
esto si cogéis un valor cualquiera 00:12:39
y con la calculadora calculáis 00:12:41
lo vais a sacar, pero 00:12:43
si lo hacemos así vamos a ser más rápidos 00:12:45
y recordáis que en los exámenes siempre 00:12:47
os gusta que el tiempo sobre 00:12:49
y no que os falte 00:12:51
bien, ahora lo siguiente sería 00:12:52
contar esos signos 00:12:55
si hay un número impar 00:12:57
de signos menos será negativo, como en el primer caso 00:12:59
si hay un número par, como aquí 00:13:01
que hay dos es positivo, aquí hay uno negativo, aquí no hay ninguno positivo. Y ahora por último, igual que 00:13:03
antes ponía las flechitas, ahora estoy analizando la curvatura, voy a poner pues como una curva 00:13:09
abierta hacia arriba o abierta hacia abajo para indicar cada uno de los casos. Cuando es negativa, 00:13:14
la segunda derivada, la función será abierta hacia abajo, positiva abierta hacia arriba. Me quedan 00:13:18
esos intervalos. Pues nada, igual que antes, sacamos la conclusión. Conclusión ahora, pues, ¿dónde es 00:13:23
abierta hacia arriba la función? Pues es abierta hacia arriba entre menos raíz de 3 00:13:30
y 0 y entre raíz de 3 infinito. Lo tengo aquí. ¿Y dónde es abierta hacia abajo? Entre 00:13:34
menos infinito y menos raíz de 3 y entre 0 y raíz de 3. Siguiente apartado, o siguiente 00:13:40
parte. Ver si hay puntos de inflexión. Pues ahora nos fijamos que tengo aquí un cambio 00:13:47
de curvatura, aquí tengo otro y aquí tengo otro, pero si me miro arriba, el único que 00:13:54
sí que es del dominio es el 0, este menos raíz de 3 y este raíz de 3, hay un cambio 00:14:00
de curvatura, pero lo que hay ahí es una asíntota, no es un punto de inflexión. Entonces 00:14:04
yo señalo ahí que veo que hay un cambio de curvatura, ¿vale? Y no señalo los otros 00:14:08
dos porque me fijo arriba que lo que hay ahí es una asíntota, va a haber una asíntota 00:14:13
de ramas divergentes. Bueno, entonces ese punto de inflexión, la x es igual a 0, la 00:14:17
y es f de 0 que vale 1 00:14:21
si sustituimos la x aquí arriba 00:14:23
la x por 0 me queda 00:14:25
menos 3 partido por menos 3 que es 1 00:14:27
entonces ya tengo el punto de inflexión 00:14:29
que es el 0, 1 00:14:31
bien, pues si resumimos 00:14:32
todo, aquí lo tenemos 00:14:35
ya todo el estudio que hemos 00:14:37
hecho resumido y con esto ya prácticamente 00:14:39
lo tendríamos 00:14:41
para poder intentar esbozar un poquito 00:14:42
la función, nos faltaría las asíntotas 00:14:45
ya sabemos que en raíz de 3 00:14:47
y en menos raíz de 3 va a tener asíntotas verticales 00:14:49
y nos faltaría estudiar 00:14:52
el caso de las asíntotas horizontales 00:14:53
y oblicuas 00:14:56
eso ya lo haremos 00:14:56
en un tema a continuación 00:14:59
pero bueno, para que nos hagamos una idea 00:15:01
de cómo encaja todo lo que hemos obtenido 00:15:03
ahí tenemos la gráfica de la función 00:15:06
y ahí observamos los puntos 00:15:07
que hemos calculado 00:15:09
los máximos que eran en 00:15:10
menos 2,45 00:15:13
y en 1 00:15:15
los mínimos que eran en menos 1 y en más 2,45 00:15:17
el punto de inflexión que estaba en el 0 00:15:21
y efectivamente en el menos raíz de 3 y en el más raíz de 3 00:15:25
también hay un cambio de curvatura 00:15:28
pero no es porque haya un punto de inflexión, es porque hay una asíntota 00:15:30
y aquí en el 0 sí, viene abierta hacia arriba 00:15:33
y a partir de ahí cambia abierta hacia abajo 00:15:36
muy bien, pues espero que este estudio os sirva 00:15:38
esta pizarra donde he estado desarrollando esto 00:15:43
también os la voy a enlazar en el aula virtual 00:15:47
en PDF para que podáis por lo menos verla también 00:15:49
a la vez que visualicéis el vídeo 00:15:54
Autor/es:
Gonzalo Taboada Gelardo
Subido por:
Gonzalo T.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
75
Fecha:
29 de octubre de 2020 - 23:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS ROZAS I
Duración:
16′ 10″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
98.69 MBytes

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