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Gravitación - Fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales - Contenido educativo

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Subido el 24 de octubre de 2020 por Sergio M.

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Expresión matemática, tanto en módulo como vectorial. Significado. Ejemplo.

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Hola, en este vídeo tratamos la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales. 00:00:00
Bueno, pues aquí las tenemos. 00:00:05
Vamos a comenzar por darles un nombre. 00:00:08
Esta va a ser la masa número 1 y esta va a ser la masa número 2. 00:00:12
Además, si os fijáis, desde aquí hasta aquí tenemos la distancia que las separa, 00:00:19
la cual vamos a llamar la distancia de 1 a 2 o de 2 a 1, la dejamos como D. 00:00:24
Que sepáis que obviamente es la longitud de este segmento. 00:00:30
Pues bien, la ley de gravitación universal nos dice que la fuerza establecida entre esas dos masas tiene la siguiente pinta. 00:00:35
Es el producto de la constante de gravitación universal por el valor de la masa 1 por el valor de la masa 2 y dividido entre la distancia al cuadrado que las separa. 00:00:43
Esta fuerza, por supuesto, se medirá en newtons, cuyo símbolo es la letra n. 00:00:56
Si os fijáis, aquí lo que hemos escrito es el módulo de esa fuerza. 00:01:04
Y de hecho, nos podríamos preguntar, ¿cuál es esa fuerza? 00:01:09
En realidad, aquí tenemos dos masas y sabemos que ambas se van a ver atraídas gravitacionalmente. 00:01:14
la masa 1 se ve atraída por la masa 2 y la masa 2 se ve atraída por la masa 1 00:01:19
de hecho eso es la tercera ley de Newton aplicada a este sistema físico 00:01:27
fijaos, por ejemplo yo aquí puedo dibujar el vector fuerza con el que la masa 1 atrae a la masa 2 00:01:33
esta fuerza ¿quién la siente? la siente la masa 2 00:01:44
y en esencia es la fuerza que ejerce la 1 sobre la 2 00:01:49
pero por la tercera ley de Newton como hemos dicho 00:01:55
existe una fuerza exactamente igual en módulo 00:02:00
pero en sentido contrario que en este caso quien sufre es la masa 1 00:02:03
si la dibujamos con cuidado la tendremos que dibujar con el mismo módulo 00:02:06
pero en este caso no es F2 sino que es F1 00:02:12
y en esencia es la fuerza que la masa 2 00:02:17
está ejerciendo sobre la masa 1. 00:02:21
Si os fijáis, estos son magnitudes vectoriales 00:02:27
mientras que nosotros aquí hemos escrito 00:02:29
el módulo de esas fuerzas. 00:02:32
Podríamos preguntarnos 00:02:36
cómo expresar esta fuerza 00:02:37
con una ley que sea vectorial. 00:02:40
Lo que he hecho aquí ha sido añadir 00:02:46
un sistema de referencia que nos va a ser muy útil. 00:02:48
Fijaos, nosotros estamos muy acostumbrados 00:02:51
a trabajar con sistemas cartesianos 00:02:53
donde, por ejemplo, aquí escogeríamos el sentido positivo de las x y aquí el sentido positivo de la y. 00:02:55
Sin embargo, nos va a interesar en este caso, por la simetría esférica que este tipo de problema tiene, otro tipo de sistema. 00:03:01
Se llama un sistema en el cual utilizamos coordenadas radiales, como si fuesen radios que emanan de este centro donde está colocada nuestra masa. 00:03:10
Fijaos bien, hemos puesto el origen en la que habíamos llamado masa número 1. 00:03:23
Esta era la masa número 2 y la distancia entre ambos la habíamos llamado d. 00:03:30
Fijaos, vamos a dibujar un vector que justamente apunta en la dirección radial que nos lleva hasta la masa 2. 00:03:37
Y lo vamos a llamar u sub r. 00:03:46
¿Por qué? Porque es un vector unitario en la dirección radial. 00:03:50
Es decir, que tiene módulo 1 y va en la dirección radial que nos interesa. 00:03:57
Por supuesto, hay muchos más vectores u sub r, dependiendo de la dirección que te interese. 00:04:01
Si la masa número 2 estuviese encima de la masa 1, pues este sería u sub r. 00:04:07
Si estuviese hacia su izquierda, este sería u sub r. 00:04:12
y si estuviese debajo y un poquito a la derecha, este sería u sub r. 00:04:15
u sub r no es más que un vector en la dirección radial que nos interese 00:04:21
y aquí es la que nos lleva hasta m sub 2. 00:04:25
Fijaos, si recordáis, la fuerza que habíamos dicho que sentía la masa 2 00:04:28
iba más o menos así, en esta dirección y sentido. 00:04:33
Esta es la fuerza sobre la masa número 2. 00:04:37
y ahora vamos a darle a la expresión de la ley de gravitación universal carácter vectorial. 00:04:41
Bueno, pues como podéis observar este vector y este vector están en la misma dirección 00:04:48
simplemente que están en sentido contrario. 00:04:53
¿Y cómo podemos conseguir dar ese sentido contrario? 00:04:57
Añadiendo un signo menos. 00:05:00
Es tan sencillo como eso. 00:05:02
De este modo podemos decir que la fuerza que siente 2 va a ser en módulo el producto de g por la masa 1 que interacciona con la masa 2 dividido entre la distancia al cuadrado que las separa y ahora vamos a darle primero la dirección. 00:05:03
Vamos a decir que esto va en la dirección de este vector unitario u sub r, pero como queremos que vaya en sentido contrario, le vamos a añadir aquí un signo menos. 00:05:26
Esta es la expresión matemática para la ley de gravitación universal cuando queremos verlo como vectores. 00:05:36
Genial. 00:05:47
Alguien podría preguntar, oye, ¿y qué ocurre con la fuerza sobre la masa número 1? 00:05:48
Bien, pues en este caso, si os fijáis, lo que hemos hecho ha sido cambiar el sistema de referencia 00:05:54
Nosotros aquí tenemos la masa número 1, que es la que ahora nos interesa 00:06:02
Pero quien está creando esa interacción gravitatoria con ella es la masa número 2 00:06:06
En este caso, nosotros medimos las distancias desde quien interacciona con ella 00:06:11
Así que aquí estaría ese pequeño vector U sub r de módulo 1 00:06:16
y la fuerza que sufre la masa número 1 tendría esta pinta, pero no habría problema porque de nuevo a nivel de estructura matemática tendríamos lo mismo. 00:06:23
Tendríamos que U sub R y F sub 1 están en la misma dirección, pero que tiene sentido contrario. 00:06:39
Para ello añadiremos ese signo menos, es decir, que la fuerza que en este caso siente la masa número 1 es igual a menos gm1 por m2 dividido entre d al cuadrado con el vector u sub r. 00:06:48
Si comparáis esto con la estructura que teníamos previamente, esto no ha cambiado en absoluto, esto no ha cambiado en absoluto y esto no ha cambiado en absoluto, porque la coordenada radial se define siempre desde quien está interaccionando contigo. 00:07:11
Pues bien, vamos a desbozar un ejercicio. Fijaos, aquí tenemos dos masas M1 y M2 que están separadas una determinada distancia, eso dependerá de las coordenadas y esto es para que veáis que lo que hemos visto anteriormente luego a efectos prácticos en nuestros ejercicios no es tan tan complicado. 00:07:27
Mirad, basta con una buena elección de sistema de coordenadas cartesial. 00:07:53
Por ejemplo, aquí tenemos el sentido positivo de las x y el sentido positivo de las y 00:07:57
y aquí hemos puesto el cero, es decir, nuestro origen del sistema de referencia. 00:08:02
Como recordáis de lo que hemos visto previamente, 00:08:07
la masa 1 está ejerciendo una fuerza sobre la masa número 2 en esta dirección y sentido. 00:08:11
¿De acuerdo? Esto es f sub 2. 00:08:16
Y si queremos dar esta magnitud que es vectorial, podemos hacerlo descomponiendo en x e y. 00:08:18
Vamos a escoger un color distinto para que se diferencien bien. 00:08:26
Esta será la componente vertical, la vamos a llamar f2y, y esta va a ser la componente horizontal f2x. 00:08:31
Lo que básicamente estamos diciendo es algo tan simple como que dar el vector f sub 2 no es más que dar la combinación de f2x más f2y. 00:08:46
estos dos vectores los podemos expresar muy fácilmente si aquí definimos el vector unitario en la dirección x 00:09:02
y el vector unitario en la dirección y que como bien sabéis son y latina y j latina 00:09:11
tienen módulo 1 no modifican el valor del módulo del vector simplemente le dan dirección y sentido 00:09:18
Entonces, dados cuenta de que aquí f2x va a ir como menos y. 00:09:26
O sea, será un numerito pero que irá como menos y, porque va en el sentido contrario a lo que hemos definido como y. 00:09:35
Y lo mismo para f2y. 00:09:40
f2y, estos son vectores, perdonad, va a ir como menos j. 00:09:48
Bueno, pues basta con codificar todo este vector o este vector con los signos de nuestro sistema cartesiano. 00:09:57
Fijaos, a mí se me ocurre lo siguiente. 00:10:08
Yo calculo, sabiendo las posiciones en la x y en la y de esta masa 2, yo calculo este alfa, ¿de acuerdo? 00:10:11
Porque este ángulo no es más que, o tiene como tangente la coordenada de y entre la x. 00:10:19
Este ángulo es el mismo que este, ¿de acuerdo? Esto también es alfa. Y esto me asegura que f2x va a ser f2 por el coseno de este ángulo. 00:10:27
Es decir, en módulo, estos son números positivos, en módulo, f2x es f2 por el coseno de este ángulo alfa. 00:10:36
F2i en módulo, es decir, algo positivo 00:10:46
es F2 por el seno del ángulo alfa 00:10:50
y lo único que tengo que hacer 00:10:56
una vez haya hallado estos dos valores 00:10:58
que son positivos y que están en newtons, por supuesto 00:11:01
no va a ser más que coger y decir 00:11:04
ah, pues mira, resulta que F2 como vector es 00:11:07
menos este numerito que he calculado en la dirección i 00:11:13
y ahora le tendré que sumar menos este numerito que he calculado en la dirección j. 00:11:20
Es decir, va a tener la pinta siguiente. 00:11:31
menos f2x en la y menos f2y en la j como veis apunta hacia la izquierda y hacia abajo en nuestro 00:11:33
sistema cartesiano que es lo que tenemos justamente aquí dibujado es compatible con ello bueno pues 00:11:52
Así es como luego se resuelven estos ejercicios de manera más sencilla sin necesitar coordenadas radiales. 00:11:58
Muy bien, hasta la siguiente. 00:12:06
Idioma/s:
es
Autor/es:
Sergio Montero Modino
Subido por:
Sergio M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
141
Fecha:
24 de octubre de 2020 - 16:02
Visibilidad:
Público
Duración:
12′ 08″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
33.77 MBytes

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