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Problemas de Integral definida - Ejercicio 4 - Contenido educativo

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Subido el 15 de marzo de 2020 por Manuel D.

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Problemas de Integral definida - Ejercicio 4

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Bueno, pues vamos a acabar esta lista de problemas resolviendo este problema número 4. 00:00:02

¿Qué nos están pidiendo? Pues calcular el cuerpo de revolución, el volumen de un cuerpo de revolución determinado por esta función de aquí. 00:00:13

Entonces, esta función de aquí nos da dos valores entre x igual a 0 y x igual a h. 00:00:22

La dificultad del problema puede residir en que hay muchas letras, muchas constantes, 00:00:27

y no nos tenemos que liar entre qué es una constante y cuál es la variable independiente, que es la x. 00:00:30

Para ello, lo primero, primero, es hacer un dibujo para hacerse una idea de qué es lo que nos están pidiendo integrar 00:00:36

y cómo quedaría el cuerpo de revolución, a ver si eso nos ayuda. 00:00:41

Es decir, vamos a hacer lo siguiente. 00:00:45

Vamos a dibujar esa recta. 00:00:47

Entonces, bien digo que es una recta porque es una ecuación, aunque parezca muy rara, de la siguiente forma. 00:00:49

Igual a r más r menos r minúscula partido por h por x. 00:00:57

Y esto se puede entender como n más mx, mx más n de toda la vida. 00:01:04

Es decir, es una recta. 00:01:12

Entonces, para poder dibujarla, como hay tanta constante, vamos a dar valores. 00:01:13

¿Qué valores? Pues si la x es 0, entonces si x es 0, f de 0 es igual a r, es decir, la función pasa por el punto 0, r. 00:01:16

¿Y qué otro valor habría que dar? Pues x igual a h, porque si x es igual a h, el denominador se me va a simplificar y que me va a quedar r más r menos r partido por h por h. 00:01:27

Ya digo que el denominador se me va. Me queda R más R mayúscula menos R igual a R mayúscula. Es decir, que para aquí X igual a H, el valor de la función sería R. 00:01:39

No lo dicen en el enunciado, pero deberían haberlo dicho en principio. Este problema está puesto para que la R mayúscula sea mayor que la R y así la cosa tendría la siguiente forma cuando nosotros demos la vuelta. 00:01:57

Vamos a dibujarlo a este lado. Si yo roto ese dibujo, al rotar ese dibujo, yo voy a tener que esto es R mayúscula, que esto es, perdón, R minúscula, R mayúscula y H. 00:02:12

Es decir, que yo aquí tendría menos R, tendría menos R mayúscula y así. 00:02:28

Y entonces cuando yo de vueltas voy a tener, ¿qué figura? Pues aquí voy a tener un círculo y aquí también. Es decir, que yo lo que voy a tener eso es claramente un tronco de cono, que es lo que nos están pidiendo que calculemos. 00:02:42

El volumen de un tronco de cono y las letras ahora toman su sentido porque el volumen de un tronco de cono cuyo radio de la base es R mayúscula, cuyo radio de la otra base, el radio menor, es R minúscula y cuya altura es h. 00:02:56

¿De acuerdo? Y nos lo piden que lo hagamos mediante integrales. 00:03:16

Entonces, lo primero es recordar cómo se calcula la integral. O sea, cómo se calcula el volumen de un cuerpo de revolución. Un cuerpo de revolución se va a calcular integrando la función pi por f cuadrada entre el primer valor, x igual a a y x igual a b, diferencial de x. 00:03:19

Esto lo que eran, pues eran el volumen de cilindros de altura diferencial. Al final, al sumar los infinitos cilindros en los que descompondría estas lanchas en las que descompone el tronco de cono, pues nos quedaría el volumen del tronco de cono entero. 00:03:37

En nuestro caso, pues tenemos que integrar entre 0 y h. El límite de la derecha es h. La función pi por... Y bueno, pues nos toca hacer esta cuenta. r más r mayúscula menos r partido por h por x al cuadrado diferencial de x. Pues toca hacer esa cuenta. 00:03:54

Entonces vamos allá. Vamos poco a poco para no liarnos y hacerlo bien. Y luego vamos a intentar entender de dónde salen las cosas. Nos quedaría r al cuadrado más el doble del primero. El primero es r por el segundo que es r menos r partido por h y por x. 00:04:13

Y esto es lo que tengo que integrar. Diferencial de x. De momento no me preocupo mucho por la interpretación geométrica, sino simplemente hacer la cuenta bien. 00:04:50

Entonces, vamos allá. Me quedaría r al cuadrado por x. Integro polinomios. Son polinomios, no me asuste por tanta letra. 00:05:00

x al cuadrado, la integral sería x al cubo partido por 3. La integral de x sería x al cuadrado partido por 2. 00:05:22

Y ahora esto lo tengo que evaluar entre 0 y h 00:05:37

Es decir, como todo depende de x, al evaluar en el 0 se me va 00:05:44

Solo tengo que sustituir la x por h 00:05:49

Y al aplicar la regla de Barrow 00:05:51

Pues vamos a aplicar la regla de Barrow ya 00:05:53

Simplemente sustituyendo ya digo la x por h 00:05:54

Porque al evaluar en el 0 es 0 00:05:57

Y hay que simplificar un poco ahí 00:05:59

Porque si no eso es un desastre 00:06:01

Porque básicamente no vamos a saber qué significa 00:06:03

perdón esto es una venga vamos a simplificar un poquito con cuidado este 00:06:08

h cubo con este h cuadrado aquí hay un cuadrado se simplifica el cuadrado con 00:06:30

esta h se simplifica también el 2 con este 2 se nos simplifica también y poco 00:06:37

más y ojo cuidado que aquí nos ha faltado un paréntesis todo va a 00:06:42

multiplicado por pi. Y entonces, pues nos va a quedar pi que multiplica r cuadrado h, más r menos r al cuadrado por h, partido por 3, más r menos r por h. 00:06:47

Muy bien. Y aquí me falta multiplicar por r, ¿verdad? Sí, multiplicar por r. De acuerdo. 00:07:11

Y nada, esto en teoría tendríamos que ser capaces de simplificarlo y llegar hasta la siguiente fórmula. ¿Cuál es el volumen del tronco de cono? Pues mirad, si yo tuviese el tronco entero, vamos a dibujarlo en la proyección. 00:07:21

Esto sería de la siguiente forma. Yo aquí tengo el valor de h y este lo vamos a llamar a porque no sé lo que hay hasta el vértice hipotético. Nuestro prisma, nuestro tronco de cono es este. Voy a tener aquí la r grande y la r pequeña. 00:07:38

Y el volumen que yo me sé por las fórmulas de volúmenes sería, pues calcular el volumen, ya digo, del tronco de cono sería un tercio de área de la base pi r cuadrado por la altura h más a. 00:08:04

eso sería el volumen de todo el cono 00:08:24

un tercio del área de la base por altura es el volumen del cono 00:08:29

y a ese volumen del cono le voy a restar un tercio de pi r cuadrado por a 00:08:31

que es precisamente el cono que yo quito al truncar 00:08:37

si esto yo lo simplificase me quedaría la fórmula del tronco de cono 00:08:42

R cuadrado 00:08:49

vamos a sacar aquí, a multiplicar 00:08:52

el problema es que yo no conozco A 00:09:01

entonces ahora vamos a calcular A 00:09:13

calcular A lo vamos a hacer por tales 00:09:15

estos triángulos son semejantes 00:09:18

así que A partido por R 00:09:20

es igual a A más H 00:09:22

a toda la altura partido por R grande 00:09:25

de aquí yo saco lo que vale la A 00:09:27

y la sustituyo ahí 00:09:29

me quedaría, como veis, este es un problema 00:09:31

ya un poquitín más complicado 00:09:33

A por R igual a R por A más H 00:09:34

De todas formas, el valor de la integral, si la damos así, pues hombre, está casi bien 00:09:40

O sea que no nos pueden poner muchas pegas 00:09:47

Pero vamos a hacerlo bien, bien, bien 00:09:50

Entonces esto quedaría A por R menos R 00:09:53

Este pasa restando, como sabéis, con la R por H 00:09:55

Así que la a vale r por h partido por r menos r. Y ese sería el valor que habría que sustituir aquí para que nos dé todo bien. Es decir, un tercio de pi que multiplica a r cuadrado h más r cuadrado por r por h menos r minúscula cuadrado por r minúscula por h. 00:09:59

Y todo ello partido por R mayúscula menos R. 00:10:35

En fin, esto se puede simplificar un poquitito, pero aquí no nos cabe. 00:10:40

Al final lo que nos tendría que quedar es una cosa mucho más sencilla. 00:10:45

Si operamos esto, lo subimos arriba, no se nos va a simplificar bastante. 00:10:48

Tengo por aquí hecha la cuenta y os la voy a anotar aquí. 00:10:53

Un momentito. 00:10:56

Bueno, pues resulta que esta cuenta, si la simplificásemos nosotros, 00:11:01

continúo por aquí abajo, o por ahí arriba, que tengo más sitio, 00:11:05

Si yo la continuase me quedaría la siguiente. Volumen del tronco sería igual a lo siguiente. En un tercio de pi lo puedo dejar fuera y me va a quedar pues r cuadrado por rh partido por r menos h menos r cuadrado por rh partido por r menos h. 00:11:11

En fin, si eso que significa, pues eso significa que es el volumen, este trozo, primer trozo sería el volumen del tronco grande al que le estemos quitando el volumen del tronco pequeño, nada más. 00:11:41

Y si yo simplificase esta cuenta, daos por seguro, un ejercicio es de álgebra que llegaríamos a esta misma de aquí. 00:11:55

En cualquier caso, aquí veis que hay un poco de teorema de tales y de cálculo de volúmenes del tercero de la ESO, 00:12:04

pero con la complicación de que todos son letras, o sea que eso se complica ya bastante. 00:12:11

Y esto es un problema que lo relaciona con integrales, que es el objetivo principal del ejercicio. 00:12:15

Espero que os haya parecido interesante. Nos vemos en la resolución de próximas integrales. 00:12:20

¡Hasta luego! 00:12:27

Materias:

Matemáticas

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